Bugie matematiche o asimmetria informativa?

"Le scienze non tentano di spiegare, nemmeno tentano di interpretare; le scienze creano soprattutto dei modelli. Per modello si intende una costruzione matematica che, con l'aggiunta di determinate interpretazioni verbali, descrive i fenomeni osservati. La giustificazione di una tale costruzione matematica sta esclusivamente e precisamente nel fatto che ci si aspetta che funzioni." 

John von Neumann (1903-1957)

La nascita della moderna Teoria dei Giochi può essere fatta coincidere proprio con l'uscita del libro "Theory of Games and Economic Behavior" di John von Neumann e Oskar Morgenstern

John von Neumann è stato sicuramente una delle menti più brillanti e straordinarie del secolo scorso ed era ungherese. 
Faceva infatti parte  del famoso "clan degli ungheresi" ai tempi di Los Alamos e del Progetto Manhattan (la bomba atomica) che, insieme al suo amico e connazionale Leo Szilard, a Edward Teller ed Eugene Wigner, era considerato il clan degli "alieni".
Si racconta che Enrico Fermi, una delle figure più importanti all'interno dello stesso grande progetto, quando manifestò un certo scetticismo sull'esistenza di una civiltà aliena superiore che non fornisse nessun segno della proprio esistenza, Szilard gli rispose "probabilmente sono già qua, e li stai chiamando ungheresi". 
Tra cotanti scienziati, ungheresi o no, John von Neumann era considerato davvero un semidio dei numeri, un alieno di un altro pianeta, dotato di una mente straordinaria che gli ha permesso di apportare contributi significativi, e talora assolutamente nuovi, praticamene in ogni campo della ricerca, dalla matematica alla meccanica statistica, dalla meccanica quantistica alla cibernetica, dall'economia all'evoluzione biologica, dalla teoria dei giochi all'intelligenza artificiale......e, purtroppo, anche alla bomba atomica.
Gli anni della guerra infatti vedono profondamente coinvolto von Neumann nel progetto Manhattan per la costruzione della bomba atomica. 
Un coinvolgimento alimentato soprattutto da un profondo odio verso i nazisti, i giapponesi e successivamente verso i sovietici. 
Già nel 1937, dopo aver ottenuto la cittadinanza statunitense, gli viene proposto di collaborare con le forze armate e da quel momento la sua escalation ai vertici delle istituzioni politico-militari sarà inarrestabile. 
È lui a suggerire come deve essere lanciata la bomba atomica per creare il maggior numero di danni e di morti, è lui che interviene nella costruzione della bomba al plutonio realizzando la cosiddetta "lente al plutonio", ed è ancora lui a incentivare la costruzione di ordigni nucleari sempre più potenti. 
Ma è lui forse anche il capostipite della cosiddetta guerra preventiva. Propose infatti alle autorità militari di bombardare preventivamente l'Unione Sovietica per scongiurare il pericolo rosso ed è la sua teoria dei giochi che venne ampiamente utilizzata in questo contesto, per studiare e ipotizzare tutti i possibili scenari bellici che si potevano sviluppare in seguito a certe decisioni. 
Il fervore con cui appoggiò lo sviluppo degli ordigni atomici lo spinse a seguire di persona alcuni test sulle armi nucleari nella seconda metà degli anni quaranta, che raggiungeranno l'apice con l'esplosione della bomba H nelle Isole Marshall nel 1952. 
Probabilmente saranno proprio le radiazioni sprigionate da questi test a condannarlo a morte, da lì a poco.

Il fervore con cui Neumann appoggiò lo sviluppo degli ordigni atomici lo spinse a seguire di persona alcuni test sulle armi nucleari nella seconda metà degli anni quaranta, che raggiungeranno l'apice con l'esplosione della bomba H nelle Isole Marshall nel 1952

Ritornando ai suoi contributi in campo matematico, è chiaro che la nascita della moderna Teoria dei Giochi può essere fatta coincidere proprio con l'uscita del libro, nel 1944, "Theory of Games and Economic Behavior" di John von Neumann e Oskar Morgenstern, teoria che verrà poi approfondita e formalizzata da altri matematici, tra cui il suo allievo, a Princeton, John Forbes Nash jr., sicuramente il più famoso studioso ad essersi occupato successivamente della Teoria dei Giochi, in particolare per quel che concerne i "giochi non cooperativi".
Nash, affascinato dalla possibilità di applicare la Teoria dei Giochi all'economia, ai rapporti politici tra stati, alle strategie militari, affrontò il problema in modo originale e rivoluzionario rispetto a Von Neumann. 
Estese la trattazione ai giochi a più partecipanti e scoprì una soluzione di equilibrio in cui ogni agente trova la miglior strategia rispetto alla migliore strategia di tutti gli altri (le "strategie dominanti"). 
L'equilibrio di Nash, insieme al teorema del minimax di Von Neumann, è stata uno dei cardini della teoria dei giochi ed è stata applica costantemente ai campi più disparati: dall'economia alla biologia.  
Teoria che recentemente è stata però messa in discussione dagli studi di Ekeland che smontano le idee del Nobel Nash, affermando che “teoria dei giochi ed equilibrio razionale sono superati”.

