lunedì 29 luglio 2019

"Stria" e Carlo Borromeo in Valtellina

Claudia Donadoni ha portato ieri sera in scena, ad Aprica, "Stria", un noir che sa di terra e di sangue, di ingiustizia, di persecuzioni, di fanatismo, di inquisizione, di perenne lotta tra ricchi e poveri, tra uomini e donne...dove i secondi sempre soccombono.


Claudia Donadoni interpreta "Stria" - foto ©Annalisa Santi

Carlo Borromeo (Arona, 2 ottobre 1538 – Milano, 3 novembre 1584) è stato un cardinale e arcivescovo italiano, venerato come santo dalla Chiesa cattolica. 
Canonizzato nel 1610 da papa Paolo V a soli 26 anni dalla sua morte, san Carlo è considerato tra i massimi riformatori. 
Il culto di S. Carlo Borromeo è tra i temi iconografici più diffusi e tipici della cultura lombarda del Seicento ed è testimoniato in Valtellina da numerosi dipinti, chiese e cappelle a lui dedicate.


"San Carlo Borromeo in Gloria", un olio su tela (154cm. x 230cm.) 
opera lombarda, precedentemente affisso nella chiesetta di località
 Foppa (Teglio) ora al "Museo Valtellinese di Storia e Arte" di Sondrio 

L’opera "Stria" ruota intorno alla vicenda di Rusina, una ragazza veramente esistita nel Varesotto (esiste un documento storico del 1520, tra i pochi sfuggiti ai roghi della Santa Inquisizione, oggi proprietà dell’Università dell’Insubria di Varese), cresciuta tra pratiche di medicina arborea, superstizioni e feste arboree, sotto l’attento controllo della Santa Inquisizione. Cosima, un’amica d’infanzia di Rusina, viene violentata brutalmente da un uomo uso a simili atti e le donne preparano una vendetta...Rusina viene accusata di stregoneria e immolata sul rogo.


Claudia Donadoni interpreta "Stria" - foto ©Annalisa Santi

Ma cosa c'entra Carlo Borromeo con le streghe?

La vicenda di Rosina potrebbe essere benissimo avvenuta in Valtellina, nel XVI secolo, proprio nel periodo in cui Carlo Borromeo solcava il passo di Aprica imponendo la sua fanatica religiosità.
Certo a suo modo fu anche un riformatore, visto che aprì scuole, seminari per moralizzare il clero (a quell’epoca c’era un detto: "vuoi andare all’inferno – fatti prete") per dire fino a che punto il malcostume dei preti dava scandalo, ma anche un personaggio con turbe mistiche, misogino, aveva in odio le donne, si vantava di non aver mai guardato gli occhi di una donna, fece costruire palizzate di legno nelle navate delle chiese per divedere gli uomini dalle donne (in alcune chiese si può ancora oggi constatare dall’usura del pavimento questo provvedimento) perché le donne erano per Carlo Borromeo la fonte del peccato, mandò al rogo libri accusati di eresia, Bibbia e Vangelo scritti nella lingua del posto (allora era vietato ai credenti leggere i testi sacri senza la mediazione del prete) aveva una sua concezione ascetica della vita che lo spinse ad affermare che “la malattia è un dono di Dio” obbligando tutti ad estenuanti digiuni che spinsero in molti a perdere la salute compresa la sua (morì infatti a soli 46 anni) e quella della sorella prediletta Anna (morta a soli 32 anni al termine dei digiuni quaresimali), avendo un sostanziale disprezzo della vita terrena per privilegiare la morte, come incontro con Dio.


1549 - Le donne bruciano, i frati assistono con atteggiamento rilassato, impugnando i crocifissi. 
Un soldato, addirittura, si scalda le mani. 

Carlo Borromeo si distinse anche nella Caccia alle Streghe, soprattutto nelle Valli a ridosso della vicina Svizzera, Valtellina appunto compresa. 
A Roveredo in Val Mesolcina furono 12 le donne arse vive perchè si rifiutarono di abiurare la nuova fede episodio ben documentato nel libro ("Terra Bruciata: le streghe, il boia e il diavolo" di Gerry Mottis) che rievoca la visita di Carlo Borromeo in questa località.

Ma chi erano le streghe della Mesolcina?

"Quelle che comunemente venivano chiamate streghe erano, in fondo, delle semplici persone del popolo, per lo più donne, che svolgevano delle funzioni sociali molto importanti, depositarie di antiche conoscenze di origine pagana. Le condannate erano infatti erboriste, levatrici, contadine, massaie, che in qualche misura cercavano di emergere in una società dominata dagli uomini. La misoginia trovava una sua giustificazione nel capro espiatorio. Nelle streghe si è infatti sempre cercato di identificare le colpevoli di tutti i mali della società. Malattie, morti improvvise, frane o valanghe, inspiegabili fenomeni naturali, erano imputati alle maliarde malefiche, che avevano stretto un patto col Diavolo"

