domenica 21 aprile 2019

Michel Rolle e il vitalizio di Colbert

Michel Rolle, chi era costui? Direbbe Don Abbondio!
I vitalizi, tanto di attualità negativa oggi, esistevano anche del XVII secolo?
Forse non erano dati alla "casta" politica, ma assegnati per merito!
  
Chi alle scuole superiori o all'università ha studiato un po' di Analisi non può certo non ricordare:
"Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b], derivabile in (a,b) e tale che f(a)=f(b),  esiste un punto ξ ∈ (a,b) tale che f′(ξ)= 0"
(nel 1846 Giusto Bellavitis diede il nome di Rolle al teorema)


Michel Rolle (1652-1719) presunto ritratto - Autore sconosciuto
Immagine © Wikipedia

In tutti i testi elementari di analisi matematica infatti si trova dimostrato questo teorema, il teorema di Rolle.
Si tratta dunque di un teorema molto noto che si porta nel programma di Analisi già nell'ultimo anno del Liceo Scientifico e negli esami di Analisi 1 o Matematica 1 delle facoltà scientifiche,  che però, a ben vedere, non nacque per essere applicato a funzioni bensì Rolle trovò il teorema, che oggi porta il suo nome, nel quadro delle ricerche finalizzate ad ottenere un metodo di risoluzione numerica per le equazioni di grado qualsiasi. 
Il suo obiettivo era infatti quello di localizzare le radici di un polinomio p(x), cioè trovare intervalli della retta reale all’interno dei quali si è certi dell’esistenza di una o più radici del polinomio. 
Tant'è che Rolle pubblicò nel 1691 un opuscolo dedicato alla dimostrazione del metodo, la "Démonstration d’une methode pour resoudre les égalitez de tous les dégrez".
Le equazioni considerate da Rolle erano a coefficienti reali ed il metodo era propedeutico al calcolo delle radici reali, mentre un’estensione al caso complesso fu enunciata molto tempo dopo da Gauss, nel 1816.




Ma lasciamo stare il Teorema di Rolle e vediamo invece un'altra curiosità, forse meno conosciuta, ma sempre legata al grande matematico francese.
Dalla sua biografia leggiamo che Michel Rolle (Ambert, 21 aprile 1652 – Parigi, 8 novembre 1719) era figlio di un mercante e che ricevette solo un'istruzione molto elementare, lavorando prima come trascrittore per un notaio e poi per vari avvocati nella sua regione natale, l'Alvernia. 
All'età di ventitré anni si trasferì a Parigi, sposato presto e gravato di una famiglia, aveva però difficoltà a guadagnare abbastanza soldi come maestro, scriba e inventore. 
Dotato comunque di genialità e avendo imparato da autodidatta l'analisi algebrica e diofantea, nel 1682 pose fine alle difficoltà economiche, perché ottenne un vitalizio da Jean-Baptiste Colbert per aver risolto uno dei problemi di Jacques Ozanam

"Trouver quatre nombres tels que la différence de deux quelconques fait un quarré et que la somme des deux quelconques des trois premiers soit encore un quarré"

Il problema posto da Ozanam era quello di trovare una super quadrupla a, b, c, d, vale a dire nel trovare quattro numeri tali che la differenza di due qualunque di essi fosse un quadrato perfetto e la somma di due qualunque dei primi tre fosse anch’essa un quadrato perfetto.



Oggi la risoluzione formale utilizza funzioni ellittiche
Immagine © Gerard Villemin

Anche se Ozanam aveva affermato che tali numeri, molto rari, avrebbero potuto essere formati da almeno 50 cifre e che imporre una somma quadrata fosse una vera sfida, Michel Rolle trovò una tale quadrupla, i cui quattro numeri avevano sette cifre e nel "Journal des sçavans", il 31 agosto 1682, venne pubblicata un'elegante soluzione al difficile problema posto pubblicamente da Ozanam.
Nell'articolo dal titolo "PROBLEME RESOLU PAR LE SIEUR Rolle professeur d'arithmetiquesi fornisce una delle soluzioni date da Rolle, in cui i quattro numeri sono espressi da polinomi omogenei in due variabili e di grado venti, le cui radici vengono determinate attraverso il suo metodo a cascata.


Articolo (pag.285) del "Journal des sçavans" del 31 agosto 1682 

I numeri trovati in questo modo hanno appunto solo sette cifre e Rolle specifica che la quadrupla è quindi formata dai seguenti 4 numeri:

2.399.057
2.288.168
1.873.432
6.560.657

Come si vede dalla copia digitale (in Gallica) del giornale dell'anno 1682 si tratta di un breve articolo che inizia alla fine di pag 284 e finisce all'inizio di pag 286, ed è collocato tra un articolo sull'"ELOQUIENTIAE FORENSIS..." e uno "DE L'AME DES PLANTES...".

Fatto sta che questo brillante exploit portò a Rolle un riconoscimento pubblico e il vitalizio ricevuto da Colbert gli diede la possibilità di proseguire nei suoi studi matematici, di pubblicare le sue scoperte e di ricevere vari incarichi. 
Rolle in seguito godette del patrocinio del ministro Louvois, lavorò come insegnante di matematica elementare, ed ebbe anche un incarico amministrativo a breve termine nel Ministero della Guerra. Nel 1685 si unì all'Académie des Sciences in una posizione di livello molto basso per il quale non ricevette uno stipendio regolare fino al 1699, quando Rolle fu promosso ad una posizione salariata nell'Academia, divenendo "pensionnaire géometre", posto ambito dato che solo 20 dei 70 membri dell'Accademia, erano pagati.
Tra gli accademici di spicco, come "pensionnaire géometre", c'erano oltre a Rolle, l'abate Jean Gallois, un sostenitore della matematica greca, Pierre Varignon, che caldeggiò le idee di Leibniz. e Guillaume François Antoine de L'Hospital, un accademico onorario, che nel 1696 aveva pubblicato "Analyze des infiniment petits". 
Sebbene fosse la sua abilità nell'analisi diofantea a rendere la reputazione di Rolle, la sua area preferita era l'algebra delle equazioni, di cui pubblicò nel 1690 il "Traité d'algèbre", la sua opera più famosa.




