"Once you pop, the fun don't stop" è lo slogan del famoso marchio di chip americano Pringles, ma se sei un matematico potresti essere interessato a Pringles per qualcosa di più della loro croccantezza e del loro gusto.
I Pringles sono stati infatti progettati a forma di paraboloide iperbolico e allora, cosa c'è di così speciale nella forma di un Pringle?
Essenzialmente la forma aiuta a evitare che i Pringles sul fondo della lattina si spezzino sotto la pressione di tutti i Pringles sopra di essi e inoltre tale forma aiuta a conferire ai Pringles la loro caratteristica croccantezza.
Il design cilindrico del contenitore Pringles fu ideato dal chimico Fredric John Baur, un chimico organico americano, che 50 anni fa inventò anche le patate a forma di paraboloide che potevano essere accatastate per la prima volta in un tubo cilindrico.
Pringles è riuscito a rivoluzionare il mercato degli snack grazie proprio all'intuizione di Fredric Baur che credeva che la matematica e la chimica potessero aiutarlo a creare patatine a forma di paraboloide iperbolico, che sarebbero state vendute impilate in un barattolo cilindrico di cartone, eliminando così anche una buona parte dell'aria che si accumulava nei tradizionali sacchetti di plastica.
Depositato nel 1966, il brevetto fu registrato nel 1971, ma un'altra curiosità sta nel fatto che la caratteristica forma della confezione la rende adatta per la costruzione di una particolare antenna artigianale per le reti wireless, la cosiddetta cantenna.
Il termine cantenna indica un'antenna di tipo direzionale a realizzazione amatoriale che consente un discreto guadagno su frequenze intorno ai 2,4 GHz, usate per le reti wireless.
Esempio di cantenna, antenna a guida d'onda direzionale fatta in casa,
realizzata appunto con una lattina di metallo aperta.
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Esempio di cantenna, antenna a guida d'onda direzionale fatta in casa,
realizzata appunto con un tubo di Pringles
Da notare che il termine cantenna è un neologismo formato dall'unione delle parole inglesi can (lattina) ed antenna, ed è quindi un'antenna a guida d'onda direzionale fatta in casa, realizzata appunto con una lattina di metallo aperta.
Una realizzazione amatoriale può essere ottenuta con un tubo tramite il quale sono confezionate le patatine Pringles, avente diametro di 7,4 cm, e internamente rivestito di alluminio, anche se le migliori latte sono quelle recuperabili da alcune note marche di caffè (ad esempio Illy caffè) o di alcune zuppe in scatola, in quanto sono lisce internamente ed esternamente e di un adeguato diametro (il rapporto tra dipolo e diametro è uno dei fattori determinanti per il buon funzionamento di una cantenna).
Ma tornando al nostro paraboloide iperbolico, ci accorgiamo che nel meraviglioso mondo della geometria, questa forma è una superficie quadratica e una superficie a doppia riga che ha esattamente un asse di simmetria e nessun centro di simmetria.
Denominata spesso "sella" (dall'evidente forma), il nome deriva dal fatto che le loro sezioni verticali sono parabole, mentre le sezioni orizzontali sono iperboli, da cui appunto il nome.
In geometria un paraboloide iperbolico è quini una quadrica, un tipo di superficie in uno spazio a tre dimensioni, descritta da un'equazione della forma:
Dove a e b rappresentano il grado di curvatura nel piano xz e yz mentre c rappresenta la direzione di apertura del paraboloide verso il basso lungo l'asse x per c<0.
Nel paraboloide iperbolico la sezione retta è un'iperbole e ponendo z=-1/2 abbiamo:
che è proprio l'equazione di un'iperbole.
Un paraboloide iperbolico (a volte indicato come "h/p") è una superficie doppiamente curva che ricorda la forma di una sella, cioè ha una forma convessa lungo un asse e una forma concava lungo l'altro. È anche una superficie a doppia riga, cioè ogni punto sulla sua superficie giace su due linee rette attraverso la superficie dove le sezioni orizzontali hanno un formato iperbolico e le sezioni verticali sono paraboliche.
Il fatto che i paraboloidi iperbolici siano a doppia riga significa che sono facili da costruire utilizzando una serie di elementi strutturali diritti. Di conseguenza sono comunemente usati per costruire sottili tetti a "guscio" ("shell" roofs), che possono essere formati utilizzando sezioni di legno o acciaio, che vengono poi rivestite, oppure possono essere costruiti utilizzando il cemento.