Entrato nell’imaginario collettivo tramite l’interpretazione di Russel Crowe nel  film “A Beautiful Mind” il celebre matematico John Forbes Nash, Jr. è da poco tragicamente scomparso in un incidente stradale, subito dopo essere stato insignito, insieme a Louis Nirenberg, del prestigioso Abel Prize  

Intervenendo al convegno, organizzato dal 14 al 18 settembre scorsi all’Università dell’Insubria, incentrato sui fenomeni non lineari in Matematica e in Economia, che, tra i relatori, avrebbe dovuto ospitare proprio Nash, ha affermato:

"I modelli di Nash sulla teoria dei giochi e sull’equilibrio razionale sono le basi della moderna teoria economica. Ma Nash era figlio dei suoi tempi e il suo pensiero mirava all’ottimizzazione: alla ricerca dell’equilibrio tra variabili e forze, fino ad arrivare al miglior risultato con un uso minimo delle risorse. Era il momento in cui si iniziarono a costruire computer sempre più veloci".

Ma è innegabile che alla razionalità di Nash e dei suoi tempi è seguita l’irrazionalità dei nostri. Ed è proprio in campo economico e dei mercati che si riflette questa irrazionalità.

"Oggi - dice ancora Ekeland - tutte le teorie economiche riguardano gli individui, non la società nel complesso. Tutto si basa su contratti tra individui e al centro c’è un principio fondamentale e poco noto: l’asimmetria informativa. Sono contratti e relazioni dove una parte sa più cose dell’altra, ben descritte da tanti modelli matematici". 

Ed ecco quelle che potremmo definire le "bugie" della Matematica e dei suoi Modelli incapaci di descrive il vicolo cieco in cui siamo finiti, tra Stati che rischiano di fallire, mercati impazziti o incomprensibili. 

"Ma non è vero - sottolinea ancora Ekeland - che nessuno li capisce. C’è chi guadagna un mare di soldi facendo “high frequency trading”, con transazioni velocissime e senza veri rischi. Non solo. È un particolare tipo di asimmetria informativa, vale a dire l’azzardo morale, a governare gli stipendi d’oro dei manager. Perché il contratto con cui un’azienda assume un manager si basa proprio su uno squilibrio: l’azienda non sa se il manager lavorerà bene e raggiungerà gli obiettivi. Per stimolarlo deve pagarlo sempre di più di anno in anno, e per lavorare sempre meno. Finché non c’è altra scelta se non mandarlo in pensione a cifre altissime. E cercare un sostituto ancora più caro."

Il professor Ivar Ekeland, docente della Université Paris-Dauphine 

L'apertura dei lavori della RISM School, Riemann International School of Mathematics, nel Campus di Bizzozero era stata infatti affidata al professor Ivar Ekeland, docente della Université Paris-Dauphine. 
Nella sua appassionata Lectio Magistralis dedicata all’opera geniale di Nash, aveva anche ripercorso l’opera del grande matematico, contenuta in pochi lavori ma di grande impatto in aree molto diverse della Matematica, con ricadute straordinarie nel modo di pensare, a livello non solo economico ma anche sociale. 
Con la sua Lectio Magistralis aveva catturato la platea passando disinvoltamente dalla Matematica a citazioni letterarie, ricordando l’attribuzione del premio Nobel per l’Economia a Nash nel 1994, sottolineando quanto importanti siano state le ricadute dei suoi studi proprio sull’Economia, e concludendo il suo discorso con una poesia del simbolista francese Stéphane Mallarmé, intesa a valorizzare lo spirito di Nash senza dimenticarne la malattia.

Édouard Manet, Portrait of Stéphane Mallarmé, 1876

Ivar Ekeland ha scelto “La tomba di Edgar Poe” per concludere un tema complicato come quello del genio matematico. 
Nash lo era un genio, nonostante una schizofrenia che per lungo tempo lo costrinse a un isolamento forzato. Per quasi trent’anni quello che la rivista Fortune definì "il più brillante nell’ultima generazione di matematici", vagò quasi ignorato da tutti nel dipartimento di matematica di Princeton e solo grazie al film di Ron Howard “A beautiful mind” il suo eccezionale contributo alla matematica divenne noto al grande pubblico.
Perché il Professore ha concluso la sua lectio magistralis citando proprio i versi di Mallarmé dedicati ad Edgar Allan Poe? 
Perché questa associazone? 
Che cosa accomuna il matematico Nash e lo scrittore americano Edgar Allan Poe?
La sua risposta è stata questa:

"La luce e le tenebre della loro vita. 
Nash rappresenta un nuovo carattere romantico nella matematica, non è morto giovane come Galois o Abel, ma la sua schizofrenia non gli ha permesso di vivere per quasi 50 anni. Eppure la sua opera è lì, destinata a rimanere nel tempo, come del resto in letteratura è rimasta quella di Poe, nonostante si sottolinei che la sua vita sia stata condizionata dalla droga. 
Poco importa, grandezza e tragedia sono le due facce della loro esistenza".

La tomba di Edgar Poe

Quale in Sé stesso alfine l'eternità lo cambia 

Il Poeta risveglia con una spada nuda 

Il suo secolo spaventato di non essersi accorto 

Che la morte trionfava in quella voce strana

Essi come un vile sussulto d'idra udendo in passato l'angelo 

Dare un senso piú puro alle parole della tribú 

Proclamarono a gran voce il sortilegio bevuto 

Nell'onda senza onore di qualche nera mescolanza

Della terra e della nube ostili oh danno 

Se con quello la nostra idea non scolpisce un bassorilievo

Del quale abbagliante la tomba di Poe si orni

Calmo blocco quaggiú caduto da un disastro oscuro 

Che questo granito almeno mostri per sempre il suo limite 

Ai neri voli della Bestemmia sparsi nel futuro 

John Nash, tra genio e follia

"Lo studio e l'applicazione della matematica non richiedono alcuna forza fisica. Un uomo e una donna non possono sfidarsi sul campo da tennis ma possono farlo su uno studio di numeri, dove l'unica forza necessaria è quella mentale"

Stimolata da un amico con questa frase, detta da John Nash durante un'intervista, ho pensato di dedicare il post al grande "genio" matematico americano. 

