That monthly changes in her circle orb,
Lest that thy love prove likewise variable."
William Shakespeare (Romeo and Juliet - Act 2 Scene 2) -
Queste intramontabili parole di Giulietta, tratte dal testo originale di William Shakespeare :
"Oh non giurare sulla luna, l'incostante luna,
che si trasforma ogni mese nella sua sfera
Affinché il tuo amore non si riveli allo stesso modo mutevole."
e il 50° anniversario dello sbarco sulla luna, il 20 luglio prossimo, mi hanno dato lo spunto per questo articolo di matematica "lunare", in cui proprio grazie alla luna parlo di un progetto didattico della NASA e introduco la "F-trasformata" legata al grande matematico Jean Baptiste Joseph Fourier.
Un celebre fotogramma del film Viaggio nella Luna (Le voyage dans la Lune, 1902)
di Georges Méliès Immagine ©Wikipedia
Ora sono i cinesi a puntare sulla Luna e gli Stati Uniti, che dal dicembre 1972 avevano concluso le missioni "Apollo"¹, prevedono ora un piano per la nascita nel 2020 di colonie lunari con fini scientifici.
Intanto, per preparare questo ritorno, alcune sonde spaziali hanno approfondito lo studio geologico della Luna e forse hanno individuato una riserva di acqua ghiacciata.
Come applicare la matematica alla luna? Immagine © Luna Math
Ma come applicare la matematica per capire il satellite naturale della Terra e le future missioni sulla luna?
Ci viene in aiuto un progetto della NASA (National Aeronautics and Space Administration) rivolto agli insegnanti che introduce nuove prospettive dell'insegnamento attraverso uno stretto legame tra matematica e spazio.
Le questioni che affronta la matematica "lunare" possono spiegare concetti come le caratteristiche fisiche della luna, la probabilità di un impatto di un meteorite sulla superficie lunare o come l'ossigeno potrebbe essere estratto dalle rocce lunari.
E'nata quindi una guida, Lunar Math Educator Guide, che include matematica di base, algebra, geometria, funzioni trigonometriche...
La guida, a sua volta, fa parte del progetto SpaceMat @ NASA, progetto nato per introdurre gli studenti all'uso della matematica nelle scoperte scientifiche di oggi.
SpaceMath @ NASA collabora con l'importante fornitore di soluzioni educative STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics) per aiutare gli studenti a vedere le profonde connessioni tra matematica e scienze, usando la NASA e l'esplorazione dello spazio come tema.
L'astronomo Sten Odenwald, che è di stanza al Goddard Space Flight Center della NASA a Greenbelt, Maryland, guida un team di professionisti, Education and Public Outreach (E & PO), che sviluppano i materiali didattici di SpaceMath.
Attraverso comunicati stampa e altri articoli, vengono analizzati i tipi di abilità matematiche che si incontrano nell'esplorazione dell'universo.
I problemi, estratti appunto da comunicati stampa della NASA, sono scritti per presentare aspetti sorprendenti ma quantificabili di un'immagine o di una scoperta che possono essere presentati come semplici problemi matematici, progettati per l'uso diretto in classe da parte degli studenti.
"Questi possono essere diversi come un problema su frazioni e percentuali usando i dati dell' esopianeta Kepler, o come determinare il volume di Comet Hartley-2 usando il calcolo integrale"
ha detto Sten Odenwald.
ha affermato Jim O'Neill, vicepresidente di Houghton Mifflin Harcourt (HMH) di Boston, che partecipa al progetto.
(Comunicato stampa SpaceMath @ NASA)
In Italia non credo proprio che questo progetto sia stato applicato ai programmi scolastici ma potrebbe servire da spunto per introdurre problemi di matematica applicata, tanto "cari" al MIUR alle ultime prove di Maturità, le cui scelte in questi ultimi anni, sono state molto discutibili se non surreali.
Dopo questa introduzione di didattica statunitense, applicata alla Luna e alle imprese spaziali, vediamo in concreto come davvero la matematica "lunare" sia utile per comprendere sia la matematica che le caratteristiche del nostro satellite.
La luna, come argomento per lo studio matematico, offre infatti molte opportunità di combinare argomenti matematici, dai più semplici ai più avanzati, per sondare ulteriormente i suoi numerosi misteri.
Per migliaia di anni semplici operazioni e deduzioni geometriche erano bastate per padroneggiare la sua cronologia nel cielo, ma l'avvento dei telescopi nel XVII secolo e l'era spaziale negli anni '60 del XX secolo, ha aperto molti nuovi modi per indagarlo come un oggetto matematico.
