Amore e fisica quantistica?

«Lei disse: “Dimmi qualcosa di bello!”. Lui rispose: “(∂ + m) ψ = 0”. 
La risposta è l’equazione di Dirac, dove m è la massa del sistema considerato, ∂ è una variabile di Feynman e Ψ è la funzione d’onda che descrive lo stato fisico del sistema. L’equazione più bella della fisica. Grazie ad essa si descrive il fenomeno dell’entanglement quantistico. Il principio afferma che: “Se due sistemi interagiscono tra loro per un certo periodo di tempo e poi vengono separati, non possono più essere descritti come due sistemi distinti, ma, in qualche modo, diventano un unico sistema. In altri termini, quello che accade a uno di loro continua ad influenzare l’altro, anche se distanti chilometri o anni luce”

Immagine da Galassia d'Andromeda

E' un post che gira da tanto tempo e appena mi capita di vederlo condiviso da amici rispondo che purtroppo non è proprio così e che l'amore eterno non esiste nemmeno per gli elettroni!
Devo confessare che la Fisica non mi ha mai appassionato come invece mi ha sempre appassionato e mi appassiona la Matematica, ma la mia curiosità mi aveva spinto a verificare se effettivamente il messaggio che compariva in internet e sui Social Network (soprattutto su Facebook) fosse scientificamente corretto. Purtroppo l'affascinante e romantica risposta non era poi così romantica!

Cerchiamo di capire intanto di cosa si tratta effettivamente e poi perché sia scientificamente scorretta.
Nel post si parla inizialmente di Dirac......ma chi era costui?
Di Paul Adrien Maurice Dirac  si possono facilmente trovare notizie attendibili sul web che lo descrivono come un fisico e matematico britannico, premio Nobel per la fisica nel 1933, ma soprattutto considerato tra i fondatori della fisica quantistica.
Non mi soffermerò certo a parlare di fisica quantistica, che in parole povere,  si occupa di spiegare i fenomeni microscopici (quelli che avvengono su scale vicine e/o inferiori a quelle atomiche) o ad analizzare nei dettagli l'equazione citata, mi limiterò a sottolineare che tra l'equazione di Dirac e l'entanglement quantistico non esiste alcun nesso! (come potranno verificare i più curiosi dall' articolo pubblicato sulla rivista online dell’Istituto Nazionale di Fisica Nucleare, Asimmetrie, di cui lascio il link) 

Dirac alla lavagna, nei primi anni ’30 dello scorso secolo

Mi sento di sottolineare solo il fatto che l'introduzione della teoria quantistica ha portato ad una serie di scoperte grandiose e rivoluzionarie, che hanno fatto mettere in discussione le certezze della fisica classica. 
Tra le tante, la previsione di questo fenomeno dell’entanglement, riprodotto per la prima volta intorno al 1972.
Secondo la meccanica quantistica è quindi possibile realizzare un insieme costituito da due particelle che abbiano la capacità di influenzarsi l’un l’altra qualsiasi sia la distanza che intercorre tra di esse, istantaneamente. Ad ogni cambiamento di una particella, nell’altra osserveremo un comportamento uguale e opposto anche se la teoria postula comunque l’impossibilità di predire con certezza il risultato di tale cambiamento.
Il termine "entanglement" (letteralmente, in inglese, groviglio, intreccio) fu introdotto da Erwin Schrödinger in una recensione del famoso articolo sul "paradosso EPR", che nel 1935 rivelò a livello teorico il fenomeno.
L'entanglement è infatti una delle proprietà della meccanica quantistica che portarono Einstein e altri a metterne in discussione i princìpi. 
Nel 1935 lo stesso Einstein, Boris Podolsky e Nathan Rosen, formularono il celebre "paradosso EPR" (dalle iniziali dei tre scienziati), che metteva in evidenza, appunto come paradossale, il fenomeno dell'entanglement.
Comunque l'entanglement è un termine usato per descrivere “la reciproca dipendenza di due o più sistemi fisici spazialmente  separati”.
Questo è più o meno in sintesi quello che dice la teoria ma per darne una spiegazione più chiara e comprensibile ci vuole un fisico.
Ed eccolo trovato!
Un amico fisico ha provato a spiegare a me l'arcano con questo esempio.

"Dunque, cerca di immaginare due elettroni che vengono preparati nello stesso sistema, come potrebbe essere l’orbitale di un atomo, e caratterizzati da un valore quantitativo, detto “spin”.
Questo spin può valere A o B, ma quando vengono preparati nello stesso sistema non possono avere lo stesso valore di spin, per cui se uno è A l’altro è B e viceversa. 
Ammettiamo ora di avere questi due elettroni nello stesso sistema e di voler misurare il valore di spin di uno dei due. Se la misura fosse il valore A, ciò significherebbe automaticamente che il valore dell'altro sarebbe B. 
Prima di fare ciò prendiamo a caso uno dei due elettroni e lo spediamo ad un amico, magari in Australia e quindi che abita dall’altra parte del mondo. Misuriamo allora il valore di spin di quello che è rimasto ed esce ad esempio che è A, poi chiamiamo l’amico e gli chiediamo di misurare quello dell’elettrone che gli è arrivato. Effettivamente risulta essere B. 
Quindi se uno è A l’altro è B e viceversa pur non influenzandosi direttamente essendo a migliaia di chilometri. 
Allora è vero, esiste effettivamente una reciproca dipendenza come asseriva il principio dell'entanglement? 
Lasciamo passare un po' di tempo e ripetiamo l'esperimento con l'amico australiano ma con nostra somma sorpresa stavolta gli elettroni fanno come gli pare: se uno è A, l’altro è A, oppure B, a caso. I due elettroni hanno smesso di essere entangled......altro che vero amore!!!!!"

