Fondazione Prada...arte e curiosità matematiche

Una stupenda performance jazz di Enrico Intra in occasione di Piano City Milano 2018, alla Fondazione Prada, è stata l'occasione per scoprire questo luogo davvero affascinante, con la sua Torre che si erge sul complesso espositivo. nato per volontà di Miuccia Prada nell'area dell'ex distilleria SIS (Società Italiana Spiriti), fabbrica risalente agli anni 10 del ‘900 come SDI (Società Distillerie Italiane), in cui si produceva il brandy Cavallino Rosso.
Una Torre imponente di 60 metri d’altezza per una superficie complessiva di 2.000 metri quadrati, in cui l'arte contemporanea fa da padrona e da cui si aprono panorami urbani mozzafiato. 
Creata da Rem Koolhaas con Chris van Duijn e Federico Pompignoli dello studio OMA, ha una caratteristica geometrica particolare se non unica, cioè quella di avere zone sviluppate su base trapezoidale e altre su base rettangolare, offrendo così punti di vista sempre diversi dove i grandi spazi con vetrate luminose riescono a creare giochi di luce e di volumi suggestivi che esaltano le installazioni e le opere, all’interno dei sei livelli espositivi della Torre (di nove piani) dove è ospitato infatti il progetto “Atlas” nato da un dialogo tra Miuccia Prada e Germano Celant. 

Installazioni di Pino Pascali - Foto © Annalisa Santi, 2018

Vorrei però soffermarmi solo sul quinto piano della Torre dove lo sguardo si allarga nello spazio immenso di una sala dedicata a tre opere dell'artista pugliese Pino Pascali (Bari, 19 ottobre 1935 – Roma, 11 settembre 1968), accostate ai lavori dello statunitense Michael Heizer.
Ai due estremi della sala si trovano "Pelo", una specie di gigantesco “pouf” di pelo grigio e "Meridiana", un enorme gnomone di legno e stoffa per segnare il tempo e in mezzo "Le confluenze" di acqua e anilina.
Quindi quella che potrebbe anche sembrare un'enorme puntina capovolta, potrebbe rappresentare nella "Meridiana" di Pascali lo gnomone (in greco γνώμων, gnṓmōn, conoscitore) che normalmente è la parte della meridiana che proietta la sua ombra su una superficie orizzontale o verticale, detta quadrante.

L'orologio solare si fa risalire ai Babilonesi (semisfera cava detto Polos) e la parola gnomone anche allora denotava un bastone piantato verticalmente la cui ombra era usata per misurare il tempo, ma per i Pitagorici, lo gnomone era la squadra da falegname.
Ma non solo!
L'aritmogeometria, uno dei filoni di ricerca di Pitagora di Samo (572 circa a.C. – fine VI sec a.C.) e della sua scuola è l’uso, finalizzato ad ottenere conoscenze di tipo aritmetico, di un algoritmo consistente nel rappresentare i numeri naturali con configurazioni geometriche di punti. 
Tali configurazioni sono dette numeri figurati o poligonali e tra essi spiccano gli gnomoni appunto, i numeri quadrati e  i numeri triangolari.

I Pitagorici erano soliti rappresentare i numeri mediante punti sulla sabbia o mediante ciottoli e classificavano i numeri a seconda delle forme che si ottenevano disponendo nei vari modi i punti o i ciottoli che li rappresentavano.
Proprio i numeri figurati evidenziano gli intimi legami che connettono il pensiero pitagorico con il concetto di numero e, secondo Nicomaco di Gerasa (fine I secolo d.C.), proprio mediante l’aritmogeometria i Pitagorici scoprirono le semplici proprietà dei numeri figurati

I numeri 1, 4, 9 ,16, 25, … erano chiamati numeri quadrati perché, intesi come punti, potevano essere disposti in un quadrato. 
Per passare da un numero quadrato al successivo i Pitagorici usavano il seguente schema:

e i punti situati a destra e al di sotto delle linee rosse formavano quello che essi chiamavano uno gnomone,
Quindi col nome gnomone chiamavano quello che essi vedevano e che così si definisce:

sottraendo da un quadrato il quadrato immediatamente precedente si ottiene uno gnomone, che è sempre un numero dispari 

e che in simboli si rappresenta:

(n + 1)² - n² = 2n + 1

Per esempio il numero n=72, che nella Smorfia, la cabbalah napoletana, si associa "a maraviglia", forma lo gnomone 145 infatti:

n=72
(72 + 1)² - 72² = 2x72 + 1
73² - 72² = 144 + 1
5329 - 5184 = 145

Inoltre, partendo da 1 e aggiungendo lo gnomone 3, poi lo gnomone 5, e così via si ricava che:

un generico numero quadrato si ottiene sommando i numeri dispari, a partire dall’unità

e che in simboli si rappresenta:

n² = 1 + 3 + 5 + 7........ + (2n - 1)

Per esempio se n=4

4² = 1 + 3 + 5 + (2x4 - 1) = 1 + 3 + 5 + 7 = 16

Ma oltre ai numeri quadrati e agli gnomoni, interessanti sono anche i numeri triangolari.