Sidereus Nuncius di Galileo Galilei
Estratto del Sidereus Nuncius – Trattato di astronomia
con due schizzi di Galileo Galilei, pubblicato nel 1610
Nei successivi diciotto giorni, egli tracciò almeno altri cinque disegni, sulla base dei quali preparò degli accuratissimi acquerelli, di cui ne usò quattro da pubblicare come stampe a corredo del suo rivoluzionario "Sidereus Nuncius", che comparve nel marzo successivo.
In questo trattato Galileo annunciava ad un pubblico meravigliato che la Luna non era un globo di quintessenziale perfezione, bensì un ammasso craterizzato da elementi, una nuova terra che doveva essere esplorata, mappata e battezzata.
Nasceva così la selenografia, vale a dire la disciplina astronomica relativa alla descrizione e rappresentazione della superficie lunare.
Ma non voglio parlare di selenografia bensì di come si possa introdurre, descrivere e capire la Trasformata di Fourier partendo da considerazioni "lunari".
"Théorie analytique de la chaleur"- J.B.J Fourier - 1822
Quasi 200 anni dopo, la Trasformata di Fourier resta uno strumento utilissimo in diversi domini della scienza, offrendo la possibilità in alcuni casi di risolvere le astruse equazioni che descrivono le risposte dinamiche a sollecitazioni elettriche, termiche o luminose e in altri casi serve a identificare le componenti regolari di un segnale ondulatorio, consentendo così di interpretare correttamente certe osservazioni in astronomia, medicina e chimica.
Prima dell'avvento dei calcolatori elettronici, il calcolo numerico di una trasformata era piuttosto noioso perché si dovevano fare moltissime operazioni aritmetiche con carta e matita. Il tempo necessario poteva essere ridotto un po' usando regole e piani di computazione che guidavano i ricercatori nel calcolo, e successivamente questi calcoli divennero più agevoli quando si resero disponibili calcolatori e programmi in grado di applicare nuovi metodi dell'analisi di Fourier. Come il lavoro proposto nel 1965 da James W.Cooley del Thomas J. Watson Research Center della IBM e da John W. Tukey dei Behl Telephone Laboratories di Murray Hill, nel New Jersey, che portò all'allestimento di un programma chiamato trasformata rapida di Fourier.
Immagine della baia di Mont Saint-Michel © Wikipedia
Ma la Luna e Fourier?
Tutti conosciamo il legame tra la luna e la marea che è un fenomeno periodico costituito da ampie masse d'acqua (oceani, mari e grandi laghi) che si innalzano (flusso, alta marea) e abbassano (riflusso, bassa marea) anche di 10-15 metri (nella baia di Mont Saint-Michel)
Questo fenomeno, con frequenza giornaliera o frazione di giorno (solitamente circa ogni sei ore, un quarto di giorno terrestre), è determinato, oltre che dalla forza centrifuga dovuta alla rotazione del sistema Terra-Luna intorno al proprio centro di massa, dall'attrazione gravitazionale esercitata sulla Terra dalla Luna, che, pur essendo circa duecento volte meno intensa dell'attrazione esercitata dal Sole, è la principale responsabile delle maree, in conseguenza del fatto che la misura del diametro terrestre non è del tutto trascurabile rispetto alla distanza tra la Luna e la Terra, mentre lo è rispetto alla distanza tra la Terra e il Sole.
Già verso la fine del XIX secolo ci si riferiva alla F-trasformata nella previsione dell'ampiezza delle maree, mediante il dispositivo Ferrel.
Il dispositivo di previsione delle maree di William Ferrel del 1881-2,
Ora allo Smithsonian National Museum of American History
Il dispositivo di William Ferrel era un calcolatore analogico costruito verso la fine dell'Ottocento, che eseguiva la sintesi di Fourier per prevedere l'andamento delle maree.
Dai dati sulle escursioni di marea raccolti in un porto particolare si ricavava, con calcoli eseguiti a mano, un insieme di numeri, ciascuno dei quali rappresentava un contributo periodico alla marea, come l'attrazione gravitazionale della Luna.
I numeri ottenuti per quel porto potevano poi essere introdotti nell'apparecchio posizionando le manopole sul suo retro (immagine a sinistra).
Impostando l'ora desiderata sulla parte anteriore (immagine a destra), l'ampiezza prevista della marea poteva essere letta su un quadrante.
Recentemente la National Aeronautics and Space Administration (NASA) si serve proprio dell'analisi di Fourier per migliorare la nitidezza e il dettaglio delle immagini della luna e di altri oggetti celesti, ottenute nello spazio da sonde planetarie e da satelliti in orbita terrestre.