Rolle osteggiò in un primo tempo l'analisi infinitesimale, per cui anche l'Accademia era molto divisa, ma nell'autunno del 1706 riconobbe pienamente a Varignon, Fontenelle e Malebranche, il valore delle nuove teorie infinitesimali.
Resterà a l'Académie des Sciences di Parigi fino alla morte avvenuta, dopo un secondo ictus (nel 1708 subì un primo attacco di apoplessia) l'8 novembre 1719. 
Si spegneva così all'età di 67 anni, l'abile algebrista che rompeva con le tecniche cartesiane e che nonostante la sua posizione critica ai metodi infinitesimali ne fu un valido interprete e futuro protagonista.


lunedì 8 aprile 2019

I quadrati magici tra matematica, arte e leggenda

"Capire tu mi devi!
Di Un fai Dieci, getta via il Due,
uguaglia il Tre, e sarai ricco.
Che crepi il Quattro!
Di Cinque e Sei, dice la strega, fai Sette e Otto.
È tutto fatto. Se Nove è Uno, Dieci è nessuno.
Questa è la tabellina della strega!" 
(Johann Wolfgang von Goethe)¹ 

Cosa c'è di così magico nel Quadrato Magico?
I quadrati magici sono chiamati "magici" perché ogni riga, colonna e diagonale nel quadrato ha la stessa somma, chiamata la costante magica, dove somma è il termine che usiamo per definire l'operazione di addizione dei numeri nel quadrato.
"Panquadrato" 64x64 di Ugo Adriano Graziotti - 1983

Prima di addentrarmi nella spiegazione da un punto di vista strettamente matematico racconterò un po' di storia e mi soffermerò a parlare di tre curiosi quadrati: il quadrato magico di Lo Shu,  quello non proprio magico della Sagrata Familia, per concludere con il Panquadrato di Adriano Graziotti.

I quadrati magici hanno una storia molto antica e già gli antichi Cinesi, intorno al 650 a.C., conoscevano l’unico quadrato di ordine 3, che chiamarono Lo Shu.




Il quadrato magico "Lo Shu"

Secondo un'antica leggenda cinese, si dice che il primo quadrato magico sia stato trovato sul dorso di una tartaruga e questa storia è la prima documentazione scritta di un quadrato magico.. 
Questa leggenda risale al 650 a.C., ai tempi delle grandi inondazioni in Cina, secondo la quale la disastrosa piena del fiume Lo, causata dall’ira dal dio del fiume contro la popolazione, ebbe fine solo con la comparsa di una tartaruga.
Racconta che un giorno l'imperatore Yu (夏禹), che camminava lungo il fiume Lo (洛河), notò una tartaruga che usciva dall'acqua con strani segni sul dorso e, dopo un attento esame, scoprì che i segni rappresentavano dei numeri, e che il modello formava un quadrato magico.
La tartaruga che emerse dal fiume aveva infatti un insolito motivo 3 x 3 sul suo guscio che in seguito divenne la base del "Lo Shu Square", una griglia matematica in cui la somma dei numeri di ogni riga, colonna o diagonale è la stessa. 
Indipendentemente dalla direzione in cui si considerano i numeri, orizzontale, verticale o diagonale, la loro somma porta sempre a 15.
Lu rimase sbalordito e decise di chiamare la tartaruga "Lo Shu". "Lo" è il nome del fiume e "Shu" significa libro, testo o pergamena, quindi il nome può essere tradotto come "Il libro del fiume Lo". 



Il numero 15 è considerato un numero potente perché corrisponde al numero di giorni in ciascuno dei 24 cicli dell'anno solare cinese. In altre parole, è il numero di giorni nel ciclo della luna nuova fino alla luna piena.
Il "Lo (Luo) Shu Square", a volte chiamato il Magic Square, è anche alla base dell'antica astrologia del Feng Shui , della scuola di Xuan Kong Fei Xing , così come dell'I-Ching.  
Come si vede dall'immagine, nel "Lo Shu Square" il numero 5 è al centro, con numeri dispari e pari che si alternano alla sua periferia.



I quattro numeri pari - 2,4,6,8 - sono ai quattro angoli del quadrato, mentre i cinque dispari - 1,3,5,7,9 - formano una croce al centro, intorno al numero 5 (五wu) che richiama i 5 elementi che, secondo la tradizione, compongono l’universo (acqua, metallo, legno, fuoco e terra). 
I numeri dispari, simboli di luce, trasportano l'energia Yang, e i numeri pari, simboli di ombra, quella Yin, quindi nel "Lo Shu Square" i numeri Yin e Yang si alternano attorno al suo numero centrale 5.
I numeri nel "Lo Shu Square" sono un'espressione di energie specifiche e a loro vengono attribuite proprietà specifiche. 
Ad esempio, il numero 9 (九jiu) suona come la parola eternità. Gli antichi cinesi consideravano il 9 l’ultimo numero degli uomini dal momento che i numeri dal 10 in poi appartenevano al cielo. Per questo il nove fu in età imperiale un numero ad uso esclusivo dell’imperatore: le stanze della città proibita (la residenza dell’Imperatore a Pechino) sono proprio 9.999. mentre il numero 1 (一 yi) rappresenta l’onore, la leadership e lo sviluppo permanente.
La numerologia cinese trova infatti le sue radici nella tradizione taoista ed è chiaramente spiegata nel Classico dei Mutamenti, I Ching o Yi Jing (易經 Yìjīng), un antico testo di divinazione cinese e il più antico del classici cinesi, uno dei 5 classici confuciani su cui si basa la cultura tradizionale cinese. 
Tradizione che considera appunto i numeri dispari simboli di luce e uomo (yang) e i numeri pari di ombra e femmina (yin).²
La configurazione del "Lo Shu Square" era considerata comunque simbolo di armonia ed era un modello importante per il tempo e lo spazio e serviva da base per la pianificazione della città, la progettazione di tombe e di templi. Il quadrato magico è stato usato per designare gli spazi di importanza politica e religiosa. 


Il quadrato magico Lo Shu sul retro di una piccola tartaruga (al centro), circondata dai segni dello zodiaco 
cinese e dagli otto trigrammi, tutti portati da una grande tartaruga (che, presumibilmente, rappresenta
 il cavallo del Drago che in precedenza aveva rivelato i trigrammi di Fu Xi). 
Disegnato da un anonimo artista tibetano.

