Rugby, l’ordine matematico dentro il caos

Fango, placcaggi, collisioni...il Rugby viene raccontato come lo sport della forza, dell’impatto, del sacrificio fisico, eppure, se lo si osserva con attenzione, emerge qualcosa di inatteso...il Rugby è una sofisticata architettura matematica in movimento. 

Non è l’opposto della razionalità, è razionalità incarnata, è l’ordine matematico dentro il caos.

Parentesi storica

Il Rugby nasce nel 1823 in Inghilterra nell'omonima città, Rugby, nei pressi di Birmingham, alla Rugby School, quando, secondo la tradizione, William Webb Ellis raccolse il pallone con le mani durante una partita di football. 

Al di là del mito fondativo, è nell’Inghilterra vittoriana che il gioco prende forma regolamentare, con la codificazione delle norme da parte della Rugby Football Union nel 1871.

Fin dalle origini il Rugby fu uno sport di struttura e disciplina, con regole precise, spazi definiti, gerarchie di punteggio. 

La trasformazione moderna, con l’introduzione del professionismo nel 1995 e l’evoluzione dei sistemi di punteggio con bonus, ha progressivamente accentuato la dimensione analitica del gioco.

Da rituale scolastico a laboratorio strategico globale, il Rugby è diventato nel tempo sempre più misurabile, studiato, ottimizzato e la matematica non è un’aggiunta recente ma è sempre stata nascosta nella sua architettura.

Iscrizione marmorea sul posto ove stava il ristorante Pall Mall di Londra, 

dove il 26 gennaio 1871, durante la riunione dei rappresentanti 

di squadre importanti si formò la Rugby Football Union - Immagine 

Il campo, innanzitutto, è uno spazio geometrico rigorosamente definito.

Il campo da Rugby a 15 (rugby union) è un rettangolo che, comprese le aree di meta, misura al massimo 144x70 metri e al minimo circa 119x66 metri. 

La zona di gioco principale (tra le linee di meta) è lunga 100m e larga 70m, mentre le aree di meta (in-goal) misurano tra i 10 e 22 metri di profondità.

Quindi sono cento metri di lunghezza per settanta di larghezza con linee che segmentano il terreno in zone strategiche e corridoi laterali che ampliano o comprimono le possibilità di gioco.

Campo da Rugby e regole del gioco 

 

Ogni squadra, quando si dispone in difesa, costruisce una figura geometrica mobile, con una linea quasi rettilinea che deve coprire l’intera larghezza del campo.

È un problema classico di copertura ottimale.

Se si restringe troppo, concede spazio all’esterno e se si allarga eccessivamente, si assottiglia al centro.

È combinatoria applicata in tempo reale. 

In attacco, l’obiettivo è creare superiorità numerica in un punto preciso: due contro uno, tre contro due.  

Ogni passaggio serve a spostare la difesa, a generare uno squilibrio locale. 

Non basta essere veloci ma si deve manipolare lo spazio.

Poi c’è la probabilità. 

Una delle decisioni più frequenti nasce da un fallo avversario: prendere i tre punti con un calcio piazzato o cercare la meta? 

La scelta non è solo emotiva ma è, implicitamente, un calcolo di valore atteso. 

Se la probabilità di segnare il piazzato è dell’80%, il rendimento medio è 2,4 punti, e se invece la probabilità di andare in meta da una touche organizzata è, poniamo, del 35%, il rendimento medio è 1,75 punti (senza considerare la trasformazione). 

Senza però dimenticare il contesto che potrebbe modificare tutto, vale a dire tempo rimanente, punteggio, condizioni atmosferiche. 

Le grandi nazionali, come gli Springboks sudafricani (numero 1 al mondo) o gli All Blacks neozelandesi (numero 2), integrano ormai da tempo analisi statistiche sofisticate in queste decisioni, sapendo bene che la matematica non sostituisce l’istinto ma lo affina.

All Blacks, perché tutti vestiti di nero, contro Springboks che prendono

 il nome da una piccola antilope della savana

Ogni fase di gioco è anche un caso di teoria dei giochi. 

Dovremmo far intervenire John Nash , il grande matematico che stabilì i principi della teoria dei giochi, per valutare bene queste strategie che, in termini formali, costituiscono un equilibrio dinamico tra due sistemi che reagiscono reciprocamente. 

Attacco e difesa si osservano, si studiano, si adattano...se l’attacco insiste al centro, la difesa comprime...se il pallone viaggia largo, la linea scivola lateralmente. 

Le strategie infatti non sono mai statiche, ma sono strategie miste, variazioni continue per evitare di diventare prevedibili. 

Six Nations 2026 - Placcaggio nell'incontro all'Olimpico vinto 

dall'Italia contro la Scozia 18 a 15

Anche la fisica, che si basa ovviamente sempre sulla matematica, governa le collisioni. 

Un placcaggio efficace non è solo questione di coraggio, ma di quantità di moto: massa per velocità e nella mischia (scrum), otto giocatori per parte cercano un equilibrio vettoriale sotto enormi forze di compressione. 

Il centro di massa collettivo deve restare stabile, perché basta una piccola asimmetria per destabilizzare l’intero sistema. 

