Numeri immaginari...Matematica reale o immaginaria?

Eccomi alla seconda puntata (la prima la trovate qui) del viaggio tra matematica reale e immaginaria vista anche attraverso i fumetti.

Avevo detto che avrei parlato dei numeri immaginari!!??

Non posso fare a meno però di ritornare ai fumetti, anzi alla strisca di "Calvin & Hobbes" dove Calvin si terrorizza al solo sentirne il nome, mentre per Hobbes sono innati. Infatti, come si sa, le tigri di pezza hanno sviluppato la capacità di comprendere e lavorare con i numeri immaginari!!!

Tanto per ricordare chi sono Calvin e Hobbes.....Calvin è un bimbo, Hobbes la tigre di pezza che con lui diventa animata.

Calvin: Ecco un altro problema di matematica che non riesco a risolvere, quanto fa 9+4?

Hobbes: Oh, questo è difficile, devi usare l'analisi matematica e i numeri immaginari per questo

Calvin: Numeri immaginari ?? 

Hobbes: si, sai come undiciette, trentaventi, roba del genere, è un po' "complesso" al primo approccio

Calvin: E tu dove hai imparato tutte queste cose che non sei mai stato a scuola?

Hobbes: Istinto, le tigri ci nascono con l'istinto

Calvin & Hobbes è una striscia a fumetti realizzata da Bill Watterson, uscita sui quotidiani statunitensi dal 18 novembre 1985 al 31 dicembre 1995, data in cui l’autore smise di disegnare. Ambientata negli Stati Uniti contemporanei, la striscia è incentrata sulle avventure di Calvin, un bambino di sei anni pestifero e fantasioso, e di Hobbes, la sua tigre di pezza che per tutti è un semplice pupazzo, ma che per Calvin si anima e diventa un fedele compagno di avventure e peripezie quotidiane.

Il nome Calvin si ispira a Giovanni Calvino, il teologo del XVI secolo che credeva nella predestinazione, mentre Hobbes è quello del filosofo e matematico britannico del XVII secolo, Thomas Hobbes, autore nel 1651 dell'opera di filosofia politica Leviatano, in cui rivela la sua bassa considerazione per la natura umana.

Dopo questa introduzione fumettistica entro nel vivo dell'argomento dei numeri immaginari che in verità non so se considerarli appartenenti al mondo della Matematica reale o di quella immaginaria!

Comunque Hobbes ha dimostrato di conoscerli davvero e aggiungendo "it's a little confusing" ha  implicitamente ammesso che c'è un po' di confusione, insomma che la questione è complessa.

Si perché immaginario e complesso, come ben sanno i matematici, sono due concetti che vanno davvero a braccetto. E accompagnata dai due simpatici fumetti cercherò di introdurli, soprattutto storicamente. 

Fu Girolamo Cardano (Ars Magna, 1545), poliedrica figura del Rinascimento italiano, riconosciuto anche come il fondatore principale della teoria della probabilità, il primo a trattare esplicitamente questi numeri (senza ancora usare il simbolo i), tentando di risolvere il seguente problema:

“dividere un segmento di lunghezza 10 in due parti tali che il rettangolo da esse formato abbia area 40”

In realtà l’area di un tale rettangolo è al massimo 25 (quando x=y cioè quando le due parti sono uguali e diventa un quadrato), ma l’algebra ci dice qualcosa in più, se consideriamo l’equazione corrispondente al problema:

x² −10x + 40 = 0 .

Essa conduce alle due soluzioni “sofistiche” 5 + √−15 e 5 − √−15 , che usano il numero “impossibile” √−15 e il cui prodotto è:

(5 + √−15)(5 − √−15) = 25 − (−15) = 40

e la cui somma è:

(5 + √−15)+ (5 − √−15) =10 

Nei secoli successivi, numerose altre equazioni algebriche portarono a soluzioni  “immaginarie”, come le definì Cartesio nel 1637. Ma fu grazie ad Eulero che lo studio di tale materia trovò pieno compimento con l'introduzione dell’unità immaginaria i, tale che i² = −1, che permise di scrivere i numeri precedenti come 5 ± i√15 e qualsiasi altro numero complesso nella forma a noi nota: z = a + i b

L’interpretazione geometrica fu dovuta alle tesi di Gauss (1799) e Argand (1806) e alla introduzione del piano complesso, che oggi porta il loro nome.