I numeri 1, 3, 6,10,15.....erano detti numeri triangolari perché i corrispondenti punti potevano essere disposti a triangolo. 
Essi sapevano che un generico numero triangolare si ottiene sommando i primi n numeri naturali, in simboli

Tn = 1 + 2 + 3 + 4 +............+ (n - 2) + (n - 1) + n = n(n +1)/2

Da come osservò Pitagora, e da come si osserva, quindi un numero si dice traingolare Tn se è possibile visualizzarlo con un triangolo equilatero di lato n.
Ma Pitagora come arrivò a determinare per esempio un T100?

T100 = 1 + 2 + 3 +4 +5 +6 +............+100

E' ben difficie pensare che l'abbia fatto contando i punti o i sassolini, via via che si aggiungevano, o forse arrivò alla determinazione della formula:

Tn = n(n + 1)/2 
T100 = 100x101/2 = 5050

come fece Gauss?

Non è dato saperlo, come non è dato sapere come lo stesso Pitagora abbia dimostrato il suo famoso teorema sui triangoli rettangoli.
Tanto più che secondo Porfirio (nella sua "Vita di Pitagora"):

"I più dicono che egli apprese le cosiddette scienze matematiche dagli Egizi, dai Caldei e dai Fenici; ché già nei tempi più antichi gli Egizi si dedicarono allo studio della geometria, i Fenici allo studio dell'aritmetica e della logistica, i Caldei all'osservazione degli astri” 

Sta di fatto che noi conosciamo le varie dimostrazioni geometrica, intuitiva, per induzione.......attribuite a Gauss.

Immagine © Theoni Pappas, 1993

Si racconta che Carl Friedrich Gauss fosse un bambino prodigio ed esistono diversi aneddoti riguardo alla sua precocità....per esempio, Gauss, almeno secondo la leggenda, a 3 anni avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.
Un altro aneddoto, più verosimile, racconta che a 7 anni, il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi, ordinò loro di fare la somma dei numeri da 1 a 100. 
Quasi subito il bimbo Gauss diede la risposta esatta, sorprendendo l'insegnante ed il suo assistente Martin Bartels. 
Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss....forse geometrico o forse mise in una riga i numeri da 1 a 100 e in una riga sotto i numeri da 100 a 1, e vide che ogni colonna dava come somma 101....Carl moltiplicò quindi 100 × 101 e divise per due, ottenendo il risultato 5050.
Però i dettagli della storiella sono incerti (vedere fonte originaria nella biografia di Wolfgang Sartorius von Waltershausen "Gauss zum Gedächtnis" edito nel 1862  e i cambiamenti in altre versioni), Joseph J. Rotman nel suo libro "A first course in Abstract Algebra", si chiede se ciò sia realmente accaduto e Joaquin Navarro sostiene che in realtà Büttner avesse assegnato un compito ancora più complesso.

Intuitivamente, come pare abbia potuto fare Gauss, ci accorgiamo che disponendo 2 volte Tn in modo simmetrico 
1  +     2     +     3  + 4 + 5 + .................... (n-2) + (n - 1) + n
n + (n - 1) + (n - 2) +.....................5 + 4  + 3     +     2     + 1
e sommando in colonna otteniamo n volte la somma (n + 1)
da cui appunto

2Tn = n(n + 1) -> Tn = n(n + 1)/2

Se preferiamo una giustificazione geometrica, possiamo pensare di disporre i numeri figurati come triangoli rettangoli isosceli, accostandogli vicino un triangolo uguale (congruente, come ci insegnavano alle medie), ottenenendo così un rettangolo che ha un numero di righe pari al numero n che era originariamente rappresentato dal triangolo, mentre un numero maggiorato di uno (n + 1) per le colonne. 
Si ottiene così un rettangolo di lati n e n+1, che è formato da n(n+1) punti, il doppio di quelli del triangolo.
Quindi per calcolarne la somma basta dividere per 2.

Decisamente ho divagato e da una scultura esposta alla Fondazione Prada sono addirittura finita a parlare del grande Gauss.
Lo gnomone della Meridiana di Pascali mi ha ricordato queste curiosità matematiche che spero abbiano stuzzicato anche l'interesse dei lettori.