100 minuti a cui hanno contribuito, con diverse centinaia di riviste e libri, i membri della MAA (Mathematical Association of America), dell' AMS (American Mathematical Society), del College Mathematics Journal e del Mathematics Magazine, dando così la possibilità di ricreare l'atmosfera di un vero set di matematici.
Tra questi contributi, che risaltano nella trama e nell'importante Teoria dei Numeri che Catherine (la protagonista della storia) cerca di dimostrare essere sua, troviamo citato il più grande (almeno per il 2005, data di uscita del film) numero primo di Sophie Germain.
Trattasi del numero
7068555 · 2¹²¹³º¹ - 1
composto di 36.523 cifre, scoperto nel gennaio di quell'anno, ma ampiamente superato poi dal numero di Sophie Germain
2618163402417 · 2¹² ºººº - 1
composto da 388.342 cifre decimali, scoperto nel febbraio 2016 da James Scott Brown attraverso il progetto di calcolo distribuito PrimeGrid
Ben lontani però, come grandezza e numero di cifre, dagli ultimi numeri primi di Mersenne, scoperti recentemente.
Il mondo infatti, proprio dal 21 dicembre 2018, ha un nuovo numero primo¹, il più grande numero primo composto da quasi 25 milioni di cifre:
2⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1
Fa appunto parte dei numeri primi di Mersenne che hanno una formula semplice: 2ⁿ-1.
In questo caso, "n" è uguale a 82.589.933, che è di per sé un numero primo, ed è composto da 24.862.048 cifre.
La Parigi di Sophie Germain con la Tour Eiffel alla quale contribuì con i suoi studi
e con le sue ricerche sull'elasticità dei metalli e le vibrazioni elastiche⁴
e con le sue ricerche sull'elasticità dei metalli e le vibrazioni elastiche⁴
Ma qui non volevo parlare di numeri primi in generale ma appunto dei numeri primi di Sophie Germain e della vita travagliata e a volte tragicomica della loro ideatrice.
Se infatti i numeri primi di Mersenne sono considerati "i gioielli della teoria dei numeri"², come potremmo definire quelli di Sophie Germain?
Decisamente delle rarità!
Proprio grazie alla ricerca sui numeri primi più grandi, i numeri primi di Germain conoscono oggi una nuova popolarità.
Sono infatti tra le specie più ricercate e in particolare quelli della forma p = k x 2ⁿ - 1
Si definisce infatti numero primo di Sophie Germain un numero primo p tale che 2p+1 è anch'esso un numero primo, dove il numero 2p+1 è invece chiamato primo sicuro³.
Questi "rari gioielli" prendono nome dalla matematica francese Sophie Germain (Parigi 1 aprile 1776 - Parigi 27 giugno 1831), che all'inizio del XIX secolo li usò per dimostrare un caso particolare dell'Ultimo Teorema di Fermat, secondo il quale, lo ricordo, l'equazione
xⁿ + yⁿ = zⁿ
non ha soluzioni per n maggiore di 2 e con x, y e z numeri interi.
Ma come se ne servì per dimostrare un caso particolare del Teorema di Fermat?
Dopo i progressi di Euler, per circa cinquanta anni non ci furono miglioramenti, nonostante l'Ultimo Teorema fosse diventato il problema più famoso della teoria dei numeri, e all'inizio del XIX secolo i matematici erano semplicemente riusciti a dimostrare che non ci sono soluzioni alle seguenti equazioni:
x ³ + y ³ = z ³
x ⁴ + y ⁴ = z ⁴
ma questa situazione mutò radicalmente proprio grazie a Sophie Germain.
La Germain lavorò per anni alla teoria dei numeri interessandosi appunto all'Ultimo Teorema di Fermat e ottenedo così un risultato che riteneva molto importante.
Volendo delle conferme sulla validità della sua scoperta, decise di contattare la massima autorità d'allora, cioè Carl Friedrich Gauss, usando però lo pseudonimo di Monsieur Le Blanc.
A questo punto è meglio fare un passo indietro e chiarire il perché dello pseudonimo.