Per dirlo con le dotte parole del mio amico fisico l'entanglement è stabile nel tempo di per sé, ciò che lo distrugge è sia la misurazione che l'interazione con l'ambiente.
Per cui, nella pratica basta aspettare, poiché il sistema non è perfettamente isolato.
Ma non è solo il passare del tempo in sé che disaccoppia gli stati.
Già la misurazione proietta subito entrambe le particelle in un autostato di spin e se non l'avessimo misurato sarebbe stata l'interazione con l'ambiente a perturbarli, avendo alla fin fine un effetto simile a quello della misura.

Questa è stata la spiegazione del mio amico fisico e queste le mie riflessioni sul fatto che troppo spesso sui Social Networks e soprattutto su Facebook si condividano false notizie, per fare effetto o per accaparrarsi i "mi piace" (non si capisce bene a che pro?), magari appunto usando a sproposito dotte citazioni o teorie scientifiche.
Proprio perché le potenzialità divulgative dei Social Networks sono enormi, in tempo reale e a costo zero, sarebbe sicuramente più utile ed efficace che fossero proprio gli studiosi o gli scienziati i primi a diffondere la loro cultura, creando così curiosità ed interesse senza pericolo di "bufale".
E per quel che riguarda questo post cosa possiamo dedurne? 
Forse che Facebook è un ottimo diffusore di bufale o che la fisica quantistica è affascinante o che l’amore eterno non esiste? 
A seconda delle sensibilità cambierà la risposta e sicuramente molti saranno rimasti delusi e mi incolperanno di non essere romantica o forse addirittura di essere cinica. 
A queste persone rispondo che non c'è bisogno di ricorrere alla scienza per dichiarare il proprio amore.....forse basta solo un gesto, un sorriso, un "ti amo" e la scienza e l'amore ringrazieranno!

Dov'è finita la relazione nel tango?!

di Maria Calzolari

Il tango è ballo di relazione per eccellenza, anzi forse potremmo dire che il Tango è il ballo di relazione. Su questo credo converremo tutti: la connessione alta tra i ballerini all’altezza del cuore, il dialogo corporeo che si trasforma in un dare e ricevere continuo. Non a caso si parla della coppia nel tango come di un animale a quattro zampe, quasi fosse possibile (e non solo in termini posturali, di corpo) realizzare una fusione di anime mentre si balla. Molti libri parlano del tango in questi termini e forse è questa la chiave di volta che rende questo ballo diverso dagli altri, più profondo, più rivelatorio, più intenso.

 

Qualche sera fa mi trovavo in una deliziosa milonga di Bologna e osservavo le coppie ballare in pista, con l’occhio che mi proviene dalla mia formazione di sociologa, prima ancora che di insegnante di tango. Mi piace osservare i fenomeni da un punto di vista anche sociale. E notavo che nessuno, o quasi, ballava il tango stando davvero in relazione. Presuntuoso da parte mia affermare questo? Non credo, perché io per prima conosco la differenza (che ho sentito dentro di me) tra il ballare in relazione e il ballare come prestazione. Non c’è nulla di sbagliato nel ballare per sentirci bravi, o all’altezza delle aspettative proprie e del “pubblico tanguero”, tutti desideriamo il riconoscimento da noi stessi e dagli altri, ma che cosa ci stiamo perdendo mentre balliamo con questi presupposti? Perdiamo l’essenza del tango. Basta osservare gli sguardi di chi sta ballando, l’intenzione dei loro corpi, per comprendere cosa stia accadendo dentro quella coppia. Un occhio attento e sensibile coglie chi balla restando in relazione e chi lo fa uscendone. Non mi stupisce tutto questo, perché ho sempre ritenuto che la milonga sia uno specchio micro di ciò che accade nella società macro. E siamo in un periodo storico nel quale la relazione si è completamente persa, soppiantata dall’illusione di stare in relazione, che ci proviene soprattutto dall’utilizzo esasperato dei social network e dei media.

Dov’è finita la relazione?! Nel tango, come nella vita?! 

Azzardo un’ipotesi. Stiamo perdendo la distinzione dei ruoli maschile e femminile, c’è una grande confusione su questo punto. Siamo in un momento storico in cui le donne si comportano più come uomini, hanno sviluppato quello che in psicologia si chiama maschile interiore, in maniera molto accentuata e in ragione di questo si affermano in maniera molto forte, cadono spesso nel bisogno di avere il controllo di tutto e finiscono per “comandare”. Mentre gli uomini si stanno spostando più sul loro femminile interiore, sono molto più protettivi di anche solo 50 anni fa e più sensibili. Non trovo che tutto questo sia sbagliato, anzi, c’è qualcosa di davvero importante in queste conquiste e da salvaguardare, ma senza esasperarlo. Questa confusione di ruoli nel tango si vede chiaramente. Quando si entra nei due ruoli del tango spesso la donna fatica a lasciarsi andare e continua a cercare di detenere il ruolo di guida che le è così familiare nella vita di tutti i giorni e l’uomo fatica a prendere in mano la situazione e a guidare con decisione. Sono anni che noto questa dinamica tra i miei allievi e anche nelle milonghe. E la relazione salta, perché il tango ci chiede che i ruoli vengano rispettati! Non credo sia un caso che il Tango sia così popolare oggi. E’ un modo per riappropriarsi del proprio ruolo anche a livello sociale. Il tango funziona quando la donna è nel suo femminile e l’uomo nel suo maschile ed è comune l’intenzione di dialogare costantemente. Ciò non significa poi, né per l’uno, ne per l’altro, perdere le proprie conquiste sociali, ma semplicemente permettersi di ritrovare il proprio ruolo di partenza. Ed è fantastico, a mio parere, questa riconquista! Per la donna riconquistare il proprio femminile non c’entra nulla con tacchi alti e mise deliziose. Stare nel proprio femminile è mollare la presa, abbandonarsi fiduciose, affidarsi e lasciar fare all’uomo, senza velleità di controllo. Perché se balliamo con un tacco 9, ma siamo sempre all’erta su tutto quello che l’uomo ci sta proponendo, di femminile ci rimane solo il tacco purtroppo!

