Matematica e Intelligenza Artificiale, due rami dello stesso albero

 "La matematica e l'intelligenza artificiale sono due rami dello stesso albero"

Con queste parole il professor Angel Garrido, dottore in filosofia con master in Intelligenza Artificiale e Matematica, docente all'UNED di Madrid, ha voluto evidenziare il fatto che uno dei motivi principali per cui l'Intelligenza Artificiale è stata in grado di ottenere così tanto, ed ha ancora il potenziale per ottenere molto di più, è la Matematica.

Ovverosia l'Intelligenza Artificiale è principalmente una miscela di matematica e programmazione. 

AI Artificial Intelligence o IA Intelligenza Artificiale

Grandi menti matematiche hanno svolto un ruolo chiave nell'IA negli ultimi anni e solo per citarne alcuni: Janos Neumann (noto anche come John von Neumann), Konrad Zuse, Norbert Wiener, Claude E. Shannon, Alan M. Turing, Grigore Moisil, Lofti A. Zadeh, Ronald R. Yager, Michio Sugeno, Solomon Marcus, o Albert-Lászlò Barabási... 

Introdurre quindi anche lo studio dell'intelligenza artificiale non è solo utile per la sua capacità di risolvere problemi difficili, ma, soprattutto per la sua natura matematica, ci prepara a comprendere il mondo attuale, permettendoci di agire sulle sfide del futuro.

Sentiamo tutti parlare di come la matematica sia tutt'intorno a noi, ma quello di cui potremmo non renderci conto è che anche l'Intelligenza Artificiale sia già tutt'intorno a noi. 

Nel bel mezzo delle conversazioni sul meraviglioso (e talvolta pericoloso) futuro che l'IA ci riserva, con le sue auto autonome, i robot, l'enorme potenziale nella sanità, nell'istruzione e così via, non riusciamo spesso a riconoscere il suo contributo alla nostra vita di tutti i giorni.

Le previsioni basate sull'Intelligenza Artificiale di Google, per Google Maps, analizzano il movimento del traffico in un dato momento raccogliendo dati anonimi sulla posizione dai dispositivi mobili. 

Le app di ride sharing come Ola e Uber utilizzano l'aiuto dell'IA per determinare il prezzo, ridurre al minimo i tempi di attesa e le deviazioni. 

I voli commerciali utilizzano gli autopiloti IA, riducendo a pochi minuti il ​​tempo di coinvolgimento umano, quello solo per il decollo e l'atterraggio.

Nella posta elettronica l'IA analizza il filtro antispam e la categorizzazione intelligente della posta.

Nel settore bancario/finanziario, l'intelligenza artificiale viene utilizzata per determinare e prevenire transazioni fraudolente e anche nelle decisioni di credito. 

Nei social network, Facebook utilizza l'Intelligenza Artificiale per riconoscere i volti e suggerire tag, Instagram utilizza l'apprendimento automatico per identificare il significato contestuale degli emoji, anche i filtri Snapchat sono possibili grazie all'Intelligenza Artificiale.

L'elenco è davvero lungo e include anche le nostre attuali applicazioni AI preferite, ovvero gli assistenti personali intelligenti. 

Che si tratti di Google Assistant, Siri, Alexa o Cortana, questi assistenti svolgono un ruolo enorme nel rendere le nostre vite più comode, il tutto utilizzando la tecnologia voice-to-text. 

L'ultimo eclatante esempio è Chat GPT, il nuovo strumento di OpenAI che mira a rendere l’interazione con i sistemi di Intelligenza Artificiale più naturale e intuitiva.

L'Intelligenza Artificiale conversazionale ha fatto molta strada negli ultimi anni, con numerosi modelli e piattaforme sviluppati per consentire alle macchine di comprendere e rispondere agli input del linguaggio naturale.

Tra questi c'è appunto Chat GPT, acronimo di Generative Pretrained Transformer, la startup fondata da Sam Altman, uno strumento di elaborazione del linguaggio naturale (o Natural Language Processing) potente e versatile che utilizza algoritmi avanzati di apprendimento automatico per generare risposte simili a quelle umane all’interno di un discorso. 

Resta però il fatto che, nel settore dell'intelligenza artificiale, sia implicato anche l'uso dei dati personali da parte degli algoritmi e credo sia necessario creare un insieme di regole, come l'AI Act, il pacchetto di regole comunitarie sull'intelligenza artificiale ancora in bozza, per tutelare o almeno fare chiarezza sull'uso dei dati sensibili.

Ritornando al titolo, tutto ciò è reso possibile solo grazie alla Matematica.

Come Galileo Galilei era convinto che bisognasse conoscere l’arte matematica per poter comprendere a fondo la natura ("La matematica è il linguaggio con il quale Dio ha creato il mondo"), così conoscere la matematica è fondamentale per l'Intelligenza Artificiale.

Avere una laurea in Matematica non è una necessità assoluta per creare reti neurali per l'IA, ma le persone che scrivono gli algoritmi, che fanno la ricerca o indagano sui confini delle capacità dell'IA non possono andare lontano senza imparare la matematica coinvolta. 

Questo è il motivo per cui la Matematica è essenziale per l'Intelligenza Artificiale e l'apprendimento automatico, perché ci guida nel modo in cui possiamo risolvere problemi astratti profondi molto difficili e lo fa utilizzando metodi e tecniche già noti. 

