Albrecht Dürer, dalla magia alla matematica

"Qual è 'l geometra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige,..."
(Dante Alighieri citazione dal XXXIII canto del Paradiso - Divina Commedia)

Questa citazione di Dante ben rende il problema della rettificazione o quadratura del cerchio, cioè la costruzione di un segmento con la stessa lunghezza di una data circonferenza o di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio, che è stato uno dei problemi centrali della matematica per millenni e che ha dato origine ad una vera e propria malattia, il "morbus cyclometricus", che in certe epoche ha assunto dimensioni di epidemia. 

π = circonferenza/diametro = area del cerchio/quadrato del raggio

Questa spasmodica ricerca di π "peripheria circuli", cioè il rapporto tra la lunghezza della circonferenza ed il diametro di un cerchio, o che è lo stesso, il rapporto tra l'area del cerchio e il quadrato del raggio, nel XV secolo coinvolse anche grandi artisti tra cui uno dei maggiori rappresentanti del Rinascimento tedesco, Albrecht Dürer (1471-1528).

A. Dürer, Autoritratto con pelliccia, 1500 - Alte Pinakothek, Monaco di Baviera

Dürer subì certamente il potere e il fascino del π (pi greco), che troneggiava nella sua mente, nelle sue mani, nelle sue opere. 
L’autoritratto, in cui Albrecht si raffigura in posa come un Cristo, certamente scena voluta e scelta pensata, anche se usuale al tempo, è molto significativa a dimostrazione del fascino suscitato in lui dal π . 
Mentre a destra troneggia l'iscrizione latina 

“Così io, Albrecht Dürer da Norimberga, sono riuscito a ritrarmi con colori caratteristici nei miei 28 anni”, 

in alto a sinistra troviamo la sua firma, cosa strana in quanto generalmente un artista si firma in basso e di solito a destra, ma qui no! 
Prendendo una lente e ingrandendo l'immagine si nota che l’iniziale del suo nome, la lettera A, la rappresenta a forma di π (Pi Greco) con la D, iniziale del suo cognome, al suo interno.
Anche se il suo vero cognome, in origine, era Ajtos che in ungherese significa "porta" (in tedesco porta di dice "Tür", da Tür a Türer e poi a Dürer il passo è breve), che poi era anche lo stemma della sua famiglia.
La porta verso dove? Verso la “Conoscenza” si potrebbe dire, ma di quale conoscenza? 
Una conoscenza del mondo, delle sue leggi matematiche ma anche dell'esoterismo che nasconde.
Nella concezione esoterica il π simboleggiava il passaggio dall'armonia del cerchio, i cui punti sono tutti equidistanti dal centro, al quaternario simbolo delle 4 dimensioni spazio-temporali. 
Splendida è in tal senso la firma di Dürer così riconoscibile e sintetica da diventare un “brand” ante litteram, un logo che non sfigurerebbe tra quelli di oggi.

Esempi del "logo" ideato da Albrecht Dürer

I matematici probabilmente conoscono il Dürer soprattutto per il suo lavoro Melencolia I  che contiene, strani oggetti, simboli appartenenti al mondo dell'alchimia e della matematica. 
Una figura alata, assorta nei suoi pensieri, si trova circondata da oggetti propri del mondo alchemico, una bilancia, un cane scheletrico, attrezzi da falegname, una clessidra, un putto, una campana, un coltello, una scala a 7 pioli (7 sono le operazioni per giungere alla pietra filosofale), il famoso quadrato magico.... e dove un compasso (preso stranamente per una punta), il tetraedro troncato e la sfera rappresentano la base matematica dell’arte del costruire. 
Un'opera che è anche di una simmetria tale da non lasciare dubbi su dove si possano trovare i 3 elementi più importanti per arrivare alla conoscenza: le chiavi, la via da percorrere e la porta. 

Melencolia I o Melancholia I è un'incisione a bulino (23,9x28,9 cm) 

di Albrecht Dürer, 

siglata e datata al 1514 e conservata, tra le migliori copie esistenti, 

nella Staatliche Kunsthalle di Karlsruhe. 

