I quadrati magici tra matematica, arte e leggenda

"Capire tu mi devi!
Di Un fai Dieci, getta via il Due,
uguaglia il Tre, e sarai ricco.
Che crepi il Quattro!
Di Cinque e Sei, dice la strega, fai Sette e Otto.
È tutto fatto. Se Nove è Uno, Dieci è nessuno.
Questa è la tabellina della strega!" 
(Johann Wolfgang von Goethe)¹ 

Cosa c'è di così magico nel Quadrato Magico?
I quadrati magici sono chiamati "magici" perché ogni riga, colonna e diagonale nel quadrato ha la stessa somma, chiamata la costante magica, dove somma è il termine che usiamo per definire l'operazione di addizione dei numeri nel quadrato.

"Panquadrato" 64x64 di Ugo Adriano Graziotti - 1983

Prima di addentrarmi nella spiegazione da un punto di vista strettamente matematico racconterò un po' di storia e mi soffermerò a parlare di tre curiosi quadrati: il quadrato magico di Lo Shu,  quello non proprio magico della Sagrata Familia, per concludere con il Panquadrato di Adriano Graziotti.

I quadrati magici hanno una storia molto antica e già gli antichi Cinesi, intorno al 650 a.C., conoscevano l’unico quadrato di ordine 3, che chiamarono Lo Shu.

Il quadrato magico "Lo Shu"

Secondo un'antica leggenda cinese, si dice che il primo quadrato magico sia stato trovato sul dorso di una tartaruga e questa storia è la prima documentazione scritta di un quadrato magico.. 
Questa leggenda risale al 650 a.C., ai tempi delle grandi inondazioni in Cina, secondo la quale la disastrosa piena del fiume Lo, causata dall’ira dal dio del fiume contro la popolazione, ebbe fine solo con la comparsa di una tartaruga.
Racconta che un giorno l'imperatore Yu (夏禹), che camminava lungo il fiume Lo (洛河), notò una tartaruga che usciva dall'acqua con strani segni sul dorso e, dopo un attento esame, scoprì che i segni rappresentavano dei numeri, e che il modello formava un quadrato magico.
La tartaruga che emerse dal fiume aveva infatti un insolito motivo 3 x 3 sul suo guscio che in seguito divenne la base del "Lo Shu Square", una griglia matematica in cui la somma dei numeri di ogni riga, colonna o diagonale è la stessa. 
Indipendentemente dalla direzione in cui si considerano i numeri, orizzontale, verticale o diagonale, la loro somma porta sempre a 15.
Lu rimase sbalordito e decise di chiamare la tartaruga "Lo Shu". "Lo" è il nome del fiume e "Shu" significa libro, testo o pergamena, quindi il nome può essere tradotto come "Il libro del fiume Lo". 

Il numero 15 è considerato un numero potente perché corrisponde al numero di giorni in ciascuno dei 24 cicli dell'anno solare cinese. In altre parole, è il numero di giorni nel ciclo della luna nuova fino alla luna piena.
Il "Lo (Luo) Shu Square", a volte chiamato il Magic Square, è anche alla base dell'antica astrologia del Feng Shui , della scuola di Xuan Kong Fei Xing , così come dell'I-Ching.  
Come si vede dall'immagine, nel "Lo Shu Square" il numero 5 è al centro, con numeri dispari e pari che si alternano alla sua periferia.

I quattro numeri pari - 2,4,6,8 - sono ai quattro angoli del quadrato, mentre i cinque dispari - 1,3,5,7,9 - formano una croce al centro, intorno al numero 5 (五wu) che richiama i 5 elementi che, secondo la tradizione, compongono l’universo (acqua, metallo, legno, fuoco e terra). 
I numeri dispari, simboli di luce, trasportano l'energia Yang, e i numeri pari, simboli di ombra, quella Yin, quindi nel "Lo Shu Square" i numeri Yin e Yang si alternano attorno al suo numero centrale 5.
I numeri nel "Lo Shu Square" sono un'espressione di energie specifiche e a loro vengono attribuite proprietà specifiche. 
Ad esempio, il numero 9 (九jiu) suona come la parola eternità. Gli antichi cinesi consideravano il 9 l’ultimo numero degli uomini dal momento che i numeri dal 10 in poi appartenevano al cielo. Per questo il nove fu in età imperiale un numero ad uso esclusivo dell’imperatore: le stanze della città proibita (la residenza dell’Imperatore a Pechino) sono proprio 9.999. mentre il numero 1 (一 yi) rappresenta l’onore, la leadership e lo sviluppo permanente.
La numerologia cinese trova infatti le sue radici nella tradizione taoista ed è chiaramente spiegata nel Classico dei Mutamenti, I Ching o Yi Jing (易經 Yìjīng), un antico testo di divinazione cinese e il più antico del classici cinesi, uno dei 5 classici confuciani su cui si basa la cultura tradizionale cinese. 
Tradizione che considera appunto i numeri dispari simboli di luce e uomo (yang) e i numeri pari di ombra e femmina (yin).²
La configurazione del "Lo Shu Square" era considerata comunque simbolo di armonia ed era un modello importante per il tempo e lo spazio e serviva da base per la pianificazione della città, la progettazione di tombe e di templi. Il quadrato magico è stato usato per designare gli spazi di importanza politica e religiosa. 

