I Peanuts e i quaternioni

Al "Caffè del Cappellaio Matto" si terrà l’edizione numero 99 del Carnevale della Matematica e avrà come tema "Matematica e/a/con i/per i/dei fumetti".
Un tema sempre intrigante che permette di parlare anche di argomenti matematici un po' ostici e astrusi insieme alla spensieratezza dei fumetti.
Concludendo un articolo a "fumetti" sui numeri immaginari (i binioni) mi ero ripromessa di parlare in seguito dei quaternioni....allora "Calvin & Hobbes" erano troppo stanchi per proseguire nel viaggio!
In questo articolo vorrei fare quindi una carrellata sui quaternioni con altri amici, i famosi Peanuts.

Incomincio a presentarveli!
Peanuts è il titolo di un celebre fumetto creato nel 1950 da Charles Schulz, anche se il nome Peanuts, “noccioline”, non piacque mai particolarmente all’autore, ma fu voluto dalla United Feature Syndicate, che ne pubblicò le strisce.
La serie ebbe origine da alcune tavole domenicali, Li’l Folks ("personcine") pubblicate fra il 1947 e il 1949, che presentavano tanti piccoli personaggi senza nome. 
All'inizio apparivano le avventure di un gruppo ristretto di bambini per poi arrivare a una striscia con un personaggio principale, Charlie Brown, che si ispirava all’infanzia dell’autore stesso che Schulz avrebbe voluto chiamare Ol’Charlie Brown. 
I personaggi di Peanuts non invecchiano, o almeno lo fanno molto lentamente e fino a un certo punto, per esempio Charlie Brown debutta come bambino di 4 anni e ce ne metterà 20 per arrivare a festeggiare l’ottavo compleanno. 
Ma il tempo non scorre allo stesso modo per tutti, il discorso è un po’ diverso per i neonati, 
Linus, per esempio, è un neonato quando Charlie Brown è già un bambinetto, crescerà alquanto rapidamente (dati gli standard di Schulz) fino a quando non avrà un anno in meno rispetto a Charlie Brown.
Schulz inserisce nelle sue strisce un’acuta critica sociale, emblematico è il personaggio di Piperita Patty rappresentata come un “maschiaccio”, scelta alquanto insolita se si considera l’immagine che i media davano delle ragazze in quegli anni. 

I temi su cui Schulz si sofferma sono vari, spaziano dalla questione razziale con l’inserimento di Franklin, il personaggio secondario afroamericano, alla guerra in Vietnam, passando per la critica alla spersonalizzazione delle persone (nel 1963 inserisce nel cast un bambino chiamato “5”, con le sorelline “3” e “4”, il cui padre ha cambiato il proprio cognome sostituendolo col proprio codice postale come forma di protesta per il progressivo sostituirsi dei numeri all’identità delle persone), ecc. 
Il tutto affrontato solo da un gruppo di bambini (nella serie infatti non compaiono mai gli adulti) con personalità e caratteristiche caratteriali molto simili a quelle dei “grandi”: Charlie Brown è depresso e sfiduciato, Lucy è isterica, Linus è maturo, Schroeder è chiuso nel suo mondo fatto di note.

E come non coinvolgere questi simpaticissimi personaggi  con la matematica?
Detto e fatto  Charlie Brown, Lucy, Schroeder, Linus.....mi accompagneranno in questo viaggio immaginario nel mondo oscuro dei quaternioni!

Parlando dei quaternioni non si può certo dimenticare il loro ideatore e un ponte su un canale di Dublino.
Il Royal Canal di Dublino è un corso d’acqua alla periferia della città, bucolico e ameno, che nessuno potrebbe sospettare essere stato sede di un evento epocale. 
Eppure uno dei suoi ponti più noti, il Broome Bridge, è meta, da alcuni decenni,  di turisti alla ricerca di una lapide commemorativa, posta nel 1958 e che riporta una curiosa iscrizione.
Questa lapide infatti testimonia una celebre passeggiata, destinata a lasciare una forte impronta nella storia della Matematica e nelle Scienze Applicate.