Immagine tratta da Melencolia3 - Gaetano Barbella

Un'opera, densa di riferimenti esoterici, tra cui appunto il quadrato magico, che è una delle incisioni più famose in assoluto, oggetto anche di omaggi come quello di Thomas Mann  nella sua opera letteraria "Dottor Faustus" o di Dan Brown nel romanzo "Il simbolo perduto".
Questo quadrato magico è molto complesso e matematicamente interessante. 
Infatti non è solo la somma dei numeri delle linee orizzontali, verticali e oblique a dare 34 ma anche la somma dei numeri dei quattro settori quadrati in cui si può dividere il quadrato e anche i quattro numeri al centro, se sommati danno 34, così come i quattro numeri agli angoli.
Inoltre se si prende un numero agli angoli e lo si somma con il numero a lui opposto si ottiene 17 e se si prendono i numeri centrali dell'ultima riga si trova il numero 1514, anno in cui è stata creata l'opera. 

Quadrato magico di Melencolia I - datato 1514

Melencolia I è certamente una delle opere di Dürer che più è in relazione con i suoi studi matematici ma anche ermetici ed occultistici e che dimostra quanto l’artista abbia  fatto dell’occultismo un’opera d’arte, in cui l’allegoria fa parte di quel trittico dedicato alle tre vie che portano alla conoscenza.

Infatti, insieme a il “Cavaliere, la Morte e il Diavolo” e a “San Girolamo nella cella”, Melencolia I fa parte di un trittico, detto Meisterstiche (Incisioni Maestre), che potrebbe rappresentare, nell’ordine, la fede, la meditazione e l’immaginazione: il Cavaliere si farebbe interprete delle virtù morali, il San Girolamo di quelle teologiche e la Melencolia delle virtù intellettuali.

Foto dalla mostra a Milano del 26 febbraio 2018  - testi divulgativi del Dürer 

Ora lascio il Dürer fanatico di pi greco e incisore esoterico per svelare il suo apporto didattico/matematico, soprattutto riguardo alle sue originali costruzioni geometriche.

In seguito all'invenzione della stampa a caratteri mobili, nella metà del XV secolo, si sviluppò anche l'editoria scientifica, ma pur essendo tedesco l'ideatore, Johannes Gutenberg, è interessante notare che il primo libro di matematica vera e propria, se si escludono libri di conto o libri di testo per l'aritmetica commerciale, stampato e pubblicato in tedesco, "Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt" (Istruzione nella misurazione con riga e compasso), è stato scritto proprio da Albrecht Dürer.
Albrecht, nato a Norimberga 547 anni fa, il 21 maggio 1471, figlio di un orafo ungherese (terzogenito di diciotto figli), iniziò originariamente a imparare questo mestiere con il padre, da cui apprese le tecniche di incisione sui metalli, che più avanti metterà a frutto nei suoi celebri lavori a bulino e acquaforte, e poi divenne apprendista presso l'artista più importante di Norimberga, Michael Wolgemut. 
Come pittore, fece il suo primo viaggio in Italia dal 1494 al 1495, dove imparò molto sul nuovo stile rinascimentale dell'arte italiana e in particolare sull'allora metodo relativamente nuovo di prospettiva lineare.

"Ritratto di giovane veneziana" dipinto dal Dürer  in Italia e simbolo della mostra 

“Dürer e il Rinascimento tra Germania e Italia” 

a Milano dal 21 febbraio al 24 giugno 2018  

Dürer si convinse che questo stile di composizione basato sulla matematica era il vero nucleo dell'arte e tornò in Italia dal 1505 al 1507 specificamente per saperne di più su questa tecnica, ma dove frequentò, soprattutto a Venezia, anche ambienti Neoplatonici che lo portarono ad esplorare vie esoteriche, e dove conobbe Raffaello Sanzio. 
Molto più giovane di lui, Raffaello avrà una sincera e profonda ammirazione per la sua arte dell'incisione, tanto da tener esposte nella sua bottega alcune sue opere.
Una conoscenza e un'amicizia reciproca che terminerà nel 1520 anno in cui Raffaello muore a Roma, a soli 37 anni.
I due artisti si erano scambiati delle opere solo pochi mesi prima. Dürer aveva inviato un autoritratto, Raffaello il bozzetto della Trasfigurazione e sul retro del foglio, un disegno e delle annotazioni apparentemente insignificanti (misure e codici enigmatici che Durer cercherà poi di decifrare), ma che erano invece i primi pensieri annotati su carta di quello che sarebbe diventato uno dei più celebri affreschi del grande urbinate, la "Scuola di Atene".
L'affresco, che rappresenta i più celebri filosofi e matematici dell'antichità intenti nel dialogare tra loro, all'interno di un immaginario edificio classico, è uno dei più alti esempi di perfetta prospettiva centrale nella cultura prospettica del Rinascimento italiano.