John Nash

Ho avuto l'opportunità di ascoltarlo, nel marzo 2008 a Brescia, insieme a Robert Aumann, anch'egli teorico dei giochi e premiato col Nobel per l'economia nel 2005, in una conferenza, organizzata da ISEO con la coordinazione di Piergiorgio Odifreddi.
(La più recente conferenza in Italia, sempre coordinata da Piergiorgio Odifreddi, è stata all'Università di Bergamo ai primi di ottobre 2013)
Se ascolterete l'interessante registrazione video vi accorgerete che i due scienziati, ancora molto lucidi nonostante l'avanzata età, erano molto litigiosi tra loro, forse nel tentativo di prendersi la scena e nel desiderio di essere "protagonisti".

Robert Aumann, John Nash e  Piergiorgio Odifreddi 

John Forbes Nash Jr, ora 86ienne, è considerato uno dei matematici più brillanti e originali dello scorso secolo, che, rivoluzionando le teorie economiche con i suoi studi di matematica applicata alla "Teoria dei giochi", vinse il premio Nobel per l'economia nel 1994.

Si il Nobel per l'Economia perché non esiste il Nobel per la Matematica.

Il premio Nobel, onorificenza di portata internazionale, fu istituito in seguito alle ultime volontà di Alfred Nobel, (1833-1896) industriale svedese e inventore della dinamite, e fu assegnato dal governo svedese a partire dal 1901, per i risultati ottenuti in:

Fisica (assegnato dall'Accademia Reale Svedese delle Scienze)

Chimica (assegnato dall'Accademia Reale Svedese delle Scienze)

Medicina o Fisiologia (assegnato dall'Istituto Karolinska)

Letteratura (assegnato dall'Accademia Svedese)

Pace (assegnato da un comitato nominato dal Parlamento norvegese)

Economia (dal 1969)

Alfred Nobel

E perchè non esiste il premio Nobel per la Matematica?

Sulla ragione che spinse Nobel a non assegnare il premio per la disciplina ci sono principalmente due teorie.

Una prima motivazione sarebbe data dal fatto che la matematica non rientrava tra gli interessi primari di Alfred Nobel, più votato alle scienze con applicazioni pratiche (come la chimica) che a quelle di speculazione teorica. 

Ma c’è anche un retroscena più piccante (anche se non confermato) che spiegherebbe in altro modo questa mancanza. 

Nobel avrebbe deciso di escludere la matematica dalle discipline premiate dopo aver scoperto che una sua amante lo aveva tradito con un famoso matematico svedese, Magnus Gustaf Mittag-Leffler.

Magnus Gustaf Mittag-Leffler

Una curiosità: Mittag-Leffler era un convinto assertore dei diritti delle donne ed ebbe un ruolo cruciale nel permettere a Sofia Kovalevskaya nel 1891 di accedere alla cattedra ordinaria di matematica all'Università di Stoccolma; la prima donna nel mondo a ottenere un simile incarico.

Per iniziativa dell'Associazione delle Donne in Matematica (AWM) è stato istituito il Giorno della Matematica in onore di Sonia Kovalevsky, progetto indirizzato alle scuole superiori al fine di incoraggiare le ragazze a scoprire la matematica. Le letture di Sonia Kovalevsky sono sponsorizzate annualmente da AWM per sottolineare i contributi significativi delle donne nella matematica applicata e computazionale.

Sof'ja Vasil'evna Kovalevskaja che

 nelle pubblicazioni scientifiche si firmava 

Sophie Kowalevsk

In suo onore è stato battezzato il cratere Kovalevsakaja sulla superficie della Luna, forse anche per ribadire la grandezza delle donne russe di cui è un esempio anche Valentina Tereshkova, che il 16 giugno del 1963  divenne la prima donna nello spazio.  

Se avesse istituito il riconoscimento per la matematica, l’Accademia Reale Svedese avrebbe probabilmente assegnato proprio a Mittag-Leffler la prima edizione del premio per i suoi studi sulle funzioni analitiche, sul calcolo delle probabilità e sulle equazioni differenziali omogenee.

Ma torniamo al nostro matematico Nash e scopriamo che per una tragica ironia del destino quest'uomo, che ha vissuto per oltre 25 anni la sua personalissima odissea attraverso il tunnel della schizofrenia paranoide, con le visioni di messaggi criptati, provenienti anche da extraterrestri, o il credere di essere l'imperatore dell'Antartide, il piede sinistro di Dio, o l'essere a capo di un governo universale, è passato alla storia per aver introdotto la nozione di "equilibrio" che porta il suo nome.

Durante i suoi anni di insegnamento a Princeton dove gli venne offerto un dottorato di ricerca, Nash mostrò una vasta gamma di interessi nella matematica pura: dalla topologia, alla geometria algebrica, dalla teoria dei giochi alla logica.

Tra il 1949 e il 1950 Nash elaborò il suo capolavoro, che concretizzò in sole ventisette pagine di tesi di dottorato e che gli avrebbero dato il Nobel per l'Economia ben quarantacinque anni dopo.

Fu infatti proprio durante quel periodo che Nash stabilì i principi matematici della teoria dei giochi.