Non sapremo mai se furono poche decine o qualche centinaio e forse più, visto che l’archivio della Santa Inquisizione della Diocesi di Milano dal 1314 al 1764 è stato volutamente distrutto il 3 giugno 1788, passato alla storia come "Il Rogo della Memoria". 
Hans Kung sostiene che dalla nascita della Santa Inquisizione, qui in Europa siano state uccise nove milioni di persone, condannate come eretici per aver abbracciato una fede cristiana diversa dalla Chiesa Cattolica.
Senza dimenticare che Carlo Borromeo fu precursore delle disposizioni naziste, quando nella sua Milano di quell’epoca aveva confermato e quindi ordinato agli ebrei di circolare con la Stella di David o un fazzoletto giallo sul collo. 
Dopo tutte queste citazione, mi chiedo: 
"è possibile oggi legittimare la santità di un personaggio così controverso, la cui causa di beatificazione avvenne con il versamento di 10.000 ducati d’oro da parte del suo casato?".
Carlo Borromeo sarà forse stato senz’altro grande per aver difeso il potere della Chiesa Cattolica dai riformatori protestanti, ma per i metodi usati non so se può essere considerato santo, anche se lo contestualizziamo in un periodo storico in cui si evangelizzava con le strutture di potere e con la violenza.
Violenza che si riversava sui deboli, sugli ignoranti ma anche su tutti coloro, studiosi e contestatori dei dogmi religiosi, che osavano opporsi alla "dottrina" cattolica dominante.
Forse il grande peccato, non commesso solo da Carlo Borromeo ma anche da altri ancora oggi, è quello di aver imparato a memoria i codici di diritto canonico della Chiesa ma di non aver letto il Vangelo. 
Se mai avesse vissuto l’incontro di Gesù con la Samaritana presso il  pozzo, non so come sarebbe andata a finire, certamente lei avrebbe rischiato il rogo in quanto donna peccatrice ed eretica.


Gesù e la Samaritana, l'affascinante dialogo più lungo del Vangelo 

Chiudo queste brevi considerazioni, nate dalla bellissima piece interpretata da Claudia Donadoni, con altri due fatti che mi ha ricordato e che dimostrano quanto le donne siano sempre state perseguitate, forse perché temute, come geniali artiste o scienziate.


Giuditta decapida Oloferne - Artemisia Gentileschi

Mi riferisco a Artemisia Gentileschi, grandissima pittrice stuprata che subì sevizie durante il processo (che condannò con pena lieve il suo aguzzino) e Ipazia d'Alessandria, scienziata e filosofa greca, che ancora oggi resta un simbolo della libertà di pensiero, a 1600 anni dalla sua uccisione per mano di fanatici religiosi.



In un clima di fanatismo, di ripudio della cultura e della scienza in nome della crescente religione cristiana, Ipazia venne trucidata nel marzo del 415, lapidata in una chiesa da una folla di fanatici, sobillati da Cirillo di Alessandria (370-444), venerato, ancor oggi, come santo sia dalla Chiesa Cattolica che da quella Ortodossa.




mercoledì 19 giugno 2019

La luna, uno spettacoloso oggetto matematico

"O, swear not by the moon, th' inconstant moon,
That monthly changes in her circle orb,
Lest that thy love prove likewise variable." 
William Shakespeare (Romeo and Juliet - Act 2 Scene 2)

Queste intramontabili parole di Giulietta, tratte dal testo originale di William Shakespeare :
"Oh non giurare sulla luna, l'incostante luna,
che si trasforma ogni mese nella sua sfera
Affinché il tuo amore non si riveli allo stesso modo mutevole."
e il 50° anniversario dello sbarco sulla luna, il 20 luglio prossimo, mi hanno dato lo spunto per questo articolo di matematica "lunare", in cui proprio grazie alla luna parlo di un progetto didattico della NASA e introduco la "F-trasformata" legata al grande matematico  Jean Baptiste Joseph Fourier. 


Un celebre fotogramma del film Viaggio nella Luna (Le voyage dans la Lune, 1902) 
di Georges Méliès Immagine ©Wikipedia

A 50 anni dalla telecronaca di Tito Stagno dello sbarco, il 20 luglio 1969, sul mare della Tranquillità dei due astronauti Neil Armstrong (il 20 luglio alle 20:17:40 UTC) e Edwin Aldrin (il 21 luglio alle ore 02:56 UTC), ritorna in auge il nostro satellite.
Ora sono i cinesi a puntare sulla Luna e gli Stati Uniti, che dal dicembre 1972 avevano concluso le missioni "Apollo"¹, prevedono ora un piano per la nascita nel 2020 di colonie lunari con fini scientifici. 
Intanto, per preparare questo ritorno, alcune sonde spaziali hanno approfondito lo studio geologico della Luna e forse hanno individuato una riserva di acqua ghiacciata. 