L'uso di paraboloidi iperbolici come forma di costruzione a guscio sottile è stato sperimentato a cominciare dal dopoguerra, come sintesi tra architettura moderna e ingegneria strutturale. Essendo sia leggero che efficiente, il modulo è stato utilizzato come mezzo per ridurre al minimo i materiali e aumentare le prestazioni strutturali creando allo stesso tempo progetti impressionanti e apparentemente complessi.
Piuttosto che derivare la loro forza dalla massa, come molti tetti convenzionali, i tetti a guscio sottile guadagnano forza attraverso la loro forma. La curvatura della forma riduce la sua tendenza a deformarsi in compressione (come farebbe un piano piatto) e significa che possono raggiungere una rigidità eccezionale. Essendo rinforzati in due direzioni, non subiscono piegamenti e sono in grado di sopportare carichi diseguali, sia da carichi permanenti (come apparecchiature appese al soffitto), sia da carichi diretti (come il vento).
Quindi si potrebbe dire che i gusci e le strutture spaziali derivano la loro geometria direttamente dal flusso di forze interne generate dai carichi, permettendo di ridurre al minimo le dimensioni trasversali degli elementi resistenti.
In altre parole, la resistenza e la rigidezza dei gusci e delle strutture spaziali è intimamente legata alla loro geometria. Questa combinazione di resistenza per forma ed utilizzo ridotto dei materiali rende tali tipologie strutturali tra le più efficienti.
La vasta famiglia dei gusci e delle strutture spaziali è composta da tipologie strutturali estremamente varie ed in continua evoluzione.
Tra queste è sicuramente necessario includere i gusci in calcestruzzo e le tensostrutture, utilizzate per realizzare strutture che lavorano in regimi membranali di compressione, i primi, e di trazione, le seconde. Ci sono, poi, tipologie in cui la forma strutturale è direttamente connessa alla combinazione di effetti assiali e flessionali, come le strutture a flessione attiva (active-bending) e i cosiddetti gusci a graticcio (gridshells). In queste strutture la componente flessionale degli sforzi è utilizzata per controllare le fasi di costruzione e ne determina significativamente la forma.
Ulteriori esempi sono le strutture reticolari spaziali, le cupole geodetiche, le strutture tensegrali (tensegrity), le strutture pneumatiche e quelle dispiegabili, e la ricerca scientifica amplia e rimescola in continuazione questi sistemi strutturali.
I paraboloidi iperbolici sono quindi davvero interessanti e, come detto, sono molto usati in architettura perché sono strutturalmente molto forti.
Mentre molte forme lottano con la compressione come un tetto piano, ad esempio, che potrebbe cedere a causa di un peso eccessivo, con un paraboloide iperbolico, le curve impediscono l'instabilità, proprio come un arco è più forte di una trave diritta.
J.S.Dorton Arena di Raleigh
Quindi la robustezza geometrica di un paraboloide iperbolico è ampiamente sfruttata in architettura e ingegneria nella costruzione di tetti strutturali e molte sono le strutture architettoniche paraboloidi/iperboliche famose come la J.S.Dorton Arena di Raleigh, del 1953, la Pengrowth Saddledome di Calgari del 1983, il Peace and Friendship Stadium di Atene del 1985, la Scotiabank Saddledome in Canada del 1983, lo Scandinavium del 1971 in Svezia, o l'Olimpic Stadium di Londra del 2012, che rappresentano solo alcuni degli esempi strutturali più sofisticati di un paraboloide iperbolico nella vita reale.
Il velodromo di Londra - Fonte: Hopkins Architects
Noi milanesi ricordiamo una altrettanto bella struttura del Palasport che, completata nel 1972 purtroppo non resistette alla pressione di una nevicata eccezionale e venne demolita.
Il Palasport di San Siro, ufficialmente Palazzetto dello Sport di Milano o colloquialmente Palazzone, era un'arena coperta senza colonne intermedie, a pianta circolare e con profilo a doppia curvatura (a sella appunto iperbolico/parabolica) edificata a fianco dello stadio Giuseppe Meazza di Milano e precisamente tra via Federico Tesio e via Patroclo.
Palasport di San Siro, Palazzetto dello Sport di Milano
Inaugurato nel 1976, l'impianto polifunzionale poteva accogliere fino a 18.000 spettatori per competizioni di atletica leggera, di ciclismo, di tennis, oltre che manifestazioni e spettacoli di vario tipo, e fu anche l'arena casalinga della squadra di pallacanestro Olimpia Milano.
