domenica 9 settembre 2018

La Matematica è più di una forma d'arte

"La matematica è più di una forma d'arte."
(Takakazu Seki, 関孝和 1642-1708)¹

Perché per Takakazu Seki la matematica è più di un'arte?
E a quale matematica si riferiva?
Si riferiva al "Wasan" con i suoi artistici e colorati "Sangaku"!




Durante il periodo Edo, tra il 1603 e il 1868, il Giappone visse un lungo periodo di isolamento, durante il quale interruppe quasi del tutto le relazioni con il resto del mondo.
Per oltre due secoli, fiorì così in Giappone una cultura unica e originale, che influenzò tutte le discipline e la matematica che si sviluppò in quegli anni, senza influenze straniere, prese il nome di wasan. 
Il wasan era praticato da studiosi ma anche da persone comuni, che affrontavano problemi matematici per divertimento e per risolvere le necessità della vita quotidiana, come costruire un ventaglio o disporre i fiori in un vaso. 




Spesso i quesiti venivano disegnati su piccole tavolette di legno, i sangaku, che venivano appese di fronte ai templi per sfidare i pellegrini e i passanti a scrivere la soluzione sul retro della tavola. 
Una matematica "partecipativa", artistica e divertente di cui nei secoli si sono purtroppo perse le tracce.
Una matematica che ha origine cinese, origine che si riscontra ad esempio nella rappresentazione dei numeri tramite bastoncini di legno o di bambù detti sangi (算木) disposti su un'apposita griglia.
Si trattava di un vero sistema numerico posizionale con cifre da 1 a 9 e dallo zero 0, adottato dal periodo che va dal 475 a.C. circa al 16° secolo.


Numeri scritti in sangi (算木) Triangolo di Tartaglia 

La pagina riprodotta sopra riporta i numeri del triangolo di Tartaglia scritti utilizzando i sangi (算木).



Ogni campo della griglia contiene una cifra del sistema numerico decimale e  i colori rosso e nero permettevano di distinguere tra numeri positivi e negativi.
I sangi³ davano la possibilità di eseguire operazioni aritmetiche di diverso tipo, di estrarre radici quadrate e cubiche, di trattare sistemi lineari e di risolvere equazioni algebriche.


Numeri sangi (算木) 

Quando l'uso del soroban  (l'abaco giapponese) prese il sopravvento, le aste di conteggio furono abbandonate tranne in una notazione simbolica per l'algebra, dove i sangi si svilupparono e modificarono soprattutto grazie proprio a Seki Takakazu, che sviluppò i "numeri delle aste" in notazione simbolica per l'algebra, migliorando drasticamente la matematica giapponese. 
E' bene ricordare però che  giapponesi non ebbero una loro propria matematica fino all'anno 1627, quando fu pubblicato Jink ̄o-ki . 
Questo fu infatti il primo libro di matematica giapponese pubblicato, che essenzialmente spiegava come usare il soroban e, fino ad allora, gran parte dell'apprendimento e dello studio in matematica provenivano dai classici della Cina, con particolare attenzione a The Nine Chapters e Cheng's Treatise. 
Questo ritardo nello sviluppo della matematica fu anche dovuto al fatto che fino alla fine del 1500, la maggior parte degli usi della matematica in Giappone consistevano nell'imposizione di tasse sulla terra (geometria) e per le transazioni commerciali (l'aritmetica di base).
Esistevano quindi figure di "specialisti in matematica" del "Dipartimento di Intelligenza Aritmetica" che però conoscevano solo la geometria sufficiente per ottenere l'area del terreno e calcolare l'imposta richiesta. 
Il governo aveva quindi, fino allora, visto la matematica come un mezzo per un fine, vale a dire per l'acquisizione di denaro. 
Intorno agli inizi del 1600 le cose cominciarono a cambiare e un nuovo gruppo di sovrani, i Tokugawa, prese il controllo di tutto il Giappone, unendo tutte le terre sotto un unico governo. 
Il Dipartimento di Intelligenza aritmetica si sciolse e le tasse non furono più legate alla quantità di terra posseduta.
I Tokugawa apportarono altri importanti cambiamenti, la chiusura dei confini giapponesi e la messa al bando (e quindi l'eliminazione) del cristianesimo e dei missionari.  
Tutti i missionari furono infatti messi a morte insieme a quelli che non volevano rinnegare il cristianesimo.