Come applicare la matematica alla luna? Immagine © Luna Math

Ma come applicare la matematica per capire il satellite naturale della Terra e le future missioni sulla luna? 
Ci viene in aiuto un progetto della NASA (National Aeronautics and Space Administration) rivolto agli insegnanti che introduce nuove prospettive dell'insegnamento attraverso uno stretto legame tra matematica e spazio.
Le questioni che affronta la matematica "lunare" possono spiegare concetti come le caratteristiche fisiche della luna, la probabilità di un impatto di un meteorite sulla superficie lunare o come l'ossigeno potrebbe essere estratto dalle rocce lunari. 
E'nata quindi una guida, Lunar Math Educator Guide, che include matematica di base, algebra, geometria, funzioni trigonometriche... 
La guida, a sua volta, fa parte del progetto SpaceMat @ NASA, progetto nato per introdurre gli studenti all'uso della matematica nelle scoperte scientifiche di oggi. 
SpaceMath @ NASA collabora con l'importante fornitore di soluzioni educative STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics)  per aiutare gli studenti a vedere le profonde connessioni tra matematica e scienze, usando la NASA e l'esplorazione dello spazio come tema. 
L'astronomo Sten Odenwald, che è di stanza al Goddard Space Flight Center della NASA a Greenbelt, Maryland, guida un team di professionisti, Education and Public Outreach (E & PO), che sviluppano i materiali didattici di SpaceMath.
Attraverso comunicati stampa e altri articoli, vengono analizzati i tipi di abilità matematiche che si incontrano nell'esplorazione dell'universo.
I problemi, estratti appunto da comunicati stampa della NASA, sono scritti per presentare aspetti sorprendenti ma quantificabili di un'immagine o di una scoperta che possono essere presentati come semplici problemi matematici, progettati per l'uso diretto in classe da parte degli studenti.

"Questi possono essere diversi come un problema su frazioni e percentuali usando i dati dell' esopianeta Kepler, o come determinare il volume di Comet Hartley-2 usando il calcolo integrale"
ha detto Sten Odenwald.



"Incorporando le risorse fornite da SpaceMath @ NASA nei programmi scolastici, si può aiutare a sviluppare le capacità di pensiero critico degli studenti attraverso applicazioni del mondo reale tratte dai titoli dei giornali e queste attività evidenziano anche la pedagogia del Common Core for Mathematics rafforzando capacità degli studenti di applicare concetti e integrare gli standard per la pratica matematica"
ha affermato Jim O'Neill, vicepresidente di Houghton Mifflin Harcourt (HMH) di Boston, che partecipa al progetto.
(Comunicato stampa SpaceMath @ NASA)

In Italia non credo proprio che questo progetto sia stato applicato ai programmi scolastici ma potrebbe servire da spunto per introdurre problemi di matematica applicata, tanto "cari" al MIUR alle ultime prove di Maturità, le cui scelte in questi ultimi anni, sono state molto discutibili se non surreali. 

Dopo questa introduzione di didattica statunitense, applicata alla Luna e alle imprese spaziali, vediamo in concreto come davvero la matematica "lunare" sia utile per comprendere sia la matematica che le caratteristiche del nostro satellite.
La luna, come argomento per lo studio matematico, offre infatti molte opportunità di combinare argomenti matematici, dai più semplici ai più avanzati, per sondare ulteriormente i suoi numerosi misteri. 
Per migliaia di anni semplici operazioni e deduzioni geometriche erano bastate per padroneggiare la sua cronologia nel cielo, ma l'avvento dei telescopi nel XVII secolo e l'era spaziale negli anni '60 del XX secolo, ha aperto molti nuovi modi per indagarlo come un oggetto matematico.


Sidereus Nuncius di Galileo Galilei
Estratto del Sidereus Nuncius – Trattato di astronomia
 con due schizzi di Galileo Galilei, pubblicato nel 1610

Il volto moderno della luna apparve infatti per la prima volta la sera del 30 novembre 1609, quando Galileo Galilei, che si trovava a Padova, puntò il suo cannocchiale verso la luna e, notando le irregolarità che la caratterizzavano, realizzò uno schizzo per registrare le sue scoperte. 
Nei successivi diciotto giorni, egli tracciò almeno altri cinque disegni, sulla base dei quali preparò degli accuratissimi acquerelli, di cui ne usò quattro da pubblicare come stampe a corredo del suo rivoluzionario "Sidereus Nuncius", che comparve nel marzo successivo. 
In questo trattato Galileo annunciava ad un pubblico meravigliato che la Luna non era un globo di quintessenziale perfezione, bensì un ammasso craterizzato da elementi, una nuova terra che doveva essere esplorata, mappata e battezzata. 
Nasceva così la selenografia, vale a dire la disciplina astronomica relativa alla descrizione e rappresentazione della superficie lunare. 

Ma non voglio parlare di selenografia bensì di come si possa introdurre, descrivere e capire la Trasformata di Fourier partendo da considerazioni "lunari".


"Théorie analytique de la chaleur"- J.B.J Fourier - 1822

In analisi matematica, la F-trasformata, è una trasformata integrale ideata dal barone Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), da cui la trasformata prese nome e che il matematico sviluppò, nel 1822, nel suo trattato "Théorie analytique de la chaleur", dove usò la sua tecnica matematica soprattutto per spiegare molti casi di conduzione termica.
Quasi 200 anni dopo, la Trasformata di Fourier resta uno strumento utilissimo in diversi domini della scienza, offrendo la possibilità in alcuni casi di risolvere le astruse equazioni che descrivono le risposte dinamiche a sollecitazioni elettriche, termiche o luminose e in altri casi serve a identificare le componenti regolari di un segnale ondulatorio, consentendo così di interpretare correttamente certe osservazioni in astronomia, medicina e chimica.