Io assistetti a una interminabile ma appassionante finale di Indoor Milano del 1984 di tennis conquistata da Ivan Lendl che proprio in quell'anno ottenne il suo primo Grande Slam, battendo il grande John Mc Enroe al Roland Garros, con l'incredibile score 3-6 2-6 6-4 7-5 7-5 e a un indimenticabile concerto, sempre in quell'anno, dei Queen. (immagini e video qui)
Purtroppo proprio l'anno dopo, il 17 gennaio 1985, a causa di un'eccezionale nevicata, la tensostruttura in cavi di acciaio che reggeva il manto di copertura subì un dissesto improvviso che comportò l'abbassamento dello stesso di alcuni metri.
La copertura, pur danneggiata, continuò a sopportare tutto il carico della neve valutata in circa 800 tonnellate, corrispondente a una coltre di neve spessa dagli 80 ai 100 cm. Si trattava di una quantità inconsueta, infatti superava di gran lunga quella prevista dalle norme di legge per cui era stata dimensionata la copertura (circa 60 cm).
A causa dei pluviali ostruiti, a nulla valsero i tentativi di ridurre il carico gettando acqua calda sul tetto (che anzi ghiacciò aumentando il carico) e alzando la temperatura interna all'edificio. Due settimane dopo, il palasport avrebbe dovuto essere teatro del primo concerto degli U2 in Italia, quindi annullato, e va ricordato che fu la sede degli unici due concerti tenuti dai Queen in Italia, il 14 e 15 settembre 1984.
A seguito del dissesto, la struttura rimase inspiegabilmente abbandonata aggravando il deperimento causato dalle intemperie e già dall'estate del 1986 il palazzetto risultava irriconoscibile. I responsabili dell'opera, in vista della costruzione di un nuovo impianto più grande e più moderno che sarebbe dovuto sorgere sulla stessa area, decisero per la demolizione totale.
Ma torniamo alle nostre patatine Pringles e vediamo come sono fatte.
Notiamo che, a differenza delle patatine più tradizionali, non sono fatte solo di patate, e che la vita di un Pringle inizia come un impasto di riso, grano, mais e fiocchi di patate, insieme a una serie di additivi.
Questo "impasto" Pringle viene quindi pressato e arrotolato in una sfoglia ultrasottile prima di essere tagliato a pezzetti. Questi tagli vengono poi separati dai resti del foglio da una macchina appositamente progettata.
Questi trucioli poi avanzano su un nastro trasportatore e vengono pressati su stampi per dare loro la loro forma iconica.
Queste patatine modellate passano poi nell'olio bollente e vengono fritte per alcuni secondi, vengono quindi asciugate mediante soffiatura, spruzzate con aroma in polvere e infine capovolte su un nastro trasportatore a movimento più lento che consente loro di impilarsi.
Una volta completate, le pile di patatine vengono quindi trasportate nelle loro lattine, sigillate con un foglio di alluminio e spedite ai loro clienti in trepidante attesa di queste forme geometriche.
Forme geometriche perfettamente costruite che sono sempre piacevoli da guardare, poiché le loro proporzioni sono piuttosto accattivanti, quasi perfettamente simmetriche e proporzionate per conformarsi al rapporto aureo e nel caso di un chip Pringles, le curve che si intersecano formano una struttura robusta e una geometria davvero attraente e speciale indicata appunto come paraboloide iperbolico.
Ciò che è matematicamente interessante di un paraboloide iperbolico è il punto in cui il massimo e il minimo delle due curvature principali si incontrano in un punto zero. Questo è noto come punto di sella o punto minimax.
La doppia curvatura intersecante del paraboloide iperbolico impedisce la formazione di una linea di sollecitazione, che non incoraggia la propagazione naturale di una crepa. Anche per questo i Pringles hanno quella croccantezza in più e, se si mangiano spesso i Pringles, ci si accorge che non si rompono mai simmetricamente, ma che invece si rompono in direzioni diverse e producono fiocchi con forme diverse e ciò è proprio dovuto alla geometria paraboloide iperbolica di ogni chip.
Inoltre, le due curve opposte si comportano bene insieme sotto tensione e compressione, il che conferisce a ciascun Pringle una certa resistenza strutturale nonostante la loro consistenza sottile.
La parte concava a forma di U viene tesa in tensione mentre la parte convessa a forma di arco viene schiacciata a compressione. Attraverso questa doppia curvatura, la forma raggiunge un delicato equilibrio tra forze di spinta e trazione, consentendole di rimanere sottile ma sorprendentemente forte.
Immagine da Wikipedia
Ho cercato di descrivere il paraboloide iperbolico, dalle patatine ai tetti strutturali, mettendo in luce questa meraviglia geometrica unica e davvero affascinante!
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