Il quadrato magico Lo Shu sul retro di una piccola tartaruga (al centro), circondata dai segni dello zodiaco 

cinese e dagli otto trigrammi, tutti portati da una grande tartaruga (che, presumibilmente, rappresenta

 il cavallo del Drago che in precedenza aveva rivelato i trigrammi di Fu Xi). 

Disegnato da un anonimo artista tibetano.

Se vogliamo definire  più rigorosamente un quadrato magico allora possiamo considerarlo come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia, che si calcola con la formula:

M(n) = ½ n (n² + 1)

Allora il nostro quadrato magico "Lo Shu" può definirsi come una matrice quadrata di numeri interi positivi di ordine n = 3, la cui costante di magia vale:

M(3) = ½ ∙ 3 (3² + 1) = 3/2 ∙ 10 = 15

Script originale di Shams al-Ma'arif

Breve storia

Noti anche in India e in Persia, i quadrati magici giunsero in Europa relativamente tardi, attraverso la traduzione di fonti arabe, prima dalle opere del filosofo ed astrologo ebreo Abraham ben Meir ibn Ezra (ca. 1090–1167), che potrebbe essere stato uno dei primi pionieri dell’introduzione dei quadrati magici in Europa e poi, come elementi occulti, nel Rinascimento.
Abraham ben Meir tradusse infatti molte opere dall’arabo in ebraico e dalla Spagna, dove visse a Granada, giunse in Italia con molti viaggi diffondendo così le sue opere anche relative ai quadrati magici. 
La vera riscoperta dei quadrati magici in Europa avvenne però nel Quattrocento, con lo sviluppo in Italia del neoplatonismo rinascimentale, periodo in cui la teoria generale dovette essere riscoperta indipendentemente dai precedenti sviluppi in Cina, India e Medio Oriente.
Le correnti numerologiche sfociarono in una rinascita degli studi matematici, persino in persone lontane da tentazioni occultistiche, come Luca Pacioli (1445 - 1517), che tuttavia chiamò “divina” la famosa proporzione. 

Sator³ esempio di quadrato magico letterale

Paracelso lo considerava un talismano erotico e  Girolamo Cardano , 

nel suo "De rerum variegate", un rimedio contro la rabbia

Il Sator di Capestrano che risale al VIII sec. d.C. è una incisione (misteriosamente) rovesciata 

su una lastra infissa a circa due metri da terra nella facciata della chiesa romanica

 di San Pietro ad Oratorium di Capestrano

Pacioli si occupò di quadrati magici, nel manoscritto "De viribus quantitatis", redatto  presumibilmente tra il 1496 e il 1508, dove associò i diversi quadrati magici ai pianeti allora conosciuti, secondo una tradizione già iniziata prima del loro arrivo in Europa. 
Un vero e proprio "mago" rinascimentale fu il medico, algebrista, inventore e astrologo pavese Girolamo Cardano (1501 - 1576), e il "mago" d'oltralpe Cornelio Agrippa di Nettesheim (1486–1535) che nell’edizione del 1533 della sua opera "De Occulta Philosophia" descrive i quadrati magici nel secondo libro, dedicato alla magia celeste, cioè al potere delle stelle e dei pianeti. 

Di ogni quadrato magico, Agrippa fornisce la descrizione in chiave planetaria, secondo il seguente schema:
Ordine 3: quadrato di Saturno
Ordine 4: quadrato di Giove
Ordine 5: quadrato di Marte
Ordine 6: quadrato del Sole
Ordine 7: quadrato di Venere
Ordine 8: quadrato di Mercurio
Ordine 9: quadrato della Luna.