Le immagini vengono trasmesse a Terra sotto forma di successioni di impulsi radio e un calcolatore trasforma questi impulsi utilizzando le tecniche di Fourier, quindi modifica le varie componenti di ciascuna trasformata per accentuare alcune caratteristiche ed eliminarne altre, più o meno come si elimina il rumore dalla trasformata di Fourier di una registrazione musicale.
Infine, i dati modificati vengono ritrasformati per ricostruire l'immagine che, con questo procedimento, può essere così meglio messa a fuoco, potendo eliminare la foschia di fondo e modificare il contrasto.
Insomma prendendo spunto da questi due esempi possiamo introdurre l'argomento della F-trasformata che risulta utile anche in tantissimi altri campi: nella fisica dei plasmi, nella fisica dei semiconduttori, nell'acustica a microonde, in sismografia, in oceanografia, nella ricognizione radar, nella realizzazione di immagini in medicina o, fra le molte applicazioni in chimica, nell'impiego di uno spettrometro basato proprio sulla trasformata di Fourier.
Ma come calcolare una Trasformata di Fourier?
Questa formula (in realtá è piú corretto parlare di una coppia di formule) merita di essere compresa, almeno nelle sue basi piú semplici e pratiche.
Iniziamo a vedere di che tipo di equazioni si sta parlando:
In realtá non sono poi così difficili.
In matematica, una trasformata è un operatore, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni; ovvero trasforma una funzione in un'altra funzione. Tale operatore è di solito applicato ad una funzione per semplificare alcune operazioni o in generale per risolvere più facilmente dei problemi.
Qui si tratta di una trasformata integrale, ovvero un'applicazione, generalmente lineare, di uno spazio di funzioni su un altro spazio di funzioni, realizzata con un integrale.
La forma generale di una trasformata integrale lineare T(f) è:
ove K(s, t), la funzione che differenzia le varie trasformazioni, è detta nucleo o kernel della trasformazione.
In parole povere la trasformata di Fourier consente di scomporre un'onda qualsiasi, anche molto complessa e "rumorosa" (un segnale telefonico o televisivo, un'immagine, la musica, la voce...) in piú sotto-componenti, un po' come attraverso la chimica si puó scomporre un cibo nei suoi sottoelementi così da capirne la reale composizione.
Piú precisamente la trasformata di Fourier permette di calcolare le diverse componenti (ampiezza, fase e frequenza) delle onde sinusoidali che, sommate tra loro, danno origine al segnale di partenza.
Dopo questi brevi accenni qui non mi dilungo, in quanto l'argomento è pienamente trattato in tutti i testi di Analisi II e in molte dispense; tra cui questa, in linea con le mie osservazioni, del Prof. Paolo Tilli "Dispense del corso di Analisi II" Capitolo 6 - "La trasformata di Fourier", Dipartimento di Matematica - Politecnico di Torino
Immagine scattata da LRO che mostra dettagli del Mare Nubium.
Concludo quindi queste mie considerazioni sulla Luna come "oggetto matematico" con una delle immagini che la NASA ha decodificato proprio attraverso la F-trasformata e, ricollegandomi alla didattica proposta dalla guida Lunar Math, lascio queste due facili facili domande:
Questa è una delle prime immagini scattate da LRO (Lunar Reconnaissance Orbiter) che mostra dettagli del Mare Nubium.
La larghezza dell'immagine è di 700 metri (500 pixel).
Domanda 1 - Utilizzando un righello millimetrico determinare la scala dell'immagine in metri
per millimetro e metri per pixel.
Domanda 2 - Qual è il diametro, in metri, del più piccolo cratere riconoscibile?
...a voi la risposta!²
Note
¹ Missioni Apollo dal 1969 al 1972
Come si nota la missione Apollo 13, diventata celebre anche per un film, non è nella lista.
Il numero 13 portò sfortuna infatti all'Apollo 13, terza missione decollata l'11 aprile 1970 alle ore 13:13 CST dal Kennedy Space Center che non concluse la missione, per un guasto che impedì l'allunaggio e rese difficoltoso il rientro sulla Terra.
² Essendo l'immagine suscettibile di variazioni di dimensioni a seconda dello strumento di lettura usato (PC, Tablet o Smartphone) Ecco le risposte:
Risposta 1 - Se la larghezza letta fosse di 153 millimetri, la scala sarebbe 700 metri / 153 mm = 4,6 metri / mm e 700 metri / 500 pixel = 1,4 metri / pixel
Risposta 2 - Il più piccolo misurabile potrebbe essere quello di 0,5 mm. Quindi 0,5 mm x 4,6 m / mm = 2,3 metri
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