Tesi di laurea 1950

John Nash ai tempi del diploma

Un suo collega, P. Ordeshook, scrisse:

(EN)

« The concept of a Nash equilibrium n-tuple is perhaps the most important idea in noncooperative game theory. [...] Whether we are analysing candidates' election strategies, the causes of war, agenda manipulation in legislatures, or the actions of interest groups, predictions about events reduce to a search for and description of equilibria. Put simply, 

equilibrium strategies are the things that we predict about people. »

(IT)

« Il concetto di equilibrio di Nash è forse l'idea più importante nella teoria dei giochi non cooperativi. [...] Sia che analizziamo le strategie di elezione dei candidati, le cause della guerra, la manipolazione degli ordini del giorno nelle legislature, o le azioni delle lobby, le previsioni circa gli eventi si riducono ad una ricerca o ad una descrizione degli equilibri. In termini più semplici, le strategie di equilibrio sono ciò che prevediamo delle persone. »

(P. Ordeshook) 

C'è sempre un punto di equilibrio possibile, ha dimostrato Nash, una soluzione stabile fra le molte, dati i comportamenti vicendevoli, attraverso la quale tutti hanno da guadagnare. L'equazione possibile della vita è anche la migliore, quella in cui ciascuno vince qualcosa. 

Ha calato così, per la prima volta, la gelida astrattezza delle formule di John von Neumann nella realtà concreta. Nash, così altero da chiamare "umanoidi" gli abitanti del mondo esclusi dal recinto di Princeton, s'era accostato per via matematica alla compassione umana e all'etica.

Il "teorema dell'equilibrio di Nash", ha influenzato le scienze economiche e sociali, le competizioni di mercato e le scelte strategiche dei decenni a venire, ha sfondato il recinto della teoria dei giochi, è riuscito dove John von Neumann, nume incontrastato di una intera leva di matematici, s'era fermato: ha promesso la liberazione dal cupo schema di conflitto 

totale tra due giocatori secondo cui uno vince e l'altro perde, inevitabilmente.

La teoria dei giochi era nata infatti negli anni '20 dai tentativi di uno dei più grandi matematici degli ultimi secoli, John Von Neumann, di studiare quantitativamente il comportamento umano. Proprio Von Neuman aveva poi formalizzato la teoria nel celebre libro The Theory of Games and Economic Behavior nel 1944. Le scelte dei partecipanti al gioco avvengono in base a delle regole e con il tentativo di massimizzare il guadagno, sia esso la vittoria di un gioco da tavolo o di carte, sia un affare o una contrattazione economica. Nash, affascinato dalla possibilità di applicare la teoria dei giochi all'economia, ai rapporti politici tra stati, alle strategie militari, affrontò il problema in modo originale e rivoluzionario rispetto a Von Neumann. Estese la trattazione a giochi a più partecipanti e scoprì una soluzione di equilibrio in cui ogni agente trova la miglior strategia rispetto alla migliore strategia di tutti gli altri (le "strategie dominanti"). 

L'equilibrio di Nash, insieme al teorema del minimax di Von Neumann, è oggi uno dei cardini della teoria dei giochi e si applica costantemente ai campi più disparati: dall'economia alla biologia. 

Altri contributi alla ricerca matematica Jhon Nash li ottenne durante la permanenza al Courant Institute, dove incontrò Louis Nirenberg, che lo introdusse ad alcune problematiche sulle equazioni differenziali alle derivate parziali. In questo campo ottenne un risultato straordinario, che avrebbe potuto essere premiato con la Medaglia Fields, e che è legato a uno dei famosi problemi di Hilbert. Tuttavia il matematico Ennio De Giorgi, di cui Nash ignorava i risultati, aveva già risolto lo stesso problema pochi mesi prima in maniera indipendente. Al conferimento del Nobel, lo stesso Nash dichiarerà: "fu De Giorgi il primo a raggiungere la vetta". 

Cominciò nel frattempo ad occuparsi delle tematiche legate all'interpretazione della meccanica quantistica e anni dopo dichiarerà che probabilmente l'impegno che mise a questa impresa fu causa dei suoi primi disturbi mentali.

Russell Crowe in "A Beautiful Mind"

A questa "mente meravigliosa" una giornalista del New York Times, Sylvia Nasar, ha dedicato un affascinante libro che è stato tradotto anche in Italia, dalla Rizzoli, "Il genio dei numeri. Storia di John Nash matematico e folle" e, da questo libro, è stato tratto un film, uscito a Natale 2001, del regista americano Ron Howard, "A Beautiful Mind", con Russell Crowe, vincitore di ben quattro Oscar nel 2002.

Il primo ciack è stato dato nei vialetti di Princeton, una delle università più prestigiose d'America, dove entrò nel settembre del 1948, ed ebbe modo di conoscere, fra gli altri, giganti della scienza come Albert Einstein e John von Neumann, e dove ritornò a insegnare dopo il Nobel.

Il film ripercorre l'odissea attraverso il tunnel della schizofrenia da cui Nash è miracolosamente guarito dopo circa 25 anni di terapie quali elettrochoc, camicie di forza e iniezioni d'insulina, che lo hanno segnato nel fisico ma non nella mente.

"La schizofrenia è un 'diverso orientamento mentale', tutto qui. S'immagini qualcuno che diventi membro di una setta, seguace d'un culto che non segue gli orientamenti religiosi riconosciuti. Ecco, perdere la mente è credere a cose alle quali altri non credono e che vengono chiamate illusioni, il che non vuol dire essere matti. Si può tornare, uscire a poco a poco da quell' orientamento mentale come da una setta". 