Ma andiamo per ordine e consideriamo il fatto che mentre i numeri naturali e le frazioni sono nati da esigenze di carattere pratico, di tipo amministrativo e commerciale, i numeri negativi, reali, immaginari e complessi sono, invece, frutto di speculazioni interne allo sviluppo della matematica, in particolare di quella parte che è denominata algebra e che fino alla metà dell’Ottocento si identificava con la teoria delle equazioni algebriche. 

E proprio la risoluzione e lo studio delle proprietà delle equazioni polinomiali porterà inevitabilmente allo studio della natura e delle proprietà dei vari insiemi numerici.

Per circa sei secoli dalla sua fondazione, comunque l’algebra non ebbe una significativa evoluzione e il primo avanzamento notevole, si ebbe infatti solo nella prima metà del Cinquecento con la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado ad opera di Scipione dal Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano e Lodovico Ferrari. Ed è proprio in questo contesto che si iniziano a considerare anche soluzioni negative ed emerge per la prima volta una problematica che porterà all'introduzione dei numeri immaginari e complessi.

Pochi anni dopo il problema "impossibile" di Cardano, Raffaele Bombelli, nella sua "Algebra, parte maggiore dell'Artmetica" pubblicata a Bologna nel 1572, introduce regole di calcolo per operare con le radici di numeri negativi e accetta queste nuove quantità numeriche anche come soluzioni per le equazioni di secondo grado con discriminante negativo.

Questo tipo di soluzioni vengono denominate da Bombelli “sofistiche” (forse riprendendo il nome già precedentemente usato da Cardano), ma la loro compiuta accettazione non avvenne né facilmente né in tempi brevi.

La resistenza a considerare soluzioni negative o complesse di equazioni algebriche derivava, in gran parte, dal fatto che l’algebra era considerata uno strumento per risolvere problemi “concreti” e le soluzioni di quel genere non avevano alcun significato reale.

Autori come Albert Girard e René Descartes, furono tra i primi ad accettare questo nuovo tipo di soluzioni, ma lo fecero solo per motivi squisitamente matematici.

Albert Girard (1595-1632), nel suo trattato "L’invention en algebre" (1629), usa disinvoltamente coefficienti negativi e calcola non solo le soluzioni negative, ma anche quelle complesse.

Ricordando anche che fu il primo ad utilizzare le abbreviazioni sin, cos e tan in un trattato, notiamo che la parte più interessante di questa pubblicazione è quella dove Girard fornisce uno dei primi enunciati di quello che sarà poi denominato Teorema fondamentale dell’algebra (TFA):

Toutes les equations reçoiventautant de solutions, que la denomination de la plus haute quantité le demonstre, excepté les incompletes. 

Tutte le equazioni, tranne quelle incomplete, hanno tante soluzioni quante ne indica la denominazione della quantità più alta (cioé il grado)

Anche René Descartes (Cartesio 1596-1650), filosofo e matematico francese ritenuto fondatore della matematica e della filosofia moderna, nel terzo capitolo della sua "Géometrie" del 1637 tutto dedicato allo studio delle equazioni algebriche, fornisce un enunciato simile a quello di Girard:

Sachez donc qu’en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c’est-à-dire de valeurs de cette quantité

Sappiate che ogni equazione può avere tante radici, vale a dire valori di questa quantità, quante sono le dimensioni (il grado) della quantità incognita

Egli conclude la sua trattazione dell'algebra con l’affermazione:

Le radici non sono sempre reali, talvolta esse sono immaginarie, cioè mentre noi possiamo sempre concepire tante radici per ogni equazione come ho già detto, tuttavia qualche volta non c’è alcuna quantità che corrisponde a quello che si immagina. Così sebbene si possa immaginare che l’equazione x3-6x2+13x-10=0 abbia tre radici, tuttavia ve ne è solo una reale, mentre le altre due sono immaginarie.