Six Nations 2026 - Mischia chiusa dell'Italia di Quesada che purtroppo 

ha perso a Dublino con l'Irlanda 20 a 13 

 

Persino il calcio piazzato è un problema balistico in cui si devono valutare angolo di elevazione, velocità iniziale, resistenza dell’aria.

Il calcio piazzato infatti non è soltanto un gesto tecnico, ma è un problema di balistica con vincoli geometrici e perturbazioni aerodinamiche, che va però risolto in pochi secondi e sotto pressione. 

La palla (tipico ellissoide¹) descrive una parabola, ma quella parabola deve attraversare uno spazio estremamente preciso tra i pali e sopra una soglia di tre metri e questo introduce un vincolo geometrico.

Il problema non è “quanto lontano”, ma “con quale traiettoria passare sopra quel punto esatto”.

E nella realtà intervengono altre variabili: la resistenza dell’aria, la forma ovale² che modifica l’aerodinamica, il vento laterale, la rotazione impressa al pallone che ne stabilizza il volo.

Ed è matematica incorporata nei muscoli!

Il piazzatore, in pochi secondi, risolve implicitamente un sistema complesso, costituito da distanza, angolo laterale, intensità del vento, stato del terreno, punteggio della partita. 

Un buon piazzatore non esegue equazioni, ma il suo corpo, allenato da migliaia di ripetizioni, ha interiorizzato una soluzione efficace.

 

Six Nations 2026 - Italia vs Francia - Il calcio piazzato di Paolo Garbisi 

che ha fatto tanto discutere 

A questa dimensione fisica si aggiunge un ulteriore livello che riguarda il punteggio e la matematica del torneo.

Il calcolo dei punti è tipicamente aritmetico basato sulla somma di mete (5 punti), trasformazioni (2 punti), punizioni e drop (3 punti ciascuno), poi c'è il bonus offensivo o difensivo tipico del Sei Nazioni, che è un altro classico esempio di applicazione aritmetica.

Ma cos'è il bonus offensivo e difensivo?

Nel Six Nations Championship, campionato europeo di Rugby attivo dal 2017, che si sta giocando proprio in questi giorni, il sistema a punti premia l'audacia e la competitività: la vittoria vale 4 punti in classifica, il pareggio 2, la sconfitta 0 e, in aggiunta i bonus. 

Il bonus offensivo (+1 punto) si ottiene segnando almeno 4 mete e quello difensivo (+1 punto) perdendo con 7 o meno punti di scarto. 

Quindi il bonus offensivo (o 4+ mete) viene assegnato alla squadra che realizza almeno quattro mete in una partita, indipendentemente dal risultato finale (vittoria o sconfitta).

Il bonus difensivo (o scarto 7) viene assegnato alla squadra che perde la partita con un margine di 7 punti o meno.

È possibile ottenere entrambi i bonus (offensivo e difensivo) in una singola partita persa (es. 25-28 con 4 mete segnate), portando a casa un totale di 2 punti. 

E si parla anche di Grande Slam quando una squadra che vince tutte e 5 le partite, ottiene 3 punti bonus aggiuntivi per garantire la vittoria del torneo.

Si parla di criteri di parità, quando due o più squadre sono a pari punti, si guarda la differenza punti (mete fatte meno subite), poi il maggior numero di mete totali, e infine il risultato dello scontro diretto.

Classifica del Six Nations 2026 (al 23 febbraio) quando mancano ancora due partita (5 in tutto)

Spiegazione dettagliata delle colonne della classifica in cui l'ordine va dal primo all'ultimo posto

G (Giochi/Partite Giocate): Il numero di partite disputate fino a quel momento (massimo 5 per squadra nel torneo)

V (Vinte): Numero di incontri vinti

N (Nulle/Pareggiate): Numero di incontri finiti in parità

P (Perse): Numero di incontri persi

DP (Differenza Punti) o +/-: Il calcolo tra i punti totali segnati dalla squadra e i punti subiti. È fondamentale in caso di arrivo a pari punti tra due o più squadre: chi ha la differenza migliore sta sopra.

PB (Punti Bonus): Numero di punti bonus accumulati durante il torneo (come spiegato).

Pt (Punti Totali in classifica): Il totale dei punti, somma delle vittorie/pareggi e dei punti bonus.

Questo modifica radicalmente la funzione obiettivo, perché non si massimizza solo il punteggio della singola partita, ma l’accumulazione di punti in classifica. 

Una squadra sotto di 10 punti negli ultimi minuti potrebbe rinunciare a un piazzato relativamente sicuro per cercare la quarta meta e ottenere il bonus offensivo. Oppure, se in svantaggio di 8 punti, potrebbe preferire un calcio che la riporti a -5, per garantirsi almeno il bonus difensivo.

Problema di ottimizzazione.

La decisione diventa quindi un problema di ottimizzazione dinamica con vincoli multipli, quali: punteggio attuale, tempo residuo, differenza punti, probabilità di segnare, impatto sulla classifica finale.

In termini matematici, la funzione da massimizzare non è più semplicemente “punti segnati”, ma “valore atteso in classifica”. 

E quel valore dipende da una struttura regolamentare che incentiva il gioco offensivo e mantiene aperta la competizione fino all’ultimo minuto.

Ma la dimensione forse più affascinante è quella dei sistemi complessi. 