L'Intelligenza Artificiale è descritta come una tecnologia che consente a una macchina di simulare il comportamento umano e l'apprendimento automatico è una parte dell'IA che consente a una macchina di apprendere automaticamente dai dati passati senza dover essere esplicitamente programmata per farlo.

Ma quali sono i rami di matematica essenziali per l'intelligenza artificiale?

Gli argomenti di matematica utilizzati nell'intelligenza artificiale includono, principalmente algebra lineare, analisi matematica (calculus), probabilità e statistica.

- L'algebra lineare è utilizzata nell'apprendimento automatico per definire i parametri e la struttura di diversi algoritmi di apprendimento automatico. Questo aiuta a capire come vengono assemblate le reti neurali e come funzionano.

Gli argomenti principali sono: scalari, vettori, matrici, tensori, autovalori, norme di matrice...

- L'analisi matematica è utilizzata per amplificare la parte sofisticata dell'apprendimento automatico. Questo è ciò che fa sì che l'IA impari dagli esempi, aggiorni i parametri di diversi modelli di volta in volta e renda le prestazioni del tutto migliori.

Gli argomenti importanti sono: derivate, derivate parziali e direzionali, integrali, operatori differenziali, gradienti, algoritmi del gradiente (massimi e minimi locali/globali, SGD Stochastic Gradient Descent, NAG Numerical Algebraic Graphical, MAG Mathematical Analysis Group, Adams), ottimizzazione convessa...

In ANN (Artificial Neural Network), che è un algoritmo nell'IA, il suo funzionamento principale è progettato utilizzando il calcolo differenziale e vale per altri algoritmi di apprendimento. 

- La teoria della probabilità e la statistica sono utilizzate per formulare ipotesi sui dati sottostanti quando si progettano questi algoritmi di deep learning o IA ed è quindi essenziale comprendere le principali distribuzioni di probabilità.

Argomenti importanti sono: variabili casuali, distribuzioni (binomiale, Bernoulli, Poisson, esponenziale, gaussiana), varianza e aspettative, elementi di probabilità, teorema di Bayes (MAP Maximum a posteriori, ML Maximum Likelihoo), variabili casuali speciali...

Il fondamento dell'intelligenza artificiale, come più o meno tutto ciò che riguarda i computer, dunque si basa su concetti matematici. Se discutiamo di deep learning (una sottoparte dell'IA), molto si basa sulla matematica insegnata a livello universitario.

Diversi documenti di ricerca nelle aree pertinenti e un attento esame di qualsiasi algoritmo efficace nell'Intelligenza Artificiale possono chiarire che il pilastro è la matematica pura. 

Il piano centrale è quasi sempre il risultato di una serie di equazioni. 

Anzi proprio per la ricerca di nuovi algoritmi, si può ritenere che la matematica, nel campo dell'Intelligenza Artificiale, sia certamente più rilevante dell'informatica.

D'altronde come una volta disse il famoso scrittore americano di matematica e scienze, Martin Gardner 

"La matematica non è solo reale, ma è l'unica realtà" 

è infatti alla base di una serie di altri campi, e uno di questi campi è proprio l'Intelligenza Artificiale.

Martin Gardner sulla statua Alice in Wonderland al Central Park di New York - immagine

 dall'articolo "Odio e amore...una dicotomia matematica!"

A conclusione di queste brevi considerazioni vorrei però aggiungere che, nonostante il potenziale dell'apprendimento automatico sia apparentemente illimitato, anche gli algoritmi più intelligenti sono comunque limitati proprio dai vincoli della matematica.

La consapevolezza di queste limitazioni matematiche è  legata al famoso matematico austriaco Kurt Gödel, che sviluppò negli anni '30 i cosiddetti teoremi di incompletezza, due proposizioni che suggeriscono che non tutte le questioni matematiche possono essere effettivamente risolte. 

Ora uno studio¹, "Learnability can be undecidable", guidato dal primo autore e scienziato informatico Shai Ben-David dell'Università di Waterloo indica che l'apprendimento automatico è limitato dalla stessa irrisolvibilità. 

La capacità di una macchina di apprendere effettivamente, chiamata learnability, può essere limitata dalla matematica che non è dimostrabile. In altre parole, si sta fondamentalmente dando a un'intelligenza artificiale un problema indecidibile, qualcosa che è impossibile da risolvere per un algoritmo con una risposta vero o falso.

Nell'introduzione allo studio si legge:

"Le basi matematiche dell'apprendimento automatico giocano un ruolo chiave nello sviluppo del campo. Migliorano la nostra comprensione e forniscono strumenti per progettare nuovi paradigmi di apprendimento. I vantaggi della matematica, tuttavia, a volte hanno un costo. Gödel e Cohen hanno mostrato, in poche parole, che non tutto è dimostrabile. Qui mostriamo che il machine learning condivide questo destino. Descriviamo scenari semplici in cui l'apprendibilità non può essere dimostrata né confutata utilizzando gli assiomi standard della matematica. La nostra dimostrazione si basa sul fatto che l'ipotesi del continuo non può essere provata né confutata. Mostriamo che, in alcuni casi, una soluzione al problema di massimizzazione delle aspettative (EMX Expectation Maximization problem) è equivalente all'ipotesi del continuo." 

