Uno, nessuno e 95 miliardi

“Ho trovato in filosofia un metodo per realizzare in tutte le scienze, mediante l’Ars Combinatoria, ciò che Cartesio ed altri hanno fatto in aritmetica e in geometria mediante l’algebra e l’analisi, cioè un mezzo concreto, percepibile con i sensi che serva di guida alla mente. Senza di esse la nostra mente non potrebbe percorrere alcun cammino senza fuorviarsi.” 
(G. W. Leibniz)

"Uno, nessuno e 95 miliardi" versione 1

Quando ho visto quest'opera l'ho trovata geniale e mi ha subito intrigato!
L'opera "Uno, nessuno e 95 miliardi" è un acrilico su tela tessuta con telaio a mano. Una collaborazione a quattro mani e due teste dell'artista Alberto Pigato e della creativa e tessitrice Simona Lombardo. 
Il quadro è formato da 9 piccole tele da 25x25 cm movibili, la cui tela è tessuta con telaio a mano, quindi ognuna può non solo occupare in tutti i modi possibili le posizioni del quadrato 3 x 3 ma anche essere posizionata in quattro modi diversi (rispetto ai suoi lati). 
Come non vedere immediatamente la possibilità matematica di determinarne le possibili combinazioni? 
Sono più di 95 miliardi infatti, come spiegherò, anche se l'autore dell'opera di combinazioni ha preferito "crearne" due che ben inseriscono, con armoniosi incastri geometrici, i nove "tasselli" di cui è composta.

"Uno, nessuno e 95 miliardi" versione 2

Si perché l'opera è non solo originale per questa curiosità matematica che sottende, ma anche perché è stata concepita appunto a due mani, dall'artista Alberto Pigato¹ e dalla creativa Simona Lombardo², con questi "tasselli", piccole tele 25x25, dipinte in acrilico da Alberto su tela tessuta su telaio a mano da Simona.
Genialità e artigianalità si fondono per ottenere quest'opera davvero affascinante e originale.
Un'opera che non aveva ancora un titolo quando mi fu mostrata ma che può dirsi davvero come "una", nella sua completezza dei 9 riquadri, "nessuna" perché nessuna è univocamente determinabile e "95 miliardi" perché sono davvero più di questo numero le possibili combinazioni e quindi i possibili quadri che teoricamente si potrebbero ottenere. 

Ma come si determinano queste possibilità di scelta? Cosa si intede per teoria combinatoria?
La Combinatoria studia le possibilità di combinare in tutti i modi possibili degli elementi semplici dati, secondo una regola prescritta.
Lo scopo del calcolo combinatorio è quello di contare vari tipi di possibili scelte in svariate situazioni e alla base del calcolo combinatorio vi è l’importante "Principio di moltiplicazione".

Se una scelta può essere fatta in N modi diversi, per ciascuno dei quali una seconda scelta può essere fatta in n modi diversi, e per ciascuno dei modi in cui sono state effettuate le prime due scelte una terza scelta può essere fatta in m modi diversi, ecc ecc... allora la successione di tutte le scelte potrà compiersi in N∙n∙m∙....modi diversi.

Scelte totali = N∙n∙m∙....

Nel nostro caso la scelta può essere fatta in N = 9 modi diversi, e per ogni k = 1,2..,9  (k = 1,2..,N) la scelta da compiere al k-mo passo puo essere fatta in m = 4 modi diversi. 
Il principio di moltiplicazione dice che allora il numero totale di possibili scelte è il prodotto 

Stot = m∙1∙m∙2∙m∙3....m∙(N−1)∙m∙N

Nel nostro caso 

Stot = 4∙1∙4∙2∙4∙3∙4∙4∙4∙5∙4∙6∙4∙7∙4∙8∙4∙9 = 4⁹ (1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8∙9) = 4⁹∙9! = 95.126.814.720 

Se poi vogliamo usare un simbolo che in matematica abbrevia, in una notazione sintetica, la moltiplicazione di un certo numero di fattori, possiamo usare la produttoria, il cui simbolo è dato dalla lettera greca Π (pi maiuscola).