Il rugby è infatti una rete dinamica di passaggi e contatti in cui ogni azione modifica la configurazione globale. 

Un pallone perso a metà campo può produrre, nel giro di pochi secondi, una meta dall’altra parte, quindi piccole variazioni possono causare effetti macroscopici. 

Nelle grandi competizioni come la Rugby World Cup, l’analisi delle reti di gioco...chi passa a chi, con quale frequenza, in quali zone...è diventata uno strumento centrale per comprendere l’identità tattica di una squadra.

E tuttavia, nulla di tutto questo è percepito come “calcolo” dai giocatori. 

Nessuno risolve equazioni durante una ruck (o mischia aperta/spontanea), una fase di gioco fondamentale che si forma dopo un placcaggio. 

Six Nation 2026 - Mischia aperta dell'Italia di Quesada che purtroppo 

ha perso a Lilla con la Francia 33 a 8 

La matematica del rugby è incorporata, è addestramento, abitudine, intuizione strutturata. 

È ciò che consente a una linea difensiva di salire compatta, a un mediano di scegliere il tempo giusto, a un estremo di posizionarsi nel punto statisticamente più probabile per ricevere un calcio.

Il paradosso è che lo sport apparentemente più fisico è anche uno dei più strategici. 

Non vince soltanto la squadra più potente, ma quella che occupa meglio lo spazio, che gestisce il rischio, che distribuisce le energie in modo ottimale. In altre parole, quella che risolve meglio un problema a molte variabili, quali: spazio, tempo, punteggio, condizione fisica, psicologia.

Il rugby, visto così, non è caos, ma ordine che emerge dal caos. 

È una forma di intelligenza collettiva in cui geometria, probabilità e strategia si fondono in azione. 

  

Six Nation 2026 - Meta di Menoncello nell'incontro all'Olimpico 

vinto dall'Italia contro la Scozia 18 a 15

La prossima volta che guarderemo gli 80 minuti di una partita, potremo continuare ad ammirare la "magia" della prestazione, il coraggio dei placcaggi e la potenza delle mischie, ma forse intravedremo anche la trama invisibile di relazioni, numeri e scelte ottimizzate, e capiremo che, sotto il fango, c’è una struttura e che dentro quella struttura, silenziosa ma decisiva, c’è la matematica.

Note

¹La Regola 2 del rugby stabilisce che il pallone debba essere un ovale (ellissoide), con una circonferenza sull'asse maggiore compresa tra 740 e 770 millimetri, una circonferenza sull'asse minore compresa tra 580 e 620 millimetri, una lunghezza compresa tra 280 e 300 millimetri ed un peso compreso tra 410-460 grammi (14-16 once)

Il tradizionale colore marrone è stato sostituito dalle più disparate colorazioni permesse dal materiale sintetico

²La palla da rugby è ovale originariamente a causa dell'uso di vesciche di maiale gonfiate, ricoperte di cuoio, che assumevano naturalmente una forma oblunga o a "prugna" piuttosto che sferica. Questa forma, codificata nel XIX secolo, si è rivelata più pratica per la presa con le mani, il trasporto e il passaggio rispetto a una sfera, venendo ufficializzata nel 1892. 

Pallone regolamentare prodotto da Mitre Sports International e 

approvato dalla Federazione Italiana Rugby

 

Matematica e Intelligenza Artificiale, due rami dello stesso albero

 "La matematica e l'intelligenza artificiale sono due rami dello stesso albero"

Con queste parole il professor Angel Garrido, dottore in filosofia con master in Intelligenza Artificiale e Matematica, docente all'UNED di Madrid, ha voluto evidenziare il fatto che uno dei motivi principali per cui l'Intelligenza Artificiale è stata in grado di ottenere così tanto, ed ha ancora il potenziale per ottenere molto di più, è la Matematica.

Ovverosia l'Intelligenza Artificiale è principalmente una miscela di matematica e programmazione. 

AI Artificial Intelligence o IA Intelligenza Artificiale

Grandi menti matematiche hanno svolto un ruolo chiave nell'IA negli ultimi anni e solo per citarne alcuni: Janos Neumann (noto anche come John von Neumann), Konrad Zuse, Norbert Wiener, Claude E. Shannon, Alan M. Turing, Grigore Moisil, Lofti A. Zadeh, Ronald R. Yager, Michio Sugeno, Solomon Marcus, o Albert-Lászlò Barabási... 

Introdurre quindi anche lo studio dell'intelligenza artificiale non è solo utile per la sua capacità di risolvere problemi difficili, ma, soprattutto per la sua natura matematica, ci prepara a comprendere il mondo attuale, permettendoci di agire sulle sfide del futuro.

Sentiamo tutti parlare di come la matematica sia tutt'intorno a noi, ma quello di cui potremmo non renderci conto è che anche l'Intelligenza Artificiale sia già tutt'intorno a noi. 

Nel bel mezzo delle conversazioni sul meraviglioso (e talvolta pericoloso) futuro che l'IA ci riserva, con le sue auto autonome, i robot, l'enorme potenziale nella sanità, nell'istruzione e così via, non riusciamo spesso a riconoscere il suo contributo alla nostra vita di tutti i giorni.