Prima dell'avvento dei calcolatori elettronici, il calcolo numerico di una trasformata era piuttosto noioso perché si dovevano fare moltissime operazioni aritmetiche con carta e matita. Il tempo necessario poteva essere ridotto un po' usando regole e piani di computazione che guidavano i ricercatori nel calcolo, e successivamente questi calcoli divennero più agevoli quando si resero disponibili calcolatori e programmi in grado di applicare nuovi metodi dell'analisi di Fourier. Come il lavoro proposto nel 1965 da James W.Cooley del Thomas J. Watson Research Center della IBM e da John W. Tukey dei Behl Telephone Laboratories di Murray Hill, nel New Jersey, che portò all'allestimento di un programma chiamato trasformata rapida di Fourier. 


Immagine della baia di Mont Saint-Michel © Wikipedia

Ma la Luna e Fourier?

Tutti conosciamo il legame tra la luna e la marea che è un fenomeno periodico costituito da ampie masse d'acqua (oceani, mari e grandi laghi) che si innalzano (flusso, alta marea) e abbassano (riflusso, bassa marea) anche di 10-15 metri (nella baia di Mont Saint-Michel
Questo fenomeno, con frequenza giornaliera o frazione di giorno (solitamente circa ogni sei ore, un quarto di giorno terrestre), è determinato, oltre che dalla forza centrifuga dovuta alla rotazione del sistema Terra-Luna intorno al proprio centro di massa, dall'attrazione gravitazionale esercitata sulla Terra dalla Luna, che, pur essendo circa duecento volte meno intensa dell'attrazione esercitata dal Sole, è la principale responsabile delle maree, in conseguenza del fatto che la misura del diametro terrestre non è del tutto trascurabile rispetto alla distanza tra la Luna e la Terra, mentre lo è rispetto alla distanza tra la Terra e il Sole.
Già verso la fine del XIX secolo ci si riferiva alla F-trasformata nella previsione dell'ampiezza delle maree, mediante il dispositivo Ferrel.


Il dispositivo di previsione delle maree di William Ferrel del 1881-2, 
Ora allo Smithsonian National Museum of American History

Il dispositivo di William Ferrel era un calcolatore analogico costruito verso la fine dell'Ottocento, che eseguiva la sintesi di Fourier per prevedere l'andamento delle maree. 
Dai dati sulle escursioni di marea raccolti in un porto particolare si ricavava, con calcoli eseguiti a mano, un insieme di numeri, ciascuno dei quali rappresentava un contributo periodico alla marea, come l'attrazione gravitazionale della Luna.
I numeri ottenuti per quel porto potevano poi essere introdotti nell'apparecchio posizionando le manopole sul suo retro (immagine a sinistra).
Impostando l'ora desiderata sulla parte anteriore (immagine a destra), l'ampiezza prevista della marea poteva essere letta su un quadrante. 

Recentemente la National Aeronautics and Space Administration (NASA) si serve proprio dell'analisi di Fourier per migliorare la nitidezza e il dettaglio delle immagini della luna e di altri oggetti celesti, ottenute nello spazio da sonde planetarie e da satelliti in orbita terrestre. 
Le immagini vengono trasmesse a Terra sotto forma di successioni di impulsi radio e un calcolatore trasforma questi impulsi utilizzando le tecniche di Fourier, quindi modifica le varie componenti di ciascuna trasformata per accentuare alcune caratteristiche ed eliminarne altre, più o meno come si elimina il rumore dalla trasformata di Fourier di una registrazione musicale. 
Infine, i dati modificati vengono ritrasformati per ricostruire l'immagine che, con questo procedimento, può essere così meglio messa a fuoco, potendo eliminare la foschia di fondo e modificare il contrasto.

Insomma prendendo spunto da questi due esempi possiamo introdurre l'argomento della F-trasformata che risulta utile anche in tantissimi altri campi: nella fisica dei plasmi, nella fisica dei semiconduttori, nell'acustica a microonde, in sismografia, in oceanografia, nella ricognizione radar, nella realizzazione di immagini in medicina o, fra le molte applicazioni in chimica, nell'impiego di uno spettrometro basato proprio sulla trasformata di Fourier.

Ma come calcolare una Trasformata di Fourier? 