Quest’ultima affermazione sembra indicare che Descartes ammetta che un’equazione di grado n abbia esattamente n radici purché si considerino anche quelle complesse, che lui chiama immaginarie, anche perché se l’equazione ha tutte radici di questo tipo non può essere costruita geometricamente e quindi può essere solo immaginata.

Girard e Descartes anche se in modo un po’ confuso propongono quelle che sono considerate le prime enunciazioni del TFA. Essi non solo non forniscono alcuna giustificazione del loro enunciato, ma si limitano a verificarlo su esempi che riguardano equazioni fino al quarto grado, le uniche per cui all’epoca si conoscevano formule risolutive.

Proseguendo la nostra storia arriviamo a Isaac Newton (1642-1727) che, nella sua "Arithmetica Universalis" del 1707, considera le soluzioni complesse come una indicazione della impossibilità di risolvere un problema, di qui l’appellativo di "impossibili" da lui usato per questo tipo di numeri:

Così l’equazione deve esprimere tutti i casi del problema così bene sia quelli che sono impossibili sia quelli che sono possibili, secondo che le sue radici possono essere possibili o impossibili.

Giungiamo quindi al Settecento, il secolo dell’analisi infinitesimale, ma in cui tuttavia quasi tutti i più importanti matematici si occupano anche della risoluzione delle equazioni polinomiali, cercando metodi per risolvere equazioni di ogni grado. 

Gottfried W. Leibeniz (1646-1716) e Giovanni Bernulli (1667-1748) agli inizi del 1700 si occupano di fattorizzazione per la risoluzione di integrali razionali. In particolare Leibniz sulla base di un esempio, mal calcolato, affermò che purtroppo la decomposizione non è sempre possibile.

Il grande matematico svizzero Leonardo Eulero (1707-1783), invece, in una lettera del 1 ottobre 1742 a Nicola Bernoulli afferma, senza dimostrazione, che ogni polinomio a coefficienti reali può essere decomposto in fattori lineari e/o quadratici a coefficienti reali. Bernoulli non giudica corretta l’affermazione e si innesta così una lunga diatriba che sfocerà in una dimostrazione di Eulero in un articolo “Recherches sur les racines imaginaires des equations”, pubblicato, nel 1751, nelle "Mémoires de l’Académie de Berlin".

Il grande matematico svizzero, negli ultimi anni vissuti a San Pietroburgo compose anche un manuale divulgativo di algebra che apparve in edizioni tedesca e russa a San Pietroburgo nel 1770-72 e in edizione francese nel 1774 (sotto gli auspici di d’Alembert, autore forse del primo tentativo serio di dimostrazione del TFA nel 1746).  
In esso, aldilà dei pregi didattici, si riscontrano imprecisioni che possono però essere spiegati dal fatto che l'autore, ormai cieco, non era più in grado di scrivere e lo dettò, sfruttando solo la sua memoria, al segretario, Nicolaus Fuss che era anche il marito di sua nipote.

E proprio il capitolo XIII di questo testo è dedicato a quei numeri che egli chiama “quantità impossibili o immaginarie”. 
Dobbiamo a lui l’uso della lettera i per indicare  √-1 che però fu adottata appunto verso la fine della sua vita in una memoria del 1777, pubblicata sugli Atti della Accademia di San Pietroburgo,.

A Eulero siamo anche debitori di molti dei simboli ancora oggi usati in matematica. Fu lui infatti a introdurre la lettera e per indicare la base dei logaritmi naturali, ad usare sistematicamente π per indicare il valore irrazionale 3,1415926535.......,  Σ come simbolo per la sommatoria e f(x) per indicare una funzione.

Ma tornando alla dimostrazione del TFA, altri tentativi furono portati avanti, oltre a quello di Eulero, dal torinese Giuseppe Lodovico Lagrangia (più noto come Lagrange) nel 1772 e da Pierre Simon Laplace nel 1795, e finalmente nel 1799 Gauss, il principe dei matematici, riuscì nell'intento. 

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) provò a dimostrare questo teorema per la prima volta appunto nel 1799, nella sua tesi di dottorato, presentata in quell’anno presso l’Università di Helmstedt in Germania. Successivamente egli trovò altre tre diverse dimostrazioni dello stesso risultato, ma modestamente affermò che era pervenuto alla prima dimostrazione sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. 
Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.