“Dürer e il Rinascimento tra Germania e Italia” mostra a Milano 

foto del 26 febbraio 2018

Sullo sfondo la gigantesca xilografia, vera antesignana dei poster, 

composta da 192 blocchi 

stampati separatamente e riuniti insieme a formare un grande "Arco di Trionfo",  

su cui erano illustrate 

storie della vita di Massimiliano I d'Asburgo e dei suoi antenati oltre a complesse figurazioni allegoriche.

1515-1517, sotto la regia di Albrecht Dürer, conservata, tra le migliori copie esistenti, 

nel Germanisches Nationalmuseum di Norimberga.

Sempre nel suo viaggio in Italia e a Venezia, aveva incontrato Jacopo de’ Barbari, e questi era riuscito a mostrargli cosa fosse in grado di fare la matematica applicata all’arte.
Seppur autodidatta Dürer dedicò la sua vita artistica proprio allo studio della prospettiva e della proporzione lineare, e allo sviluppo delle conoscenze matematiche necessarie per realizzare questo tipo di disegno.
Fu senz'altro una delle personalità più competenti per introdurre questa tecnica nel Nord Europa e diventerà il più grande esponente della pittura tedesca rinascimentale.
Convinto che il segreto della vera bellezza risiedesse nella teoria delle proporzioni matematiche, dedicò vent'anni a scrivere la sua tesi più importante sull'argomento il suo "Hierinn sind begriffen vier bücher von menschlicher Proportion" (Quattro libri sulla teoria della proporzione)  stampato e pubblicato postumo a Norimberga nel 1528.
Quando questo libro fu quasi completato, Dürer si rese però conto che era troppo matematicamente avanzato per gli apprendisti, i suoi più probabili lettori, e così compilò un libro di testo di geometria elementare, il suo "Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt" (Istruzione nella misurazione con riga e compasso), che fu stampato e pubblicato a Norimberga, nel 1525, prima della sua opera magna per la quale avrebbe dovuto esserne un'introduzione.
Fu quindi ristampato postumo nel 1538 con materiale aggiuntivo e nella biblioteca del Dipartimento di Matematica e Informatica Dickinson College (Carlisle PA 17013 USA), c'è una bella traduzione in inglese, della prima edizione, di Walter L. Strauss (1977) in cui è riportato a sinistra il testo originale in tedesco e la traduzione in inglese a destra, nonché una scansione del testo originale. (Qui le scansioni del libro originale stampato nel 1538 - vedi pp. 110-119 per questo argomento)

Foto dalla mostra a Milano del 26 febbraio 2018  - testo del Dürer 

Come accennavo, questo è stato il primo libro di matematica a essere stampato e pubblicato in tedesco, in quanto tutte le precedenti opere matematiche erano state stampate in latino. 

Sebbene mirasse agli apprendisti dell'arte, il libro trovò un pubblico molto più ampio e divenne un bestseller scientifico non solo in Germania. 

Fu tradotto in latino e in molte delle principali lingue europee e diventò un libro di testo standard in tutta Europa per la maggior parte del secolo successivo. 

Ancora attuale all'inizio del XVII secolo, quando Keplero, che  stava scrivendo le sue opere geometriche, criticò la costruzione dell'ettagono di Dürer come solo un'approssimazione e non matematicamente precisa. 

Pare comunque che una delle illustrazioni di Dürer del libro su come costruire una prospettiva lineare abbia ispirato Keplero alla sua soluzione sperimentale del problema del foro stenopeico nell'ottica.

Illustrazione "Lo sportello" metodo “meccanico” per rappresentare oggetti in prospettiva 
(dall’Underweysung der Messung del 1525)

Leggendo questo testo "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt ( Un manuale di misurazione di linee, aree e solidi per mezzo di riga e compasso) si vede chiaramente come Dürer abbia scritto il libro come un manuale tecnico per artisti, artigiani, ecc., dando istruzioni elementari su come disegnare poligoni regolari con riga e compasso. 