Tokugawa Ieyasu primo shōgun del periodo Edo

Iniziò però in Giappone un periodo di pace, chiamato periodo Edo, che durò fino al 1868, quando furono riaperti i confini, e fu durante questo periodo che la cultura matematica incominciò a svilupparsi e a prosperare.
Durante il tempo della Grande Pace i samurai divennero i nuovi nobili del Giappone e, non più necessari come guerrieri, ricevettero incarichi governativi e divennero, molto più spesso, insegnanti itineranti.
Il tempo era ormai maturo per un'esplosione di apprendimento nei luoghi che, dato che non c'erano edifici scolastici, maggiormente creavano aggregazione, come il santuario locale o il tempio buddista. 
Sempre più persone furono indotte così a riunirsi per funzioni religiose, educative e sociali, tanto che nel secolo successivo il popolo giapponese avrebbe raggiunto il più alto tasso di alfabetizzazione di tutte le nazioni, diventando uno dei più istruiti.
Si sviluppò così la matematica wasan con i suoi sangaku. 
Queste tavolette avrebbero adornato templi e santuari mostrando la nuova conoscenza appresa. 
Tuttavia i sangaku avevano anche un significato più profondo e divennero un modo per ringraziare gli dei e gli spiriti per la nuova conoscenza.


Takakazu Seki o Kōwa Seki

Uno dei protagonosti di questo rifiorire di cultura matematica wasan fu proprio Takakazu Seki o Kōwa Seki, che  è stato infatti uno dei più grandi matematici giapponesi.
Seki Kowa, chiamato anche Takakazu, nacque verso il 1642, probabilmente a Fujioka, Gumma, in Giappone. 
Seki è il suo cognome, e Kowa è la lettura cinese dei caratteri, mentre la lettura giapponese è Takakazu. Il suo secondo nome è Shinsuke e lo pseudonimo è Jiyutei.
Nato in una famiglia di guerrieri samurai, secondo figlio di Uchiyama Shichibei Nagaakira in tenera età fu però adottato da una nobile famiglia di nome Seki Gorozayemon e prese il nome con cui ora è conosciuto, Seki, che deriva proprio dalla famiglia che lo adottò. 
Seki si rivelò subito un bambino prodigio in matematica. 
Da autodidatta si era formato una cultura matematica e, a nove anni, iniziò a parlarne con un istitutore di casa che si rese conto del talento del ragazzo.
Iniziò il suo studio da libri matematici stampati durante la dinastia Chosun, portati dall'esercito di Hideyosi. 
A quel tempo la dinastia Chosun praticava infatti un sistema matematico ben organizzato in libri di testo. 
Ben presto Seki costruì una biblioteca di libri giapponesi e cinesi sulla matematica e venne riconosciuto come un esperto, "Il Saggio Aritmetico"(termine che è scolpito sulla sua 
lapide), e presto ebbe molti allievi. 
Come si legge in "Una storia della matematica giapponese" (Chicago, 1914) di DE Smith e Y Mikami:

"A tempo debito, come discendente della classe dei samurai, servì in un ufficio pubblico, quello di esaminatore dei conti del Signore di Koshu, proprio come Newton divenne il direttore della zecca sotto la regina Anna. 
Quando il suo signore divenne l'erede dello Shogun, Seki divenne samurai di Shogunate e nel 1704 ottenne una posizione d'onore come maestro di cerimonie nella casa dello Shogun"


 
Statua in bronzo di Takakazu Seki (città Fujioka, prefettura di Gunma)

Ma Seki fu soprattutto un illustre esponente della scuola wasan, che considerava la matematica più vicina all'arte che alla scienza o alla tecnologia. 
Nonostante ciò (o, forse, proprio per questo), Seki e i matematici wasan spesso precedettero quelli occidentali nella scoperta di importanti teoremi e algoritmi, soprattutto nell'algebra lineare, nella multilineare e nella soluzione approssimata delle equazioni algebriche non lineari.