Se vogliamo definire  più rigorosamente un quadrato magico allora possiamo considerarlo come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia, che si calcola con la formula:

M(n) = ½ n (n² + 1)

Allora il nostro quadrato magico "Lo Shu" può definirsi come una matrice quadrata di numeri interi positivi di ordine n = 3, la cui costante di magia vale:

M(3) = ½ ∙ 3 (3² + 1) = 3/2 ∙ 10 = 15



Script originale di Shams al-Ma'arif

Breve storia

Noti anche in India e in Persia, i quadrati magici giunsero in Europa relativamente tardi, attraverso la traduzione di fonti arabe, prima dalle opere del filosofo ed astrologo ebreo Abraham ben Meir ibn Ezra (ca. 1090–1167), che potrebbe essere stato uno dei primi pionieri dell’introduzione dei quadrati magici in Europa e poi, come elementi occulti, nel Rinascimento.
Abraham ben Meir tradusse infatti molte opere dall’arabo in ebraico e dalla Spagna, dove visse a Granada, giunse in Italia con molti viaggi diffondendo così le sue opere anche relative ai quadrati magici. 
La vera riscoperta dei quadrati magici in Europa avvenne però nel Quattrocento, con lo sviluppo in Italia del neoplatonismo rinascimentale, periodo in cui la teoria generale dovette essere riscoperta indipendentemente dai precedenti sviluppi in Cina, India e Medio Oriente.
Le correnti numerologiche sfociarono in una rinascita degli studi matematici, persino in persone lontane da tentazioni occultistiche, come Luca Pacioli (1445 - 1517), che tuttavia chiamò “divina” la famosa proporzione


Sator³ esempio di quadrato magico letterale
Paracelso lo considerava un talismano erotico e  Girolamo Cardano 
nel suo "De rerum variegate", un rimedio contro la rabbia
Il Sator di Capestrano che risale al VIII sec. d.C. è una incisione (misteriosamente) rovesciata 
su una lastra infissa a circa due metri da terra nella facciata della chiesa romanica
 di San Pietro ad Oratorium di Capestrano

Pacioli si occupò di quadrati magici, nel manoscritto "De viribus quantitatis", redatto  presumibilmente tra il 1496 e il 1508, dove associò i diversi quadrati magici ai pianeti allora conosciuti, secondo una tradizione già iniziata prima del loro arrivo in Europa. 
Un vero e proprio "mago" rinascimentale fu il medico, algebrista, inventore e astrologo pavese Girolamo Cardano (1501 - 1576), e il "mago" d'oltralpe Cornelio Agrippa di Nettesheim (1486–1535) che nell’edizione del 1533 della sua opera "De Occulta Philosophia" descrive i quadrati magici nel secondo libro, dedicato alla magia celeste, cioè al potere delle stelle e dei pianeti. 




Di ogni quadrato magico, Agrippa fornisce la descrizione in chiave planetaria, secondo il seguente schema:
Ordine 3: quadrato di Saturno
Ordine 4: quadrato di Giove
Ordine 5: quadrato di Marte
Ordine 6: quadrato del Sole
Ordine 7: quadrato di Venere
Ordine 8: quadrato di Mercurio
Ordine 9: quadrato della Luna.

Sempre di questo periodo rinascimentale è il famoso quadrato magico 4x4 che Albrecht Dürer  (1471 - 1528) immortalò nel 1514 nella sua incisione Melencolia I, che si crede essere il primo visto nell'arte europea. 
Su questo però non mi soffermerò, avendone già parlato in un precedente articolo completamente dedicato al grande artista "Albrecht Dürer, dalla magia alla matematica" (di cui lascio qui il link per la curiosità del lettore). preferendo invece parlare di uno più discusso recentemente, sempre 4x4, quello posto sulla facciata della Passione della Sagrada Família a Barcellona. 



Il quadrato di Subirachs 
sulla facciata della Passione della Sagrada Família³ a Barcellona

Il quadrato "non magico" di Subirachs 

La facciata della Passione della Sagrada Família⁴ a Barcellona, ideata da Antoni Gaudí (1852 - 1926) e progettata dallo scultore Josep Subirachs (1927 - 2014), presenta un quadrato 4 × 4 la cui costante è 33, l'età di Gesù al tempo della Passione. 
Strutturalmente, è molto simile al quadrato magico in Melancholia 1 di Albrecht Dürer, ma riporta i numeri in quattro delle celle ridotti di 1


Parallelo tra il quadrato di  Josep Subirachs e quello del Albrecht Dürer

E' facile anche notare che pur avendo lo stesso schema di sommatoria, questo non è un vero quadrato magico (non è un quadrato magico normale) perché non rispetta la regola che un quadrato magico n x n debba contenere ciascuno degli interi positivi da 1 a n². dato che due numeri (10 e 14) sono duplicati e due (12 e 16) sono assenti. 
Subirachs prese il quadrato magico dall'incisione del pittore tedesco Albrecht Dürer, Melencolia I , e lo adattò, ripetendo i numeri 14 e 10 invece di 12 e 16, per arrivare fino a 33, l'età in cui si ritiene tradizionalmente che Gesù sia stato giustiziato. 
Tradizionalmente creduto perché, storicamente, questo non è mai stato confermato, tuttavia è vero che 33 è anche un numero simbolico, e non del tutto casuale, basato sull'importanza del numero 3 nel mondo cristiano, come simbolo della trinità.
Inoltre, nel quadrato della Sagrada Familia, c'è anche una sorta di firma subliminale nascosta. Sommando i numeri che si ripetono e guardando la loro corrispondenza nell'alfabeto romano, otteniamo le iniziali INRI, l'acronimo che significa Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum (Gesù di Nazareth, re degli ebrei) ed è il segno che Ponzio Pilato scrisse sulla croce di Gesù e qui, la sua firma.
I numeri che compaiono due volte sono infatti 10 e 14 e la loro somma è 10+10+14+14 = 48.
Ma 48 è anche la somma delle lettere della parola INRI (nell'alfabeto latino).
INRI = 9+13+17+9 = 48.




Dopo i brevi cenni storici e dopo aver parlato di questi due quadrati, magici e non, per soddisfare la curiosità lascio alcune considerazioni matematiche legate a questi quadrati (altre e più dettagliate potreste trovarle qui).

Alcune considerazioni matematiche sul Quadrato Magico

Un quadrato magico è una disposizione di numeri interi in forma di tabella quadrata in cui siano rispettate due condizioni:
- i valori siano tutti distinti tra loro 
- la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna, e in entrambe le diagonali, dia sempre lo stesso risultato, denominato "costante di magia" del quadrato (o "costante magica", o "somma magica"). 
In matematica, una tabella di questo tipo è detta matrice quadrata. In modo analogo a quanto avviene con queste ultime, il numero di righe (o di colonne) è detto "ordine" del quadrato magico.
Quindi possiamo definire più rigorosamente un quadrato magico come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia.