Nel 1789, l'anno che segna l'inizio della Rivoluzione francese, l'anno dell'assalto alla Bastiglia e della sua distruzione, una ragazzina di tredici anni, Sophie Germain, figlia di un ricco mercante parigino eletto deputato all'Assemblea Costituente, scopriva il suo grande amore per la matematica.
Sophie si dedicò completamente ad essa, passando le notti sui libri di Newton e di Euler nonostante l'opposizione del padre contrariato per questi interessi della figlia, considerati poco femminili, e che le confiscava abiti e candele per scoraggiarla.
Un'acquaforte del Settecento de l''Ecole Polytecnique dove, ai suoi corsi,
non potevano accedere le donne
Questo però non fermò Sophie che, quando nel 1794 venne aperta a Parigi l'Ecole Polytechnique, che sarebbe stato il luogo ideale per perfezionare la sua preparazione di autodidatta, decise di iscriversi con uno stratagemma.
Dato che i corsi erano allora riservati ai soli uomini riuscì ad ottenerne le dispense utilizzando il nome di uno studente che aveva abbandonato gli studi, Antoine-August Le Blanc.
Uno pseudonimo grazie al quale poteva anche chiedere spiegazioni e far correggere le proprie soluzioni ai problemi proposti agli studenti, senza doversi esporre e rivelare così la sua femminilità.
Un gioco che continuò finché il celebre Lagrange, che teneva il corso di analisi, stupito per le soluzioni brillanti e ingegnose proposte da Le Blanc non chiese di incontrarlo, obbligando in tal modo Sophie a rivelare la sua vera identità.
Lagrange, stupefatto e ammirato nel trovarsi di fronte a una giovane e brillante donna, ne divenne amico e consigliere, aiutandola a proseguire gli studi.
Con Gauss si ripetè un'analoga situazione!
Gauss in effetti non si era mai interessato al teorema di Fermat ritenendo l'enunciato privo di interesse, ma quando ricevette la lettera di Le Blanc rimase così impressionato dal suo risultato da dedicarsi comunque al problema e da confermarne la validità del suo metodo (carteggio Gauss-Germain).
La Germain però non ricevette risposta e, dopo l'invasione della Prussia nel 1806 da parte di Napoleone, preoccupata per la sorte di Gauss, scrisse ad un amico di famiglia, il generale Joseph-Marie Pernety, chiedendo di riservare al grande matematico un'attenzione particolare.
Fu così che, quando il generale incontrò Gauss, gli spiegò che il trattamento di riguardo nei suoi confronti era dovuto all'intervento di una giovane matematica parigina Sophie Germain, che firmava i suoi lavori con lo pseudonimo di Monsieur Le Blanc.
Gauss scoprì così la vera identità del suo interlocutore e scrisse queste parole che rappresentano il più prezioso omaggio all'intelligenza di Sophie:
"Quando una persona di sesso femminile che, secondo il nostro giudizio e i nostri pregiudizi maschili, deve urtare in difficoltà infinitamente superiori a quelle che incontrano gli uomini per giungere a familiarizzarsi con le spinose ricerche della matematica, quando questa persona riesce, nonostante tutto, a sormontare simili ostacoli e a penetrare fino alle regioni più oscure della scienza, ella deve senza dubbio possedere un nobile coraggio, un talento assolutamente straordinario e un genio superiore."
In una delle lettere indirizzate a Gauss, Germain riporta quello che oggi è noto come il "Teorema di Germain", il suo più importante contributo alla teoria dei numeri, un notevole passo avanti verso la soluzione del teorema di Fermat.
Sophie Germain introduce un nuovo metodo di indagine al problema che si basava sull'utilizzo di una tipologia particolare di numeri primi che in seguito verranno appunto chiamati "numeri primi di Sophie Germain".
Per questi numeri primi la Germain riuscì a dimostrare che "probabilmente" non esistevano soluzioni del teorema di Fermat; intendendo per "probabilmente" che queste eventuali soluzioni avrebbero dovuto avere delle proprietà talmente particolari da rendere difficile l'esistenza di questi numeri.
Sophie Germain dimostrò quello che venne poi definito il "primo caso" dell' Ultimo Teorema di Fermat per ogni primo dispari p quando 2p + 1 è anche un numero primo.