Sempre di questo periodo rinascimentale è il famoso quadrato magico 4x4 che Albrecht Dürer  (1471 - 1528) immortalò nel 1514 nella sua incisione Melencolia I, che si crede essere il primo visto nell'arte europea. 
Su questo però non mi soffermerò, avendone già parlato in un precedente articolo completamente dedicato al grande artista "Albrecht Dürer, dalla magia alla matematica" (di cui lascio qui il link per la curiosità del lettore). preferendo invece parlare di uno più discusso recentemente, sempre 4x4, quello posto sulla facciata della Passione della Sagrada Família a Barcellona. 

Il quadrato di Subirachs 

sulla facciata della Passione della Sagrada Família³ a Barcellona

Il quadrato "non magico" di Subirachs 

La facciata della Passione della Sagrada Família⁴ a Barcellona, ideata da Antoni Gaudí (1852 - 1926) e progettata dallo scultore Josep Subirachs (1927 - 2014), presenta un quadrato 4 × 4 la cui costante è 33, l'età di Gesù al tempo della Passione. 
Strutturalmente, è molto simile al quadrato magico in Melancholia 1 di Albrecht Dürer, ma riporta i numeri in quattro delle celle ridotti di 1

Parallelo tra il quadrato di  Josep Subirachs e quello del Albrecht Dürer

E' facile anche notare che pur avendo lo stesso schema di sommatoria, questo non è un vero quadrato magico (non è un quadrato magico normale) perché non rispetta la regola che un quadrato magico n x n debba contenere ciascuno degli interi positivi da 1 a n². dato che due numeri (10 e 14) sono duplicati e due (12 e 16) sono assenti. 
Subirachs prese il quadrato magico dall'incisione del pittore tedesco Albrecht Dürer, Melencolia I , e lo adattò, ripetendo i numeri 14 e 10 invece di 12 e 16, per arrivare fino a 33, l'età in cui si ritiene tradizionalmente che Gesù sia stato giustiziato. 
Tradizionalmente creduto perché, storicamente, questo non è mai stato confermato, tuttavia è vero che 33 è anche un numero simbolico, e non del tutto casuale, basato sull'importanza del numero 3 nel mondo cristiano, come simbolo della trinità.
Inoltre, nel quadrato della Sagrada Familia, c'è anche una sorta di firma subliminale nascosta. Sommando i numeri che si ripetono e guardando la loro corrispondenza nell'alfabeto romano, otteniamo le iniziali INRI, l'acronimo che significa Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum (Gesù di Nazareth, re degli ebrei) ed è il segno che Ponzio Pilato scrisse sulla croce di Gesù e qui, la sua firma.
I numeri che compaiono due volte sono infatti 10 e 14 e la loro somma è 10+10+14+14 = 48.
Ma 48 è anche la somma delle lettere della parola INRI (nell'alfabeto latino).
INRI = 9+13+17+9 = 48.

Dopo i brevi cenni storici e dopo aver parlato di questi due quadrati, magici e non, per soddisfare la curiosità lascio alcune considerazioni matematiche legate a questi quadrati (altre e più dettagliate potreste trovarle qui).

Alcune considerazioni matematiche sul Quadrato Magico

Un quadrato magico è una disposizione di numeri interi in forma di tabella quadrata in cui siano rispettate due condizioni:
- i valori siano tutti distinti tra loro 
- la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna, e in entrambe le diagonali, dia sempre lo stesso risultato, denominato "costante di magia" del quadrato (o "costante magica", o "somma magica"). 
In matematica, una tabella di questo tipo è detta matrice quadrata. In modo analogo a quanto avviene con queste ultime, il numero di righe (o di colonne) è detto "ordine" del quadrato magico.
Quindi possiamo definire più rigorosamente un quadrato magico come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia.

Costante di magia 

La costante che è la somma di qualsiasi riga, colonna o diagonale è chiamata "costante magica" o "somma magica", M. 
Ogni quadrato magico normale ha una costante dipendente dall'ordine n, calcolato dalla formula:

Questa può essere dimostrata notando che la somma di 1+2+...+n² è n²(n² +1)/2
Poiché la somma di ogni riga è M, la somma delle somme di riga è nM = n²(n² +1)/2, che diviso per l'ordine n produce la costante magica. 
Per i normali quadrati magici di ordine n = 3, 4, 5, 6, 7 e 8, le costanti magici sono, rispettivamente: M = 15, 34, 65, 111, 175, e 260 (sequenza A006003 in OEIS ). 

Proprietà

- Il quadrato magico di ordine 1 è banale 

Il quadrato magico 1 × 1, con una sola cella contenente il numero 1, è chiamato banale , perché tipicamente non viene preso in considerazione quando si discutono i quadrati magici; ma è effettivamente un quadrato magico per definizione, se consideriamo una singola cella come un quadrato di ordine uno.