Costante di magia 

La costante che è la somma di qualsiasi riga, colonna o diagonale è chiamata "costante magica" o "somma magica", M. 
Ogni quadrato magico normale ha una costante dipendente dall'ordine n, calcolato dalla formula:



Questa può essere dimostrata notando che la somma di 1+2+...+n² è n²(n² +1)/2
Poiché la somma di ogni riga è M, la somma delle somme di riga è nM = n²(n² +1)/2, che diviso per l'ordine n produce la costante magica. 
Per i normali quadrati magici di ordine n = 3, 4, 5, 6, 7 e 8, le costanti magici sono, rispettivamente: M = 15, 34, 65, 111, 175, e 260 (sequenza A006003 in OEIS ). 

Proprietà

- Il quadrato magico di ordine 1 è banale 



Il quadrato magico 1 × 1, con una sola cella contenente il numero 1, è chiamato banale , perché tipicamente non viene preso in considerazione quando si discutono i quadrati magici; ma è effettivamente un quadrato magico per definizione, se consideriamo una singola cella come un quadrato di ordine uno.

- Il quadrato magico di ordine 2 non può essere costruito 


I normali quadrati magici di tutte le dimensioni possono essere costruiti ad eccezione di 2 × 2 (cioè, dove l'ordine n = 2).

Numero di quadrati magici di un dato ordine 
Escludendo rotazioni e riflessioni, quante configurazioni hanno i quadrati magici?

- 1 sola configurazione del quadrato magico 3 × 3
Del quadrato magico di ordine 3 [M(3)=15] è possibile una sola configurazione. Eccone un esempio (ruotato rispetto al "Lo Shu"):

- 880 configurazioni del quadrato magico 4 x 4 
Del quadrato magico di ordine 4 [M(4)=34] sono possibili 880 configurazioni diverse senza rotazione o riflessione, come stabilì per primo Frénicle de Bessy nel 1693. Ecco un esempio  molto simile al famoso quadrato magico del Durer (le due colonne centrali sono state invertite)



- 275.305.224 configurazioni dei quadrato magico 5 x 5
Del quadrato magico di ordine 5 [M(5)=65] sono possibili 275.305.224 configurazioni diverse, come stabilito da R. Schroeppel nel 1973 con l’ausilio del computer. Eccone un esempio:



- Per il caso 6 × 6, si stima che siano circa 1,8 × 10^19 configurazioni, come stabilito statisticamente da Pinn e Wieczerkowski nel 1998. Eccone un esempio: 



- Per il caso n?
Non è stata determinata la regola che consenta di stabilire il numero di quadrati magici di un qualsiasi ordine n.


Alcune trasformazioni che preservano la proprietà magica
(altre trasformazioni più dettagliate qui

- Ciascun quadrato magico rimane magico se ruotato di 90°, 180° o 270° gradi, oppure se viene riflesso rispetto all’asse orizzontale, verticale e a ciascuna delle sue diagonali.

- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri sono moltiplicati per qualsiasi numero fisso k e avrà come costante magica kM(n)
Nell'esempio seguente gli elementi del quadrato di sinistra (M(4)=34) sono stati raddoppiati nel quadrato di destra (M(4)=68):



- Se aggiungiamo o sottraiamo la stessa quantità q a ciascun numero di un quadrato magico, otteniamo di nuovo un quadrato magico. Un quadrato magico normale a cui abbiamo aggiunto o sottratto q ha costante magica M(n) + nq o M(n) - nq.
Nell'esempio seguente a ogni elemento del quadrato magico normale di sinistra è stato aggiunto q=3 e quindi la costante magica del quadrato di sinistra risulta M(4)=34+4x3=46



- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri vengono aggiunti o sottratti da qualsiasi numero fisso. In particolare, se ogni elemento in un quadrato magico normale viene sottratto da n² + 1, otteniamo il complemento del quadrato originale. Nell'esempio seguente, gli elementi del quadrato 4 × 4 a sinistra (M(4)=34) vengono sottratti da 17 (4²+1) per ottenere il complemento del quadrato a destra (M(4)=34) 



Il Panquadrato di Adriano Graziotti

Concludo questo breve excursus sui quadrati magici, che per secoli hanno affascinato matematici e artisti, parlando dell'opera che ho usato per aprire questo post.
Si tratta del "Panquadrato" un'opera molto intrigante del matematico, pittore e scultore italiano Ugo Adriano Graziotti (1912 - 2000), che è considerato il più grande quadrato magico ed è entrato, a buon diritto nei Guinnes dei primati.


Dettaglio del Panquadrato di Graziotti

E' un quadrato magico di ordine 64 che comprende tutti i numeri naturali da 1 a 4096 e la cui costante magica è: 

M(64) = ½ ∙ 64(64² + 1) = 32 ∙ 4097 = 131.104

Oltre a risultare dalla somma dei numeri delle righe, colonne e diagonali, la costante magica 131 104, è data anche dalla somma dei numeri che compongono le raffigurazioni simmetricamente distribuite nel quadrato: 4 labirinti, 4 semidiagonali, 4 greche, 4 vampiri e i 2 bracci della croce centrale. 
Si ottengono cosi 18 "sottoquadrati" aventi la stessa costante del quadrato principale. 
Il numero 87, nell'ultima casella in basso a destra, è la criptica firma dell'artista: infatti le iniziali "H" e "G" di Hadrianus Graziotti corrispondono rispettivamente all'ottava e settima lettera dell'alfabeto. Il numero accanto, 2736, è l'anno di esecuzione del quadrato secondo il calendario dell'antica Roma: esso è dato dalla somma di 1983, anno di composizione del lavoro, e 753 a.C., anno della fondazione dell'Urbe. 
Complesso da descrivere, davvero geniale da concepire rientra tra le opere che l'artista dedicò alla sua passione matematica, e quello dei quadrati magici fu uno dei temi di ricerca sulla arcaica scienza che più appassionò Graziotti. 