Le previsioni basate sull'Intelligenza Artificiale di Google, per Google Maps, analizzano il movimento del traffico in un dato momento raccogliendo dati anonimi sulla posizione dai dispositivi mobili. 

Le app di ride sharing come Ola e Uber utilizzano l'aiuto dell'IA per determinare il prezzo, ridurre al minimo i tempi di attesa e le deviazioni. 

I voli commerciali utilizzano gli autopiloti IA, riducendo a pochi minuti il ​​tempo di coinvolgimento umano, quello solo per il decollo e l'atterraggio.

Nella posta elettronica l'IA analizza il filtro antispam e la categorizzazione intelligente della posta.

Nel settore bancario/finanziario, l'intelligenza artificiale viene utilizzata per determinare e prevenire transazioni fraudolente e anche nelle decisioni di credito. 

Nei social network, Facebook utilizza l'Intelligenza Artificiale per riconoscere i volti e suggerire tag, Instagram utilizza l'apprendimento automatico per identificare il significato contestuale degli emoji, anche i filtri Snapchat sono possibili grazie all'Intelligenza Artificiale.

L'elenco è davvero lungo e include anche le nostre attuali applicazioni AI preferite, ovvero gli assistenti personali intelligenti. 

Che si tratti di Google Assistant, Siri, Alexa o Cortana, questi assistenti svolgono un ruolo enorme nel rendere le nostre vite più comode, il tutto utilizzando la tecnologia voice-to-text. 

L'ultimo eclatante esempio è Chat GPT, il nuovo strumento di OpenAI che mira a rendere l’interazione con i sistemi di Intelligenza Artificiale più naturale e intuitiva.

L'Intelligenza Artificiale conversazionale ha fatto molta strada negli ultimi anni, con numerosi modelli e piattaforme sviluppati per consentire alle macchine di comprendere e rispondere agli input del linguaggio naturale.

Tra questi c'è appunto Chat GPT, acronimo di Generative Pretrained Transformer, la startup fondata da Sam Altman, uno strumento di elaborazione del linguaggio naturale (o Natural Language Processing) potente e versatile che utilizza algoritmi avanzati di apprendimento automatico per generare risposte simili a quelle umane all’interno di un discorso. 

Resta però il fatto che, nel settore dell'intelligenza artificiale, sia implicato anche l'uso dei dati personali da parte degli algoritmi e credo sia necessario creare un insieme di regole, come l'AI Act, il pacchetto di regole comunitarie sull'intelligenza artificiale ancora in bozza, per tutelare o almeno fare chiarezza sull'uso dei dati sensibili.

Ritornando al titolo, tutto ciò è reso possibile solo grazie alla Matematica.

Come Galileo Galilei era convinto che bisognasse conoscere l’arte matematica per poter comprendere a fondo la natura ("La matematica è il linguaggio con il quale Dio ha creato il mondo"), così conoscere la matematica è fondamentale per l'Intelligenza Artificiale.

Avere una laurea in Matematica non è una necessità assoluta per creare reti neurali per l'IA, ma le persone che scrivono gli algoritmi, che fanno la ricerca o indagano sui confini delle capacità dell'IA non possono andare lontano senza imparare la matematica coinvolta. 

Questo è il motivo per cui la Matematica è essenziale per l'Intelligenza Artificiale e l'apprendimento automatico, perché ci guida nel modo in cui possiamo risolvere problemi astratti profondi molto difficili e lo fa utilizzando metodi e tecniche già noti. 

L'Intelligenza Artificiale è descritta come una tecnologia che consente a una macchina di simulare il comportamento umano e l'apprendimento automatico è una parte dell'IA che consente a una macchina di apprendere automaticamente dai dati passati senza dover essere esplicitamente programmata per farlo.

Ma quali sono i rami di matematica essenziali per l'intelligenza artificiale?

Gli argomenti di matematica utilizzati nell'intelligenza artificiale includono, principalmente algebra lineare, analisi matematica (calculus), probabilità e statistica.

- L'algebra lineare è utilizzata nell'apprendimento automatico per definire i parametri e la struttura di diversi algoritmi di apprendimento automatico. Questo aiuta a capire come vengono assemblate le reti neurali e come funzionano.

Gli argomenti principali sono: scalari, vettori, matrici, tensori, autovalori, norme di matrice...

- L'analisi matematica è utilizzata per amplificare la parte sofisticata dell'apprendimento automatico. Questo è ciò che fa sì che l'IA impari dagli esempi, aggiorni i parametri di diversi modelli di volta in volta e renda le prestazioni del tutto migliori.

Gli argomenti importanti sono: derivate, derivate parziali e direzionali, integrali, operatori differenziali, gradienti, algoritmi del gradiente (massimi e minimi locali/globali, SGD Stochastic Gradient Descent, NAG Numerical Algebraic Graphical, MAG Mathematical Analysis Group, Adams), ottimizzazione convessa...

In ANN (Artificial Neural Network), che è un algoritmo nell'IA, il suo funzionamento principale è progettato utilizzando il calcolo differenziale e vale per altri algoritmi di apprendimento. 

- La teoria della probabilità e la statistica sono utilizzate per formulare ipotesi sui dati sottostanti quando si progettano questi algoritmi di deep learning o IA ed è quindi essenziale comprendere le principali distribuzioni di probabilità.