Questa formula (in realtá è piú corretto parlare di una coppia di formule) merita di essere compresa, almeno nelle sue basi piú semplici e pratiche.
Iniziamo a vedere di che tipo di equazioni si sta parlando: 



A prima vista sembrerebbero spaventose! Integrali, numeri complessi scritti in forma contratta...!
In realtá non sono poi così difficili.
In matematica, una trasformata è un operatore, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni; ovvero trasforma una funzione in un'altra funzione. Tale operatore è di solito applicato ad una funzione per semplificare alcune operazioni o in generale per risolvere più facilmente dei problemi.
Qui si tratta di una trasformata integrale, ovvero un'applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni, realizzata con un integrale.
La forma generale di una trasformata integrale lineare T(f) è:


ove K(s, t), la funzione che differenzia le varie trasformazioni, è detta nucleo o kernel della trasformazione.
In parole povere la trasformata di Fourier consente di scomporre un'onda qualsiasi, anche molto complessa e "rumorosa" (un segnale telefonico o televisivo, un'immagine, la musica, la voce...) in piú sotto-componenti, un po' come attraverso la chimica si puó scomporre un cibo nei suoi sottoelementi così da capirne la reale composizione.
Piú precisamente la trasformata di Fourier permette di calcolare le diverse componenti (ampiezza, fase e frequenza) delle onde sinusoidali che, sommate tra loro, danno origine al segnale di partenza. 
Dopo questi brevi accenni qui non mi dilungo, in quanto l'argomento è pienamente trattato in tutti i testi di Analisi II e in molte dispense; tra cui questa, in linea con le mie osservazioni, del Prof. Paolo Tilli "Dispense del corso di Analisi II" Capitolo 6 - "La trasformata di Fourier", Dipartimento di Matematica - Politecnico di Torino

Immagine scattata da LRO che mostra dettagli del Mare Nubium. 

Concludo quindi queste mie considerazioni sulla Luna come "oggetto matematico" con una delle immagini che la NASA ha decodificato proprio attraverso la F-trasformata e, ricollegandomi alla didattica proposta dalla guida Lunar Math, lascio queste due facili facili domande:

Questa è una delle prime immagini scattate da LRO (Lunar Reconnaissance Orbiter) che mostra dettagli del Mare Nubium. 
La larghezza dell'immagine è di 700 metri (500 pixel). 
Domanda 1 - Utilizzando un righello millimetrico determinare la scala dell'immagine in metri
per millimetro e metri per pixel.
Domanda 2 - Qual è il diametro, in metri, del più piccolo cratere riconoscibile?

...a voi la risposta!²


Note

¹ Missioni Apollo dal 1969 al 1972 
Come si nota la missione Apollo 13, diventata celebre anche per un film, non è nella lista.
Il numero 13 portò sfortuna infatti all'Apollo 13, terza missione decollata l'11 aprile 1970 alle ore 13:13 CST dal Kennedy Space Center che non concluse la missione, per un guasto che impedì l'allunaggio e rese difficoltoso il rientro sulla Terra.

² Essendo l'immagine suscettibile di variazioni di dimensioni a seconda dello strumento di lettura usato (PC, Tablet o Smartphone) Ecco le risposte:
Risposta 1 - Se la larghezza letta fosse di 153 millimetri, la scala sarebbe 700 metri / 153 mm = 4,6 metri / mm e 700 metri / 500 pixel = 1,4 metri / pixel

Risposta 2 - Il più piccolo misurabile potrebbe essere quello di 0,5 mm. Quindi 0,5 mm x 4,6 m / mm = 2,3 metri




sabato 15 giugno 2019

La Tour Eiffel e il suo segreto matematico

"Mentre gli eventi della Rivoluzione francese sono catturati da Charles Dickens nel suo commovente romanzo 'Un racconto di due città', il centenario della Rivoluzione Francese viene commemorato dall'imponente Tour Eiffel, il cui profilo all'orizzonte appare come una coda di due esponenziali" 
(Weidman e Pinelis nell'introduzione al loro articolo del 2004)

Nel 2004 i ricercatori statunitensi Patrick Weidman e Iosif Pinelis, hanno svelato il segreto dell'incredibile opera architettonica dell'ingegnere francese Gustave Eiffel (1832-1923), trovando un'equazione dalla quale si evidenzia la sagoma della Tour Eiffel.


Fino al 1930 la Tour Eiffel fu il monumento più alto del mondo, 
superato poi dal Chrysler Building di New York. 
Nel 1957 i francesi operano però una beffa e, grazie all'aggiunta delle antenne di
 trasmissione sulla sua sommità, la torre tornò a svettare di poco più di cinque
 metri sopra l'iconico grattacielo newyorkese.  foto © Annalisa Santi 1989