Scritto sul numero di Bernoulli e coefficienti binomiali  (1712) 

Anche se gran parte del primo sviluppo di Wasan fu preso in prestito dalla matematica formulata in Cina, durante il periodo Edo, subì una rivoluzione proprio per mano di Seki Kowa. 
La matematica, già prima del periodo Edo in Giappone, comprendeva la conoscenza della geometria (essenzialmente importata dalla Cina), ma è curioso il fatto, come fa notare M Fujiwara in "Miscellaneous notes on the history of Wazan", che i matematici giapponesi 
usassero il Teorema di Pitagora per trasformare i problemi geometrici in quelli algebrici. 
Sempre alla scuola di Wasan e alla matematica giapponese si deve la creazione di un calendario astronomicamente accurato, anche se non ci sono molti documenti riguardanti la matematica che si sviluppò su questo argomento.   


Dimostrazione del Teorema di Pitagora
               
Va ricordato anche che già intorno al 13° secolo, la versione giapponese dell'abaco, il soroban  fu introdotto in Giappone dalla Cina, il suanpan, e adottato per eseguire calcoli complessi e noiosi in modo molto rapido ed efficiente. 
Si può infatti imparare a eseguire calcoli estremamente rapidamente con il soroban e ancora oggi, alcuni studenti giapponesi imparano a fare calcoli mentalmente visualizzando un soroban nell'aria. 

Kowa e i suoi seguaci svilupparono uno stile distintivo della matematica e formularono appunto concetti sviluppati contemporaneamente in Occidente, come l'algebra lineare e il calcolo. 
Una caratteristica di Wasan sono i Sangaku o San Gaku (算額 tavoletta di calcolo), enigmi geometrici scolpiti su tavolette di legno, senza soluzione, che venivano posti come offerte ai santuari shintoisti o ai templi buddisti durante il periodo Edo da membri di tutte le classi sociali.
I Sangaku erano dipinti a colori su tavolette di legno (ema) e appesi nei recinti dei templi buddisti e dei santuari shintoisti come offerte ai kami e ai buddha, come sfide per i membri della congregazione o come dimostrazioni delle soluzioni alle domande. 
Questi problemi sono spesso indicati in inglese come  "Japanese Temple Problems" (Problemi del tempio giapponese) e, di solito, erano di natura geometrica e riguardavano la ricerca di aree, volumi e raggi di cerchi. 





I Sangaku erano quindi enigmi che molti cercavano di risolvere, inclusi nobiltà, preti e popolani. 
Ci sono molti libri che contengono questi problemi con la traduzione inglese e c'è un meraviglioso sito web  (link SanGaku) che contiene questi problemi tratti dal libro di H. Fukagawa e D. Pedoe "Japanese Geometry Problems: San Gaku" - Charles Babbage Research Center, 1989. I disegni e le soluzioni sono state elaborate da Kevin Mirus.


Quali sono i raggi dei cerchi blu? 

Purtroppo quando il contatto con l'Occidente fu stabilito nel periodo Mejii, che seguì il periodo di Edo, lo stile Wasan fu abbandonato a favore della matematica occidentale, tanto che Wasan e la storia della matematica giapponese sono stati poco studiati e presi in considerazione in occidente.
La maggior parte di queste tavolette è stata inoltre tristemente persa durante la modernizzazione del periodo Mejii, anche se ne sono rimaste circa 900 .  
Il governo dovette adottare la matematica occidentale per essere in grado di comunicare con tutti i nuovi partner commerciali con cui si erano ristabiliti i rapport e,  a tal fine, fu indetta una legge che mise fuori legge Wasan al fine di far adottare nelle scuole solo la matematica occidentale. 
Chiunque avesse ancora insegnato Wasan avrebbe perso la  licenza di insegnamento e sarebbe stato imprigionato. 