All'epoca di Dürer le vecchie opere dei greci si stavano nuovamente diffondendo e senz'altro Dürer ne venne a conoscenza tanto che il libro inizia: 

"Il più sagace degli uomini, Euclide, ha messo insieme le fondamenta della geometria. Coloro che lo comprendono bene possono fare a meno di ciò che segue qui"

Questa sembrerebbe anche un po' strana come introduzione perché, sebbene egli dia alcune costruzioni euclidee, molte sono nuove e, inoltre, doveva certo sapere che la stragrande maggioranza dei suoi lettori non conosceva Euclide.

Pagine che mostrano il carattere del testo e le costruzioni all'interno di un cerchio. 

Dal libro "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt "

Poiché si tratta di un manuale tecnico, l'accento di Dürer è sulle costruzioni facili da disegnare che sembrano buone e, in particolare alcune come sosteneva Keplero, sono solo approssimazioni di bell'aspetto. 

Molte di queste erano note agli artigiani del tempo, perché tecniche tramandate di generazione in generazione o perché apparse in stampe precedenti, ma alcune potrebbero essere state davvero scoperte dallo stesso Dürer.

Un'interessante costruzione è quella del pentagono regolare, di cui in effetti ne dà due: una costruzione greca classica e una sua originalissima che vorrei qui descrivere.

Illustrazione 1 Pentagono

Questa costruzione ha due caratteristiche notevoli. 

Una è che viene disegnata, forse usando un compasso arrugginito, la cui apertura resta fissata per l'intera costruzione e questo, probabilmente rappresentava un grande vantaggio per l'artigiano.

Il fatto che non dovesse regolare continuamente il compasso avrebbe infatti reso la costruzione più semplice, veloce e precisa. 

Il secondo fatto interessante è che è solo approssimativamente un pentagono regolare, ma è un'approssimazione molto buona, anche se Dürer non dice mai che questa è un'approssimazione.

Secondo i calcoli fatti da David Richeson,  professore di matematica al Dickinson College, l'errore nell'altezza del pentagono è inferiore all'1%. 

La costruzione, come si vede nell'illustrazione¹ inizia con il segmento di linea etichettato {ab} e con questo raggio viene impostato il compasso e con successive manovre, che lascio come divertente esercizio di decodifica al lettore, si arriva alla costruzione del pentagono.

(qui un'immagine animata della costruzione del pentagono di Durer)

Andando avanti nella lettura di trova anche molto di più! 

Dürer continua a dare originalissime costruzioni con riga e compasso di poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 e 13 lati. 

Come forse saprete, alcune di queste sono costruzioni impossibili (7, 9, 11 e 13), quindi le costruzioni di Dürer possono essere solo approssimazioni, anche se molto geniali.

L'ettagono (7-gon) e l'ennagono (9-gon) sono infatti approssimazioni eccellenti e quindi credo siano proprio da condividere e spiegare.

Illustrazione 2 Ettagono

L'ettagono di Dürer, come si vede nell'illustrazione², è straordinariamente facile da costruire. 

Inizia con un triangolo equilatero inscritto in un cerchio e considera la metà del lato del triangolo quasi con la stessa lunghezza del lato dell'ettagono inscritto. 

Quindi tutto ciò che si deve fare è semplicemente dividere in due un lato del triangolo e riportarne la misura, con il compasso, sulla circonferenza per ottenere così il primo lato 

dell'ettagono e usare poi questo lato per disegnare il resto e chiudere quasi perfettamente l'ettagono.

(qui un'immagine animata della costruzione dell'ettagono di Durer)

Illustrazione 3 Ennagono

La costruzione dell'ennagono è un po' più contorta, come nell'illustrazione³, ma altrettanto semplice. 

Si disegna un cerchio, un triangolo equilatero inscritto e, con la stessa apertura del compasso, si disegnano tre "Fischblasen" ("vesciche di pesce" come le chiama) facendo centro sui vertici del triangolo. 

Disegnato quindi un segmento radiale all'interno di una "vescica di pesce" lo si divide in tre parti e con l'apertura del compasso pari a questo 1/3 si traccia un cerchio concentrico che intersecherà in due punti {e} ed {f} la "vescica". 