"Per noi è stata una sorpresa", ha spiegato a Nature il ricercatore senior e matematico Amir Yehudayoff, del Technion-Israel Institute of Technology, il fatto che un sito web cerca di mostrare pubblicità mirata ai visitatori che navigano più frequentemente nel sito, anche se non è noto in anticipo quali utenti visiteranno il sito. 

Secondo i ricercatori, in questo caso, il problema matematico da risolvere presenta somiglianze con un framework di apprendimento automatico noto come PAC learning (Probably Approximately Correct learning), come apprendimento probabilmente approssimativamente corretto, ma è anche simile a un paradosso matematico chiamato ipotesi del continuum, un altro campo di indagine per Gödel.

"O la matematica è troppo grande per la mente umana o la mente umana

 è più di una macchina" - Kurt Gödel

"Come i teoremi di incompletezza, l'ipotesi del continuo riguarda la matematica che non può mai essere dimostrata vera o falsa, e date le condizioni del problema di massimizzazione delle aspettative (EMX Expectation Maximization), almeno, l'apprendimento automatico potrebbe ipoteticamente imbattersi nello stesso stallo perpetuo [...] identificare un problema di apprendimento automatico il cui destino dipende dall'ipotesi del continuum, lasciando la sua risoluzione per sempre irraggiungibile" scrive in un commento il matematico e scienziato informatico Lev Reyzin dell'Università dell'Illinois a Chicago, che non era coinvolto nel lavoro sulla ricerca su Nature. 

Naturalmente, i parametri del problema di massimizzazione delle aspettative (EMX) non sono gli stessi con cui l'apprendimento automatico deve confrontarsi in altre situazioni, ma accademicamente, il nuovo documento serve a ricordare come l'avanguardia dell'informatica non possa sfuggire ai suoi fondamenti logico/filosofici e matematici.

"L'apprendimento automatico è maturato come disciplina matematica e ora si unisce ai molti sottocampi della matematica che si occupano del fardello dell'indimostrabilità e del disagio che ne deriva", scrive Reyzin. "Forse risultati come questo porteranno a procedere con una sana dose di umiltà, anche se gli algoritmi di apprendimento automatico continuano a rivoluzionare il mondo che ci circonda."

Note

¹Studio "Learnability can be undecidable"

Autori

Shai Ben-David1, Pavel Hrubeš2, Shay Moran3, Amir Shpilka and Amir Yehudayoff

Una melodia rubata...Graziani, Collins o Clementi?

Chi ha copiato chi?

I Mindbenders, i Camaleonti, Graziani, Phil Collins allora...?

Tutto iniziò quando due artisti di livello eccezionale arrivarono a punzecchiarsi in merito a una melodia.

Ivan Graziani

Ivan Graziani, con "Agnese", scritta e uscita insieme all'album "Agnese dolce Agnese" nel 1979 e Phil Collins, con "Groovy kind of love" del 1988, si diedero per un po' battaglia virtuale. 

Phil Collins

Chi ha copiato chi? 

A quel punto si scoprì che "A Groovy Kind of Love" era stata scritta da Toni Wine e da Carole Bayer Sager e che il brano era stato inciso nel 1965 da Diane & Annita e nello stesso anno anche dai Mindbenders.

I Mindbenders

In seguito il brano era stato registrato da numerosi altri cantanti, tra cui una versione tradotta dei Camaleonti nel 1966, "Non c'è più nessuno".

Nel 1970 Toni Wine scelse di registrare uno dei suoi più grandi successi come scrittrice, appunto "A Groovy Kind Of Love", proprio quello che era stato un successo mondiale per i Mindbenders 5 anni prima.

I Camaleonti

Tra le versioni più note, oltre a quelle di Sonny & Cher e Petula Clark, figura certamente quella di Phil Collins del 1988 che ha raggiunto il numero 1 sia negli Stati Uniti che nel Regno Unito, anche grazie all'interpretazione del film Buster.

Si potrebbe definire un casus belli, una disputa divertente quanto, in realtà, surreale, dato che tra i due contendenti spuntò un terzo incomodo.

Si trattava del compositore e pianista romano Muzio Clementi, nato nella Capitale nel 1752 e, data l'epoca nella quale visse e operò, la querelle Collins-Graziani fu  definitivamente chiusa.

Entrambi i brani, "Groovy Kind of Love", il pezzo scritto da Toni Wine e da Carole Bayer Sager poi successivamente interpretato da vari artisti,  e "Agnese", il pezzo autonomamente composto da Graziani, si richiamano, senza ombra di dubbio, al rondò della Sonatina op. 36 n. 5 in Sol maggiore, terzo movimento, di Muzio Clementi.

Muzio Clementi

"Muzio Clementi, che operò tra il 1770 e il 1825, costituisce la cerniera tra l'età di Haydn e Mozart e quella di Beethoven. Egli fu la figura più rappresentativa del pianismo nell'età classica e il titolo di "padre del pianoforte" inciso sulla sua lapide tombale è il riconoscimento ai molteplici interventi da lui compiuti nell'area del pianoforte. Nella sua produzione si avvertono subito i caratteri di una scrittura puramente pianistica. Il nuovo stile è ricco di sonorità piene e rotonde, continui contrasti fra legato e staccato, ricchezza di colori dinamici. Inoltre egli allargò verso l'acuto e verso il grave la zona utile della tastiera, irrobustì la scrittura accordale, intensificò l'impiego dei procedimenti a doppie note, esplorò il virtuosismo di agilità basato su passaggi di scale e di arpeggi. Con il Gradus ad Parnassum pose le basi del pianismo ottocentesco. Nelle Sonate sono presenti elementi, sia tecnici che stilistici, che influenzeranno persino l'opera di Beethoven.