Argomenti importanti sono: variabili casuali, distribuzioni (binomiale, Bernoulli, Poisson, esponenziale, gaussiana), varianza e aspettative, elementi di probabilità, teorema di Bayes (MAP Maximum a posteriori, ML Maximum Likelihoo), variabili casuali speciali...

Il fondamento dell'intelligenza artificiale, come più o meno tutto ciò che riguarda i computer, dunque si basa su concetti matematici. Se discutiamo di deep learning (una sottoparte dell'IA), molto si basa sulla matematica insegnata a livello universitario.

Diversi documenti di ricerca nelle aree pertinenti e un attento esame di qualsiasi algoritmo efficace nell'Intelligenza Artificiale possono chiarire che il pilastro è la matematica pura. 

Il piano centrale è quasi sempre il risultato di una serie di equazioni. 

Anzi proprio per la ricerca di nuovi algoritmi, si può ritenere che la matematica, nel campo dell'Intelligenza Artificiale, sia certamente più rilevante dell'informatica.

D'altronde come una volta disse il famoso scrittore americano di matematica e scienze, Martin Gardner 

"La matematica non è solo reale, ma è l'unica realtà" 

è infatti alla base di una serie di altri campi, e uno di questi campi è proprio l'Intelligenza Artificiale.

Martin Gardner sulla statua Alice in Wonderland al Central Park di New York - immagine

 dall'articolo "Odio e amore...una dicotomia matematica!"

A conclusione di queste brevi considerazioni vorrei però aggiungere che, nonostante il potenziale dell'apprendimento automatico sia apparentemente illimitato, anche gli algoritmi più intelligenti sono comunque limitati proprio dai vincoli della matematica.

La consapevolezza di queste limitazioni matematiche è  legata al famoso matematico austriaco Kurt Gödel, che sviluppò negli anni '30 i cosiddetti teoremi di incompletezza, due proposizioni che suggeriscono che non tutte le questioni matematiche possono essere effettivamente risolte. 

Ora uno studio¹, "Learnability can be undecidable", guidato dal primo autore e scienziato informatico Shai Ben-David dell'Università di Waterloo indica che l'apprendimento automatico è limitato dalla stessa irrisolvibilità. 

La capacità di una macchina di apprendere effettivamente, chiamata learnability, può essere limitata dalla matematica che non è dimostrabile. In altre parole, si sta fondamentalmente dando a un'intelligenza artificiale un problema indecidibile, qualcosa che è impossibile da risolvere per un algoritmo con una risposta vero o falso.

Nell'introduzione allo studio si legge:

"Le basi matematiche dell'apprendimento automatico giocano un ruolo chiave nello sviluppo del campo. Migliorano la nostra comprensione e forniscono strumenti per progettare nuovi paradigmi di apprendimento. I vantaggi della matematica, tuttavia, a volte hanno un costo. Gödel e Cohen hanno mostrato, in poche parole, che non tutto è dimostrabile. Qui mostriamo che il machine learning condivide questo destino. Descriviamo scenari semplici in cui l'apprendibilità non può essere dimostrata né confutata utilizzando gli assiomi standard della matematica. La nostra dimostrazione si basa sul fatto che l'ipotesi del continuo non può essere provata né confutata. Mostriamo che, in alcuni casi, una soluzione al problema di massimizzazione delle aspettative (EMX Expectation Maximization problem) è equivalente all'ipotesi del continuo." 

"Per noi è stata una sorpresa", ha spiegato a Nature il ricercatore senior e matematico Amir Yehudayoff, del Technion-Israel Institute of Technology, il fatto che un sito web cerca di mostrare pubblicità mirata ai visitatori che navigano più frequentemente nel sito, anche se non è noto in anticipo quali utenti visiteranno il sito. 

Secondo i ricercatori, in questo caso, il problema matematico da risolvere presenta somiglianze con un framework di apprendimento automatico noto come PAC learning (Probably Approximately Correct learning), come apprendimento probabilmente approssimativamente corretto, ma è anche simile a un paradosso matematico chiamato ipotesi del continuum, un altro campo di indagine per Gödel.

"O la matematica è troppo grande per la mente umana o la mente umana

 è più di una macchina" - Kurt Gödel

"Come i teoremi di incompletezza, l'ipotesi del continuo riguarda la matematica che non può mai essere dimostrata vera o falsa, e date le condizioni del problema di massimizzazione delle aspettative (EMX Expectation Maximization), almeno, l'apprendimento automatico potrebbe ipoteticamente imbattersi nello stesso stallo perpetuo [...] identificare un problema di apprendimento automatico il cui destino dipende dall'ipotesi del continuum, lasciando la sua risoluzione per sempre irraggiungibile" scrive in un commento il matematico e scienziato informatico Lev Reyzin dell'Università dell'Illinois a Chicago, che non era coinvolto nel lavoro sulla ricerca su Nature. 

Naturalmente, i parametri del problema di massimizzazione delle aspettative (EMX) non sono gli stessi con cui l'apprendimento automatico deve confrontarsi in altre situazioni, ma accademicamente, il nuovo documento serve a ricordare come l'avanguardia dell'informatica non possa sfuggire ai suoi fondamenti logico/filosofici e matematici.