Ma fra i motivi che hanno a lungo ostacolato la comprensione dei numeri complessi c’è sicuramente la mancanza di una loro rappresentazione geometrica.

Questa fu infine proposta quasi contemporaneamente e indipendentemente, tra la fine del Settecento e i primi anni dell’Ottocento da Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822) e da Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Ma anche se le tesi di Gauss e Argand apparvero già nel 1799 e nel 1806 rispettivamente, fu solo comunque dopo il 1831, anno in cui fu pubblicato il lavoro di Gauss "Teoria residuarum biquadraticorum. Commentatio seconda", che l’idea del piano geometrico complesso cominciò ad affermarsi. 

Gauss pose in corrispondenza i numeri complessi con i punti di un piano cartesiano fornendo così una interpretazione geometrica all’addizione e alla moltiplicazione di due numeri complessi, facendo così apparire più naturali, da un punto di vista intuitivo, queste operazioni e trasformando un numero complesso in un vettore.

Prende così una forma definitiva e coerente la teoria dei numeri complessi (chiamati con questo nome proprio da Gauss), la loro rappresentazione e la loro visualizzazione sul piano complesso che oggi porta il loro nome, detto appunto piano di Argand-Gauss.

Ma non finisce qui.
Un giorno un matematico irlandese, tale William Rowan Hamilton (1805-1865) non soddisfatto dei soli numeri complessi, decise di inventare i "quaternioni". Non bastandogli la sola i, aggiunse altre due unità immaginarie, j e k e così un quaternione assunse dunque la forma: q = a + ib + jc + kd
Se prima i numeri complessi avevano due parametri, la parte reale e la parte immaginaria, ora i quaternioni ne hanno quindi ben quattro. E se i numeri complessi potevano essere disegnati su di un piano, un ente bidimensionale, per i quaternioni non basta: ci vorrebbe un'entità a quattro dimensioni.
Ma non esiste, su questa terra!!!!!
Questo viaggio potrebbe proseguire ancora perché attraverso i numeri complessi si sono ottenuti i frattali e dai quaternioni i superfrattali con tutte le loro implicazioni e applicazioni probabilistiche alla fisica moderna, all'astronomia, alla meteorologia, alla neurologia, alla finanza o ancora alla  teoria della relatività e nella meccanica quantistica e in settori più applicati, come la computer grafica 3D, l'ottica e la robotica.

Ma questa è un'altra storia di cui potrei parlare in una terza puntata. Calvin e Hobbes sono esausti e non mi accompagnerebbero più!

Fonti:

From the book:
M.SPOGLIANTI "Appunti di Storia delle Matematiche" Litografia Cislaghi, Milano, 1974 
R.COURANT e H.ROBBINS "Che cos’è la matematica?" Boringhieri, Torino, 2010
C.B.BOYER "Storia della matematica" Oscar Mondadori, 2011
From website:
Per i metodi di calcolo e le proprietà dei numeri complessi consiglio questo link:
http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/files/complessi.pdf 
From the pictures
Le immagini, rielaborate da me (Annalisa Santi), sono state reperite dal sito Calvin&Hobbes
http://calvinhobbesdaily.tumblr.com/

Meteo, matematica e...farfalle!

"Matematica estiva" è il tema della 76-esima edizione del Carnevale della Matematica ferragostiana, che uscirà, come di consueto il 14 del mese, ospitato sul blog di Mau.
Matematica estiva in questi giorni sembrerebbe quasi un paradosso (forse un nuovo paradosso matematico?), infatti il tema presumerebbe che ci fosse la matematica e l'estate .....ma l'estate quest'anno parrebbe proprio non arrivare mai.

Dobbiamo farci una ragione del fatto che il 2014 sarà l’anno senza estate? 