Quindi {ef} sarà il lato di un ennagono (ovviamente approssimativo) inscritto nel cerchio più piccolo.

(qui un'immagine animata della costruzione del nonagono di Durer)

Come per il pentagono, Dürer non esplicita che l'ettagono e l'ennagono sono approssimazioni, tuttavia, ammette che le costruzioni dell'11-gono e del 13-gono, che tralascio in questo post, sono "meccaniche (approssimative quindi) e non dimostrative".

Come se non bastasse Dürer affronta anche due problemi indimostrati: quello di trisezione dell'angolo e della quadratura del cerchio.

Ricordando che la trisezione dell'angolo, come ha dimostrato algebricamente Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, nel libro Dürer lascia questa costruzione, curiosa ma sempre approssimativa, che vado a spiegare con una figura più esplicativa.

Trisezione dell'angolo secondo Dürer 

Sia AOB l’angolo da trisecare. Si tracci l’arco di circonferenza di centro O di estremi A e B, e si tracci anche il segmento AB.  Sia C  il punto  di AB tale che BC = 1/3 AB. Da C si conduca la perpendicolare ad AB, e sia D  il suo punto d’intersezione con l’arco di circonferenza. Si tracci quindi la circonferenza di centro B e raggio BD, che interseca il segmento AB  nel punto E.  Sia inoltre F  il punto di EC tale che si abbia EF = 1/3 EC. Si tracci poi la circonferenza di centro B e raggio BF, sia G  il  suo punto d’intersezione con l’arco di circonferenza. Allora l’angolo GOB è circa un terzo dell’angolo AOB.

Come già detto nel XV secolo molti artisti, tra cui Leonardo da Vinci (1452-1519), si dedicarono alla "quadratura del cerchio", e lo stesso Dürer cercò un' approssimazione di pi greco e ne diede una definizione molto rozza ma curiosa.

E così scrive:

"La quadratura circui, che significa quadrare il cerchio in modo che sia il quadrato che il cerchio abbiano la stessa superficie, non è stato dimostrato dagli studiosi. Ma può essere fatto approssimativamente per applicazioni minori o piccole aree nel modo seguente"

E' da notare che nella prima edizione del libro usa un'approssimazione di  π ~ 3{1/7} = 3,142857142.... (numero periodico), e nella seconda usa  π ~ 3{1/8} = 3,125 (numero decimale finito).
Le due approssimazioni, molto antiche, risalgono rispettivamente al 250 a.C. determinata da Archimede 3 + 10/71 <  π  < 3 + 1/7 = 3,142857142.... e addirittura al 2000 a.C. dai Babilonesi 3 + 1/8 = 3,125.

Scrive poi molto semplicemente: 

"Disegna un quadrato e dividi la sua diagonale in dieci parti e poi disegna un cerchio con un diametro di otto di queste parti"

Semplice quadratura del cerchio secondo Dürer 

Il libro di testo di Dürer gioca anche un ruolo importante nella storia della tipografia. 

È stampato infatti in un carattere tipografico creato appositamente per il libro dal maestro di scrittura Nürnberger Johannes Neudörfer (1497-1563) cognato dell'editore di stampanti Johannes Petreius .

Il carattere tipografico è uno script fraktur ("Fraktur" o "Gothic" è un particolare tipo di caratteri, appartenente alla famiglia dei caratteri gotici) e sebbene questo non sia stato il primo carattere fraktur, tutti i tipi di carattere fraktur sviluppati e utilizzati da allora derivano dalla creazione di Neudörfer.

Lettere del carattere "Fractur" dei testi del Dürer 
Il termine fractur deriva da frāctus ("rotto"), participio perfetto del verbo latino frangere ("rompere")

Questo libro del Dürer rappresenta certo una curiosa scoperta sotto vari profili ed è sicuramente una lettura piacevole che stimola a provare ad eseguire queste costruzioni. 

Io l'ho fatto a mano, ma si potrebbe anche facilmente fare usando Geogebra e si rimarrebbe sorpresi dalle figure geometriche risultanti.

Fonti
Illustrazioni tratte da Albrecht Dürer,  Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt:  Faksimile-Neudruck der Ausgabe Nürnberg 1525 mit einer Einführung von Matthias Mende, 3. Aufl., Verlag Dr. Alfons Uhl, Nördlingen, 2000