        

         

Applicando quindi quello che viene chiamato "Principio di moltiplicazione" otteniamo 95 miliardi e passa di combinazioni (o scelte), che ben si visualizzano attraverso questa bellissima animazione creata dal Prof. Sergio  Casiraghi (cliccando sulla bandierina si avvia l'animazione)

"Per evitare la prolissità e la labilità della logica tradizionale, abbiamo pensato di inventare (mediante l'aiuto di Dio) una logica nuova e compendiosa che possa essere acquisita senza troppa difficoltà e troppa fatica, possa esser conservata nella memoria completamente e totalmente e ricordata con grande facilità"   Queste parole le scrisse Ramon Liull (Palma di Majorca, 1232 – Palma di Maiorca, 29 giugno 1316), nel prologo al "Liber de nova logica", originariamente in catalano a Genova, nel 1303, e tradotto in latino l'anno seguente.  Parole per introdurre, anche se molto succintamente, le origini, vere o supposte, e il percorso di questa teoria combinatoria che mi ha permesso di determinare tutte queste possibili combinazioni. Le origini della combinatoria risalgono a tempi antichi come dimostrano i quadrati magici, dalla famosa tartaruga cinese³ al quadrato magico della tradizione alchimistica del Dürer⁴ o appunto l'Ars lulliana, anche se è solo in tempi moderni che la combinatoria assume i contorni di disciplina autonoma.

"Ars magna", di Ramon Llull (Raimondo Lullo) © Wikipedia
Ramon Liull  (italianizzato in Raimondo Lullo) è stato uno scrittore, teologo, logico, astrologo, alchimista, mistico e missionario spagnolo, tra i più celebri dell'Europa del tempo. I pilastri della sua produzione scritta sono i quattro libri, monumentali, che presentano la sua "arte": "Ars compendiosa inveniendi veritatem" e "Art demostrativa", "Ars generalis" e "Art breu". Per Llull, l'"arte" è un metodo di ragionamento e di catalogazione del sapere, un vero e proprio "metodo dei metodi" che, grazie all'uso di diagrammi, lettere dell’alfabeto e formule mnemoniche, si offre come strumento per distinguere il vero dal falso, per garantire un approccio esaustivo ad ogni campo del sapere e per comunicare in modo efficace ottenendo i risultati prefissati. L'"arte" di Llull infatti serve a risolvere ogni problema, attraverso la scomposizione di ogni quesito in parti più piccole e successivamente la riduzione in lettere dell'alfabeto.  Queste lettere fanno parte di ruote che saranno in grado di fornire infinite combinazioni ed è per questo che si può definire quindi un precursore della teoria combinatoria.  Possiamo definire la "combinatoria" lulliana una nuova logica, una "arte generale" basata sui principi o gli elementi primi che contengono i fondamenti di tutte le scienze. Con il nome di "Ars Combinatoria", l'"Ars Magna" ricompare quindi con Leibniz (1646–1716).  Uno studio sistematico dei metodi combinatori fu da lui avviato nella "Dissertatio de arte combinatoria" che, unitamente all'"Ars Conjectandi" di Jakob Bernouilli, sul calcolo delle probabilità, ne pose le basi. Nella sua "Dissertatio de arte combinatoria" (1666) Leibniz si proponeva di creare un metodo con il quale, servendosi di proposizioni primitive, attraverso la loro combinazione, si potessero verificare le verità già presenti (ars demonstrandi) e trovarne di nuove (ars inveniendi).

Frontespizio del libro stampato nel 1690 © Wikipedia

Moltissimi altri studiosi si sono occupati di problemi legati alla teoria combinatoria, fin da Fibonacci (1170 - 1235) o Tartaglia (1499 - 1557), e quindi, insieme a Leibniz nel XVII secolo, Caramuel, Harriot, Pascal e De Moivre.