Note

¹Filastrocca dell'Antro della Strega che possiamo leggere nel Faust, il celeberrimo poema dello scrittore tedesco Johann Wolfgang von Goethe. 
Questa filastrocca si presta ad una interpretazione matematica e può essere letta infatti come un algoritmo per costruire un quadrato magico a partire dai numeri naturali da 1 a 9.
La filastrocca in tedesco recita: 
"Du mußt verstehn!
Aus Eins mach’ Zehn, Und Zwei laß gehn,
Und Drei mach’ gleich, So bist Du reich.
Verlier’ die Vier!
Aus Fünf und Sechs, So sagt die Hex’, Mach’ Sieben und Acht,
So ist’s vollbracht. Und Neun ist Eins, Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexen-Einmal-Eins!"

² Istituto Confucio dell'Università di Torino 

³ Il Sator è un’iscrizione in latino, che appaia come lapide o come graffito, apparentemente semplice ed elegante, fatta di lettere anziché di numeri, una lastra di pietra su cui sono incise cinque parole latine di cinque lettere ciascuna che formano una frase palindroma "Sator Arepo Tenet Opera Rotas", leggibili in direzioni orizzontali e verticali (manca la direzione obliqua presente dei quadrati magici numerici). 
Il testo, ancora oggi senza una chiara spiegazione, significa "Il seminatore sul carro conduce con cura le ruote".
Ma il motto racchiude in sé molte particolarità. Innanzi tutto: la terza parola, TENET, è palindroma, ossia può essere letta in entrambi i sensi. Inoltre se prendiamo la frase nella sua interezza anch’essa risulta sorprendentemente palindroma. Partendo dall’ultima parola: ROTAS, letta al contrario risulta SATOR, come la prima. La penultima, OPERA, risulta AREPO, come la seconda, e così via. 
Il quadrato Sator forse più antico è il quadrato scoperto a Pompei nel 1936 dall’archeologo ed epigrafista italiano Matteo Della Corte, 
Il Sator è anche detto Latercolo pompeiano proprio perché i due più antichi esemplari ad oggi noti emersero in Italia, appunto negli scavi di Pompei, città sepolta dall’eruzione del Vesuvio nel 79 d.C., anche se molti altri vennero collocati su chiese ed edifici soprattutto fra il 1000 e il 1800 e sono visibili su un numero sorprendentemente vasto di reperti archeologici.
Altre curiosità esoteriche e religiose qui

⁴ La Sagrada Família, nome completo in lingua catalana Temple Expiatori de la Sagrada Família (Tempio espiatorio della Sacra Famiglia) di Barcellona, Catalogna (Spagna) è il capolavoro di Antoni Gaudí, architetto catalano, definito l'architetto di Dio.
Nel 1866 nacque l'Associació Espiritual de Devots de Sant Josep (Associazione spirituale dei devoti di San Giuseppe), con l'intento di promuovere la fabbricazione di un tempio dedicato alla Sacra Famiglia. Tramite le donazioni che riceveva, l'associazione comprò il terreno su cui ora sorge la chiesa nel 1881 e in seguito si apprestò alla costruzione.
L'incarico fu affidato ad Antoni Gaudí nel 1884. Egli lavorò al progetto e seguì i lavori di costruzione per oltre 40 anni, dedicando completamente a questa impresa gli ultimi 15 della sua vita.
Dal 1940 gli architetti Francesco Quintana, Puig Boada, e Lluis Gari hanno portato avanti i lavori. Le sculture di J. Busquets e del controverso ma possente Josep Subirachs decorano le fantastiche facciate.
La costruzione della chiesa è tutt'oggi finanziata dalle donazioni all'associazione e i lavori procedono lentamente, anche a causa delle difficoltà del progetto. Numerosi edifici circostanti dovrebbero essere abbattuti per far posto alla scalinata principale.
La Sagrada Familia non è stata ancora finita e i responsabili assicurano che sarà terminata nel 2026 e si prevede che al suo completamento possa essere la più grande basilica del mondo.


Fonti
https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
https://www.thespruce.com/feng-shui-magic-of-the-lo-shu-square-1274879
https://it.wikipedia.org/wiki/Sagrada_Fam%C3%ADlia

venerdì 1 febbraio 2019

Alicia Boole...dai politopi ai numeri politopici

"...voi che potete "vederlo" per davvero, un angolo, e contemplare l'intiera circonferenza di un Circolo nella beata regione delle Tre Dimensioni... come potrò mai render chiara a voi l'estrema difficoltà che incontriamo noi, in Flatlandia, per riconoscere le nostre rispettive configurazioni?" 
(Edwin Abbott Abbott, Flatlandia, Adelphi, 1998)

Premettendo che politopo non ha nulla a che vedere con i topi, questo simpatico termine, derivato dall’aggettivo greco πολύς cioè "molto" e τόπος cioè "luogo", mi dà anche l'occasione per parlare dei numeri politopici e di una matematica, Alicia Boole. 


"Alcuni cerchi" di Vassily Kandinsky, 1926
Nella terna di forme primarie (triangolo, quadrato, cerchio), il cerchio è l'indicazione più chiara 
per la quarta dimensione.

In matematica, un numero figurato è un numero intero che può essere rappresentato mediante uno schema geometrico e regolare.
Orbene intendendo per politopo d-dimensionale o d-politopo l'analogo di un poligono nel piano (d=2) e di un poliedro nello spazio usuale (d=3) generalizzato ad uno spazio euclideo reale, se lo schema è un politopo si ha un numero politopico. 
Più semplicemente dato che i poligoni si possono quindi anche chiamare 2-politopi e i poliedri 3-politopi, quindi un numero 2-politopico o poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare e un numero 3-politopico o poliedrico è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poliedro regolare.


Numeri 2-politopici esagonali ©Mauro Fiorentini
Numeri 3-politopici dodecaedrici ©Mauro Fiorentini

Prendendo come primo esempio quello dei numeri triangolari possiamo quindi definire:
"un numero triangolare Tn è un numero figurato che può essere rappresentato sotto forma di una griglia triangolare equilatera di elementi tale che ogni riga successiva contiene un elemento in più del precedente."
Più semplicemente, i numeri triangolari sono i numeri di palline che si possono disporre a triangolo e i numeri triangolari centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a costituire triangoli uno intorno all’altro intorno a una pallina centrale.



Immagini ©Mauro Fiorentini

Elenco di numeri triangolari :
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120,136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431....

Non esiste limite alle categorie che possono essere definite mediante figure, esattamente come non esiste limite al modo di disporre palline sul piano o nello spazio: si può partire dai poligoni regolari, per arrivare a rettangoli sormontati da un triangolo o da un ettagono. 