Replica di Hatsubi-Sampo esposta nel Museo Nazionale di Natura e Scienza , Tokyo , Giappone 

Nel 1674 Seki pubblicò "Hatsubi Sampo" in cui risolse quindici problemi Sangaku che erano stati posti. 
Un lavoro notevole per l'attenta analisi dei problemi che ha fatto Seki e che certamente è stato uno dei motivi del suo grande successo come insegnante.
Seki ha inoltre anticipato molte delle scoperte della matematica occidentale. 
Infatti Seki ideò un nuovo sistema di notazione matematica (endan-jutsu) e lo impiegò per formulare autonomamente molti teoremi e teorie che erano state, o sarebbero state di lì a poco, scoperte in Occidente.

Vediamole nel dettaglio:

- Seki fu il primo matematico a studiare i determinanti nel 1683 e un contributo notevole di questo matematico all'algebra fu proprio la scoperta del determinante (Biografia nel dizionario della biografia scientifica - New York 1970-1990). 
Studiò infatti le matrici 2x2 e 3x3, e, pur non essendo in grado di determinare una formula generale, ottenne comunque un risultato più generale di quello che Leibniz avrebbe ottenuto dieci anni più tardi. 
- Seki ha anche scoperto i numeri di Bernoulli prima di Jacob Bernoulli e la riscoperta autonoma di molti risultati del calcolo infinitesimale.
- Studiò equazioni trattando sia le radici positive che quelle negative, anche se non aveva ancora alcun concetto di numeri complessi. 
- Fu il primo in Giappone a studiare i quadrati magici e le equazioni diofantee.
Per esempio, nel 1683, considerò le soluzioni intere di ax - by = 1 dove a , b sono numeri interi.
Scrisse sui quadrati magici, sempre nel suo lavoro del 1683 (fu il primo trattato del tema in Giappone), dopo aver studiato un'opera cinese di Yank Hui sul tema nel 1661. 
- Introdusse i caratteri kanji per rappresentare variabili e incognite nelle equazioni, ed anche se fu obbligato a limitare il suo lavoro alle equazioni fino al quinto grado, in quanto il suo alfabeto algebrico (endan-jutsu) non era adatto alle equazioni generiche dell'n-esimo ordine, fu in grado di creare equazioni con coefficienti letterali di qualsiasi grado e con diverse variabili, e di risolvere equazioni simultanee. 
In questo modo fu in grado di derivare l'equivalente di f(x), e quindi di giungere alla nozione di discriminante (una funzione speciale della radice di un'equazione polinomiale esprimibile mediante i coefficienti del polinomio).
- Nel 1685, risolse l'equazione cubica 30 + 14 x - 5 x 2 - x 3 = 0 usando lo stesso metodo che userà Horner cento anni dopo.
- Scoprì il metodo Newton o Newton - Raphson per risolvere le equazioni e introdusse una versione della formula che poi si dirà di interpolazione di Newton.
- Un altro dei contributi di Seki fu sulla rettificazione del cerchio, ovvero il calcolo del pi greco. 
Un'altra importante scoperta attribuita a lui è infatti enri (円 理), o principio del cerchio, un sistema matematico sostanzialmente equivalente al calcolo sviluppato dai suoi contemporanei Newton e Leibniz in Europa, ed è così chiamato perché la sua prima applicazione era il calcolo del valore di pi a 15 cifre decimali.
Ottenne un valore che era corretto fino al 9° decimale,  risultato che i suoi allievi portarono alla precisione fino al 18º decimale.