Quindi nel XVIII e XIX secolo Eulero, Lagrange, Galois e Cauchy, ma è soprattutto dal XX secolo che la combinatoria prende finalmente la forma di disciplina autonoma. 

La combinatoria raggiungere una certa autonomia dopo la pubblicazione del testo "Combinatory Analysis" di Percy Alexander MacMahon nel 1915 e la sua importanza è cresciuta gradualmente negli anni successivi con i testi di König sulla teoria dei grafi e di Marshall Hall.

Lo sviluppo della combinatoria ha ricevuto quindi impulso dall'opera di Gian Carlo Rota che, a partire dagli anni '60, ha contribuito alla fondazione di teorie unificatrici di ampia portata e di grande chiarezza formale.

"Quasi tutta la matematica classica, dall'algebra elementare alla teoria delle equazioni differenziali, è applicabile al mondo reale solo nell'ipotesi che questo sia costituito di oggetti e di eventi a carattere continuo. Però, in molte situazioni comuni in fisica e in chimica ed in altre scienze, si può parlare realisticamente solo di collezione di oggetti a carattere discreto, i quali agiscono in combinazione, un passo per volta; la matematica applicata a tali situazioni si chiama analisi combinatoria. Molti problemi di analisi combinatoria, tra i più interessanti, si sono presentati nella forma di ingegnosi indovinelli, a sfida di matematici e non matematici assieme: a prima vista, alcuni di essi possono sembrare addirittura frivolezze, eppure quasi tutti hanno delle applicazioni immediate ed importanti a problemi scientifici concreti"

Così scrive Gian Carlo Rota nel suo "Analisi combinatoria" (Le Scienze Matematiche - UMI - Zanichelli, 1973), matematico e filosofo italiano naturalizzato statunitense. 

Dieci articoli, pubblicati da Gian Carlo Rota (Vigevano, 27 aprile 1932 – Cambridge, 18 aprile 1999) tra il 1964 ed il 1992 con titolo “On the foundations of combinatorial theory” sono considerati il suo contributo fondamentale alla teoria combinatoria ed al pensiero matematico.

Tra le altre figure influenti si può ricordare Marcel Paul Schützenberger e, con un'azione diversa ma molto efficace, Paul Erdős e i suoi contributi riguardo soprattutto alla soluzione di problemi estremali. 

In tempi recenti l'introduzione della gestione elettronica dei dati ha rinfocolato l'interesse per la combinatoria, che ha comunque conosciuto applicazioni anche al di fuori del suo tradizionale ambito ispirando interessanti soluzioni in campo artistico.

In letteratura, come faceva notare Umberto Eco, "questo kit preconfezionato che è l’alfabeto, composto di un numero variabile di elementi a seconda delle lingue, oscillante tra venti e trenta, può dar vita a combinazioni le più diverse e lontane fra loro" 

E nel suo saggio "Combinatoria della Creatività" ricorda che:

"Nel 1622 Pierre Guldin aveva scritto un "Problema arithmeticum de rerum combinationibus", in cui aveva calcolato tutte le dizioni generabili con 23 lettere, indipendentemente dal fatto se fossero dotate di senso e pronunciabili, ma senza considerare le ripetizioni, e aveva calcolato che il numero di parole era più di settantamila miliardi di miliardi (per scrivere le quali sarebbero occorsi più di un milione di miliardi di miliardi di lettere)."

Altri esempi famosi di combinatoria letteraria li troviamo in Raymond Queneau (1903-1976), che è tra gli autori più rappresentativi della narrativa combinatoria in voga durante gli anni sessata e settanta (ce ne parla un articolo di Popinga, alias Marco Fulvio Barozzi, "Queneau e la matematica"),  o in Perec (ce ne parla Paolo Alessandrini ne "Il grande quadrato di Perec") e Calvino (ce ne parlano "I tarocchi di Calvino" di Marco Fulvio Barozzi).

In musica troviamo la combinatoria di Iannis Xénakis (1922 - 2001), compositore, architetto e ingegnere greco naturalizzato francese che, per la rilevanza del suo lavoro teorico e compositivo, viene annoverato tra le figure più rappresentative dei compositori della seconda parte del Novecento.