Legendre successivamente dimostrò che se p è un primo tale che 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, o 16p + 1 è anche un primo, allora il "primo caso" dell' Ultimo Teorema di Fermat vale per p <100, ricordando che i numeri primi di Sophie Germain minori di 100 sono:
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89
Per questi numeri primi p Germain osservò che xⁿ + yⁿ = zⁿ non ha soluzioni con x, y e z interi, diversi da zero e che non siano multipli di p.
Proprio le ingegnose argomentazioni portate da Sophie Germain a sostegno della sua dimostrazione servirono poi ad altri matematici per progredire ulteriormente nella soluzione del Teorema di Fermat.
Andrew Wiles e la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat
Com' è noto, dopo anni anzi secoli di attesa, l'Ultimo Teorema di Fermat è stato dimostrato da Andrew Wiles, che insieme al suo ex allievo Richard Taylor, diede una prima stesura della dimostrazione del teorema (che conteneva un difetto di elaborazione) e che, dopo un anno tormentato, arrivò alla successiva e definitiva presentazione, il 24 ottobre 1994, dei due manoscritti, "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" e "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras", con i quali fu accettata definitivamente la sua dimostrazione.
(pièce musical/matematica molto originale "Fermat's Last Tango")
In seguito Gauss abbandonò la teoria dei numeri per dedicarsi alla matematica applicata e la Germain, senza più appoggi nel campo della matematica, decise di concentrarsi sulla fisica, rimasta incuriosita dagli esperimenti di un fisico tedesco Ernst Chladni, dove diede importanti contributi nello studio delle vibrazioni elastiche.
Sophie Germain rappresenta sicuramente una rivoluzionaria!
Nacque, daltronde, nel 1776, l’anno che segnò l’inizio della Rivoluzione Americana e fu nel 1789, anno in cui scoppiò la Rivoluzione Francese, che scoprì l’amore per la matematica
Tutta la sua vita è stata una vera e propria rivoluzione, perché si dedicò alla matematica e alla fisica, discipline riservati ai soli uomini, sfidando le convenzioni e i pregiudizi sociali dell'epoca, senza poter accedere a una formazione formale per diventare una famosa matematica.
Un esempio di donna che, soffocata dalla rigida discriminazione sessuale, non potè esprimere le sue vere potenzialità e che morì a Parigi, nel 1831, prima che l'Università di Gottingen le potesse conferire, su sollecitazione di Gauss, la laurea honoris causa, laurea che, nonostante i suoi grandi meriti scientifici, non era riuscita ad ottenere.
Un esempio lampante di una delle migliaia di altre donne brillanti e capaci a cui non fu data la possibilità di condividere i loro doni intellettuali con il mondo.
Delle quasi 100 strade di Parigi che prendono il nome da matematici, solo una prende
il nome da una donna, Rue Sophie Germain - foto © Cheryl Slaughter
¹ In matematica, un numero primo è un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si può definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio 2, 3 e 5 sono primi mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero primo pari è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2.
² Così li definiva Chris Caldwell, un matematico dell'Università del Tennessee, Martin, nel 2009 parlando a NPR (National Public Radio) di questi grandi numeri primi.
³ In teoria dei numeri, un numero primo sicuro è un numero primo esprimibile nella forma 2p + 1, dove p è anch'esso numero primo e p è detto numero primo di Sophie Germain.
⁴ L'ingegnere Gustave Eiffel decise di far incidere, sotto la balconata del primo piano della torre, i nomi di 72 cittadini francesi - soprattutto scienziati e ingegneri - in segno di riconoscimento per i loro studi. I nomi, ben visibili dal suolo, si trovano su tutti i quattro lati della torre (18 per ciascun lato); erano stati ricoperti di vernice all'inizio del XX secolo, ma vennero recuperati e restaurati nel 1986. Curiosamente dell'elenco non fa parte nessuna donna: critiche furono in particolare mosse per l'esclusione della matematica Sophie Germain le cui ricerche sulla teoria dell'elasticità furono cruciali per la costruzione della torre stessa.
Fonti
Informazioni da
https://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/germain.html
https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/germain.htm
https://primes.utm.edu/top20/page.php?sort=SophieGermain