"L'apprendimento automatico è maturato come disciplina matematica e ora si unisce ai molti sottocampi della matematica che si occupano del fardello dell'indimostrabilità e del disagio che ne deriva", scrive Reyzin. "Forse risultati come questo porteranno a procedere con una sana dose di umiltà, anche se gli algoritmi di apprendimento automatico continuano a rivoluzionare il mondo che ci circonda."

Note

¹Studio "Learnability can be undecidable"

Autori

Shai Ben-David1, Pavel Hrubeš2, Shay Moran3, Amir Shpilka and Amir Yehudayoff

Curva esponenziale...infodemica o pandemica?

"Non c’è dubbio che un problema biologico deve essere risolto per mezzo di sperimentazioni e non al tavolo di un matematico.
Tuttavia, per penetrare più a fondo la natura di questi fenomeni, è indispensabile combinare il metodo sperimentale con la teoria matematica" 
(Carl Friedrich Gauss)

E' innegabile come SARS-CoV-2 sia il protagonista assoluto di questo periodo storico, che condiziona e condizionerà sicuramente anche in futuro le nostre vite.
Ma qui non vorrei parlare di lui e men che meno dei risvolti politici, psicologici, sociologici, economici e quant'altro che si porta dietro.

Non mi compete e non sono certo in grado di soffermarmi su queste complesse valutazioni che però sottendono comunque anche aspetti matematici, a volte correlati da modelli e dati statistici a volte legati a un immaginario collettivo.
La curva esponenziale del titolo ben si adatta ad esplicare questo legame con valutazioni di tipo statistico e di tipo potremmo dire "istintuale".
Si parla da tutte le parti, dai media, dagli esperti, dai ricercatori e così via di curve esponenziali senza spesso però valutarne il vero significato.
Incomincerei a descrivere quello che ho definito legame di tipo istintuale e che si riferisce alla cosiddetta infodemia.
Questo legame non è supportato da veri e attendibili dati ma identifica effettivamente una crescita di tipo esponenziale.
Per infodemia (dall'inglese infodemic, formata da information+epidemic) infatti si intende una straripante abbondanza di informazioni che rendono difficile comprendere la realtà dei fatti e che, come una metaforica epidemia di informazioni, soprattutto false o fuorvianti, si propagano, con il diffondersi su larga scala di una malattia infettiva, a ritmo esponenziale.
Quindi non si può definire una vera crescita esponenziale in senso matematico, ma se ne percepisce istintivamente una crescita esponenzialmente inarrestabile di ansia e panico, soprattutto grazie ai social, ai mezzi di comunicazione digitale, ove proliferano gli pseudoesperti, le voci infondate e la disinformazione. 

Infodemic, parola d’autore, è stata infatti coniata da David J. Rothkopf e descrive, in un articolo del 2003 sul Washington Post, "When the Buzz Bites Back",  lo sviluppo e gli effetti dell’epidemia di SARS, scoppiata in Cina nel novembre 2002, con conseguenze pesanti sull’economia, la politica e la sicurezza, non solo cinesi ma anche globali, del tutto sproporzionate rispetto agli effetti reali della malattia.
Sono passati 18 anni da quell'epidemia e stiamo assistendo ora a una vera pandemia.
Una valutazione sulla sua effettiva diffusione e pericolosità, mediata da un'infodemia proporzionata o sproporzionata, non è ovviamnete ancora possibile, ma si possono però, attraverso i dati raccolti via via, fare previsioni sul suo andamento? 
E queste previsioni si possono basare su modelli e curve matematiche?
Costituisce un successo l'alleanza tra biologia e matematica, come sosteneva Gauss, il fatto che la modellizzazione matematica sia oggi alla base di decisioni di sanità pubblica riguardanti il controllo di malattie tradizionali ed endemiche, di infezioni emergenti e riemergenti così come è alla base della valutazione preventiva dell’impatto di malattie completamente nuove, appunto le cosiddette pandemie causate da un virus mutante, come può essere SARS-CoV-2.

Ovviamente una volta determinato il modello matematico che regola un fenomeno di natura biologica, è necessario attraverso una fase sperimentale e di recupero dei dati stabilire quanto il modello sia significativo.
Modelli e curve che a loro volta avrebbero bisogno, per una significativa e corretta previsione, di dati attendibili e, anche se quelli dell'ISS (le infografiche dell’Istituto Superiore di Sanità) hanno un buon margine di affidabilità, resta la mia riluttanza ad analizzare grafici o previsioni di "picco", basati su modelli matematici, che purtroppo non sono supportati da dati e rilevazioni davvero attendibili.

ISS - Andamento epidemico relativo al 2 aprile 2020

Qui vorrei invece fare un excursus storico/didattico sulla nascita e l'utilizzo di questi modelli matematici, di cui tra l'altro tutti ne parlano, senza magari sapere cosa effettivamente siano.
Un modello matematico nello studio di una epidemia serve principalmente a chiarificare le ipotesi, le variabili e i parametri che sono in gioco e per proporre di conseguenza parametri significativi per l’analisi e la classificazione delle epidemie stesse.
Utile se non determinante è la comprensione delle caratteristiche di trasmissione (Rzero, velocità di propagazione) della malattia infettiva per determinare le strategie migliori per ridurne la trasmissione, per prevederne il corso e paragonare l’efficacia di diverse misure di profilassi, quali quarantena, isolamento e trattamento. 
In questo senso, i modelli matematici possono essere usati per pianificare, implementare e ottimizzare i programmi di individuazione, prevenzione, terapia e controllo dell'epidemia.