Ricorda infatti che il 16 ottoobre del 1843 un trentottenne, celebre e affermato fisico-matematico irlandese, William Rowan Hamilton, insieme alla moglie Helen si sta recando ad un congresso della Royal Irish Academy e, malgrado le chiacchiere  della moglie, il giovane scienziato è completamente assorto nei suoi pensieri.
Sono anni che Hamilton si arrovella sul problema apparentemente insolubile di estendere in R³ il concetto di numero complesso e dopo aver quindi ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4. 
Ed ecco che, improvvisa e folgorante, arriva l’intuizione geniale ed Hamilton, eccitato dalla scoperta, si precipita a incidere sulle pietre del ponte Brougham (oggi noto come Broom Bridge) la celebre formula:

i² = j² = k² = ijk = - 1

Dopo questa introduzione decisamente romanzesca e romantica, sulla nascita del concetto di quaternione, vediamo di addentrarci ora con l'aiuto degli amici Peanuts nell'ostico argomento.

Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte scalare e le rimanenti tre sono la parte vettoriale. 
La Matematica contemporanea riconosce i quaternioni come una estensione del campo dei complessi, dei cosiddetti binioni:
a+bi
In generale, un quaternione è una combinazione lineare delle unità dei quaternioni 1, i, j, k, esprimibile in modo unico come:
a+bi+cj+dk 
con a, b, c, d coefficienti reali; a è definito scalare, mentre gli altri coefficienti costituiscono il vettore.
Quindi l'insieme H dei quaternioni (H in onore di Hamilton) contiene, come sottoinsiemi, sia i numeri complessi che quelli reali, i primi sono i quaternioni della forma (a, b, 0, 0), mentre i reali sono i quaternioni della forma (a, 0, 0, 0).
Nell’insieme H vengono definite due operazioni: la somma e il prodotto. 
La somma, come avviene per i complessi, si realizza attraverso la somma dei coefficienti:

q+q’ = (a, b, c, d,) + (a’, b’, c’, d’) = (a+a’, b+b’, c+c’, d+d’)

Il prodotto è, invece, definito dalla seguente tabella moltiplicativa (per le unità dei quaternioni):

${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle -j}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle i}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle -i}$	${\displaystyle -1}$

quindi:

qxq’ = (a, b, c, d,) x (a’, b’, c’, d’) = (aa’-bb’-cc’-dd’, ab’+ba’+cd’-dc’, ac’+ca’-ba’+db’, da’+ad’+bc’-cb’)

Esempio
Dati i due quaternioni:
x = 3+i 
y = 5i+j-2k 
Somma e prodotto sono dati da:
x+y = 3+6i+j-2k 
xy = (3+i)(5i+j-2k) = 15i+3j-6k+5i²+ij-2ik = 15i+3j-6k-5+k+2j = -5+15i+5j-5k

Questa formalizzazione necessitava l'abbandono della commutatività della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'algebra lineare ed il prodotto fra matrici. 
Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il prodotto vettoriale ed il prodotto scalare negli spazi vettoriali.
La mancanza di questa proprietà fu quindi un argomento assai duro da digerire per i contemporanei di Hamilton, poiché rappresentava una novità assoluta e, per molti, sconcertante nella storia della Matematica.
Il prodotto tra quaternioni, così definito, porta ad una seconda sorprendente proprietà: i polinomi definiti in H possono avere un numero di zeri superiore al loro grado!
E' facile constatare infatti che ±i, ±j, ±k sono sei differenti soluzioni dell’equazione: 
x²=-1
soluzioni che comunque sono infinite date da tutti:
x = bi + cj + dk  con  b² + c² + d²  = 1
I quaternioni possono essere scritti anche facendo ricorso alle matrici complesse 2 x 2:



Ed è quindi facile anche verificare che il prodotto di due quaternioni non è in generale commutativo. Ad esempio, ij = k  è diverso da ji = -k .

Analogamente a quanto accade per i numeri complessi, anche tra i quaternioni è definito il concetto di coniugato, di inverso e di norma (con le loro proprietà).

Coniugato
Il coniugato di un quaternione 
     
è il quaternione

Il coniugato soddisfa le seguenti proprietà



Il coniugato può anche essere espresso da una combinazione lineare di q, con coefficienti contenenti i, j, k, nel seguente modo: 

Inverso
Un quaternione q  diverso da zero ha un inverso per la moltiplicazione, dato da:

infatti

e similmente 
 
Valgono le seguenti proprietà:

Norma
La norma di q  è il numero reale non negativo dato da:

La norma di q è sempre positiva, e nulla soltanto se q = 0 e valgono le relazioni seguenti:



I quaternioni formano quindi un corpo non commutativo e soddisfano tutte le proprietà dei campi, quali i numeri reali o complessi, tranne la proprietà commutativa del prodotto. 
Va ricordato che le estensioni dei quaternioni, quali gli ottetti e i sedenioni, non hanno neppure la proprietà associativa.
Abbiamo visto che i quaternioni contengono i numeri reali e i numeri complessi  e formano anche uno spazio vettoriale reale di dimensione 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). 
Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di algebra di divisione non commutativa.