Partendo dagli studi dell'ingegnere Gustave Eiffel sul profilo della torre, soprattutto legati al fattore vento, cioè al caricamento del vento sulla torre, i due ricercatori hanno determinato una nuova equazione che corrisponde strettamente alla forma della metà superiore della torre.
Consultando il documento di 26 pagine stilato da Eiffel, i cui dati ne garantivano la stabilità evitandone il crollo nonostante la sua altezza rilevante, e che analizzava soprattutto l'effetto del caricamento del vento sulla torre, l'ingegner Patrick Weidman  ha trovato un'equazione (di cui parlerò), sotto forma di una funzione esponenziale, rielaborata poi insieme a Iosif Pinelis, un esperto in analisi matematica, che ha offerto il suo aiuto per comprendere le caratteristiche sottostanti, arrivando così a determinare la definitiva equazione integrale.
Lo studio dei due ricercatori statunitensi, dal titolo "Model Equations for the Eiffel Tower: Historical Perspective and a New Equation", pubblicato nel numero di luglio 2004 della rivista dell' Accademia francese delle Scienze, "Comptes Rendus Mecanique", ha spiegato quindi dettagliatamente la relazione tra il fattore del vento (che la fa oscillare fino a 12 cm.) e la larghezza della sezione di base.
Una relazione molto estesa dovuta soprattutto al fatto di dover mettere a confronto il loro studio con quello di Eiffel che, non essendo completamente sicuro dei suoi calcoli, a quei tempi esclusivamente cartacei, preferì costruire la torre esagerando le misure della base in modo da avere la certezza che il vento non avrebbe destato problemi di oscillazioni preoccupanti o di crolli della struttura.
La forma della Torre Eiffel è infatti aerodinamica, pensata espressamente per resistere al vento, come ribadì lo stesso Gustave Eiffel rispondendo alle critiche mosse contro il suo progetto costituito si da 7.300 tonnellate di ferro, ma assemblate in una costruzione reticolare, ossia circa diciottomila pezzi metallici costituiti non da travi massicce ma da barre scanalate, quindi più leggere e aerodinamiche.

La Tour Eiffel poggia su quattro piloni, bloccati nelle fondazioni di calcestruzzo, 
che si collegano in alto formando un’unica struttura 
Espisizione Universale di Parigi 1889  foto  © Fondazione Grossman

Siamo a Parigi nel 1889 dove si svolse la più importante esposizione universale ottocentesca in occasione del centenario della Rivoluzione francesce.
La zona indicata ad ospitare la manifestazione fu scelta presso il Campo di Marte, una vasta area militare vicino alla Senna.
Qui, tra le tante costruzioni destinate a contenere i prodotti più moderni dell'industria, una in particolare stupì profondamente gli spettatori: la Torre Eiffel, all'epoca il più alto edificio del mondo.
Fu edificata dall'ingegnere francese Gustave Eiffel (1832-1923) per dimostrare a tutti quali straordinarie possibilità costruttive offrisse la tecnologia moderna.
Alta 300 metri e costruita unicamente con elementi metallici prefabbricati (perché in ferro e non in acciaio?) fu pensata per resistere alla forte pressione del vento.
Alla sua base quattro enormi pilastri raccolgono e distribuiscono il suo peso colossale per poi assottigliarsi progressivamente fino a formare un altissimo traliccio di ferro.

Venne inaugurata il 31 marzo 1889 con 21 colpi di cannone (l'ingegnere Eiffel salì a piedi tutti i 1.710 gradini per issare sulla punta della torre il tricolore francese) e, nonostante un numero ben maggiore di petizioni per demolirla a fine esposizione, non venne smontata, come previsto dopo 20 anni nel 1909 (fu salvata perché venne considerata  un'ottima antenna per la radio), ed è così che la "dama di ferro" è rimasta come simbolo stesso di Parigi. 

Ma fu tutta farina del suo sacco?
O forse la "Tour en fer de trois cent mètres" invece di chiamarsi "Tour Eiffel" avrebbe potuto prendere il nome di "Tour Koechlin Nouguier"?


Il progetto iniziale di Koechlin e Nouguier, con le dimensioni 
della colossale torre rapportate ad altri monumenti celebri, 
come la cattedrale di Notre Dame, la statua della 
Libertà e la colonna Vendôme  foto  © Wikipedia

Quando, sul finire del 1884, il governo francese annunciò di voler inaugurare l'Esposizione Universale del 1889 di Parigi con un'opera di dimensioni colossali, Maurice Koechlin e Émile Nouguier, due ingegneri alle dipendenze della "Compagnie des Établissements Eiffel", una fiorente ditta gestita da uno dei più accreditati "architetti del ferro" del periodo, Gustave Eiffel , aderirono entusiasticamente all'impresa. 

Progettarono così un "imponente pilastro metallico, formato da quattro travi reticolari svasate in basso che si congiungono in cima, legate tra loro mediante traverse disposte a intervalli regolari" (David I. Harvie, Eiffel: The Genius Who Reinvented Himself, Stroud, Gloucestershire, Sutton, 2006) 
Eiffel inizialmente riservò al progetto solo un'attenzione distratta ma, in un secondo momento, ne intuì la genialità e, avvalendosi della collaborazione di Stephen Sauvestre, ingegnere capo del dipartimento di architettura della sua società, contribuì al progetto con vari ritocchi e perfezionamenti.  
Va rilevato che l'apporto tecnico di Sauvestre fu fondamentale non solo sotto il profilo tecnico, con la correzione di vari errori di fondo del progetto di Koechlin e Nouguier, ma anche sotto quello estetico, in quanto modificò la forma della torre per renderla più accattivante agli occhi dell'opinione pubblica, con l'aggiunta di linee meno spigolose e più aggraziate, ingentilite anche con svariati ornamenti.