 

L’altra sera tutto questo mi è stato confermato da un commento di apprezzamento che mi è venuto proprio dopo essermi immersa nel tango con il mio compagno di ballo, godendoci un dialogo tra corpi dove i ruoli erano rispettati e c’era la volontà di ascoltare ogni più piccola piega di noi: il respiro, i micromovimenti sincronizzati del corpo, la lentezza dei movimenti stessi, il contatto. Tutto questo dovrebbe appartenere al tango teoricamente sempre, ma spesso lo si perde. Ballare stando in relazione richiede intenzione e molto lavoro interiore e su di sé, per imparare a restare davvero aperti all’altro e a rispettare i ruoli. Mi fa piacere che la relazione arrivi agli occhi di chi osserva, perché questo mi conferma la parte di responsabilità che hanno gli insegnanti nel trasmettere l’importanza dello stare in relazione nel tango. Qualcuno potrebbe ritenere che la relazione si possa spiegare, il come stare in relazione si possa affermare a parole. Questo è assai difficile. Noi impariamo quello che respiriamo e vediamo, più di quello che ci viene detto. A livello psicologico questo è chiarissimo. Avete mai notato i bambini rispetto ai genitori? Imitano. Non sono importanti le parole che vengono loro dette, ma quello che vedono, sentono, respirano. Se un genitore dice “a” e fa “b”, il bambino non impara “a”, ma fa sua l’incoerenza del genitore ed emula “b”. I famosi neuroni a specchio! Jean Jaurès diceva “Non si insegna quello che si vuole, dirò addirittura che non si insegna quello che si sa o quello che si crede di sapere: si insegna e si può insegnare solo quello che si è”. Ne convengo. Come insegnanti credo abbiamo la responsabilità di trasmettere l’essenza del tango e quindi di partire da un lavoro su noi stessi, per essere noi per primi in relazione quanto più possibile mentre balliamo e per valorizzare la dimensione relazionale di questo ballo. Poi sarà scelta dell’allievo accogliere tutto questo e farlo proprio, oppure non riconoscerlo come buono per sé. Perché insegnare passi e struttura in un certo senso ci compromette meno, trasmettere il senso relazionale del tango è impresa più ardua, ma almeno dal mio punto di vista più affascinante.

L'articolo è uscito sulla rivista online Tango y Gotan il giorno 7 ottobre 2015 

Maria Calzolari è Presidente dell’Asd OliTango, la prima associazione di Bologna che unisce il Tango alle discipline olistiche www.olitango.it. E' insegnante di Tango Argentino, diplomata MIDAS, e Operatrice di TangoOlistico®. Di formazione sociologa, balla tango dal 2007 e scrive per passione. Nel 2013 è uscito il suo romanzo “Amore... a passo di Tango” (Ed. Pendragon) che riflette il suo modo di intendere e vivere il tango. Tiene un blog sul suo sito www.mariacalzolari.it 

Bugie matematiche o asimmetria informativa?

"Le scienze non tentano di spiegare, nemmeno tentano di interpretare; le scienze creano soprattutto dei modelli. Per modello si intende una costruzione matematica che, con l'aggiunta di determinate interpretazioni verbali, descrive i fenomeni osservati. La giustificazione di una tale costruzione matematica sta esclusivamente e precisamente nel fatto che ci si aspetta che funzioni." 

John von Neumann (1903-1957)

La nascita della moderna Teoria dei Giochi può essere fatta coincidere proprio con l'uscita del libro "Theory of Games and Economic Behavior" di John von Neumann e Oskar Morgenstern