Questa fu la profonda differenza con Mozart, con il quale spesso fu accostato come rivale. Mozart era profondamente legato al clavicembalo e, sebbene suonasse il pianoforte correntemente durante i suoi concerti, la sua mentalità rimase costantemente legata al clavicembalo. Clementi, invece, si era dedicato da subito al pianoforte e nel 1773 pubblicava le tre prime Sonate per pianoforte op. 2."

(Marino Marini)

Un pianoforte prodotto da Muzio Clementi & Co

Muzio Clementi (Roma, 23 gennaio 1752 – Evesham, 10 marzo 1832) fu uno tra i primi compositori a scrivere musica appositamente per le capacità espressive del pianoforte.

Fu un eccelso pianista, compositore e un valido insegnante che ebbe tra i suoi allievi Field e Cramer e che, oltre alla sua primaria attività didattica, si dedicò all'attività editoriale e aprì anche una piccola fabbrica di pianoforti.

Acclamato come il padre della tecnica pianistica moderna, egli fu anche il primo virtuoso dello strumento e influenzò le successive generazioni di compositori. 

Di lui si ricordano le Sonatine per pianoforte che scrisse per i suoi allievi e che ancora oggi vengono eseguite dagli studenti di pianoforte per la loro progressiva difficoltà tecnica. 

Parliamo proprio dell'op.36, mentre quelle più complesse portano numero d'opera 2, 7, 9, 11, 12, 23, 25, 33, 37, 40, 47 e 50, e sono ormai vicine al pianismo di Beethoven. 

Così come in quelle di Beethoven, nelle Sonate di Clementi emergono i contrasti dinamici e timbrici dello strumento, le esplorazioni nelle regioni più estreme della tastiera, l'uso del pedale, mostrando la volontà di approfondire le possibilità tecniche ed espressive del pianoforte, capace di tradurre un pensiero musicale dialetticamente complesso, influenzato dall'avvento del sinfonismo.

La sua opera didattica più famosa è "Gradus ad Parnassum", una raccolta di 100 studi mirati a sviluppare gradualmente determinati procedimenti di tecnica pianistica e a fornire modelli classici nella forma (canoni, fughe, suites, rondò, primi tempi di sonata, ecc…), uno splendido esempio di arditezza e regole.

La sua produzione musicale comprende complessivamente 113 opere fra sonate, capricci, toccate, fughe, ed altri pezzi per pianoforte, come i 24 Valzer e le 12 Monferine.

Dedicò al pianoforte altre varie opere didattiche, oltre al Gradus, fra cui la raccolta di 24 Preludi ed esercizi del 1790, 6 Sinfonie e 1 Oratorio, di cui però si è perduta la partitura.

Un pianoforte prodotto da Muzio Clementi & Co

Casa d'Aste Babuino

Concludo qui questo mio articolo che ha voluto essere si un omaggio all'eccelso compositore settecentesco ma anche un riconoscimento a questi  grandi artisti moderni che, pur prendendo da lui spunto, hanno comunque contribuito ad arricchire la panoramica musicale degli anni '70/'80.

A questo punto non può mancare una carrellata delle varie interpretazioni discografiche, sotto le cui copertine lascio i link ai brani, dando la precedenza ad "Agnese" di Ivan Graziani, che per me è stato uno tra i più grandi musicisti rock italiani. Un virtuoso della chitarra, sia elettrica che acustica, che conobbi a Brera insieme a mio marito e a mio cognato pittore, autore in proprio di dischi bellissimi, tra i maggiori della discografia italiana e che mi dedicò, allora giovanissima, "Monna Lisa"!

Un video anche ironico, legato alla diatriba con Collins, che parte proprio con una sua pantomima. 

Quindi segue la versione di Phil Collins e quelle degli altri artisti sopra citati, compresa l'interpretazione di Toni Wine del 1970, che lei stessa dichiarò scritta su una melodia basata sul Rondò in Sol Maggiore, Sonatina no. 5, op. 36 di Muzio Clementi.

Chiude la carrellata la "Sonatina op. 36 n. 5" in Sol maggiore, terzo movimento di Muzio Clementi.

"Agnese" di Ivan Graziani 

1979

"Groovy kind of love" interpretata da Phil Collins 

1988

"Groovy kind of love" interpretata da Diane & Annita

 1965

"Groovy kind of love" interpretata dai Mindbenders

 1965

"Non c'è più nessuno" dei Camaleonti 

(traduzione di "Groovy king of love" dei Mindbenders)

1966  

"Groovy kind of love" interpretata da Toni Wine

 1970

 

"Sonatina Op. 36 No.5" Rondo di Muzio Clementi

1790

Discontinuità, un mondo da scoprire

 "Nella relatività generale la materia è un buco in un pieno: più precisamente, una discontinuità del campo gravitazionale. Nei luoghi in cui si trova la materia il campo diventa infatti infinito, e cessa dunque di esistere."

Immagine dalla copertina del libro "Il Vangelo secondo la Scienza" dove

Piergiorgio Odifreddi scrive questa frase per descrivere la materia  

come una discontinuità del campo gravitazionale (pag 64).