- Il quadrato magico di ordine 2 non può essere costruito 

I normali quadrati magici di tutte le dimensioni possono essere costruiti ad eccezione di 2 × 2 (cioè, dove l'ordine n = 2).

Numero di quadrati magici di un dato ordine 
Escludendo rotazioni e riflessioni, quante configurazioni hanno i quadrati magici?

- 1 sola configurazione del quadrato magico 3 × 3
Del quadrato magico di ordine 3 [M(3)=15] è possibile una sola configurazione. Eccone un esempio (ruotato rispetto al "Lo Shu"):

- 880 configurazioni del quadrato magico 4 x 4 
Del quadrato magico di ordine 4 [M(4)=34] sono possibili 880 configurazioni diverse senza rotazione o riflessione, come stabilì per primo Frénicle de Bessy nel 1693. Ecco un esempio  molto simile al famoso quadrato magico del Durer (le due colonne centrali sono state invertite)

- 275.305.224 configurazioni dei quadrato magico 5 x 5
Del quadrato magico di ordine 5 [M(5)=65] sono possibili 275.305.224 configurazioni diverse, come stabilito da R. Schroeppel nel 1973 con l’ausilio del computer. Eccone un esempio:

- Per il caso 6 × 6, si stima che siano circa 1,8 × 10^19 configurazioni, come stabilito statisticamente da Pinn e Wieczerkowski nel 1998. Eccone un esempio: 

- Per il caso n?
Non è stata determinata la regola che consenta di stabilire il numero di quadrati magici di un qualsiasi ordine n.


Alcune trasformazioni che preservano la proprietà magica
(altre trasformazioni più dettagliate qui) 

- Ciascun quadrato magico rimane magico se ruotato di 90°, 180° o 270° gradi, oppure se viene riflesso rispetto all’asse orizzontale, verticale e a ciascuna delle sue diagonali.

- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri sono moltiplicati per qualsiasi numero fisso k e avrà come costante magica kM(n)
Nell'esempio seguente gli elementi del quadrato di sinistra (M(4)=34) sono stati raddoppiati nel quadrato di destra (M(4)=68):

- Se aggiungiamo o sottraiamo la stessa quantità q a ciascun numero di un quadrato magico, otteniamo di nuovo un quadrato magico. Un quadrato magico normale a cui abbiamo aggiunto o sottratto q ha costante magica M(n) + nq o M(n) - nq.
Nell'esempio seguente a ogni elemento del quadrato magico normale di sinistra è stato aggiunto q=3 e quindi la costante magica del quadrato di sinistra risulta M(4)=34+4x3=46

- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri vengono aggiunti o sottratti da qualsiasi numero fisso. In particolare, se ogni elemento in un quadrato magico normale viene sottratto da n² + 1, otteniamo il complemento del quadrato originale. Nell'esempio seguente, gli elementi del quadrato 4 × 4 a sinistra (M(4)=34) vengono sottratti da 17 (4²+1) per ottenere il complemento del quadrato a destra (M(4)=34) 

Il Panquadrato di Adriano Graziotti

Concludo questo breve excursus sui quadrati magici, che per secoli hanno affascinato matematici e artisti, parlando dell'opera che ho usato per aprire questo post.
Si tratta del "Panquadrato" un'opera molto intrigante del matematico, pittore e scultore italiano Ugo Adriano Graziotti (1912 - 2000), che è considerato il più grande quadrato magico ed è entrato, a buon diritto nei Guinnes dei primati.

Dettaglio del Panquadrato di Graziotti

E' un quadrato magico di ordine 64 che comprende tutti i numeri naturali da 1 a 4096 e la cui costante magica è: 

M(64) = ½ ∙ 64(64² + 1) = 32 ∙ 4097 = 131.104

Oltre a risultare dalla somma dei numeri delle righe, colonne e diagonali, la costante magica 131 104, è data anche dalla somma dei numeri che compongono le raffigurazioni simmetricamente distribuite nel quadrato: 4 labirinti, 4 semidiagonali, 4 greche, 4 vampiri e i 2 bracci della croce centrale. 
Si ottengono cosi 18 "sottoquadrati" aventi la stessa costante del quadrato principale. 
Il numero 87, nell'ultima casella in basso a destra, è la criptica firma dell'artista: infatti le iniziali "H" e "G" di Hadrianus Graziotti corrispondono rispettivamente all'ottava e settima lettera dell'alfabeto. Il numero accanto, 2736, è l'anno di esecuzione del quadrato secondo il calendario dell'antica Roma: esso è dato dalla somma di 1983, anno di composizione del lavoro, e 753 a.C., anno della fondazione dell'Urbe. 
Complesso da descrivere, davvero geniale da concepire rientra tra le opere che l'artista dedicò alla sua passione matematica, e quello dei quadrati magici fu uno dei temi di ricerca sulla arcaica scienza che più appassionò Graziotti. 