John von Neumann è stato sicuramente una delle menti più brillanti e straordinarie del secolo scorso ed era ungherese. 
Faceva infatti parte  del famoso "clan degli ungheresi" ai tempi di Los Alamos e del Progetto Manhattan (la bomba atomica) che, insieme al suo amico e connazionale Leo Szilard, a Edward Teller ed Eugene Wigner, era considerato il clan degli "alieni".
Si racconta che Enrico Fermi, una delle figure più importanti all'interno dello stesso grande progetto, quando manifestò un certo scetticismo sull'esistenza di una civiltà aliena superiore che non fornisse nessun segno della proprio esistenza, Szilard gli rispose "probabilmente sono già qua, e li stai chiamando ungheresi". 
Tra cotanti scienziati, ungheresi o no, John von Neumann era considerato davvero un semidio dei numeri, un alieno di un altro pianeta, dotato di una mente straordinaria che gli ha permesso di apportare contributi significativi, e talora assolutamente nuovi, praticamene in ogni campo della ricerca, dalla matematica alla meccanica statistica, dalla meccanica quantistica alla cibernetica, dall'economia all'evoluzione biologica, dalla teoria dei giochi all'intelligenza artificiale......e, purtroppo, anche alla bomba atomica.
Gli anni della guerra infatti vedono profondamente coinvolto von Neumann nel progetto Manhattan per la costruzione della bomba atomica. 
Un coinvolgimento alimentato soprattutto da un profondo odio verso i nazisti, i giapponesi e successivamente verso i sovietici. 
Già nel 1937, dopo aver ottenuto la cittadinanza statunitense, gli viene proposto di collaborare con le forze armate e da quel momento la sua escalation ai vertici delle istituzioni politico-militari sarà inarrestabile. 
È lui a suggerire come deve essere lanciata la bomba atomica per creare il maggior numero di danni e di morti, è lui che interviene nella costruzione della bomba al plutonio realizzando la cosiddetta "lente al plutonio", ed è ancora lui a incentivare la costruzione di ordigni nucleari sempre più potenti. 
Ma è lui forse anche il capostipite della cosiddetta guerra preventiva. Propose infatti alle autorità militari di bombardare preventivamente l'Unione Sovietica per scongiurare il pericolo rosso ed è la sua teoria dei giochi che venne ampiamente utilizzata in questo contesto, per studiare e ipotizzare tutti i possibili scenari bellici che si potevano sviluppare in seguito a certe decisioni. 
Il fervore con cui appoggiò lo sviluppo degli ordigni atomici lo spinse a seguire di persona alcuni test sulle armi nucleari nella seconda metà degli anni quaranta, che raggiungeranno l'apice con l'esplosione della bomba H nelle Isole Marshall nel 1952. 
Probabilmente saranno proprio le radiazioni sprigionate da questi test a condannarlo a morte, da lì a poco.

Il fervore con cui Neumann appoggiò lo sviluppo degli ordigni atomici lo spinse a seguire di persona alcuni test sulle armi nucleari nella seconda metà degli anni quaranta, che raggiungeranno l'apice con l'esplosione della bomba H nelle Isole Marshall nel 1952

Ritornando ai suoi contributi in campo matematico, è chiaro che la nascita della moderna Teoria dei Giochi può essere fatta coincidere proprio con l'uscita del libro, nel 1944, "Theory of Games and Economic Behavior" di John von Neumann e Oskar Morgenstern, teoria che verrà poi approfondita e formalizzata da altri matematici, tra cui il suo allievo, a Princeton, John Forbes Nash jr., sicuramente il più famoso studioso ad essersi occupato successivamente della Teoria dei Giochi, in particolare per quel che concerne i "giochi non cooperativi".
Nash, affascinato dalla possibilità di applicare la Teoria dei Giochi all'economia, ai rapporti politici tra stati, alle strategie militari, affrontò il problema in modo originale e rivoluzionario rispetto a Von Neumann. 
Estese la trattazione ai giochi a più partecipanti e scoprì una soluzione di equilibrio in cui ogni agente trova la miglior strategia rispetto alla migliore strategia di tutti gli altri (le "strategie dominanti"). 
L'equilibrio di Nash, insieme al teorema del minimax di Von Neumann, è stata uno dei cardini della teoria dei giochi ed è stata applica costantemente ai campi più disparati: dall'economia alla biologia.  
Teoria che recentemente è stata però messa in discussione dagli studi di Ekeland che smontano le idee del Nobel Nash, affermando che “teoria dei giochi ed equilibrio razionale sono superati”.

Entrato nell’imaginario collettivo tramite l’interpretazione di Russel Crowe nel  film “A Beautiful Mind” il celebre matematico John Forbes Nash, Jr. è da poco tragicamente scomparso in un incidente stradale, subito dopo essere stato insignito, insieme a Louis Nirenberg, del prestigioso Abel Prize  

Intervenendo al convegno, organizzato dal 14 al 18 settembre scorsi all’Università dell’Insubria, incentrato sui fenomeni non lineari in Matematica e in Economia, che, tra i relatori, avrebbe dovuto ospitare proprio Nash, ha affermato:

"I modelli di Nash sulla teoria dei giochi e sull’equilibrio razionale sono le basi della moderna teoria economica. Ma Nash era figlio dei suoi tempi e il suo pensiero mirava all’ottimizzazione: alla ricerca dell’equilibrio tra variabili e forze, fino ad arrivare al miglior risultato con un uso minimo delle risorse. Era il momento in cui si iniziarono a costruire computer sempre più veloci".

Ma è innegabile che alla razionalità di Nash e dei suoi tempi è seguita l’irrazionalità dei nostri. Ed è proprio in campo economico e dei mercati che si riflette questa irrazionalità.

"Oggi - dice ancora Ekeland - tutte le teorie economiche riguardano gli individui, non la società nel complesso. Tutto si basa su contratti tra individui e al centro c’è un principio fondamentale e poco noto: l’asimmetria informativa. Sono contratti e relazioni dove una parte sa più cose dell’altra, ben descritte da tanti modelli matematici". 

Ed ecco quelle che potremmo definire le "bugie" della Matematica e dei suoi Modelli incapaci di descrive il vicolo cieco in cui siamo finiti, tra Stati che rischiano di fallire, mercati impazziti o incomprensibili. 

"Ma non è vero - sottolinea ancora Ekeland - che nessuno li capisce. C’è chi guadagna un mare di soldi facendo “high frequency trading”, con transazioni velocissime e senza veri rischi. Non solo. È un particolare tipo di asimmetria informativa, vale a dire l’azzardo morale, a governare gli stipendi d’oro dei manager. Perché il contratto con cui un’azienda assume un manager si basa proprio su uno squilibrio: l’azienda non sa se il manager lavorerà bene e raggiungerà gli obiettivi. Per stimolarlo deve pagarlo sempre di più di anno in anno, e per lavorare sempre meno. Finché non c’è altra scelta se non mandarlo in pensione a cifre altissime. E cercare un sostituto ancora più caro."