A sostenerlo sono quasi la totalità dei meteorologi e dei siti meteo, i “guru” delle previsioni, che annunciano che proseguirà “l’instabilità ad oltranza con il rischio temporali”, tranne brevissime parentesi miti e soleggiate (senza picchi di caldo esagerato), che il clima si manterrà tipicamente autunnale con temperature di gran lunga inferiori rispetto alle medie del periodo e che continueranno precipitazioni abbondanti tipiche dei periodi più piovosi dell’anno.
Ma tornando al suddetto tema, vorrei qui introdurre brevi considerazioni sulla correlazione tra i modelli meteorologici, la matematica e le previsioni meteo, così difficili in questa "estate che non c'é".

La farfalla e la teoria del caos

La teoria del caos dimostra che i cambiamenti infinitesimali che avvengono in un sistema possono portare a cambiamenti sorprendentemente drammatici. L'esempio classico è la farfalla che batte le ali in Brasile provocando un tornado nel Texas. 

La rete Internet mette attualmente a disposizione i risultati dei modelli di previsione ad un pubblico sempre più vasto che varia dagli scienziati ricercatori agli amatori. Informazione, che se non opportunamente filtrata attraverso un minimo di preparazione teorica, può indurre molti all'errore di interpretazione e alla confusione. Inoltre, specialmente per i non addetti ai lavori, l'affidabilità delle previsioni e la competenza dei responsabili dei siti internet non sono deducibili dall'apparenza del sito stesso; infatti la veste grafica molto curata talvolta può nascondere enormi carenze di rigore scientifico al suo interno.

Cos'è la previsione meteorologica numerica?

La previsione meteorologica numerica (NWP Numerical Weather Prediction) costituisce forse uno degli aspetti più affascinanti e complessi della meteorologia.
Oggi si può affermare che l'obiettivo di conoscere in anticipo l'evoluzione del tempo con un ragionevole grado di affidabilità è stato forse raggiunto, grazie soprattutto allo sviluppo dei sempre più potenti elaboratori elettronici, i supercomputers, e della così detta "previsione d'ensemble" (EPS - Ensemble Prediction System), che consiste essenzialmente nel mettere a confronto simultaneamente dati ottenuti dai modelli, variando le condizioni iniziali e creando una sorta di "nuvola statistica" di soluzioni.
Alla linea dell'ensemble  si aggiunge la cosiddetta ipotesi del «multi-model ensemble», che significa il confronto dei risultati multipli non più ricavati da uno stesso modello, ma da più modelli diversi tra loro.

Metodo Sinottico - Analisi sinottica 11 agosto 2014

Oggi i più grandi centri meteorologici fanno girare contemporaneamente più modelli all'interno dei calcolatori, e un criterio di analisi è quello di rielaborare i diversi output mediante sofisticati criteri statistico-dinamici. 
Supponendo che tutti i modelli siano stati sviluppati in modo più o meno indipendente, eventuali errori possono essere compensati dal confronto. Emerge quindi una previsione "ottimale", intesa come risultato di rielaborazione di tutte le previsioni effettuate.
Questo sviluppo indipendente dei modelli consente quindi il cosiddetto "multimodel forecast", una linea promettente di previsione basata appunto sul confronto dei risultati di più modelli, che utilizzano equazioni fondamentali, note da un paio di secoli, e che ovviamente sono le stesse per tutti.

Ma cos'è un modello meteorologico?

Un modello è una riproduzione semplificata della realtà, ossia un'astrazione che considera solamente le principali caratteristiche di quello che è il reale oggetto di studio. Tuttavia, un modello, sebbene possa sembrare limitato, in quanto non riproduce completamente la realtà, permette di esaminare gli aspetti piú importanti di un problema.
E non è poco! 
Se considerassimo tutti i dettagli di un problema, ottenendo quello che si definisce una simulazione come quella meteorologica, ci troveremmo ad affrontare un insieme di dati difficilmente correlabili tra loro e quindi la loro analisi ci sarebbe impossibile o di utilità limitata all'analisi di brevi periodi, come appunto per le simulazioni climatiche.
Certo un modello non può offrire garanzie di sicurezza assoluta ma è comunque un indispensabile strumento per il progresso della scienza e della tecnologia.
D'altra parte l'uso di un modello è del tutto naturale. 
Ad esempio, quando usciamo da casa per recarci al lavoro o per una gita, ci formiamo mentalmente l'idea del percorso che seguiremo, con le eventuali soste per il caffè o per il giornale, ma certo non prenderemo in considerazione la possibilità che un gabbiano atterri sul tetto della nostra auto o altri eventi improbabili. 
Automaticamente il pensiero opera una semplificazione della realtà per poter elaborare delle conclusioni su di essa.