15 marzo 1889 costruzione della cupola su progetto finale di 
Stephen Sauvestre del 1887  foto  © Wikipedia

Ma l'opera fu molto osteggiata all'epoca, definita "mostruosa opera" dai detrattori e "un originale capolavoro di metallo" dai sostenitori e, anche allora come oggi, circolarono molte "bufale" per impedirne la costruzione, tra cui l'accusa, tracimante di disprezzo e razzismo, a Eiffel di essere "null'altro se non un ebreo tedesco" e per questo bisognava assolutamente impedire che venisse vergognosamente costruita "une tour juive" o, che mettevano in dubbio le sue competenze, "di non essere in grado di progettare una torre capace di contrastare adeguatamente l'azione del vento", alcuni asserivano che avrebbe potuto crollare sulle case vicine, o che avrebbe attirato fulmini o persino l'assurda ipotesi che la torre Eiffel potesse magnetizzarsi e attrarre tutti gli oggetti ferrosi della capitale.
Arrivarono a definirla addirittura un' "odiosa colonna di metallo e bulloni" o "l'asparago di ferro", nomignolo tuttora in voga tra molti parigini.
Come oggi sui Social nascono petizioni di protesta, anche allora un appello di quarantasette artisti e intellettuali più influenti dell'epoca, tra cui Guy de Maupassant, Alexandre Dumas figlio ed Emile Zola, tentò di bloccarne la costruzione con queste parole:

"E per i prossimi vent'anni vedremo stagliarsi sulla città, ancora vibrante dell'ingegno dei secoli passati, vedremo stagliarsi come una macchia d'inchiostro l'odiosa ombra dell'odiosa colonna di metallo e bulloni." 

Tutto ciò non fece però vacillare il parere di Édouard Lockroy, ministro per il Commercio e presidente della commissione della fiera che scelse proprio il progetto "Tour en fer de trois cent mètres" della "Compagnie des Établissements Eiffel", considerandolo "un monumento destinato a diventare unico al mondo e una delle curiosità più interessanti della capitale". 


Due turbine eoliche sono state montate dall’americana UGE al secondo
 piano della torre (il punto con le migliori caratteristiche di vento) 
per produrre 10.000 kWh di elettricità l’anno, ovvero quanto basta 
ad alimentare i negozi e le caffetterie del primo piano.

Dopo queste brevi note storiche (i più curiosi possono trovarne di più dettagliate qui) torno a parlare di matematica e dell'equazione di Patrick Weidman e Iosif Pinelis.
La forma caratteristica della torre, come rivelano i due ricercatori statunitensi, fu dettata quindi principalmente da ragioni fisiche e matematiche.
Le 26 pagine consultate da Weidman con l'aiuto della traduttrice professionista Claudette Roland, cioè i modelli di calcolo dell'ingegnere Gustave Eiffel, si sono rivelati esatti e hanno dimostrato in che modo la struttura, nonostante sia alta 300 metri, sia in grado di sopportare un vento che soffi oltre 200 Km/h (238 Km/h una velocità mai raggiunta nella città di Parigi).
Struttura che, da una base quadrata di 125 metri di lato da cui, vede innalzarsi quattro pilastri che confluiscono in un'unica colonna, via via più sottile e concava al crescere dell'altezza.
L'ingegnere ne studiò la sagoma, sezione dopo sezione, calcolando per ciascuna il peso che la struttura doveva reggere.

Se si schematizza l’edificio come un corpo rigido omogeneo di densità ρ avente sezioni orizzontali quadrate e trascurando la presenza dell’aria, si verifica che la forza esercitata su una porzione dell’edificio dalla parte sovrastante coincide con il peso di tale parte.


Immagine (1)


Data la densità del materiale ρ considerando A(h) l’area della sezione quadrata alla quota generica h, si può affermare che il volume infinitesimo di uno strato di altezza dh è A(h)dhtrattandosi infatti di un prodotto tra una sezione e un'altezza.
Sia A(x) l’area della sezione dell’edificio alla quota x, misurata dal terreno verso l’alto ed essendo g l’accelerazione di gravità, il peso della parte compresa tra x e l’altezza H della torre è:
e, considerato il peso massimo P che la struttura sottostante può reggere, vale la seguente equazione integrale:
dove : 

P = pressione massima che può essere sopportata
ρ = densità del materiale (7800 Kg/m³)
g = accelerazione di gravità (9,81 m/s²)
A(x) = area della sezione quadrata alla quota generica x
H = altezza massima della torre
x = generica altezza considerata 