La sofferenza, le medicine, le cliniche: questi sono stati i venticinque anni di "diverso orientamento mentale", anche se Nash sostiene che: "La matematica, il calcolo e i computer sono stati la medicina che mi ha riportato ad un'idea più razionale e logica, aiutandomi a rifiutare il pensiero e l'orientamento allucinatori. La matematica è curativa e in America viene usata nella terapia occupazionale al posto dei farmaci. Con ottimi risultati!"

Forse molto più attinente alla realtà è il documentario "A Brillant Madness" (video completo)

In questo documentario della PBS "American Experience" ci sono interviste esclusive con Nash e la moglie Alicia, la sorella Marta, il figlio maggiore John Stier, gli amici intimi e i colleghi. Inoltre, utilizza fotografie di famiglia e materiali d'archivio rari, nonché tecniche cinematografiche diverse e più attinenti alla realtà di quelle usate nel film "A Beautiful Mind", per rappresentare il mondo dei deliri paranoidi di Nash.

Il documentario include i dettagli della vita di Nash che "A Beautiful Mind" ha omesso, durante la convalida dell'autenticità essenziale del lavoro di Ron Howard, provocando anche un ulteriore dibattito nazionale sull'approccio scientifico, la stigmatizzazione, il trattamento e il recupero della schizofrenia.

Odifreddi intervista Nash

Da un'intervista fatta da Piergiorgio Odifreddi  (guarda video) sempre del marzo 2008, al grande matematico, si capisce anche l'importanza che ha avuto l'assegnazione del premio Nobel per la sua ripresa e per la guarigione:

Com'è avvenuta la sua ripresa? 

"È stata una ripresa progressiva. Mi sono reso conto che certe cose non erano fondate".

E alla fine sono arrivati il Premio Nobel e la fama. 

"Il Nobel mi ha dato la possibilità di portare avanti il mio lavoro. Mi sono occupato di nuovo di teoria dei giochi e di cosmologia, e ho sviluppato qualche idea nuova". 

Quanto è cambiata la sua vita, dopo il Nobel?

"Per molti il Nobel non ha cambiato la loro vita, o solo in misura molto modesta: avevano già avuto i loro risultati, e il premio ha solo aggiunto un onore. Per me invece è stato diverso, perché nel 1994 io non avevo neppure un lavoro. E dopo l'ho avuto. Forse, se non avessi vinto il Premio Nobel, per me ora sarebbe tutto diverso".

Concludo questo post ritornando alla frase iniziale, che ho poi ritrovato in un'intervista pubblicata dal Corriere della sera nel marzo 2007:

Che cosa pensa della tesi, costata il posto all'ex rettore di Harvard, secondo cui l'inferiorità matematica è nei geni delle donne? 

"È stato uno sbaglio drammatico e insieme banale, perché tutti sanno cosa si può e non si può dire oggi nell'America del politicamente corretto. L'ironia della sorte è che lui è stato sostituito proprio da una donna".

La morale della favola? 

"Che non puoi sapere chi sarà il prossimo genio matematico della storia. 

Pensi all'indiano Srinivasa Aiyangar Ramanujan, ex bambino prodigio completamente autodidatta che alla fine dell'800 diventò uno dei più grandi geni matematici partendo da un libriccino. O alla grande Ipazia di Alessandria, che visse in Egitto tra il IV e il V secolo dopo Cristo. Le donne secondo me sono biologicamente più adatte alla matematica".

In che senso? 

"Lo studio e l'applicazione della matematica non richiedono alcuna forza fisica. Un uomo e una donna non possono sfidarsi sul campo da tennis ma possono farlo su uno studio di numeri, dove l'unica forza necessaria è mentale". 

Ipazia di Alessandria

Ipazia di Alessandria è stata una matematica, astronoma e filosofa greca,  rappresentante della filosofia neo-platonica pagana.

La sua uccisione da parte di una folla di cristiani in tumulto, per alcuni autori composta di monaci detti parabolani, l'ha resa martire del "paganesimo" e della libertà di pensiero

Alcuni siti di riferimento:

http://www.pbs.org/wgbh/amex/nash/sfeature/sf_dixit.html

http://www.investopedia.com/terms/n/nash-equilibrium.asp

http://en.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash,_Jr.

http://it.wikipedia.org/wiki/Ipazia#A_capo_della_scuola_di_Alessandria

Il "marziano" Paul Halmos, il matematico con la passione per i gatti e la fotografia

"Marziani" era il termine usato per riferirsi a un gruppo di eminenti scienziati ebrei ungheresi (principalmente fisici e matematici, ma non solo) emigrati negli Stati Uniti nella prima metà del XX secolo, vale a dire dopo la Grande Purga del 1933.

Gli scienziati ungheresi erano apparentemente superumani nell'intelletto, parlavano una lingua madre incomprensibile e provenivano da un piccolo paese oscuro, e ciò li portò a essere chiamati "marziani", un nome che adottarono scherzosamente.

Nell'immagine (partendo da sinistra in alto):

John von Neumann, Paul Erdős, Eugene Wigner e Edward Teller, Leó Szilárd,

 Theodore von Kármán, Paul Halmos, George Polya e John G. Kemeny

Lo scherzo, sostenuto da John von Neumann, consisteva anche nel fatto che gli scienziati ungheresi fossero in realtà discendenti di una forza scout marziana, sbarcata a Budapest intorno all'anno 1900, che in seguito se ne fosse andata dopo aver ritenuto il pianeta inadatto, ma lasciando dietro di sé i figli di diverse donne terrestri, bambini che divennero tutti famosi scienziati. 