Numeri 2-politopici stellari ©Mauro Fiorentini

Considerando i numeri politopici che corrispondono a forme con un alto grado di simmetria si ha:
in due dimensioni, ovvero 2-politopici, esistono tre categorie:
- i numeri poligonali, corrispondenti ai poligoni regolari
- i numeri poligonali centrati, corrispondenti ai poligoni regolari
- i numeri stellari.


in tre dimensioni, ovvero 3-politopici, abbiamo:
- i numeri platonici, corrispondenti ai cinque solidi platonici (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro)
- i numeri platonici centrati, corrispondenti ai cinque solidi platonici
- i numeri tetraedrici troncati
- i numeri ottaedrici troncati
- i numeri dodecaedro-rombici
- i numeri dodecaedro-rombici di Haüy
- i numeri piramidali (II)
- i numeri piramidali centrati
- i numeri stella octangula

Numeri 3-politopici a stella octangula ©Mauro Fiorentini

Il concetto di numeri n-politopici può essere esteso a più dimensioni, anche se è alquanto difficile figurarseli!
In 4 dimensioni vi sono 6 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante categorie di 4-politopici:
- ipertetraedrici a 4 dimensioni
- ipercubici a 4 dimensioni
- iperottaedrici a 4 dimensioni
- 24-cella 
- 120-cella 
- 600-cella 

In 5 o più dimensioni vi sono solo 3 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante sequenze di numeri 5-politopici:
- ipertetraedrici a 5 dimensioni
- ipercubici a 5 dimensioni
- iperottaedrici a 5 dimensioni

Vorrei ricordare a questo punto che il termine politopo o meglio n-politopo, per definire uno spazio matematico a n dimensioni,  è stato coniato da Alicia Boole, la figlia di George Boole, il fondatore della logica matematica.


Alicia Boole Stott e i suoi politopi conservati all'Università di Groningen in Olanda

Alicia Boole, nata a Cork in Irlanda l'8 giugno 1860, era infatti la terza figlia di George Boole e di Mary Everest.
La mamma Mary, nata a Gloucester, in Inghilterra, colta e appassionata di matematica anche lei come il marito George, era nipote di quel Sir George Everest (1790-1866), matematico, geometra e cartografo, che eseguì un importante studio trigonometrico in India, Great Trigonometrical Survey, per cui in suo onore la Royal Geographical Society nel 1865 diede il suo nome al "Cima XV", la cima più alta del mondo (29.029 piedi, cioè 8.848 metri), nota appunto con questo nome. 
Mary, vissuta prima in Francia, rientrò in Inghilterra e alla morte del padre sposò il suo istitutore George Boole nel 1855. Andarono a vivere a Castle Road, vicino a Cork, in Irlanda ed ebbero cinque figlie destinate a essere ricordate nel mondo della cultura e soprattutto in ambito matematico.
La prima Mary Ellen Boole (1856-1900) sposò il matematico e scrittore Charles Howard Hinton (1853-1907), la seconda Margaret Boole (1858-1935) sposò Edward Taylor, uno dei padri fondatori dell'antropologia moderna, e fu la madre del fisico/matematico Geoffrey Ingram Taylor, Alicia Boole, la terza appunto conosciuta dai suoi amici come Alice è la matematica di cui parlerò, la quarta Lucy Everest Boole (1862-1905) divenne farmacista e la prima donna ad essere eletta membro dell'Institute of Chemistry, e l'ultima Ethel Lilian Boole (1864-1960) sposò Wilfrid Michael Voynich e divenne una nota scrittrice.
Curioso notare che Wilfrid Michael Voynich fu un rivoluzionario polacco, antiquario e bibliofilo, l'eponimo del manoscritto Voynich, di cui ho parlato nell'articolo sul numero primo di Belphagor, il numero 100000000000000666000000000000001. 
Questo intrigante primo palindromo, che ha un 1 per ogni estremità, 666, il numero della bestia nel mezzo e tredici zeri su ciascun lato che separa il 666 dalle unità, ha come simbolo una sorta di π invertito, che viene proprio dal famoso e contestato manoscritto Voynich.  


Foto di famiglia con Alicia in alto al centro ©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
Da sinistra a destra, dall'alto verso il basso: 
Margaret Taylor, Ethel L. Voynich, Alicia Boole Stott, Lucy E. Boole, Mary E. Hinton, Julian Taylor, 
Mary Stott, Mary Everest Boole, George Hinton, Geoffrey Ingram Taylor, Leonard Stott.

George Boole morì quando Alicia aveva solo quattro anni e, incapace di mantenersi senza un marito, la sua vedova Mary lasciò l'Irlanda con quattro delle sue cinque figlie per vivere a Londra. 
Lì divenne bibliotecaria al Queen's College, il primo college femminile in Inghilterra, e usò la sua conoscenza della matematica e dei metodi di insegnamento per agire come tutor non ufficiale per le studentesse. 
Tuttavia l'unica figlia che lasciò a Cork fu proprio Alicia, che fu allevata in parte da sua nonna, in parte dal suo prozio, e furono anni in cui si sentiva repressa e infelice, finché, a undici anni, andò a Londra, dove si unì a sua madre e alle sue sorelle. 
Anche se Alicia non ebbe un'istruzione formale, la matematica le fu insegnata da sua madre Mary. 
Questo non fu certo un insegnamento convenzionale in quanto Mary aveva le sue idee sull'insegnamento in generale e sull'insegnamento della matematica in particolare. 
Inoltre fu assistita in questa sua formazione matematica  anche dal cognato Charles Howard Hinton, che svolse un ruolo importante.
Hinton studioso dei metodi di visualizzazione geometrica delle dimensioni superiori, nonché di teosofia, e scrittore di romanzi scientifici, contribuì certo fortemente alle sue successive ideazioni degli n-politopi. 
Come nota di gossip ricordo che il "poliedrico" pensatore Charles Howard Hinton fu condannato per bigamia dopo aver sposato, oltre alla sorella Mary Ellen nel 1880, anche Maud Florence nel 1883.
Howard Hinton pubblicò il libro "Una nuova era di pensiero"  di cui Alicia Boole scrisse parte della prefazione e anche alcuni dei capitoli sulle sezioni dei solidi tridimensionali e la sua distribuzione fu promossa dalla stessa Alicia in quanto Hinton era andato con Mary Ellen in Giappone, dopo la sua condanna per bigamia. 
Alicia riuscì a dimostrare che esistono solo sei politopi regolari nella quarta dimensione e questi politopi erano stati elencati per la prima volta da Schläfli nel 1850 nel trattato che fu pubblicato nel 1901 dopo la sua morte.
I sei politopi regolari sono: l’ipercubo (o iperesaedro), l’ipertetraedro, l’iperottaedro, il 24-celle, il 120-celle ed il 600-celle.