"Più che di macchie si dovrebbe parlare d'un manto nero la cui uniformità è spezzata da nervature chiare che s'aprono seguendo un disegno a losanghe: una discontinuità di pigmentazione che già annuncia la discontinuità dei movimenti. A questa punto la bambina del signor Palomar, che si è stancata da un pezzo di guardare le giraffe, lo trascina verso la grotta dei pinguini. Il signor Palomar, cui i pinguini dànno angoscia, la segue a malincuore…"

Immagine relativa alla frase scritta da Italo Calvino nel suo Palomar, 

un romanzo pubblicato per la prima volta nel 1983, 

Frase in cui descrive la discontinuità del manto di una giraffa

L’"Indennità di discontinuità", destinata a musicisti, attori, autori e tecnici del settore, è un disegno di legge approvato il 18 maggio scorso dal Senato della Repubblica Italiana avente ad oggetto l’indennità di discontinuità per i lavoratori dello spettacolo che rappresenta una sorta di reddito che copre tutti i lavoratori dello spettacolo nei momenti di inattività oppure durante il periodo di studio e di formazione.

Immagine relativa al disegno di legge

"Vedere il mondo come fondamentalmente continuo contrasta nettamente con il vederlo come fondamentalmente discontinuo. Un mondo continuo rappresenta il sogno newtoniano-laplaciano di un graduale e costante movimento verso l'alto della realtà attraverso un dolce processo evolutivo darwiniano. 

In economia questo punto di vista è stato incarnato da Alfred Marshall. 

Un mondo discontinuo si caratterizza in netti contrasti e improvvisi cambiamenti come nella moderna, teoria evolutiva di Niles Eldredge e Steven Jay Gould (1972). 

In economia questo punto di vista è stato affermato in modo più eloquente da Karl Marx e Joseph Schumpeter."

Immagine, relativa alla discontinuità in economia, della copertina del libro 

"Dalla catastrofe al caos: una teoria generale delle discontinuità economiche" 

di  J. Barkley Rosser

"Nella storia di una democrazia la discontinuità è un elemento fecondo e non un baratro di cui aver paura"

Questa frase, attribuita al giornalista Paolo Mieli, sintetizza la discontinuità in democrazia.

Cinque esempi di discontinuità, per introdurre il tema "discontinuità" del Carnevale della Matematica.

Ma il termine "discontinuità" ha moltissimi altri usi e significati che anche la stessa definizione dell'enciclopedia Treccani non può ricoprire:

"Mancanza di continuità, interruzione nel tempo o nello spazio: d. di movimento; d. della tradizione; d. di una superficie, ecc.; anche in senso fig., di cosa che non sia continua, coerente, unitaria nelle sue manifestazioni o qualità: d. di metodo; d. di tono, di stile; d. di un racconto, di un discorso, ecc. In fisica, variazione brusca, nello spazio o nel tempo, di una grandezza fisica; punto di d., ogni punto dello spazio in cui si verifichi una discontinuità di una determinata grandezza (per estens., anche riferito al diagramma della grandezza); superficie di d. e linea di d., superficie e linea, rispettivamente, luogo di punti di discontinuità. In meteorologia, presenza di due masse contigue di aria a caratteri differenti, affiancate o sovrapposte, separate da una superficie detta appunto superficie di discontinuità. In geofisica, superfici di d. sismica, quelle che separano gli involucri concentrici, di diversa composizione chimico-mineralogica e di diverso stato fisico, che costituiscono il globo terrestre; si dicono di primo o di secondo ordine, a seconda che ad esse corrisponda un cambiamento repentino o graduale di velocità delle onde sismiche. In matematica, punto di d. di una funzione, punto in cui la funzione non è continua".

Di interesse scientifico, in statistica, biostatistica, econometria, scienze politiche, epidemiologia, psicologia, pedagogia e discipline correlate, troviamo il "Disegno di Discontinuità di Regressione" (RDD - Regression Discontinuity Design) o Progettazione della Discontinuità di Regressione, che è un metodo di inferenza causale, visto come un metodo utile per determinare se un programma o un trattamento è efficace.

Questo metodo si concentra sulle caratteristiche delle osservazioni su entrambi i lati di una soglia definita dal ricercatore.

E' un disegno considerato quasi-sperimentale, che mira a determinare l'efficacia di un trattamento confrontando tra fase pre-test e post-test che isola gli effetti causali di intervento assegnando un valore di soglia al di sopra o al di sotto il momento di somministrazione dell'intervento.

Applicato per la prima volta da Donald Thistlethwaite e Donald Campbell per valutare l'effetto delle borse di studio, il suo utilizzo è aumentato di recente. 

La sua rilevanza è stata confermata confrontando i risultati ottenuti con questa tecnica con quelli ottenuti tramite studi randomizzati controllati e l'RDD è diventato, negli ultimi anni, sempre più popolare come metodo nella valutazione delle politiche pubbliche.

Altre discontinuità interessanti sono, in geologia, quelle di Mohorovičić, di Gutenberg o di Lehmann 

La "Discontinuità di Mohorovicic", o "Moho", rappresenta il confine tra la crosta e il mantello terrestre.