Tabella riassuntiva delle caratteristiche dei principali modelli meteorologici globali.

Due esempi di modelli globali

(a sinistra) 
Rappresentazione schematica di un modello numerico globale a punti di griglia, che mostra la suddivisione in volumi elementari per i quali sono eseguiti i calcoli, generalmente ai nodi della griglia.
I colori riguardano una scala di temperatura (rosso = caldo; blu = freddo); sono anche riportati i vettori del vento (da Lab. Météorologie Dinamique, CNRS). 
(a destra) 
Una caratteristica peculiare del modello Arpège di Météo France è quella di utilizzare una maglia variabile, più fitta sulla zona di interesse (in questo caso la Francia e l’Europa), e progressivamente meno dettagliata nelle aree più lontane.
La metà dei punti di griglia totali è concentrata nel cerchio passante per la Groenlandia e il Sahara, mentre il quadrato verde rappresenta l’area dove viene fatto girare il modello ad area limitata «Aladin» con risoluzione 10 km. Il modello Arpége suddivide l’atmosfera in 4 milioni di «blocchetti» elementari.

Tornando quindi specificatamente ai modelli numerici di previsione meteorologica, questi sono modelli matematici dell'atmosfera che utilizzano le condizioni meteorologiche attuali (stato atmosferico) come input o inizializzazione delle equazioni fondamentali del modello stesso per la previsione meteorologica in momenti o istanti successivi (prognosi). Sono detti numerici perché la loro risoluzione, non possibile per via analitica data la complessità e non linearità delle equazioni coinvolte, passa attraverso opportune tecniche di analisi numerica e all'uso congiunto di supercalcolatori, vuoi anche per l'ingente mole di dati da elaborare in tempi brevi.

Ma quali sono le equazioni principali che sono utilizzate dai modelli?

Ovviamente non si possono scrivere qui tutte per esteso, tuttavia si possono citare le più importanti, dette primitive:
- Equazioni di Navier-Stokes (NS) per la definizione delle componenti del campo di vento (anche dette equazioni di bilancio della quantità di moto in un fluido).
- Equazione della termodinamica (è il fondamentale primo principio della termodinamica, detto anche di conservazione dell'energia, spesso banalizzato nell'espressione nulla si crea, nulla si distrugge).
- Equazione di evoluzione del vapore acqueo (tiene conto di tutti i processi che compongono il ciclo dell'acqua e dei suoi passaggi di stato, cioè evaporazione, condensazione, fusione, solidificazione e sublimazione).
- Equazione di continuità (che deriva dalla legge di conservazione della massa). 
Assicura che in un dato volume la quantità d’aria che entra sia pari a quella che esce.
A queste equazioni conservative prognostiche si aggiungono:
- Equazione di stato dei gas, che lega pressione, densità, temperatura e volume di una massa d’aria.
- Equazione idrostatica, che riguarda la relazione approssimata tra la variazione di pressione con la quota e la densità dell’aria.

E qual'è l'affidabilità di queste equazioni per una corretta previsione?

Nel 1963 Edward Lorenz, professore al dipartimento di Meteorologia del MIT di Boston, dimostrò che un sistema complesso come quello atmosferico presenta un' altissima sensibilità ai valori iniziali.
Troncando il numero di cifre decimali, ad esempio dopo solo la settima, Lorenz fece notare che le soluzioni dei modelli erano afflitte da notevoli dispersioni nei risultati, e che sarebbe stato impossibile spingersi in previsioni oltre i 10-15 giorni.
Detto in altri termini, la struttura della dinamica dell'atmosfera descritta dall'insieme di equazioni non lineari dei modelli è molto sensibile a piccolissime variazioni dei dati di partenza, quelli ottenuti dai dati delle stazioni ed elaborati dai modelli . 
E’ pertanto un sistema parzialmente caotico.
In modo poetico Lorenz sintetizzò la situazione con la famosa battuta che «un battito d'ali di una farfalla in Brasile potrebbe provocare un tornado in Texas». 
Problemi noti come quello dei «tre corpi» in astronomia o del «doppio pendolo » misero in crisi la visione deterministica del mondo che all'incirca un secolo fa lasciava presupporre che si potesse prevedere lo stato dell'universo in ogni istante futuro conoscendone le condizioni iniziali.