I modelli di Alicia Boole Stott all'Università di Groningen in Olanda ©Museo universitario di Groningen 

Curiosa la descrizione di Geoffrey Taylor su come Alicia abbia scoperto i sei politopi regolari su quattro dimensioni:

"Il metodo di scoperta di Alice era tipicamente quello di una dilettante. Ha iniziato notando che un angolo in una normale figura quadridimensionale delimitata da tetraedri, per esempio, può avere solo 4 , 8 o 20 di essi che si incontrano in un punto perché una sezione di spazio tridimensionale vicino all'angolo in una posizione simmetrica poteva essere solo un tetraedro, un ottaedro o un icosaedro. Poi ha tracciato, usando solo la costruzione di Euclide, il progresso della sezione mentre la figura quadridimensionale passava attraverso il nostro spazio tridimensionale. In questo modo Alice, utilizzando solo le costruzioni di Euclide, ha prodotto sezioni di tutti e sei i politopi regolari."


Alicia Boole insieme a Pieter Hendrik Schoute  ©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
Da sinistra a destra, dall'alto verso il basso: 
Mary Stott, GI Taylor, Margaret Taylor, PH Schoute, A. Boole Stott 

Dopo il matrimonio con Walter Stott nel 1890 e la nascita di due figli, Mary e Leonard, condusse una vita di sacrifici e privazioni, ma non abbandonò mai i suoi studi e le sue ricerche sui politopi, tanto da interessare e stupire il matematico olandese Pieter Hendrik Schoute con il quale venne in contatto e a cui inviò le fotografie dei suoi modelli di cartone e legno per rappresentare le sezioni tridimensionali di solidi regolari convessi quadridimensionali, che lei appunto aveva chiamato politopi.
Fu così che Schoute studiò la geometria euclidea a più di 3 dimensioni, scrivendo 28 tavole, in collaborazione con Alicia Boole Stott che, proprio con le sue ricerche sui politopi regolari, generalizzò il concetto di poliedri regolari.
Schoute lavorò con Alicia per quasi 20 anni, persuadendola a pubblicare i suoi risultati che poi fece con due articoli pubblicati ad Amsterdam, "On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids" (1900) e "Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings" (1910), da cui si comprende che è stata la prima matematica a enumerare e descrivere tutti i 45 politipi semiregolari.
Scrisse anche tre documenti insieme a Schoute , ovvero "On Models of 3-dimensional sections of regular hypersolids in space of 4 dimensions" (1907), "On the sections of a block of eight-cells by a space rotating about a plane" (1908), e "Over wederkeerigheid in verband met halfregelmatige polytopen en netten" (1910). 
Anche se dopo la morte di Schoute, nell'aprile del 1913,  il lavoro di Alicia sui politopi sembrò fermarsi, tuttavia, l'Università di Groningen la onorò invitandola a partecipare alle celebrazioni per il trecentenario dell'università e assegnandole una laurea honoris causa il 1 ° luglio 1914. 
Fu proposta infatti per il riconoscimento da Johan Antony Barrau (1873-1953) che dopo aver letto i suoi documenti scrisse: 

"Da questi documenti, si deduce un dono molto speciale di riuscire a vedere la posizione e le forme in uno spazio a quattro dimensioni. Tre di questi articoli sono stati scritti congiuntamente con il dottor Pieter Hendrik Schoute, che ha collaborato per molti anni  con l'Università di Groningen, ed è questa proficua collaborazione con il professore la ragione per cui  la Facoltà di Matematica e Fisica ha proposto la signora Alicia Boole Stott per la laurea honoris causa in Matematica e Fisica, da conferire in occasione della prossima commemorazione dei 300 anni dell'Università."

Tuttavia, per qualche motivo non chiaro, Alicia non andò alla commemorazione a Groningen e la laurea fu assegnata "in absentia", ma furono esibiti i suoi modelli geometrici che possono essere visti tuttora come parte della mostra online di Groningen dei modelli matematici di superfici


Disegni dei piani delle sezioni perpendicolari della cella  600  conservati presso 
l'Università di Groningen in Olanda ©Museo universitario di Groningen  

Nel 1930 fu presentata ad Harold Coxeter, col quale lavorò a diversi problemi e che la descrisse dicendo: 

"La forza e la semplicità del suo carattere combinata con la diversità dei suoi interessi ne fa un'amica ispiratrice."

Durante la collaborazione con Coxeter, che avveniva per lettera o durante i famosi "tè e politopi", Alicia ottenne altri importanti risultati, relativi alla costruzione di poliedri mediante l'utilizzo della sezione aurea.
Collaborazione che si concluse quattro anni prima della sua morte (17 dicembre 1940), quando Coxeter lasciò l'Inghilterra per prendere un posto a Toronto nel 1936, destinato a diventare “il re dello spazio infinito”.
In quell'occasione così gli scrisse la quasi ottantenne Alicia:

"Mio caro! Non so come scriverti, le parole sembrano così futili accanto a una separazione così grande! Ma in realtà non posso che rallegrarmi per il tuo bene, che è appena capitato... Mentre sto scrivendo la mia mente è tornata al mondo adorabile che abbiamo visitato insieme e che tu hai reso tanto tuo. Mi chiedo dove tu arriverai! Come vorrei poterti seguire."


Flatlandia è un racconto fantastico, scritto dal reverendo e pedagogo Edwin Abbott Abbott, che basandosi 
sul meccanismo di mondi concentrici, incompatibili e incomunicanti, mette in dubbio
 i nostri stessi punti di riferimento, e si chiude con l'inquietante ipotesi di una quarta dimensione.

