7 case, 7 gatti, 7 topi...una filastrocca matematica

In una proprietà ci sono 7 case, in ogni casa ci sono 7 gatti...

I giochi e la Matematica ricreativa hanno origini antichissime.
Il numero del Carnevale della Matematica di maggio,  a tema "i giochi", mi  ha ricordato un antico indovinello matematico, il famoso problema #79, che si trova sul papiro di Rhind datato 1650 a.C.

Angolo del papiro di Rhind in cui Ahmes scrive una flastrocca,

conosciuta come il problema #79 del papiro di Rhind

Si tratta forse del più antico indovinello matematico che sia mai stato ritrovato e, anche se parrebbe davvero inutile, sembrerebbe invece strutturato apposta per far ragionare astrattamente su cosa si stia calcolando e su come lo si stia facendo, quasi si trattasse di una vera e propria lezione di matematica.
Come molti dei problemi descritti nel papiro di Ahmes, quello che fa pensare che questo gioco fosse destinato a giovani studenti, è proprio la forma di indovinello. 
Carl Benjamin Boyer a proposito del contenuto del papiro dice infatti: 
“Molti dei calcoli contenuti nel Papiro di Rhind erano evidentemente esercizi pratici per giovani studenti. Sebbene gran parte di essi sia di natura pratica, in alcuni casi sembra che lo scriba avesse in mente indovinelli o giochetti matematici” 
Tra i problemi descritti nel papiro il più importante è proprio il problema #79 anche se questo esercizio, come dicevo, sia l’unico “inutile” della raccolta, cioè senza una soluzione pratica, in cui sembrerebbe non interessare tanto la risposta particolare, quanto il procedimento con cui si arriva a determinarne la risposta.

La filastrocca "I 7 gatti di Ahmes" 

recita così:

In una proprietà ci sono 7 case

In ogni casa ci sono 7 gatti

Ogni gatto acchiappa 7 topi

Ogni topo mangia 7 spighe

Ogni spiga dà 7 heqat¹ di grano

Quante cose² ci sono in tutto in questa filastrocca³?

(Papiro di Ahmes o di Rhind, 1650 a.C.)

Note
¹ L'heqat era la misura di capacità pari a circa 4,785 litri.
² Col termine "cose" si intendono sia gli oggetti che gli animali e le misure.
³ Tra tutti quelli che hanno citato questo gioco, il più illustre é certamente Fibonacci nel suo Liber Abbaci del 1202, nella versione delle "Sette vecchie in viaggio per Roma"

In un angolo del papiro, in mezzo a tanti calcoli seri, 

Ahmes trova lo spazio per scrivere un gioco, 

conosciuto come il problema #79 del papiro di Rhind

Questa filastrocca pare proprio sia il più antico di questi problemi, nonché primo esempio di gioco matematico giuntoci dall’antichità in uno dei più antichi documenti matematici conosciuti, un rotolo egizio lungo circa 5 m e alto circa 30 cm.
Il papiro di Rhind è infatti il più esteso papiro egizio di argomento matematico giunto fino ai giorni nostri e prende il nome da un antiquario/egittologo scozzese, tale Henry Rhind, che lo acquistò nel 1858 a Luxor in Egitto. 
Esso risale all’incirca al 1650 a.c., periodo in cui lo scriba Ahmes lo trascrisse da un papiro precedente probabilmente composto tra il 1850 a.C. ed il 1800 a.C. 
E’ lo stesso Ahmes, nell’introduzione del papiro a scrivere di averlo copiato da un papiro risalente al tempo del faraone “Ne-ma’et-Re”, che regnò tra il 1849 e il 1801 a.C. 
Attualmente è conservato presso il British Museum di Londra, con alcuni piccoli frammenti dislocati al Brooklyn Museum di New York.
Ahmes, il figlio della luna, è il primo matematico che scrisse il proprio nome su un documento giunto fino a noi, e si ricorda una citazione tradotta da Arnold Buffum Chace (Ohio 1927), un appassionato di Egittologia  americano, che del papiro ha fatto la traduzione più completa:

"Accurate reckoning: the entrance into knowledge of all existing things and all 

obscure secrets."

"Calcolo esatto: l'accesso alla conoscenza di tutte le cose esistenti e di tutti 

gli oscuri misteri."

Tratto da A. B. Chase, Rhind Mathematical Papyrus (Reston Va. 1967)

Thot, il dio che insegnò agli uomini la scrittura, la magia e la scienza, 

ma che non credo debba essere

ricordato come "Tot" abbreviazione della parola matematica "Totale"

In realtà, il problema #79 del Papiro di Rhind è più misterioso e più complesso della nota filastrocca. 
Che cosa poteva significare questa scrittura misteriosa?

Tradotta in termini matematici

La filastrocca "I 7 gatti di Ahmes" 

diventa così:

Case 7¹ = 7
Gatti 7² = 49
Topi 7³ = 343
Spighe 7⁴ = 2.401
Heqat 7⁵ = 16.807

Totale 19.607

Qualcuno potrebbe obiettare che all'inizio si parla anche di una proprietà, perciò le cose di cui si parla in questa storia sarebbero: 19.607+1 = 19.608.

Ma ora esaminiamo meglio questa tabella.

Nella quarta riga, seconda colonna, il numero esatto, come si legge, è 2401. Si noti però che Ahmes aveva elencato un valore errato per la quarta potenza di 7, cioè 2301 al posto di 2401. Tuttavia, la somma delle potenze (19.607) risultava corretta.

case	7
gatti	49
topi	343	1	2801
spighe di grano	2401	2	5602
heqat di grano	16807	4	11204
totali	19607		19607

Nella seconda colonna c'è la sequenza delle prime 5 potenze di 7.