In geologia la parola "discontinuità" è usata per una superficie nella quale le onde sismiche cambiano velocità. Una di queste superfici esiste a una profondità media di 8 chilometri sotto il bacino oceanico e a una profondità media di circa 32 chilometri sotto i continenti, e a questa discontinuità, le onde sismiche accelerano.

Questa discontinuità detta di Mohorovicic è stata scoperta nel 1909 da Andrija Mohorovicic (Volosca, 23 gennaio 1857 – Zagabria, 18 dicembre 1936), un sismologo croato che si rese conto che la velocità di un'onda sismica è correlata alla densità del materiale attraverso il quale si muove. 

Interpretando l'accelerazione delle onde sismiche osservate all'interno del guscio esterno della Terra come un cambiamento compositivo all'interno della Terra, comprese che l'accelerazione deve essere causata da un materiale di maggiore densità presente in profondità.

Il materiale di densità inferiore immediatamente sotto la superficie è ora comunemente indicato come "crosta terrestre" e il materiale ad alta densità sotto la crosta  come "mantello terrestre". 

La "Discontinuità di Mohorovicic" segna quindi il limite inferiore della crosta terrestre.

Mohorovicic ha potuto utilizzare la sua scoperta per studiare le variazioni di spessore della crosta, scoprendo che la crosta oceanica ha uno spessore relativamente uniforme, mentre la crosta continentale è più spessa sotto le catene montuose e più sottile sotto le pianure.

A) Discontinuità di Mohorovičić B) Discontinuità di Gutenberg 

C) Discontinuità di Lehmann 

1) Crosta continentale 2) Crosta oceanica 3) Mantello superiore 

4) Mantello inferiore 5) Nucleo esterno 6) Nucleo interno

La "Discontinuità di Gutenberg" è la superficie che separa il nucleo dal mantello all'interno della Terra, individuata e scientificamente determinata per la prima volta nel 1914 dal geofisico tedesco Beno Gutenberg (Darmstadt, 4 giugno 1889 – Pasadena, 25 gennaio 1960).

Col nome "Discontinuità di Lehmann" si indicano due differenti discontinuità nella struttura interna della Terra, entrambe scoperte dalla sismologa danese Inge Lehmann  (Copenaghen, 13 maggio 1888 – Copenaghen, 21 febbraio 1993).

Le caratteristiche dettagliate del mantello superiore terrestre tra Moho e la zona di transizione sono ancora poco conosciute. Una questione importante è l'esistenza e la natura della discontinuità di Lehmann a 220 km di profondità, che è stata scoperta all'inizio degli anni '60  e di cui è stata recentemente confermata l'esistenza sia nelle regioni continentali che oceaniche. 

Lascio al lettore (ai link evidenziati) altre curiosità sulle discontinuità geologiche qui, ovviamente per il Carnevale della Matematica, mi soffermerò a illustrare una discontinuità matematica.

In matematica esistono molteplici branche che analizzano i fenomeni discontinui e i diversi metodi includono la teoria delle catastrofi, la teoria del caos, la geometria frattale, la teoria della sinergia, la criticità auto-organizzante...e tutti, in un modo o nell'altro, sono stati applicati in molteplici campi.

Non voglio certo, in questa sede, affrontare tematiche così complesse ma più semplicemente solo soffermarmi sulla discontinuità delle funzioni, facendo un breve accenno storico legato alla nascita del concetto di limite.

Ritratto di Gottfried Wilhelm von Leibniz conservato 

presso la Biblioteca regionale di Hannover

Prima di addentrarmi nel secolo, l'ottocento, che ci porterà ad avere in mano la quasi definitiva definizione di limite (e quindi di concetto di continuità e discontinuità di una funzione) mi soffermerei un momento sul secolo dei "lumi", che ha portato all'evoluzione del fondamentale concetto per lo sviluppo dell'analisi infinitesimale, il concetto appunto di funzione.

Il primo a introdurre il termine "funzione" relativamente all'applicazione del calcolo alle curve, fu, tanto

per cambiare, Leibniz, in un manoscritto del 1673 che riportava tale termine direttamente nel titolo, "Methodus tangentium inversa seude functionibus". 

Questo concetto ritorna ancora ripetutamente nella corrispondenza che Leibniz tenne con i Bernoulli fra il 1692 e il 1694.

Leonhard Euler noto in Italia come Eulero, 

dipinto di Jakob Emanuel Handmann

Ma fu "Introductio Analysin Innitorum", del 1748 di Eulero, la prima opera in cui il concetto di funzione ebbe un ruolo esplicito e centrale. Nella prefazione, Eulero afferma che l'analisi matematica è la scienza generale delle variabili e delle loro funzioni.

Inizia definendo una funzione come "espressione analitica" (cioè una "formula"):

"Una funzione di una quantità variabile è un'espressione analitica composta in qualsiasi modo da quella quantità variabile e numeri o quantità costanti"

Sebbene la nozione di funzione non sia originata da Eulero, fu lui a darle il primo risalto trattandone il calcolo come una teoria formale delle funzioni.

Nel secondo volume dell' "Introductio" Eulero da un'ulteriore distinzione tra funzioni dando la seguente definizione di funzione continua e discontinua:

"La linea curva continua è quella la cui natura è espressa da una sola funzione determinata di x. Se però la linea curva è composta da differenti parti determinate da più funzioni di x, di modo che una parte sia il risultato di una funzione e un'altra sia il risultato di una seconda funzione, noi chiamiamo queste specie di linee curve discontinue, o miste e irregolari, giacché esse non sono formate secondo una legge costante e sono composte di porzioni di differenti curve continue".