Daniel Bernulli (a sinistra) e  Jean d’Alembert

Storicamente, il primo modello di tipo matematico in ambito epidemiologico fu presentato all’Accademia delle Scienze di Parigi nel 1760 (e pubblicato soltanto nel 1765) da Daniel Bernoulli, in una memoria dal titolo "Un tentativo di una nuova analisi della mortalità causata dal vaiolo e dei vantaggi dell'inoculazione per prevenirlo" con lo scopo di supportare la vaccinazione contro il vaiolo.

Da buon illuminista, al celebre matematico parve che il modo migliore per dirimere la questione fosse quello di dimostrare in termini matematici esatti i vantaggi dell’inoculazione.
Bernoulli propose infatti un modello matematico fondato sulla crescita esponenziale del numero dei contagiati, dimostrando, sulla base di esso, che la vaccinazione sarebbe stata l'unica arma vantaggiosa per combattere la malattia.
Il lavoro di Bernoulli suscitò la discesa in campo di un altro celebre matematico, Jean d’Alembert, il quale, in una memoria pubblicata nello stesso anno (1760), pur condividendo, per ragioni ideologiche, l’opportunità dell’inoculazione, attaccò violentemente Bernoulli sul piano strettamente scientifico.¹ 
Egli non soltanto tentò di dimostrare l’inadeguatezza del calcolo delle probabilità nello studio di problemi come questo ma, in generale, manifestò il suo scetticismo per la matematizzazione, sottolineando però che le sue obbiezioni erano rivolte "soltanto ai Matematici che potrebbero affrettarsi troppo a ridurre questa materia in equazioni e in formule".
Comunque sia va dato merito al Bernulli di aver affrontato il problema epidemico quasi quarant'anni prima dell'introduzione del vaccino di Edward Jenner contro il vaiolo. 

Gran parte però della teoria di base dell'epidemiologia matematica è stata sviluppata molto dopo tra il 1900 e il 1935 e da quel momento in poi c’è stato un graduale e costante progresso tanto nelle tecniche quanto nelle applicazioni.
Da allora si è diffuso l’uso di due modelli, deterministico e probabilistico, nell’analisi dello sviluppo di malattie infettive e si è grandemente sviluppato nel corso di tutto il ventesimo secolo fino ai giorni nostri.
Dopo i primi modelli a tempi discreti di Sir William Heaton Hamer (1906) e di Ronald Ross (premio Nobel per la Medicina 1902, lavori sulla prevenzione della malaria del 1911), negli anni venti, William Ogilvy Kermack e Anderson Gray McKendrick proposero un modello di tipo differenziale (il cosiddetto SIR) per spiegare la rapida crescita e successiva decrescita del numero di persone infette osservate in alcune epidemie, come la peste (Londra 1665-1666, Bombay 1906) e il colera (Londra 1865).
Questo modello matematico sviluppato nel 1927 dagli scienziati William Ogilvy Kermack e Anderson Gray McKendrick, sarà destinato a diventare uno dei principali punti di riferimento per lo studio e l'elaborazione dei modelli di diffusione epidemica.

Tipico andamento di una epidemia secondo lo schema SIR - foto dall'articolo di 

Paolo Alessandrini "La matematica delle epidemie"

Nel modello di tipo SIR, la popolazione viene suddivisa in tre classi: Suscettibili, Infetti, Rimossi. 
Dove i suscettibili sono gli individui sani ma soggetti a pericolo di contagio, gli infetti sono gli ammalati, e i rimossi sono gli individui non più infetti, e dunque immuni, o perché guariti o perché morti.
Dalla seconda metà del ventesimo secolo, il numero di modelli e di studi matematici in quest’ambito è aumentato a dismisura e, in epoche più recenti, sono stati utilizzati modelli per valutare l’effetto di strategie di controllo delle epidemie di afta epizootica in Gran Bretagna nel 2001 o l’epidemia di SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) del 2002-2003 o quelle di febbre emorragica da Ebola che nel 2014 hanno interessato Liberia, Guinea e Sierra Leone.

L’epidemiologia matematica differisce da buona parte della matematica applicata poiché non si presta a validazioni sperimentali dei modelli proposti, in quanto gli esperimenti sono generalmente impossibili (ed ovviamente non etici), e quindi tali modelli vengono testati su episodi passati. 

Questo dà molta importanza alla modellizzazione matematica come un possibile strumento predittivo per fronteggiare in tempo reale lo scoppio di un’infezione, che può essere epidemica o addirittura pandemica.
Come detto, esistono due approcci per la formulazione di modelli matematici in questo ambito, uno probabilistico e l’altro deterministico. 
Il primo modello risulta sicuramente più ricco di informazioni e più corretto da un punto di vista metodologico, ma proprio per questo più difficile da studiare matematicamente. Il secondo che si basa su equazioni differenziali, richiede meno dati e si sviluppa seguendo l'asserto che il processo epidemico sia con buona approssimazione deterministico.