Note

¹Filastrocca dell'Antro della Strega che possiamo leggere nel Faust, il celeberrimo poema dello scrittore tedesco Johann Wolfgang von Goethe. 
Questa filastrocca si presta ad una interpretazione matematica e può essere letta infatti come un algoritmo per costruire un quadrato magico a partire dai numeri naturali da 1 a 9.
La filastrocca in tedesco recita: 
"Du mußt verstehn!
Aus Eins mach’ Zehn, Und Zwei laß gehn,
Und Drei mach’ gleich, So bist Du reich.
Verlier’ die Vier!
Aus Fünf und Sechs, So sagt die Hex’, Mach’ Sieben und Acht,
So ist’s vollbracht. Und Neun ist Eins, Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexen-Einmal-Eins!"

² Istituto Confucio dell'Università di Torino 

³ Il Sator è un’iscrizione in latino, che appaia come lapide o come graffito, apparentemente semplice ed elegante, fatta di lettere anziché di numeri, una lastra di pietra su cui sono incise cinque parole latine di cinque lettere ciascuna che formano una frase palindroma "Sator Arepo Tenet Opera Rotas", leggibili in direzioni orizzontali e verticali (manca la direzione obliqua presente dei quadrati magici numerici). 
Il testo, ancora oggi senza una chiara spiegazione, significa "Il seminatore sul carro conduce con cura le ruote".
Ma il motto racchiude in sé molte particolarità. Innanzi tutto: la terza parola, TENET, è palindroma, ossia può essere letta in entrambi i sensi. Inoltre se prendiamo la frase nella sua interezza anch’essa risulta sorprendentemente palindroma. Partendo dall’ultima parola: ROTAS, letta al contrario risulta SATOR, come la prima. La penultima, OPERA, risulta AREPO, come la seconda, e così via. 
Il quadrato Sator forse più antico è il quadrato scoperto a Pompei nel 1936 dall’archeologo ed epigrafista italiano Matteo Della Corte, 
Il Sator è anche detto Latercolo pompeiano proprio perché i due più antichi esemplari ad oggi noti emersero in Italia, appunto negli scavi di Pompei, città sepolta dall’eruzione del Vesuvio nel 79 d.C., anche se molti altri vennero collocati su chiese ed edifici soprattutto fra il 1000 e il 1800 e sono visibili su un numero sorprendentemente vasto di reperti archeologici.
Altre curiosità esoteriche e religiose qui

⁴ La Sagrada Família, nome completo in lingua catalana Temple Expiatori de la Sagrada Família (Tempio espiatorio della Sacra Famiglia) di Barcellona, Catalogna (Spagna) è il capolavoro di Antoni Gaudí, architetto catalano, definito l'architetto di Dio.
Nel 1866 nacque l'Associació Espiritual de Devots de Sant Josep (Associazione spirituale dei devoti di San Giuseppe), con l'intento di promuovere la fabbricazione di un tempio dedicato alla Sacra Famiglia. Tramite le donazioni che riceveva, l'associazione comprò il terreno su cui ora sorge la chiesa nel 1881 e in seguito si apprestò alla costruzione.
L'incarico fu affidato ad Antoni Gaudí nel 1884. Egli lavorò al progetto e seguì i lavori di costruzione per oltre 40 anni, dedicando completamente a questa impresa gli ultimi 15 della sua vita.
Dal 1940 gli architetti Francesco Quintana, Puig Boada, e Lluis Gari hanno portato avanti i lavori. Le sculture di J. Busquets e del controverso ma possente Josep Subirachs decorano le fantastiche facciate.
La costruzione della chiesa è tutt'oggi finanziata dalle donazioni all'associazione e i lavori procedono lentamente, anche a causa delle difficoltà del progetto. Numerosi edifici circostanti dovrebbero essere abbattuti per far posto alla scalinata principale.
La Sagrada Familia non è stata ancora finita e i responsabili assicurano che sarà terminata nel 2026 e si prevede che al suo completamento possa essere la più grande basilica del mondo.


Fonti
https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
https://www.thespruce.com/feng-shui-magic-of-the-lo-shu-square-1274879
https://it.wikipedia.org/wiki/Sagrada_Fam%C3%ADlia