Tra questi scienziati tra cui, Paul Erdős, Theodore von Kármán, John G. Kemeny, John von Neumann, George Pólya, Leó Szilárd, Edward Teller, Eugene Wigner, è incluso anche Paul Halmos. 

Immagine di Halmos col gatto Roger 1970

©The Paul R. Halmos Papers at the Archives of American Mathematics.

Paul Richard Halmos (3 marzo 1916 - 2 ottobre 2006) è stato un matematico americano di origine ungherese che fece progressi fondamentali nelle aree della logica matematica, teoria della probabilità, statistica, teoria degli operatori, teoria ergodica, e analisi funzionale (in particolare, spazi di Hilbert ) ed è stato descritto appunto come uno dei marziani, noto per alcuni dei suoi libri di testo e per la sua collezione di fotografie di matematici.

Immagine di Halmos col gatto Roger 1970

©The Paul R. Halmos Papers at the Archives of American Mathematics.

Ma qui non voglio parlare dei suoi vastissimi contributi matematici ma di due curiosità che lo resero famoso. 

Oltre alla sua passione per i gatti, una è quella appunto della sua passione per la fotografia.

Paul R. Halmos si è infatti divertito a scattare fotografie dei matematici che ha incontrato in tutto il mondo e nei suoi vari campus negli Stati Uniti, tanto che nel 2011, 343 delle foto di Halmos, fatte tra il 1943 e il 1988, sono state digitalizzate dagli Archives of American Mathematics.

Halmos ha fotografato matematici, i loro coniugi, i loro fratelli e sorelle e altri parenti, i loro uffici, i loro cani e gatti...e delle circa 6000 fotografie della sua collezione, Halmos ne ha scelte circa 600 per il libro "I have a photographic Memory".

Copertina del libro "I have a photographic Memory".

Le immagini sono scatti sinceri che mostrano che i matematici sono semplicemente se stessi e le didascalie di accompagnamento, oltre a identificare i soggetti, contengono aneddoti e frammenti di storia che rivelano l'arguzia, il fascino e l'intuizione inimitabili di Halmos. 

Questo libro non è solo una deliziosa raccolta di cimeli matematici ma è anche un prezioso documento storico.

L'altra è ricordata nelle memorie dello stesso Halmos in cui afferma di aver inventato la notazione "iff" per le parole "se e solo se" e di essere stato il primo ad adottare la notazione "tombstone" ("lapide") per indicare la fine di una dimostrazione.

In matematica al posto dell'abbreviazione tradizionale "Q.E.D", "Quod Erat Demostrandum", che significa "che doveva essere dimostrato" (in italiano spesso sostituito da un meno dotto "C.V.D", "Come Volevasi Dimostrare") si usa anche il "tombstone" (la "lapide"), o appunto "halmos", "∎" (o "□") per denotare la fine di una dimostrazione.

La sua forma grafica varia, in quanto può essere 

un quadrato o un rettangolo pieno o vuoto

A volte quindi è chiamato "simbolo di finalità Halmos" o "halmos" dal nome del matematico che per primo lo usò in un contesto matematico nel 1950, avendo l'idea di introdurlo vedendo che veniva usato per indicare il fine di articoli su riviste. 

Nel suo libro di memorie "Voglio essere un matematico" scrisse:

"Il simbolo non è sicuramente una mia invenzione: è apparso su riviste popolari (non di matematica) prima che lo adottassi, ma, ancora una volta, mi sembra di averlo introdotto per primo in matematica. È il simbolo che a volte assomiglia a ▯, ed è usato per indicare una fine, di solito la fine di una dimostrazione. Il più delle volte è chiamato lapide, ma almeno un autore generoso lo ha definito halmos."

Non posso concludere questo breve post se non citando la risposta di Halmos alla domanda su cosa significasse per lui la matematica:

"It is security. Certainty. Truth. Beauty. Insight. Structure. Architecture. I see mathematics, the part of human knowledge that I call mathematics, as one thing - one great, glorious thing." 

Aggiungo questo video di 44 minuti che contiene una rara intervista di Peter Renz a Paul Halmos, in cui rivela i suoi pensieri sulla matematica e su come insegnarla e scriverne.

 

Matematica, un'inesauribile conoscenza!

Il tema del Carnevale di aprile 2024 tenuto da MaddMaths!, "Matematica inesauribile", mi ha fatto immediatamente pensare ai Teoremi di Incompletezza di Gödel che penso forniscano una nozione precisa di inesauribilità, proprio perché in definitiva affermano che le teorie possono essere estese all'infinito con asserzioni di coerenza e che qualsiasi teoria può essere estesa al punto da produrre una teoria decisamente più forte.

In proposito Torkel Franzén  ha scritto un libro interessante, "Inexhaustibility - A Non-Exhaustive Treatment - Lecture Notes in Logic" dove dimostra proprio che la nostra conoscenza matematica è inesauribile e dove l'inesauribilità della conoscenza matematica viene trattata sulla base del concetto di progressioni transfinite delle teorie concepito da Turing e Feferman.

Non voglio addentrarmi nel concetto di progressioni transfinite, che lascio alla trattazione di un interessante .pdf, ma solo ricordare che i Teoremi di Incompletezza di Gödel oltre a essere tra i risultati più significativi nella fondazione della matematica, hanno altresì aperto a nuove trattative filosofico/matematiche sull'inesauribilità.