Tornando al modello di Kermack e McKendrick, troviamo una prima versione del Teorema della Soglia Critica, di quello che svilupperà in seguito lo statistico inglese Maurice Kendall (1956 approccio di Kendall all'epidemia "generale") che permette di individuare un parametro critico σ (o Rzero), che dipende dalle costanti caratteristiche del modello e, in linea di principio, determinabile statisticamente.
Se σ ≤ 1 (con σ si identifica Rzero, velocità di propagazione), la malattia non supera il numero di infetti dell’istante iniziale e quindi decade a zero senza diffondersi in maniera drammatica attraverso la popolazione, se σ > 1, la malattia è sufficientemente forte da riuscire a diffondersi attraverso la popolazione. Più è grande il valore di σ e più la malattia sarà da considerarsi virulenta.

Anderson Gray McKendrick (a sinistra) e William Ogilvy Kermack  

E' interessante storicamente porre l'attenzione sul contributo alla diffusione di modelli biologici di tipo differenziale che si deve appunto a William Ogilvy Kermack e Anderson Gray McKendrick, che tra il 1927 e il 1933 pubblicarono uno studio matematico in tre parti, intitolato "A contribution to the mathematical theory of epidemics"
Anche se il modello contiene ipotesi irrealistiche, i concetti introdotti risultarono essenziali per fornire una prima valutazione intuitiva sulla dinamica delle epidemie, intuizione che comunque rimane confermata in modelli attuali anche se modificati e più complessi.
Essi si proponevano di indagare sulle dinamiche di diffusione di alcuni tipi di malattie infettive fra la popolazione e miravano a spiegare l’andamento apparentemente anomalo di epidemie, come quella di peste nell’isola di Bombay (1905-1906), in cui si era osservato che il numero di persone infette subiva una rapida crescita seguita da una decrescita inaspettata. 
Una delle domande alla quale cercarono di dare una risposta era: 
"Nel caso in cui un’epidemia si estingua, l’estinzione stessa è da imputarsi necessariamente all’esaurimento degli ospiti infettabili oppure è possibile che una pandemia termini lasciando salvo un gruppo consistente di individui non immuni e mai contagiati?"
A tale scopo nella prima parte del loro studio Kermack e McKendrick proposero un sistema differenziale non lineare del prim’ordine, che è divenuto appunto noto come modello epidemico di tipo SIR e che si applica allo studio di malattie infettive che, nel caso in cui il malato riesca a sopravvivere e guarire, conferiscono all’ospite l’immunità da un nuovo contagio, come succede per esempio con la febbre emorragica da Ebola, quella che si potrebbe definire "immunità di gregge", immunità divenuta drammaticamente popolare per le parole del Primo Ministro del Regno Unito Boris Johnson.²
Il vero problema iniziale consiste nel riuscire a valutare correttamente la velocità di propagazione che, dipendendo da dati statistici rilevati, non è facilmente determinabile ad epidemia in corso e qualsiasi modello non è in grado di cogliere quando cambi la curva dei contagi per una epidemia nuova ed è fondamentale capire su cosa si basino i modelli predittivi che vengono suggeriti e basati su equazioni statistiche. 

Essendo nell’universo della probabilità e non della certezza, servirebbero quindi molte più informazioni di quelle che si hanno, per esempio oggi sul Covid-19, per farne previsioni davvero attendibili.
Per modellare correttamente questa epidemia si dovrebbe tener conto oltre che del σ (o Rzero), di altri parametri quali: il tempo di incubazione, il tempo in cui il soggetto è asintomatico, la durata della patologia, le modalità di trasmissione...
Tutte variabili difficilmente valutabili essendo in presenza di un virus di cui si conosce davvero troppo poco.
Secondo le stime attuali, ciascun contagiato può infettare almeno due persone, che a loro volta infettano altrettante persone, in pratica uno scenario che potrebbe rivelarsi valido per l’Italia con un σ=2,6 (in base a uno studio dell’ospedale Sacco di Milano), o σ=2,2 (in base ad altri studi). 
Senza contare anche il fatto che non sappiamo quanti sono gli asintomatici, gli infetti con sintomi lievi, gli immuni o il numero effettivo di decessi e quindi qualunque modello matematico di tipo SIR non può dare previsioni attendibili.

Immagine dall'articolo "La matematica delle epidemie: istruzioni per l’uso",  

di Andrea Pugliese

Per conoscere in dettaglio le procedure matematiche per ottenere questi modelli o la determinazione del valore Rzero, che può essere più o meno complessa, lascio qui il link a un interessante approfondimento tematico, proprio in riferimento alla situazione attuale dell'epidemia di Covid-19,  "La matematica delle epidemie: istruzioni per l’uso",  di Andrea Pugliese, professore di analisi matematica presso l’Università di Trento, che è il maggior studioso italiano di modelli matematici per le epidemie. 


Note

¹ Da un'interessante articolo del grande Giorgio Israel, storico della scienza, matematico ed epistemologo italiano dal titolo "Oltre il mondo inanimato: la storia travagliata della matematizzazione dei fenomeni biologici e sociali"
² "Il 60% dei britannici dovrà contrarre il Coronavirus per sviluppare l'immunità di gregge" queste le parole shock pronunciate inizialmente dal Premier Boris Johnson, poi ritrattate. Articolo di La Repubblica