Il professor Ivar Ekeland, docente della Université Paris-Dauphine 

L'apertura dei lavori della RISM School, Riemann International School of Mathematics, nel Campus di Bizzozero era stata infatti affidata al professor Ivar Ekeland, docente della Université Paris-Dauphine. 
Nella sua appassionata Lectio Magistralis dedicata all’opera geniale di Nash, aveva anche ripercorso l’opera del grande matematico, contenuta in pochi lavori ma di grande impatto in aree molto diverse della Matematica, con ricadute straordinarie nel modo di pensare, a livello non solo economico ma anche sociale. 
Con la sua Lectio Magistralis aveva catturato la platea passando disinvoltamente dalla Matematica a citazioni letterarie, ricordando l’attribuzione del premio Nobel per l’Economia a Nash nel 1994, sottolineando quanto importanti siano state le ricadute dei suoi studi proprio sull’Economia, e concludendo il suo discorso con una poesia del simbolista francese Stéphane Mallarmé, intesa a valorizzare lo spirito di Nash senza dimenticarne la malattia.

Édouard Manet, Portrait of Stéphane Mallarmé, 1876

Ivar Ekeland ha scelto “La tomba di Edgar Poe” per concludere un tema complicato come quello del genio matematico. 
Nash lo era un genio, nonostante una schizofrenia che per lungo tempo lo costrinse a un isolamento forzato. Per quasi trent’anni quello che la rivista Fortune definì "il più brillante nell’ultima generazione di matematici", vagò quasi ignorato da tutti nel dipartimento di matematica di Princeton e solo grazie al film di Ron Howard “A beautiful mind” il suo eccezionale contributo alla matematica divenne noto al grande pubblico.
Perché il Professore ha concluso la sua lectio magistralis citando proprio i versi di Mallarmé dedicati ad Edgar Allan Poe? 
Perché questa associazone? 
Che cosa accomuna il matematico Nash e lo scrittore americano Edgar Allan Poe?
La sua risposta è stata questa:

"La luce e le tenebre della loro vita. 
Nash rappresenta un nuovo carattere romantico nella matematica, non è morto giovane come Galois o Abel, ma la sua schizofrenia non gli ha permesso di vivere per quasi 50 anni. Eppure la sua opera è lì, destinata a rimanere nel tempo, come del resto in letteratura è rimasta quella di Poe, nonostante si sottolinei che la sua vita sia stata condizionata dalla droga. 
Poco importa, grandezza e tragedia sono le due facce della loro esistenza".

La tomba di Edgar Poe

Quale in Sé stesso alfine l'eternità lo cambia 

Il Poeta risveglia con una spada nuda 

Il suo secolo spaventato di non essersi accorto 

Che la morte trionfava in quella voce strana

Essi come un vile sussulto d'idra udendo in passato l'angelo 

Dare un senso piú puro alle parole della tribú 

Proclamarono a gran voce il sortilegio bevuto 

Nell'onda senza onore di qualche nera mescolanza

Della terra e della nube ostili oh danno 

Se con quello la nostra idea non scolpisce un bassorilievo

Del quale abbagliante la tomba di Poe si orni

Calmo blocco quaggiú caduto da un disastro oscuro 

Che questo granito almeno mostri per sempre il suo limite 

Ai neri voli della Bestemmia sparsi nel futuro 

Infinito e Indefinito

La cena si prospetta normale, nessuno dei due predilige la pizza, quindi si comincia con un antipastino freddo di pesce, “poi” - diciamo al cameriere – “si vedrà”. 
È l’ultimo giorno di ottobre e gli altri hanno dato forfait, ci siamo trovati solo in due: Virgilio ed io. 
Si comincia a chiacchierare del più e del meno. I nostri argomenti sono leggeri, quasi frivoli, nessuno di noi due ha preparazione sufficiente per affrontare le questioni kültürali profonde: ascendenze astrali per la corretta interpretazione dell’oroscopo, la prossima edizione del Gi Effe (Grande Fratello), i grandi temi del pacifismo, dell’ambientalismo no global, Zosimo, i profondi pensieri di Celentano, ecc. 
Ci limitiamo a qualche commento alla buona su “San Pietro”, l’ultimo sceneggiato trasmesso dalla Rai, sul diffondersi della cultura della menzogna e del rifiuto sistematico della verità anche di fronte all’evidenza. Io affermo che, pur di non recedere dalle convinzioni ideologiche proprie, o credute per fede partitica, si nega o si fanno affermazioni aberranti. 
Poco prima della fine dell'antipasto, proprio su questa questione della verità e sul significato autentico del termine, riporto, a titolo di esempio, un episodio che mi ha visto coinvolto: discutevo recentemente con un amico circa i numeri primi e gli enigmi ancora irrisolti che li avvolgono: uno fra questi il fatto che siano o meno “infiniti”. Racconto quindi ad Virgilio di come l’amico mi abbia ricordato che esiste più di una dimostrazione matematica che dimostra la loro infinità, e di come io abbia ammesso con franchezza la sua ragione ed il mio torto. 
E qui Virgilio, dopo avermi ascoltato, esprime un concetto inusitato: 
i numeri primi, ma anche i numeri naturali, non sono “infiniti”, sono “indefiniti”. 