Com'è noto i Teoremi di Incompletezza di Gödel sono due teoremi della logica matematica che riguardano i limiti della dimostrabilità nelle teorie assiomatiche formali. 

Questi risultati, pubblicati da Kurt Gödel nel 1931, sono importanti sia nella logica matematica che nella filosofia della matematica. 

I teoremi principalmente dimostrano che il programma di David Hilbert, per trovare un insieme completo e coerente di assiomi per tutta la matematica, è impossibile.

David Hilbert (1862 - 1943)

La teoria della dimostrazione non è una materia inventata per sostenere una dottrina formalista nella filosofia della matematica, ma piuttosto, è stata sviluppata come un tentativo di analizzare aspetti dell'esperienza matematica per isolare e possibilmente superare, problemi metodologici nei fondamenti della matematica. 

Le origini di questi problemi, formulati con forza e talvolta in modo controverso negli anni '20, sono rintracciabili già nella trasformazione della matematica nel diciannovesimo secolo, con l’emergere della matematica astratta, il suo affidamento su nozioni di teoria degli insiemi e la sua attenzione alla logica in un contesto ampio e fondamentale. 

Questioni sostanziali emersero già nei lavori matematici e nei saggi fondamentali di Richard Dedekind e Leopold Kronecker e riguardavano la legittimità di concetti indecidibili, l'esistenza di infiniti oggetti matematici e il senso delle prove non costruttive di asserzioni esistenziali.

Nel tentativo di mediare tra posizioni fondative contrastanti, Hilbert spostò le questioni, già intorno al 1900, da un livello matematico a un livello metamatematico vagamente concepito. 

Questo approccio venne rigorosamente realizzato appunto negli anni ’20, quando egli approfittò della possibilità di formalizzare la matematica in sistemi deduttivi e indagò i quadri formali sottostanti da un punto di vista strettamente costruttivo, "finitista". 

L'approccio di Hilbert sollevò affascinanti questioni metamatematiche: dalla completezza semantica alla decidibilità meccanica fino all'incompletezza sintattica. 

Tuttavia, la soluzione matematica sperata dei problemi fondamentali non fu raggiunta e il fallimento del suo programma di coerenza finitista sollevò e approfondì questioni metodologiche altrettanto affascinanti. 

Una gamma più ampia di problemi con soluzioni solo parziali ha creato un argomento vivace che abbraccia questioni computazionali, matematiche e filosofiche, con una ricca storia.

In un sistema matematico, pensatori come Hilbert credevano infatti che fosse solo questione di tempo trovare una tale assiomatizzazione che permettesse di provare o confutare (dimostrandone la negazione) ogni formula matematica.

Il problema era se esistessero teorie incomplete (e necessariamente coerenti) ovvero basate su affermazioni che non potessero essere dimostrate né vere né false. Tra queste c’è l’aritmetica, per cui tutta la matematica che usa l’aritmetica rientra tra le teorie incomplete.

Kurt Gödel (1906 - 1978)

Nel 1931 il matematico e logico austriaco Kurt Gödel pubblicò un articolo che mostrava che esistono affermazioni aritmetiche vere che non possono essere dimostrate nel sistema formale dei Principia Mathematica, assumendo che Principia Mathematica fosse coerente, e i suoi metodi non si applicavano solo ai Principia ma a qualsiasi sistema formale che contenesse un minimo di aritmetica. 

Poco dopo la II Conferenza sull'epistemologia delle scienze esatte, organizzata dal 5 al 7 settembre 1930 dalla Gesellschaft für empirische Philosophie, il 20 novembre, von Neumann scrisse a Gödel per annunciargli di aver scoperto un notevole corollario del suo risultato: l'indimostrabilità della coerenza (secondo teorema di incompletezza). 

Nel frattempo, però, tale risultato era stato ottenuto anche da Gödel ed era stato comunicato da Hahn all'Accademia delle Scienze di Vienna il 23 ottobre 1930. 

Il 1° novembre 1930 i "Monatshefte für Mathematik und Physik" ricevettero l'articolo epocale di Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I (Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia mathematica e di sistemi simili) pubblicato nel 1931.

Quindi un paio di mesi dopo che Gödel aveva annunciato questo risultato in una conferenza a Königsberg nel settembre 1930, dove John von Neumann aveva altresì parlato del formalismo descrivendo il programma di Hilbert come la ricerca di una dimostrazione di conservatività dei concetti transfiniti rispetto a quelli finiti¹,  John von Neumann e lo stesso Gödel si resero conto, indipendentemente, che dal teorema di incompletezza si poteva trarre un sorprendente corollario. 

"Ogni teoria coerente ed effettivamente assiomatizzata che consenta lo sviluppo di parti fondamentali dell’aritmetica non può dimostrare la propria coerenza." 

Questo divenne noto come il secondo teorema di incompletezza. 

Il secondo teorema di incompletezza confutava le ambizioni generali del programma di Hilbert. 

In risposta al risultato di Gödel, Hilbert tentò, nel suo ultimo articolo pubblicato, di formulare una strategia per prove di coerenza che ricordava le sue considerazioni dei primi anni '20 (quando pensava alle teorie degli oggetti come costruttive) ed estendeva chiaramente il punto di vista finitista.

Riassumendo il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che nessun sistema coerente di assiomi i cui teoremi possano essere elencati mediante una procedura efficace (come un algoritmo) è in grado di dimostrare tutte le verità sull'aritmetica dei numeri naturali. 

Vale a dire che per qualsiasi sistema formale coerente di questo tipo, ci saranno sempre affermazioni sui numeri naturali che sono vere, ma che non sono dimostrabili all'interno del sistema.