Vibrazione corda nel piano 

Il concetto di funzione diventa centrale quindi verso la metà del Settecento grazie ad una questione di carattere fisico-matematico: studiare le vibrazioni di una corda in un piano.

Ed è proprio da questi studi fatti da vari matematici, tra cui  Jean-Baptiste D'Alembert, Joseph-Louis Lagrange e Joseph Fourier, che la discussione si andrà ad incentrare sulla questione strettamente matematica del concetto di funzione, che si intendeva allora nella definizione "standard" data da Euler, ed in particolare sulla continuità o discontinuità di queste funzioni.

Fu addirittura indetto un concorso dall'Accademia di Pietroburgo, nel 1787, per determinare la natura di queste funzioni, che fu vinto nel 1791 da Louis François Arbogast, che diede  una prima definizione di funzione continua, distinguendo due casi in cui le funzioni non rispettavano questa continuità: in un primo caso può "cambiare del tutto" la "legge secondo cui la funzione dipende dalla variabile”, e avremo una funzione che egli chiama discontinua, oppure si può avere il caso che "differenti parti di una curva non si congiungono fra loro", ed in questo caso avrò una funzione

discontigua.

Si può notare come si stessero già insinuando, all'interno del calcolo infinitesimale, quei concetti che, pur essendo ancora ben lontani dal rigore con cui li utilizziamo oggi, risultano necessari per la formalizzazione rigorosa di quel "calcolo sublime" che ha ideato Leibniz, ed in particolare per il concetto di limite su cui esso fonda le sue basi.

Giuseppe Luigi Lagrangia più noto come Lagrange

Sarà l'opera di Lagrange, "Théorie des fonctions analytiques" datata 1797, ad aprire le porte al nuovo secolo e alla sua grande ricerca in termini di analisi infinitesimale, dando un fondamento rigoroso al calcolo, allontanandolo il più possibile dalle evidenze di tipo geometrico.

Come preannunciato da Lagrange, la riorganizzazione delle teorie matematiche in funzione della didattica fu la grande spinta che porterà i matematici a ricercare, e conferire infine, quel rigore e quella struttura che da tempo si cercava.

A partire dunque da Luis Cauchy e Niels Abel, e prima di lui già con Bernard Bolzano, si assiste così all'inizio del processo che porterà ad affermare l'analisi come branca della matematica autonoma e poggiata su principi rigorosi e profondi. 

Proprio la ricerca in questa direzione porterà al più grande e profondo sviluppo che la matematica in generale abbia mai avuto, e con essa le grandi applicazioni in campo fisico e tecnologico alle quali ha condotto. 

Questo il motivo per cui l' Ottocento verrà designato come il secolo dell' "età dell'oro della matematica", basti anche  pensare ai nomi dei grandi matematici che vi hanno contribuito: Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), Augustine-Luis Cauchy (1789 – 1857), Peter Gustav Dirichelet (1805-1859), Évariste Galois (1811 – 1832), Carl Weirstrass (1815 – 1897), Bernhard Riemann (1826 – 1866), Richard Dedekind ( 1831 – 1916), Georg Cantor (1845 – 1918), Henri Poincaré (1854 – 1912)...

Augustin-Louis Cauchy

Il "Cours d'analyse" di Luis Cauchy tratta per lunghe pagine lo studio dei "valori singolari delle funzioni in alcuni casi particolari", ovvero dopo aver definito i punti in cui la funzione è continua, va a studiare i principali casi di discontinuità, che lo stesso Cauchy definisce "una delle questioni più importanti e delicate dell'analisi".

Avendo ricondotto tutto al concetto di limite, ovviamente per studiare le singolarità occorrerà andarne a studiare i limiti.

Passando per Dedekind e Cantor, alla fine dell'Ottocento,  il formalismo e la ricerca del rigore iniziato alla fine del Settecento trovano finalmente il loro coronamento.

Il concetto di limite si fonde con quello di continuità e all'inizio del Novecento ritroviamo, grazie alla sempre più netta distinzione fra scuole di pensiero formaliste o meno, la definizione di limite come oggi cerchiamo di farla imparare ai nostri studenti, cioè formalizzata al massimo con la notazione ε-δ che già era stata introdotta da  Carl Weirstrass ed Eduard Heine, e che troverà la sua attuale e definitiva definizione in un articolo apparso nel 1922 sul American Journal of Mathematics intitolato appunto "A General Theory of Limits", scritto da E.H.Moore e H.L .Smith.

Libro Analisi 1 (seconda parte) di Giovanni Ricci a pag 178

Aprendo il volume di Analisi 1 (seconda parte) del mio mitico Professore Giovanni Ricci a pag 178 si trovano le definizioni di discontinuità legate strettamente al concetto di limite.

Va comunque tenuto presente che non c'è uniformità nella letteratura scientifica sulla definizione di punto di

discontinuità. 

Molti definiscono il concetto di discontinuità come sinonimo di punto singolare, mentre secondo le definizioni dell'immagine l'appellativo di punto di discontinuità è riservato ai punti singolari appartenenti al dominio della funzione.

Classificazione delle discontinuità delle funzioni

Concludo qui, con queste note matematiche le mie osservazioni su un tema, quello della "discontinuità", che certamente abbraccia tutto un mondo di sfaccettature e di concetti, impossibili da sviscerare in un breve articolo.