Rimango per qualche secondo senza parole, cercando di risalire mentalmente al significato etimologico e sostanziale dei due termini, nonché di cogliere l’essenza del ragionamento che ne deriva. 
Veniamo interrotti dal cameriere, che ci propone altri piatti; io avevo accarezzato l’idea di un fritto di calamari, ma poiché debbo restare lucido, viro su un’innocua mozzarella, rinunciando al vinello frizzante che aveva accompagnato l’antipasto. 
Dunque, penso tra me e me, i numeri non sarebbero infiniti. Riaffiora nella memoria, dai tempi dell’università, la teoria di un fisico nucleare che sostenne la finitezza dei numeri: la logica del ragionamento, in termini assai poveri, era la seguente: i numeri son fatti per contare, per “numerare” appunto. I protoni sono i componenti minimi ed indivisibili della materia. I granelli di polvere e le stelle son fatti di atomi, e il nucleo degli atomi è fatto di protoni. Fatta una stima di tutta materia presente nell’universo, la quantità totale di protoni è un numero composto da circa ottanta cifre. Andare oltre questo numero è solo una finzione logica, perché non vi sarebbe più nulla da “numerare”. 
L’”infinità”, - prosegue dal canto suo Virgilio - è una caratteristica che trascende la capacità umana di comprensione. L’”indefinitezza”, invece, ci conduce ai confini delle dimensioni dello spazio, del tempo e della quantità, poi avvolge la mente in una sorta di nebbia che impedisce di spingere oltre il pensiero. La mente è costretta a fermarsi. 
Non trovo argomenti da opporre. 
E mi ritornano alla memoria i versi immortali di Leopardi:

“… Così, tra questa

immensità, s’annega il pensier mio;

e il naufragar m’è dolce in questo mare.”

Autore: Ugolino 

“Non solo la facoltà conoscitiva, o quella di amare, ma neanche l’immaginativa è capace dell’infinito o di concepire infinitamente, ma solo dell’indefinito, e di concepire indefinitamente. La qual cosa ci diletta, perché l’anima, non vedendo confini, riceve l’impressione di una specie d’infinità, e confonde l’indefinito coll’infinito, non però comprende né concepisce effettivamente nessuna infinità.”

L'ultimo verso leopardiano del post di Ugolino mi ha ricordato queste poche righe dello Zibaldone (del 4 gennaio 1821) che, credo, riflettano perfettamente il pensiero di Leopardi sull’infinito, mettendo in luce appunto la distinzione tra “infinito” e “indefinito”.

"Verso dentro" opera di Tobia Ravà

Ma l'infinito o l'indefinito per un matematico o un fisico? 

Partendo dal presupposto che la differenza sostanziale consiste nel fatto che un oggetto è indefinito quando non è possibile definirne le dimensioni che però sono proprie dell' oggetto in questione e che, al contrario, un oggetto è infinito quando non è possibile definirne le dimensioni perché queste non sono proprie dell'oggetto, si potrebbe rendere più chiara la distinzione con un esempio, considerando una linea e un filo.
Se tracciamo una linea verticale alla lavagna notiamo che avvicinandoci o allontanandoci da essa le dimensioni della linea (valutate relativamente alla nostra posizione) risulteranno scalate proporzionalmente alla nostra distanza dalla lavagna, mentre se ci mettiamo "col naso appiccicato alla lavagna", la lunghezza della linea verticale ci sembrerà infinita.

Sostituendo alla linea un filo ci accorgiamo che, in fisica, quando si parla di filo indefinito significa che stiamo valutando una qualche proprietà del filo ponendoci ad una distanza nulla dal filo, cioè facendo in modo da integrare tale proprietà tra  -oo  e  +oo , cioè consideriamo il filo come se avesse lunghezza infinita, ma visto che un filo infinito non è fisicamente possibile che esista,  implicitamente sappiamo che quel filo per quanto lungo possa essere sarà pur sempre finito. Riassumendo: il filo non lo possiamo considerare infinito perché non è fisicamente possibile che esista ma allo stesso tempo lo possiamo considerare tale a patto di porci a distanza pressocché nulla da esso, dunque questo filo è contemporaneamente finito e infinito, cioè indefinito.   

Odio e amore...una dicotomia matematica!

Come si legge in qualunque dizionario, il termine dicotomia deriva dal greco διχοτομία , dichotomìa, composto da δίχα (dìcha, in due parti) e τέμνω (témno, divido) ed è usato prevalentemente in matematica, filosofia e linguistica. 
Per dicotomia si intende dunque la divisione di un'entità in due parti (che costituiscono una diade) che non necessariamente si escludono dualisticamente a vicenda, e che possono essere complementari.
Quindi si può considerare una dicotomia come una partizione in 2 parti. 
Per esempio, se preso un concetto A è possibile dividerlo in due parti B e non-B, allora le due parti formano una dicotomia, dato che nessuna parte di B è contenuta in non-B e che la somma di B e non-B fa esattamente A.
Le dicotomie comunque costituiscono una caratteristica tipica del mondo matematico: dalle dicotomie più "raffinate" quali la famosa dicotomia di Zenone , la dicotomia di Kant (Le verità della matematica sono analitiche o sintetiche?) o quella di Godel (La matematica soggettiva coincide con la matematica oggettiva?), a quelle più "comuni" che vedono i matematici puristi da un lato e pragmatici dall'altro, o forse ancora più "ricorrenti" come l'odio/amore o matofobia/matofilia per la matematica.

Sfondo "La Lettura o Catullo e Clodia", olio su tela di Giulio Aristide Sartorio 

Una di queste dicotomie può essere "Odi et Amo la matematica", parole che sono inequivocabilmente l'inizio del carme 85  del poeta latino Catullo, l'epigramma più noto di tutto il suo Liber.