Il secondo teorema di incompletezza, estensione del primo, mostra che il sistema non può dimostrare la propria coerenza.

In sintesi Gödel dice che possono esserci delle proposizioni matematiche vere ma non dimostrabili e l'incompletezza riguarda la dimostrabilità.

Ad esempio la congettura di Riemann non ha ancora dimostrazione. Ma esiste? 

La congettura di Goldbach da secoli attende una dimostrazione. Ma esiste? 

L'ultimo teorema di Fermat fino a una trentina di anni fa era senza dimostrazione (cioè era una congettura) ma poi è stata trovata da Andrew Wiles!

Fin qui è tutto chiaro?

Forse non del tutto perché principalmente bisognerebbe spiegare cosa sia la logica.

La logica è un modo ordinato per dimostrare una cosa partendo da un'altra e questo si chiama presupposto di base, o assioma. 

Gli assiomi non li dimostriamo ma li accettiamo perché sembrano ragionevoli o utili per un determinato scopo. Dopo aver deciso gli assiomi, dobbiamo anche accordarci sulle regole di inferenza logica, e poi possiamo trarre conclusioni in modo semplice: ogni conclusione o è essa stessa un assioma, oppure segue direttamente dalle conclusioni precedenti tramite una delle regole di inferenza.

Questo metodo di indagine, il "metodo assiomatico", è antico e sebbene non ci permetta di conoscere le cose "con assoluta certezza", ci rende almeno più facile scoprire esattamente su cosa ci basiamo quando affermiamo qualcosa: quali sono gli assiomi alla base dell'asserzione e quali sono le regole di inferenza logica che abbiamo utilizzato per passare da un'asserzione all'altra. 

Un noto dialogo di Lewis Carroll, "What the Tortoise Said to Achilles" ("Ciò che la tartaruga disse ad Achille") dimostra però che anche la seconda componente del metodo, le regole di inferenza, non è immune da dubbi.

Scritto da Lewis Carroll (pseudonimo di Charles Lutwidge Dodgson, che oltre a scrivere le celebri quanto un po' ambigue e inquietanti favole di Alice, era, oltre che un illustre fotografo britannico, un matematico e un logico) nel 1895 per la rivista filosofica Mind, è un breve dialogo allegorico sui fondamenti della logica. 

Il titolo allude a uno dei paradossi del movimento di Zenone, in cui Achille non avrebbe mai potuto superare la tartaruga in una corsa. 

Nel dialogo di Carroll, la tartaruga sfida Achille a usare la forza della logica per fargli accettare la conclusione di un semplice argomento deduttivo. Alla fine Achille fallisce, perché l'astuta tartaruga lo conduce in una regressione infinita.

Il dialogo di Carroll è apparentemente la prima descrizione di un ostacolo al "convenzionalismo" sulla verità logica e dimostra che esiste un problema regressivo che nasce dalle deduzioni del modus ponens².

In generale, il metodo genera solo un elenco sempre crescente di affermazioni vere, ma mai la conclusione. Quindi possiamo andare avanti all’infinito senza arrivare alla conclusione. In questo senso, si tratta di un "regresso infinito", anche se il termine "regresso" potrebbe non sembrare del tutto appropriato e non credo che Lewis l'abbia usato.

Più semplicemente Carroll ha dimostrato che il fatto di avere assiomi, anche i migliori e più perfetti, non è sufficiente per determinare la verità in un sistema logico, poiché bisogna anche stare molto attenti alla scelta delle regole di inferenza. 

Concludendo i teoremi di incompletezza di Gödel hanno dimostrato che la matematica è inesauribile?

A questa domanda faccio rispondere da Tullio Eugenio Regge matematico e fisico italiano : 

Tullio Eugenio Regge (1931 - 2014)

"Neppure la matematica può considerarsi come un sistema chiuso e completo di assiomi e teoremi. Il mondo matematico è inesauribile, nessun insieme finito di postulati e di deduzioni potrà mai darci la risposta a tutte le domande. Il teorema di Gödel pose brutalmente fine a tutti i tentativi di condensare la matematica in una lista di assiomi da cui dovrebbe seguire la verità o la falsità di ogni sua asserzione. Se lo stesso linguaggio matematico che la fisica usa per descrivere il mondo rimane intrinsecamente incompleto, non è ragionevole attendersi che l'universo sia descrivibile a partire da un insieme finito di leggi naturali. A molti ripugna l'incompletezza della matematica e di riflesso quella della fisica, ma va detto che per le scienze esatte il teorema di Gödel non è affatto una sconfitta: al contrario, esso ci fornisce una spinta intellettuale verso sviluppi sempre più ampi e fecondi."

Note 

¹ Ce ne parla Gabriele Lolli, uno dei maggiori esperti di logica e di filosofia della matematica, in un'interessante intervista del 2011 

² Carroll affronta la regola più importante della logica del primo ordine, il modus ponens, che dice che se si assume un enunciato P, e se si assume anche l'enunciato condizionale "P implica Q" (o precedentemente dimostrato), allora l’enunciato Q stesso è una conseguenza logica e può quindi considerarsi dimostrato. Ciò che Achille impara è che il modus ponens deve essere prima concesso come regola di inferenza, altrimenti non si potrà mai raggiungere alcuna conclusione.

Se p implica q è una proposizione vera, e anche la premessa p è vera, allora la conseguenza q è vera o in notazione con operatori logici:

[(p->q)∧p]⊢q

dove ⊢ rappresenta l'asserzione logica, nota anche come sequente