Iannis Xénakis compone partiture che traggono elementi di ispirazione e di realizzazione tecnica da strumenti come il calcolo della probabilità, la teoria degli insiemi e dei gruppi, introducendo nuovi elementi teorici come il concetto di musica stocastica, musica simbolica, masse musicali.
(Iannis Xénakis - Metastasis (Spectral View) - video musicale) 

Gli artisti Simona Lombardo e Alberto Pigato © 

Albero d'ossigeno felice - 2018

Acrilico su tela tessuta con telaio a mano

Mostra "Arte e Salute alle radici della prevenzione" dal 15 al 29 maggio 2019 

Spazio Eventi Grattacielo Pirelli - via Fabio Filzi 22 - Milano

Concludo questo excursus, piuttosto succinto e non certo esaustivo,  tornando alla pittura e alla mostra che mi ha dato il la per introdurre alcune curiosità sulla Combinatoria.

Gli autori dell'opera, Alberto Pigato e Simona Lombardo, avevano infatti partecipato, con il quadro "Albero d'ossigeno felice - 2018", alla mostra "Arte e Salute alle radici della prevenzione", una mostra collettiva d'arte contemporanea sul tema dell'albero, molto interessante e intrigante (alla Sala Eventi del grattacielo Pirelli a Milano, a cura di Francesca Bianucci e Chiara Cinelli).

Mostra che mi ha dato lo spunto per prendere in considerazione alcune opere esposte che mi hanno particolarmente colpito per le chiare implicazioni matematiche.

Come si sa in pittura il gioco delle combinazioni dei colori è intimamente legato alla creatività dell'artista e quindi alle "infinite creazioni" che partendo dai colori primari generano tutte le innumerevoli altre varianti.

Nel quadro "Uno, nessuno e 95 miliardi" la curiosità combinatoria, oltre che nell'intrinseca combinazione dei colori, la possiamo cogliere attraverso le varie possibili disposizioni dei "tasselli" creati ad hoc, con genialità e perizia, dagli artisti.

Note

¹ Alberto Pigato artista eclettico...attore, mimo, caratterista, pittore, tessitore...
pagina Facebook https://www.facebook.com/alberto.pigato.7
sito Web http://tessituremanuali.it/it/i-servizi/arazzi-tessuti-e-dipinti/
contatto cellulare +393358200853 
² Simona Lombardo creativa e tessitrice 
sito Web https://www.tessituremanuali.it
³ Secondo un'antica leggenda cinese, risalente al 650 a.C., si dice che il primo quadrato magico sia stato trovato sul dorso di una tartaruga e questa storia è la prima documentazione scritta di un quadrato magico. 

La leggenda narra che ai tempi delle grandi inondazioni in Cina la disastrosa piena del fiume Lo, causata dall’ira dal dio del fiume contro la popolazione, ebbe fine solo con la comparsa di una tartaruga.

"Quadrati magici, tra matematica, arte e leggenda" 

⁴ Melancolia è un'opera di Albrecht Dürer, densa di riferimenti esoterici, tra cui il quadrato magico, che è una delle incisioni più famose in assoluto, oggetto anche di omaggi come quello di Thomas Mann  nella sua opera letteraria "Dottor Faustus" o di Dan Brown nel romanzo "Il simbolo perduto".

Questo quadrato magico è molto complesso e matematicamente interessante. 

Infatti non è solo la somma dei numeri delle linee orizzontali, verticali e oblique a dare 34 ma anche la somma dei numeri dei quattro settori quadrati in cui si può dividere il quadrato e anche i quattro numeri al centro, se sommati danno 34, così come i quattro numeri agli angoli.

Inoltre se si prende un numero agli angoli e lo si somma con il numero a lui opposto si ottiene 17 e se si prendono i numeri centrali dell'ultima riga si trova il numero 1514, anno in cui è stata creata l'opera.

"Albrecth Durer, dalla magia alla matematica"