Si tratta di una progressione geometrica di ragione 7 e in fondo è scritto il totale.

Qual è la formula che usiamo oggi per calcolare la somma dei primi n termini di una progressione geometrica di ragione r?

S = r + r² + ... + rⁿ = r(rⁿ-1)/(r-1)

Nel nostro caso r=7, n=5 quindi:

S = 7(7⁵-1)/(7-1) = 19607

Possiamo scrivere la somma anche così:

S = 7 + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵

S = 7(1 + 7 + 7² + 7³ + 7⁴) = 7(1 + 7 + 49 + 343 + 2401) = 7 x  2801

Ma che cosa significano i numeri scritti nella terza e nella quarta colonna?
Ora, se osserviamo attentamente la seconda parte del testo di Ahmes ci rendiamo conto che è proprio la moltiplicazione di 2801 per 7, eseguita col metodo egizio.

1	2801
2	5602
4	11204
totale	19607

Come si può notare la procedura inizia dal numero 2801: questo viene poi raddoppiato una volta (5602) e poi un’altra (11204). La somma di queste tre cifre è proprio 19607.

Come si arriva a questa procedura?
Essa deriva dalla proprietà matematica che gli antichi Egizi evidentemente conoscevano:
"Ogni numero intero può essere espresso come somma di termini appartenenti alla successione geometrica 1, 2, 4, 8, ecc."

Infatti, siccome 7 = 1 + 2 + 4, per moltiplicare un qualsiasi numero per 7 si possono addizionare il numero stesso, il suo doppio e il suo quadruplo (ovvero il doppio del doppio). 

Quindi la terza e la quarta colonna potrebbero rappresentare una verifica del calcolo eseguito nella prima colonna o addirittura una formula per il calcolo della somma di una serie geometrica.

Dettaglio del soffitto della sala del sarcofago della tomba di Sethi I, 

con raffigurazione simbolica del cielo

A conclusione di queste note gioco/matematiche vorrei soffermarmi su una curiosità sempre legata a questa filastrocca.

Perché mai l'egiziano Ahmes, tra tanti numeri a disposizione, scelse proprio il 7?

Una risposta potrebbe essere che il numero 7 sicuramente era considerato sacro dagli Egizi che vi fondarono gli elementi di tutte le scienze e molte delle sue proprietà risalgono addirittura all’astrologia babilonese che riconosceva 7 pianeti e divideva il mese lunare in cicli di 7 giorni (da cui deriva l’origine della nostra settimana). 

Gli antichi astronomi conoscevano solo sette pianeti, il cui movimento poteva influenzare il destino umano e a ciò è riconducibile molta della sacralità del 7 che rappresentava quindi, in quel tempo, il cosmo e la sua perfezione e che nella cosmologia degli antichi Egizi corrispondeva esotericamente alla vita eterna.

I 7 simboli della numerazione decimale egiziana

Inoltre il sistema di numerazione egizio era caratterizzato da 7 simboli. 

Il simbolo che rappresentava le unità era un tratto di corda verticale. Per le decine invece si utilizzava un disegno di tratto di corda a forma di ferro di cavallo. Per le centinaia si usava disegnare un tratto di corda avvolta a mo' di punto interrogativo rovesciato, e così via, come si vede nell'immagine. 

L'uso della corda nella matematica egizia non era casuale: infatti gli agrimensori del faraone erano anche noti come "tenditori di corde" per la peculiarità di utilizzare corde per delimitare e poi misurare perimetro ed area dei terreni agricoli, in funzione del regolare pagamento delle tasse. 

L'omino inginocchiato con le braccia al cielo, rappresenta il milione, come ad indicare un numero davvero enorme, inimmaginabile, quasi divino. 

Esistono tuttavia autori che riportano come ultimo e quindi ottavo simbolo la potenza 10^7, disegnata come un sole, in onore del dio Ra. 

Quello egizio è stato il primo sistema di numerazione decimale della storia, non posizionale, a differenza di quello che invece utilizziamo noi, ma addizionale. Ciò significa che la posizione che una determinata cifra occupa all'interno di un numero egizio non conferisce alla cifra un valore di volta in volta diverso; è la cifra stessa a possedere un intrinseco valore quantitativo, che prescinde dalla posizione del simbolo all'interno del numero stesso. Ogni simbolo aveva pertanto un suo specifico valore, nella fattispecie associato ad una potenza di 10 (e per questo motivo è un sistema decimale). La somma di tutte le cifre che comparivano all'interno del numero davano il valore numerico complessivo, per cui un sistema numerico del genere viene appunto chiamato additivo.

Forse anche per questa simbologia il buon vecchio Ahmes ricorse al numero 7!?



Fonti

From the book
Carl B. Boyer, “Storia della matematica”, Mondadori, 1990
Giochi matematici del Medioevo: i conigli di Fibonacci e altri rompicapi liberamente tratti dal Liber Abaci. A cura di Nando Geronimi. Pearson Italia S.p.a., 2006.
From website
http://php.math.unifi.it/convegnostoria/liberabaci.pdf
https://edizionidodici.wordpress.com/2011/03/16/matematica-e-antico-egitto-parte-3-ancora-sulle-spighe-di-ahmes/
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7b/The_Rhind_Mathematical_Papyrus,_Volume_I.pdf
From the pictures
https://it.wikipedia.org/wiki/Papiro_di_Rhind
https://it.wikipedia.org/wiki/Matematica_egizia