Il soroban in Yoshida Koyu s' Jinkōki (edizione 1641)

Purtroppo la segretezza che ha circondato le scuole in Giappone, rende difficile determinare i contributi fatti da Seki, anche se si è riusciti ad attribuirgli queste importanti scoperte nel calcolo, tramandate poi dai suoi stessi allievi.
Gran parte della sua fama infatti gli deriva, soprattutto, dalle riforme sociali che introdusse allo scopo di sviluppare lo studio della matematica in Giappone e di renderlo ampiamente accessibile.
Considerando il fatto che Seki sviluppò molti concetti matematici allo stesso tempo e anche prima dei matematici in Europa, perché i giapponesi abbandonarono lo stile Wasan al contatto con l'Occidente? 
In che senso la matematica occidentale era "superiore" a quella Wasan? 
                          
Va ricordato che il termine Wasan , da wa ("giapponese") e san ("calcolo"), fu coniato nel 1870²  e impiegato per distinguere la teoria matematica giapponese originaria dalla matematica occidentale (洋 算yōsan).
Questo schema matematico, evolutosi durante un periodo Edo (1603-1867) in cui il popolo giapponese era isolato dalle influenze europee, fu introdotto da Kambei Mori che è stato il primo matematico giapponese noto nella storia. 
Kambei è conosciuto soprattutto come insegnante di matematica giapponese che, tra i suoi studenti più importanti, istruì Yoshida Shichibei Kōyū , Imamura Chishō e Takahara Kisshu, studenti che vennero chiamati dai loro contemporanei "i tre aritmetici".


Promulgazione della Costituzione Meiji, xilografia in stile ukiyo-e di Yōshū Chikanobu, 1889

Quando all'inizio del periodo Meiji (1868-1912), il Giappone e la sua gente si aprirono all'Occidente e gli studiosi giapponesi adottarono la tecnica matematica occidentale, questo portò a un calo di interesse per le idee usate in Wasan . 

Molto probabilmente una delle principali differenze tra la matematica giapponese e la matematica occidentale sta nel contesto in cui sono state sviluppate. 

Ad esempio, è vero che Seki Kowa ed i suoi seguaci hanno sviluppato un sofisticato metodo equivalente al calcolo di Newton e Leibniz, ma lo hanno applicato solo a indagini geometriche, come la ricerca di aree e volumi. 

Newton invece sviluppò il calcolo allo scopo di descrivere una teoria fisica, la teoria della gravità. 
In Occidente gran parte dello sviluppo della matematica fu in questo periodo motivata da domande che sorgevano in fisica e  che riguardavano forze e quantità non facilmente visualizzabili, come energia e quantità di moto, e quindi sorse un nuovo livello di astrazione della matematica, mentre in Giappone la matematica rimase focalizzata sulla soluzione di problemi geometrici che potevano essere facilmente visualizzati ed essere esteticamente piacevoli. 
Il più alto livello di astrazione in matematica ha dato un maggiore potere di risoluzione dei problemi e ha aperto nuove strade per l'esplorazione matematica. 
È per questo motivo che credo che, sebbene Wasan e la matematica occidentale fossero alla stessa altezza all'inizio del XVIII secolo, la matematica occidentale accelerò il suo sviluppo e acquisì molto più prestigio della matematica del Giappone, proprio agli albori della modernizzazione giapponese.


Note

¹ Citazione da
https://web.archive.org/web/20040407050516/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/Quotations/Seki.html
² da Helaine Selin - Enciclopedia della storia della scienza, tecnologia e medicina nelle culture non occidentali  (p. 641 su Google Libri). 
Helaine Selin (nata nel 1946) è una scrittrice americana, autrice  di numerosi best seller 
³ Il lettore interessato ad approfondire il calcolo con i sangi può trovare diverse spiegazioni nella pagina di wikipedia dedicata al rod calculus. 




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