Odi et amo. Quare id faciam, fortasse requiris.

Nescio, sed fieri sentio et excrucior.

Odio e amo. Forse mi chiedi come io faccia.

Non lo so, ma sento che ciò accade e sono messo in croce

Anche se il contrasto di sentimenti che l'amore provoca (Ti odio e, contemporaneamente, ti amo) è uno dei tòpoi più comuni nella letteratura mondiale di ogni tempo, in Catullo c'è qualcosa di più perché qui il dramma si acuisce con la triste constatazione che tale difficoltà nasce indipendentemente dalla volontà umana. 
Al Poeta non resta altro che prendere atto della situazione e soffrirne terribilmente: il verbo excrucior, che letteralmente significa "sono messo in croce", rimanda con la sua pronuncia all'idea del dolore lacerante. 

E sembrerebbe nascere indipendentemente dalla volontà umana, l'odio e l'amore per la matematica, che, in alcuni casi, mette proprio in croce il malcapitato di turno.
E così arriviamo a considerare la dicotomia, tutta matematica, matofobia e matofilia.
Il termine matofobia, che deriva dalla fusione delle parole matematica e fobia, sta a significare proprio paura della matematica, ovvero antipatia per la disciplina, anche se in realtà, data la radice greca della parola matematica (μάθημα máthema, ovvero apprendimento), può essere anche intesa in senso più ampio come paura per l'apprendimento.

 Per superare questa matofobia ci vorrebbe un mago

il "Mago dei numeri"

Il matematico sudafricano Seymour Papert  sostiene che tale fobia ha una natura sociale e nasce proprio durante il percorso scolastico. 
I bambini nascono infatti con una grande voglia e capacità di imparare e le difficoltà di apprendimento, in relazione a qualsiasi disciplina, non nascono spontaneamente, ma vengono indotte con l'insegnamento. 
La grande voglia di apprendere, la matofilia si trasforma in matofobia, ovvero il bambino che amava l'apprendimento e la matematica, successivamente riesce a temerle entrambe. 
Il carattere sociale della matofobia è giustificato, secondo Papert, anche da un'altra dicotomia, radicata purtroppo nella maggior parte degli esseri umani, quella tra "persone intelligenti" e "persone stupide" e, di conseguenza, ritenendo erroneamente che la matematica sia una disciplina per pochi eletti, si arriva a pensare che esistano "persone portate per la matematica" e "persone negate per la matematica", come se le abilità matematiche fossero innate. 
Quante volte si sentono affermazioni di disprezzo, di avversione, di odio nei confronti della matematica,  da parte di tutte quelle persone che forse non conservano un buon ricordo della loro vita scolastica proprio in relazione a questa disciplina. 
Si attaccano ai ricordi di insuccessi scolastici legati alla risoluzione di problemi o alle dimostrazioni di teoremi, all'ansia dei compiti in classe di matematica che scatenavano quel senso di limitazione e di impotenza, generando scoramento e avversione per la matematica.
Le ricerche di Papert, e non solo, dimostrano che nella maggior parte dei casi la matofobia nasce nelle aule scolastiche, soprattutto a livello di istruzione primaria. 
In tale contesto operano, spesso, degli educatori che sono essi stessi affetti da matofobia e che, trovandosi costretti a insegnare qualcosa che non amano, trasmettono all'alunno l'avversione per la disciplina.

Come spesso dico a studenti, genitori e colleghi, il vero successo di un insegnante non sta nel riuscire a trasmettere concetti ma riuscire a scatenare l'interesse e l'amore per la matematica.

Non posso dimenticare, alle Medie, la professoressa d'altri tempi già per allora, la "famigerata" e "temutissima" signorina Massarani. 
Sempre rigorosamente con il grembiule nero, arrivava, davanti alla porta ed immediatamente il nostro chiasso fanciullesco si interrompeva e, mentre un'aria gelida sembrava attraversare l'aula, noi in piedi aspettavamo che salisse sulla cattedra, da dove ci scrutava attraverso spesse lenti, quelle stesse che causavano immancabilmente sbagli di riga e di voti, che demoralizzavano e demotivavano alcune mie compagne. 
Parlava a voce bassa, in un silenzio perfetto, e riempiva velocemente la lavagna di numeri, simboli, figure geometriche, sempre con il cancellino nella destra ed il gessetto che strideva nella sinistra, mentre controluce si notavano anche lunghi peli sul mento che ricordavano nonna Abelarda.
Era severissima ma nello stesso tempo le sue lezioni erano coinvolgenti e facevano trasparire il suo amore, direi quasi esclusivo (era infatti "zitella") per le espressioni, le equazioni, i problemi di geometria e la storia dei grandi matematici. 
Parlando ancora adesso con una compagna di allora e amica cara di oggi, Annalia, mi rendo conto come sia stata per molte di noi uno stimolo per amare questa materia, ma nello stesso tempo un ostacolo per molte altre pur essendo riuscita a stimolare in tutte forse quella sottile voglia di trovare una soluzione ai problemi. 
Io amo la matematica, Annalia no, ma la voglia di voler a tutti i costi arrivare a risolvere una situazione, un problema, un gioco, è una caratteristica che ci accomuna e che forse ci ha "inculcato" proprio quella nostra insegnante innamorata della matematica!