L'uso dei quaternioni suscitò allora molte controversie. 
Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'algebra lineare e del calcolo vettoriale (sviluppato fra gli altri da Oliver Heaviside e Willard Gibbs), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. 
Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni.
Una curiosità è che una prima versione delle equazioni di Maxwell utilizzava una notazione basata sui quaternioni.

All’epoca della passeggiata sul fatidico ponte, Hamilton era un famoso e affermato matematico e a lui è dovuta la generalizzazione dei risultati della meccanica newtoniana, attraverso le celebri equazioni di Hamilton e la funzione hamiltoniana, ma a partire da quel giorno Hamilton si dedicò esclusivamente ai quaternioni, abbandonando ogni altro studio. 
Hamilton continuò così a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, "Elementi sui quaternioni" aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte,  avvenuta il 2 settembre 1865 all’età di sessant’anni.

Ma mai forse si sarebbe immaginato di vedere le proprie creature applicate nella computer graphic (si pensi alla rappresentazione frattale dell’insieme di Mandelbrot e dell’insieme di Jiulia, da cui deriva), nella definizione di frattali (in particolare nella rappresentazione di rotazioni tridimensionali), nella teoria del controllo, piuttosto che nella meccanica orbitale.
Chi ha qualche nozione di meccanica quantistica, avrà notato la notevole somiglianza delle matrici precedenti con le matrici di Pauli per la descrizione dello spin, generalmente indicate con σ_x, σ_y, σ_z e così definite:

Ma i quaternioni sono alla base anche di applicazioni che incontriamo tutti i giorni, tipo i videogiochi in 3D, o i softwares per visualizzare modelli tridimensionali, e che usano proprio i quaternioni per le routine di trasformazione delle immagini.
Ma non solo!

 

E' proprio di questi giorni (il 5 luglio 2016) l'evento epocale che ha visto la sonda Juno della Nasa entrare nell'orbita di Giove. 
Mai finora un veicolo era stato così vicino al pianeta più grande del Sistema Solare dando così la possibilità ai nove strumenti a bordo, due dei quali italiani, di poter dare le risposte alle tante domande aperte sul pianeta gigante. E a questo ha contribuito senz'altro anche la scoperta di Hamilton! 
Gli strumenti di controllo dell'assetto di un veicolo spaziale usano infatti un sistema comandato proprio mediante quaternioni.

Snoopy non sbaglia, infatti nel 1840, tre anni prima, Benjamin Olinde Rodrigues (6 ottobre 1795 - 17 dicembre 1851), più comunemente noto come Olinde Rodrigues ,  un banchiere francese, nonché matematico e riformatore sociale, aveva pubblicato un risultato sui gruppi di trasformazione usando una formula risolutiva al problema di rappresentare rotazioni nello spazio, anticipando quindi quella di William Rowan Hamilton. Tuttavia il suo lavoro era stato ignorato, e riscoperto solo nel tardo XX secolo.
E pare anzi che già nel 1819 il grande matematico, astronomo e fisico tedesco Carl Friedrich Gauss avesse scoperto i quaternioni anche se questo lavoro non venne allora pubblicato ma riscoperto e pubblicato solo nel 1900.

Vorrei fare un'ultima considerazione a proposito dell'invenzioni dei quaternioni.
Intanto la definisco invenzione e non scoperta perché ha tutte le caratteristiche proprie dell'invenzione.
Il processo inventivo infatti richiede la consapevolezza di concetti esistenti o metodi che possono essere modificati o trasformati in un'invenzione attraverso creatività e intuizione, come fece Hamilton sul ponte Brougham di Dublino. 
E così come un'invenzione è sempre un progresso dal punto di vista conoscitivo ma non è detto che sia utile immediatamente o per tutti, così sono stati i quaternioni, un'invenzione infatti che si è rivelata molto utile, ma in un periodo successivo.