Per determinare la funzione incognita A(x) conviene trasformarla in un’equazione differenziale.
Derivando entrambi i membri dell’equazione precedente rispetto ad x si ottiene:
che può essere scritta nella seguente forma:
Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili e si può quindi scrivere come:
Integrando entrambi i membri si ottiene:
dove C è una costante arbitraria, determinabile perché è nota l’area A(0) all’ altezza H.
Ricordando la definizione di logaritmo si ottiene:
Ottenuto il valore di A(x), si noti che l'equazione è un'equazione esponenziale.
A(x) indica come varia la sezione orizzontale al variare dell'altezza e permette di ricavare il profilo della struttura, che può essere descritto dalla funzione del semilato y della sezione al variare della quota, ovvero la funzione:
Come si vede anche dall'immagine (1) la pressione esercitata dal vento sulla struttura è un fattore fondamentale per l'equilibrio del sistema.
Lo studio dei due ricercatori statunitensi ha spiegato anche la relazione tra il fattore del vento e la larghezza della sezione di base che, come già ricordato, Eiffel surdimensionò per avere la certezza che il vento non avrebbe destato problemi di oscillazioni preoccupanti o di crolli della struttura.
Eppure la sagoma della torre Eiffel non è esattamente esponenziale anche se il suo profilo assomiglia a una curva esponenziale decrescente.
Questo proprio perché Eiffel non trascurò la presenza del vento.
La pressione che il vento esercita sulla torre è un fattore molto importante per
l’equilibrio del sistema. Infatti affinché la struttura sia in equilibrio è necessario che la pressione del vento sia controbilanciata dalla tensione tra gli elementi della costruzione.
Questo si traduce in una equazione integrale non lineare le cui soluzioni forniscono precisamente la sagoma della struttura.
Che rappresentata su un diagramma cartesiano appare così:


dove y(0) è il lato di base, pari alla radice quadrata di A(0). Come si vede, somiglia moltissimo al profilo della Torre Eiffel vista di lato! 

Concludo questo "segreto" matematico con una curiosità legata a un altro segreto, questa volta letterario, un racconto tra il fantastico e il reale di Dino Buzzati, "La Tour Eiffel",  contenuto nella raccolta "La boutique del mistero".
Nella trama lo scrittore immagina che la costruzione della Torre Eiffel nasconda un segreto: gli operai non si erano fermati ai 300 metri di altezza circa che si possono ammirare ancora oggi ma erano andati ben più avanti.
Ben più avanti verso il cielo, ma erano stati fermati e obbligati a distruggere gran parte del loro lavoro, da una sorta di opportunità pubblica. 
Il racconto termina con l'esclamazione 'Ah giovinezza' che fa capire che questo racconto non è una semplice rivisitazione moderna del racconto biblico della Torre di Babele, ma è una riflessione sul tempo inutilmente speso nelle vane costruzioni. 
Spesso l'uomo, da giovane, incomincia a costruire la sua vita su pretese inutili senza rendersi conto che spreca solamente tempo.

Doodle del gigante di Mountain View in onore del monumento più famoso di Parigi, in occasione
 del 126° anniversario, il 31 marzo 2015, dalla sua inaugurazione del 31 marzo 1889.
Come nel racconto di Buzzati, il disegno ritrae un gruppo di operai dell’epoca impegnati 
sulla Torre mentre uno dei cavi che assicura i lavoratori forma la scritta Google. 

"Quando lavoravo nella costruzione della Torre Eiffel, quelli sì erano tempi. E non sapevo di essere felice. La costruzione della Torre Eiffel fu una cosa bellissima e molto importante. Oggi voi non potete rendervene conto. Ciò che è oggi la Torre Eiffel ha ben poco a che fare con la realtà di allora. Intanto, le dimensioni. Si è come rattrappita. Io le passo sotto, alzo gli occhi e guardo. Ma stento a riconoscere il mondo dove vissi i più bei giorni della mia vita. 
I turisti entrano nell'ascensore, salgono alla prima terrazza, salgono alla seconda terrazza, esclamano, ridono, prendono fotografie, girano pellicole a colori. Poveracci, non sanno, non potranno mai sapere. Si legge nelle guide che la Torre Eiffel è alta trecento metri, più venti metri dell'antenna radio. Anche i giornali dell'epoca, prima ancora che cominciassero i lavori, dicevano così. E trecento metri al pubblico sembravano già una pazzia. Altro che trecento. Io lavoravo alle officine Runtiron, presso Neuilly. Ero un bravo operaio meccanico. Una sera che mi avviavo per rincasare, mi ferma per strada un signore sui quarant'anni con cilindro. 
«Parlo col signor André Lejeune» mi chiede. «Precisamente» rispondo. «E lei chi è?» «Io sono l'ingegnere Gustavo Eiffel e vorrei farle una proposta. Ma prima dovrei farle vedere una cosa. Questa è la mia carrozza.» Salgo sulla carrozza dell'ingegnere, mi porta a un capannone costruito in un prato della periferia....."
qui continua la storia!

E per chi volesse trascorrere piacevolmente un'ora e mezza circa, ecco il video dell'interessante documentario francese (doppiato in italiano e  andato in onda su RaiStoria l'8 gennaio 2018) "La leggenda della Tour Eiffel" su come fu ideata, progettata e costruita la celebre Torre Eiffel, e che parla anche della travagliata vita del suo progettista e delle vicissitudini e opposizioni subite dalla "dama di ferro" stessa.


Documentario "La leggenda della Tour Eiffel" tempo 1:34:03  
Una docu-fiction di Pascal Laine, per la regia di Simon Brook e la produzione
 di Jeann Pierre Dusseaux - Produzione VAB, Francia, 2005