Annalia ed io siamo un esempio di matofobia e di matofilia, quindi non può essere solo "colpa" dell'insegnante e per amare o odiare la matematica devono entrare altre componenti. 
Certo esistono insegnanti che non sanno stimolare la curiosità degli alunni, o che non riescono a presentare la matematica con semplicità e giocosità, che non ne esaltono l'aspetto storico e logico, che non tentano soprattutto di evidenziarne le implicazioni con altre discipline come filosofia, storia dell'arte, musica.....e "chi più ne ha più ne metta", perché è solo così che la matematica può, se non proprio essere "amata", almeno non essere "odiata"!
La scarsa preparazione degli insegnanti, o l'"odio" per la matematica da parte di docenti che si trovino ad insegnarla pur non essendo specialisti in materia, non sono certo da sottovalutare e come, sosteneva Alessandro D'Avenia in un articolo apparso tempo fa sul Corriere della Sera "Insegnanti questa scuola non è un'anagrafe", esistono docenti, ma anche in-segnanti che si dimostrano in-docenti o addirittura in-decenti.

Foto dall'articolo  "Insegnanti questa scuola non è un'anagrafe"

Ma quali sono le altre componenti che possono "scatenare" questa matofobia?
Sempre il nostro studioso Seymour Papert, insieme alle già citate componenti che riguardano lo stretto insegnamento e di cui avevo parlato in un precedente articolo "Matematica.....ma quale?" quali appunto:
- Scarsa preparazione degli insegnanti, soprattutto nella scuola primaria
- Odio per la matematica da parte dei docenti che si trovino ad insegnarla pur non essendo  specialisti in materia
- Assenza di situazioni di classe che stimolino la motivazione dei discenti
- Contratto didattico
- Eccessivo uso del formalismo
ne elenca alcune altre:
- Reiterata impotenza nella risoluzione di un problema
- Ansia associata all'eventuale insuccesso
- Convinzione dell'attitudine congenita per la matematica
- Convinzioni sociali circa l'inutilità della matematica
- Netta divisione tra "sapere scientifico" e "sapere umanistico"
- Cattive prassi dei genitori che odiano la disciplina

Sarebbero tutte da valutare con attenzione e forse ce ne sono altre legate anche a fattori davvero congeniti e costituzionali, ma non voglio fare di questo post un trattato e lascio alla curiosità dei lettori "sviscerare" quelle componenti che qui non ho voluto evidenziare.
Componenti che si possono approfondire nel famoso libro di  Seymour Papert  "Mindstorms - Children, Computers, and Powerful Ideas". di cui c'è anche una traduzione in italiano di Anita Vegni "Mindstorm - Bambini, computers e creatività".

Testo di Analisi I (parte seconda) di Giovanni Ricci
Il testo era tratto e copiato direttamente dagli appunti scritti "a mano" dal Maestro

Proprio come in Catullo, questo mio amore per la matematica, a volte, ha convissuto con l'odio o ne è stato addirittura sovrastato!
Ci sono ovviamente stati momenti di sconforto, legati all'incapacità o alla poca volontà di applicarmi a uno studio serio e, a volte, difficoltoso. Uno di questi momenti, in cui forse l'odio ha davvero prevalso, è stato il mio approccio con il teorema sulla copertura di un insieme di Heine-Pincherle-Borel-Lebesgue, che mi costò il primo tentativo di passare l'esame orale di Analisi I, con il mitico "Maestro" Giovanni Ricci (come si nota dall'immagine avevo evidenziato in rosso "no dimostrazione".....che invece ovviamente Ricci pretendeva!). 
Grande Matematico e grande Maestro, Giovanni Ricci ero noto a noi studenti anche per il suo modo di agire bizzarro. Concedeva magari un 18 ma pretendeva il lancio del libretto nella fontana del  Dipartimento di Matematica (quello di via Saldini a Milano) o fissava in aula timide matricole tuonando con la sua voce bassa, cavernosa e un po' impostata (vezzo di famiglia, essendo fratello dell'allora noto attore e regista teatrale Renzo Ricci):
"se non capite queste cose, che capirebbe anche il bigliettaio dell'autòbus (lo accentava sulla o), cambiate...... cambiate subito!"
A me disse "sa che lei è proprio carina? gradirei rivederla alla prossima sessione!", e si ricordò di richiedermi proprio il famigerato teorema che però sapevo alla perfezione perché, forse anche grazie a lui e al suo rigore, il mio odio si era ritrasformato in amore.

A questo mio amore per la matematica hanno certo contribuito tanti fattori, ma mi preme ricordare anche quello che mi diede un grande divulgatore matematico Martin Gardner con la rubrica di giochi matematici che tenne per più di un quarto di secolo in Scientific American, "Mathematical Games" (i Giochi matematici nella traduzione italiana di Le Scienze fino al 1981).
Attraverso i suoi "giochi matematici" mi incuriosì, mi stimolò e soprattutto mi convinse  a impegnarmi profondamente con l'insegnamento di questa disciplina.
Gardner, che ha deliziato e incuriosito sia matematici dilettanti che professionisti, non per niente è stato soprannominato "il miglior amico della matematica mai avuto"!

Martin Gardner sulla statua Alice in Wonderland al Central Park di New York

L’insegnante di matematica di scuola superiore che rimprovera due studenti sorpresi a giocare di nascosto una partita di filetto invece di stare attenti alla lezione, farebbe meglio a fermarsi e chiedersi: 

“Per questi studenti questo gioco è più interessante, dal punto di vista matematico, di ciò che sto loro dicendo?”. In effetti, una discussione in aula sul filetto non sarebbe una cattiva introduzione a diverse branche della matematica moderna.

Martin Gardner,

dall’Introduzione a Enigmi e giochi matematici, Vol. I