Lo "strange attractor" di Lorenz

In matematica, un attrattore è un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo. Perché tale insieme possa essere definito attrattore, le traiettorie che arrivano ad essere sufficientemente vicine ad esso devono rimanere vicine anche se leggermente perturbate. Dal punto di vista geometrico un attrattore può essere un punto, una curva, una varietà, o anche un insieme più complicato dotato di struttura frattale e noto con il nome di attrattore strano

Edward Lorenz  ha dimostrato che un modello meteo ha un comportamento caotico, considerando una serie di 12 equazioni differenziali non lineari. Lorenz ha deciso di cercare un comportamento complesso in un insieme ancora più semplice di equazioni, e fu condotto al fenomeno della laminazione di convezione del fluido. Il modello fisico è semplice: basta posizionare un gas in una scatola rettangolare con una fonte di calore sul fondo. Lorenz ha semplificato alcune equazioni della dinamica dei fluidi (chiamate equazioni di Navier-Stokes) che si è conclusa con una serie di tre equazioni non lineari:

dove P è il numero di Prandtl rappresenta il rapporto tra la viscosità del fluido alla sua conducibilità termica, R rappresenta la differenza di temperatura tra la parte superiore e inferiore del sistema, e B è il rapporto tra la larghezza e l'altezza della scatola utilizzata per contenere il sistema. I valori Lorenz utilizzati sono P  = 10, R  = 28, B  = 8/3. Queste tre equazioni sembrano semplici da risolvere, tuttavia esse rappresentano un  sistema dinamico estremamente complicato. Se si rappresentano i risultati in tre dimensioni si ottiene la figura seguente, chiamato attrattore di Lorenz.

Le proiezioni di questo attrattore nei piani bidimensionali yz e xz sono le seguenti:

Proiezione sul piano yz

Proiezione sul piano xz

L'attrattore di Lorenz è un esempio di un attrattore "strano" (strange attractor). Gli attrattori strani sono "unici" attrattori fase-spazio in cui non si sa esattamente dove il sistema si troverà su l' attrattore . Due punti su l' attrattore che sono vicini a vicenda in una sola volta, saranno arbitrariamente lontani in tempi successivi. L'unica restrizione è che lo stato del sistema rimanga sopra l'attrattore. Gli attrattori strani sono unici in quanto non chiudono mai su se stessi - il moto del sistema non si ripete mai (non periodico). Il movimento che stiamo descrivendo su questi strani attrattori è ciò che intendiamo per comportamento caotico.  L'attrattore di Lorenz è stato il primo attrattore strano, ma ci sono molti sistemi di equazioni che danno luogo a dinamiche caotiche. Esempi di altri attrattori strani sono gli attrattori Rössler e Hénon. L'attrattore Rössler è nato dallo studio delle oscillazioni nelle reazioni chimiche. E' formato da un altro insieme di equazioni di Navier-Stokes, vale a dire:

dove A  = 0.2, B  = 0.2, e C  = 5.7. Una proiezione nel piano xy di questo attrattore è:

Un altro attrattore strano, creato in modo ricorsivo, è l'attrattore Hénon:

Si è dovuto quindi ricorrere a un nuovo metodo di interpretazione dei risultati dei modelli che si avvale di tecniche dinamico/statistiche.
Detto in parole semplici, considerata l'instabilità intrinseca delle equazioni dai risultati di Lorenz, si fa girare il modello più volte di seguito variando ogni volta un determinato set di condizioni iniziali inserendo volutamente degli errori casuali nell'intorno dei punti assegnati.
Il risultato di questa operazione si riassume in una «nuvola» statistica di soluzioni.