Così come Alicia e Hinton parlavano di quarta dimensione assimilabile alla grandezza temporale, un po’ com'è esposto nella teoria della relatività ristretta di Einstein, anche in seguito Henri Poincaré e altri si porranno il problema di ciò che è la realtà e di ciò che l’essere umano percepisce. 
Mentre la ricerca matematica sulla geometria a più di tre ordinarie dimensioni ha portato frutti tangibili nel mondo della scienza fisica, basti pensare alla formulazione appunto della teoria della relatività del 1904, il romanzo di Edwin Abbott Abbott (Flatlandia di cui ho citato una frase in apertura) e le altre forme di diffusione del pensiero geometrico hanno ispirato tantissimo l’immaginario collettivo e quello di scrittori, artisti e registi cinematografici del XX secolo.
Negli ultimi anni i fisici hanno cominciato a parlare di configurazioni che coinvolgono 10, 11 o 26 dimensioni, mentre i matematici ormai parlano con disinvoltura di strutture in spazi n-dimensionali. 
Uno dei modi più comuni di pensare alle dimensioni è di considerarle come ciò che i matematici, i fisici o gli ingegneri chiamano "gradi di libertà".

Molti considerano i politopi convessi tra i più importanti oggetti geometrici e ritengono che gran parte della geometria euclidea si riduca essenzialmente alla teoria dei politopi convessi. 
Attualmente i politopi trovano importanti applicazioni nella ottimizzazione, nella programmazione lineare, nella computer grafica e in molti altri campi. 
La loro importanza ha portato a studiarli anche con strumenti software specifici e a definire precise regole per la codifica dei singoli oggetti politopo.


Vista della cella a 10 celle nella 3- sfera, con assi di simmetria periferica 18 "x 31" 
Stampa a colori di un'immagine al computer del 2013 ©photo gallery Banchoff 

"Grazie agli straordinari progressi della computer graphics, oggi possiamo avere una diretta esperienza visiva di oggetti che esistono solo in dimensioni superiori. 
Quando osserviamo queste immagini muoversi sullo schermo di un computer grafico, la sfida che ci viene lanciata è simile a quella che dovettero sostenere i primi scienziati che lavorarono con un telescopio, con un microscopio o con i raggi X.  Stiamo vedendo cose che non erano mai state viste prima d’ora, e stiamo appena cominciando a imparare come devono essere interpretate queste immagini. Siamo davvero solo nella primissima fase di una nuova era, l’era della visualizzazione delle dimensioni."

Queste parole di Thomas Francis Banchoff  dimostrano che tutto ciò che Alicia Boole Stott ed i suoi successori si erano sforzati di fare usando una matita ed un foglio di carta, o con fogli di cartoncino, adesso lo si può fare unendo le conoscenze algebriche con le costruzioni geometriche, calcolando miliardi di coordinate in tempuscoli minimi con l’ausilio dei processori elettronici.
Proprio come afferma uno dei più grandi esperti mondiali di computer graphics, il professor Thomas Francis Banchoff, che su uno schermo di un elaboratore elettronico si possono osservare le vere immagini che rappresentano ciò che potremmo percepire se potessimo entrare negli spazi a dimensioni superiori.


"L'ipercubo" di Attilio Pierelli al Dipartimento di Matematica Università di Tor Vergata - Roma

Ho iniziato questo articolo con l'arte pittorica di Kandinsky e quindi chiudo con l'immagine di un'altra opera d'arte, scultorea di Attilio Pierelli, sempre legata al concetto di politopo.
Se per Kandinsky il cerchio è l'indicazione più chiara per la quarta dimensione (4-politopo):

"Perché il cerchio mi affascina? 
Perché: 1) è la forma più modesta, ma si afferma senza riguardo; 2) è precisa, ma inesauribilmente variabile; 3) è stabile e instabile allo stesso tempo; 4) sommessa e forte nello stesso tempo; 5) una tensione che porta in sé infinite tensioni. Il cerchio è una sintesi dei maggiori contrasti e unisce il concentrico con l'eccentrico in una forma e in un equilibrio. Nella terna di forme primarie (triangolo, quadrato, cerchio), il cerchio è l'indicazione più chiara per la quarta dimensione […] Il cerchio è la sintesi delle più grandi opposizioni. Combina il concentrico e l’eccentrico in un’unica forma e in equilibrio." (Kandinsky)

per Pierelli l'indicatore più significativo è l'ipercubo:

"Tutti i giorni, per 10 anni, per almeno tre ore, studiai per comprendere a fondo il legame tra la realtà e la sua immagine […] Ordine ed equilibrio sono i dati che si incontrano nella geometria iperspaziale e posso dire che nel creare le sculture ispirate agli iperspazi, mi trovo di fronte alla necessità di lavorare in modo esasperatamente ordinato per ottenere il miglior risultato estetico." (Attilio Pierelli)


In geometria, un tesseratto è un 4-politopo, cioè un ipercubo quadridimensionale.
Curioso ricordare che il nome "tesseract" fu coniato proprio dal matematico e scrittore Charles Howard Hinton, cognato di Alicia Boole nel 1880 quando scrisse l’articolo "What Is the Fourth Dimension?" in cui immagina che i punti dello spazio tridimensionale possano rappresentare intersezioni tra oggetti quadridimensionali e lo spazio tridimensionale.
Una proiezione del tesseratto nel piano può essere realizzata disegnando due cubi paralleli, e collegando i corrispettivi vertici con dei segmenti.
Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche. 
Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche. 
"L'ipercubo", realizzazione di Attilio Pierelli è un'opera che dà un esempio di percezione fisica di idee astratte, in quanto l'artista è stato capace di rappresentare la quarta dimensione nella tridimensionalità.
Una sequenza aritmetica regola la struttura iperspaziale dell’Ipercubo, composto da otto cubi tridimensionali, a loro volta formati da sei superfici quadrate bidimensionali. 
Ciò che si trova al di là della nostra esperienza può essere percepito soltanto attraverso espedienti di natura illusionistica, ma l’opera d’arte ci porta a riconoscere come tali illusioni ottiche possano comunque creare un mondo davanti a noi. 

"Il punto di partenza per una nuova concezione è dovuto probabilmente a Kandinsky, che nel suo libro 'Ueber das Geistige in der Kunst' ('Informazioni sull'arte spirituale') pone nel 1912 le premesse di un'arte nella quale l'immaginazione dell'artista sarebbe stata sostituita dalla concezione matematica […] Così, se nell’incertezza delle percezioni sensibili noi andremo a considerare il pensiero matematico, come l’astrazione che rende pensabile la natura, l’opera di un artista sarà allora la sua materializzazione."



Fonti

Image
©Pat'sBlog
https://pballew.blogspot.com/2014/10/those-amazing-boole-girls.html
©Mauro Fiorentini
http://www.bitman.name/math/indiceanalitico/6
©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
http://www.bristol.ac.uk/homepage/
©Museo universitario di Groningen  
https://www.master-abroad.it/universities/Olanda/University-of-Groningen/