Happy Equal Day

L'11 novembre, si celebra l' Equal Day, la giornata che dal 2019 viene dedicata al simbolo uguale.

Se fossimo stati nell'anno 1111 sarebbe stata anche una data palindroma perché l'11 novembre, come è noto, si scrive 11.11.

Ma nell'anno 1111 si sarebbe parlato del simbolo di uguale?

Direi proprio di si in quanto già verso la fine dell’XI secolo si era profilata una trasformazione profonda nella realtà culturale europea, la nascita delle università. 

Le tre facoltà maggiori erano giurisprudenza, medicina e teologia, e poi, propedeutica a queste, la facoltà di arti, nella quale veniva insegnato il quadrivio matematico (aritmetica, geometria, astronomia, musica) e il trivio (grammatica, retorica, logica). 

Ai tempi la matematica insegnata era poca e gli aspetti più interessanti della matematica nelle università concernevano il suo rapporto con la filosofia naturale, ma l'algebra aveva già fatto capolino e con essa le proprietà di uguaglianza.

Tornano ai nostri giorni, anche se non palindroma, possiamo scriverla come 11=11.

Ma perché dedicare una giornata a questo simbolo?

Le motivazioni principali sono riportate nel "manifesto" dell'iniziativa nata da un gruppo di insegnanti della scuola primaria.

Anche se personalmente correggerei alcune frasi, ritengo importantissimo comunicare fin da subito la matematica senza creare fraintendimenti o concetti errati.

Per quanto riguarda la scrittura, è importantissimo chiarire ai bambini l'aspetto simmetrico di un'uguaglianza e cioè il fatto che il simbolo uguale è come una bilancia che pone su ciascuno dei suoi bracci il medesimo valore.

Per quanto riguarda la lettura, è sempre meglio dire "3 + 5 è uguale a 8" o "3 + 5 è 8" rispetto a "3 + 5 fa 8", perché quel "fa" sottintende un valore procedurale e non lascia invece intendere la relazione simmetrica che possiede  a tutti gli effetti l'uguaglianza. 

Detto questo, per celebrare questa creativa ricorrenza, a seconda della classe, si possono strutturare attività specifiche che facciano uso del simbolo per stimolare la riflessione a livello matematico e algebrico, e varie attività vengono suggerite, ovviamente adattate a seconda della classe, magari ricorrendo a filastrocche o ai simpatici fumetti di Paperino e Topolino della Disney. 

 

Manifesto dell'Equal Day:

"L’idea di indire l’equal-day nasce da un gruppo di insegnanti del primo ciclo di istruzione che seguono da anni il progetto ArAl.

Nell’insegnamento dell’aritmetica alla scuola primaria, il simbolo uguale viene utilizzato a volte impropriamente con un significato procedurale: non a caso viene tradotto spesso come “FA” enfatizzando l’aspetto unidirezionale.

Per esempio, per l’alunno, 4 + 6 = 10 significa: ‘sommo 4 e 6 e trovo 10’ oppure “4 più 6 FA 10”. Questa idea è così forte e diffusa che si trova (purtroppo) comunemente anche nei testi in uso scolastico.

L’uguale è dunque presentato con una connotazione dominante spazio temporale, prepara cioè la conclusione di una storia che va letta solo da sinistra verso destra (si eseguono sequenzialmente delle operazioni) sino alla sua conclusione (e infine si ottiene un risultato) e infatti il risultato si trova sempre a destra dell’uguale. 

Se per gli alunni 6 + 4 = 10 è una operazione, la scrittura 10 = 4 + 6 viene definita uguaglianza.

Questa connotazione procedurale dell’uguale ne snatura completamente l’aspetto matematico; ne derivano infatti catene di operazioni dove il simbolo di uguale perde completamente il significato relazionale.

Esempio 15 : 5 = 3 x 7 = 21 

Quando poi l’alunno incontra l’algebra, l’uguale assume un significato del tutto diverso: indica l’equivalenza fra due quantità (io direi tra due espressioni algebriche).

In una scrittura come ‘8 + x = 2x – 5’ esso assume un significato relazionale, e contiene l’idea di simmetria fra due scritture.

Lo studente si trova a dover gestire un simbolo che improvvisamente si presenta in maniera sostanzialmente diversa, nella quale è necessario andare oltre l’idea di risultato, privilegiando la lettura bidirezionale del simbolo che si deve tradurre con “È”.

Riteniamo quindi estremamente necessario che fin dall’inizio della scuola primaria gli alunni siano indirizzati verso il significato relazionale dell’uguale. 

Favorire questo aspetto in modo esplicito significa portare gli allievi a comprendere l’uguale non come uno strumento ma come un oggetto matematico in modo da evitare misconcezioni che possono portare a ostacoli cognitivi irrisolubili."

Concludo queste brevi note dedicate all'Equal Day con un video di Alberto Saracco che, oltre ad essere docente all'Università di Parma e divulgatore, è anche un grande appassionato di fumetti Disney.

Un divertente video, dedicato appunto all'uguale, della serie "un matematico prestato alla Disney", in cui Alberto Saracco fa divulgazione della matematica traendo spunto da storie di paperi e topi.

Un matematico prestato alla Disney 2 

Misteri della matematica - L'uguaglianza