Nel campo dei modelli atmosferici e più in generale nello sviluppo del software, vi è una continua evoluzione. Anche i limiti tecnologici relativi allo sviluppo di nuovi tipi di microprocessori si sono spostati sempre più avanti, nella direzione di una maggior potenza di calcolo e riduzione del tempo macchina necessario. Naturalmente lo sviluppo di processori sempre più veloci ha consentito di realizzare modelli meteorologici sempre più sofisticati.
Resta una difficoltà intrinseca e non di poco conto, cioè quella di creare una previsione su una singola località a partire dagli output dei modelli.
Infatti ognuno di noi è interessato alla temperatura vicino al suolo, alla nuvolosità, alla stima delle precipitazioni, alla nebbia, ma queste variabili non sempre sono disponibili all'uscita dei modelli, più spesso esse devono essere interpretate o derivate mediante schemi appositi. Da qui si inserisce il fondamentale apporto del "previsore locale", che sa interpretare i dati e li traduce nel giusto contesto territoriale.

Tecniche e analisi basate sulla matematica frattale

Dalla scoperta di Lorenz molto cammino è stato compiuto in tutte le branche del sapere. Tra tutte le definizioni create sul 1900, una sembra la più significativa: il 1900 è il secolo delle Rivoluzioni. Dopo la Relatività e la Meccanica Quantistica, la rivoluzione più importante è la scoperta della teoria del Caos.

CAOS - Attrattore di Lorenz - Simulazione 

Nello sviluppo della scienza del caos e doveroso dare un posto di rilievo a Benoit B. Mandelbrot, un matematico polacco formatosi in Francia e negli Stati Uniti, a cui si deve la "matematica dei frattali", come tentativo di capire scientificamente la realtà laddove la matematica tradizionale fallisce per intrinseci limiti interpretativi.
I frattali sembrano infatti rispecchiare nello spazio la complessità del comportamento dei sistemi caotici nel tempo. Benché non esistano in natura insiemi frattali in senso stretto, come non esistono rette o piani geometrici, alcuni oggetti naturali posseggono una struttura che approssima quella di tali insiemi.

Gli eventi caotici, come la turbolenza atmosferica, manifestano andamenti simili su scale temporali diverse, più o meno come gli oggetti dotati di autosomiglianza che, a scale spaziali diverse, presentano sempre gli stessi elementi fondamentali. Questa  configurazione ripetitiva definisce la dimensione frazionaria, o frattale. 

La costruzione dei frattali si basa, più che su un’equazione, su un algoritmo,  intendendo per algoritmo quel procedimento meccanico che permette la risoluzione di problemi mediante un numero finito di passi.
L’algoritmo non è mai applicato una volta sola, la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito e, ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e dopo un certo numero di iterazioni l’occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche.
Quindi grazie soprattutto allo sviluppo della geometria frattale, in grado di descrivere in termini grafici forme e processi naturali, quantificando il loro grado di «erraticità» attraverso rigorosi metodi matematici, si è acquisito un nuovo codice interpretativo.
Queste strutture matematiche, capaci di esprimere comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli, di cui si possono avvalere i meteorologi per affinare le tecniche di analisi dei dati, si sono rivelate estremamente proficue nello studio della turbolenza e dei fenomeni meteorologici in generale.

"Il nostro universo fisico non ha più come simbolo il moto regolare e periodico dei pianeti, moto che è alla base della meccanica classica. E' invece un universo di instabilità e fluttuazioni, che sono all'origine dell'incredibile ricchezza di forme e strutture che vediamo nel mondo intorno a noi. Abbiamo quindi bisogno di nuovi concetti e nuovi strumenti per descrivere una natura in cui evoluzione e pluralismo sono divenute le parole fondamentali"

(come diceva il russo Ilya Prigogine, nobel per la chimica nel 1977)

Fonti:

From the exert

http://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/attractors.html

From website

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Weather_forecasts.html

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/

http://www.meteorete.it/carte.php

http://c21l.org/multiverse-learning/
http://classes.yale.edu/fractals/index.html

Links to information

https://it.wikipedia.org/

From video

https://www.youtube.com/watch?v=A9RKfmVJQBk