Questo, come comunicato da Dioniso, sarà il tema della 75-esima edizione del Carnevale della Matematica che uscirà, come di consueto il 14 luglio, ospitato sul suo blog "Pitagora e dintorni".
Un tema davvero affascinante, un'unione indissolubile che ha caratterizzato gli studiosi di tutti i tempi.
E a proposito di Pitagora, non si può non ricordare quanto il grande scienziato, vissuto tra il 570 a.C e il 495 a.C, avesse già ampiamente dimostrato sui rapporti matematico-musicali, intimamente legati non solo ai concetti dell’armonia, ma in particolar modo alla fisica del suono e alle forme compositive.
Pitagora, che affermava "Tutto è numero", concependo in modo unitario la musica e la matematica, può essere infatti considerato colui che forse più di tutti abbia stimolato lo studio di questi intimi legami.
Fermat's Last Tango - A Musical Fantasy
Qui non voglio affrontare specificatamente questo legame e preferisco forse uscire un po' da ciò che il tema proposto intendeva, parlando della "matematica in Musical"!
Proprio questo tema mi ha fatto invece tornare alla mente, subito ed istintivamente, una bellissima serata trascorsa ad Oxford, durante un mio breve soggiorno da amici a Londra, nei primi anni di questo terzo millennio.
Proprio questo tema mi ha fatto invece tornare alla mente, subito ed istintivamente, una bellissima serata trascorsa ad Oxford, durante un mio breve soggiorno da amici a Londra, nei primi anni di questo terzo millennio.
Mi sembra fosse il mese di febbraio 2002 e per caso venni a conoscenza della programmazione di un nuovo ed originale Musical dal titolo, per me accattivante, "Fermat's Last Tango".
Un Musical che univa le due mie passioni Matematica e Tango!!!
Non avrei certo potuto perdermi l'occasione....e Oxford non dista certo molto da Londra!
Dopo esser riuscita ad avere l'agognato biglietto per il Musical, optai per il bus, investii 16£ e partii dalla fermata della metropolitana di Victoria Station con l'Oxford Tube, che effettua un collegamento ultra-regolare, ogni 20 minuti, tra Londra e Oxford.
Dopo un comodo viaggio, durato circa un'ora e mezza, mi sono ritrovata a Oxford e quindi nella mitica Oxford University, "Oxbridge", che insieme alla Cambridge University è la più antica e più prestigiosa Università del Regno Unito.
Si perché proprio in questa prestigiosa Università andava in scena uno dei più bizzarri spin-off dedicato all'Ultimo Teorema di Fermat, un Musical ispirato alla storia del professore di Princeton, Andrew Wiles, e alla sua ricerca della dimostrazione.
Fermat's Last Tango - A Musical Fantasy
Il Musical, prodotto dal Clay Mathematical Institute, un'organizzazione dedicata alla formazione in matematica, e scritto da Joshua Rosenblum e Joanne Sidney Lessner (sua moglie), si concentra sul periodo traumatico vissuto da Wiles tra la prima stesura della sua dimostrazione del Teorema di Fermat, del 1993, in cui c'era un difetto, e la ricerca spasmodica di risolvere tale carenza fino alla pubblicazione definitiva di un anno più tardi.
Daniel Keane, il personaggio che veste i panni di Wiles, deve affrontare la possibilità di un fallimento, crivellato da mille dubbi, schernito dal fantasma di Fermat e ossessionato dal coro spettrale di Pitagora, Euclide, Sir Isaac Newton e Carl Friedrich Gauss.
Anche se sembrerebbe impossibile mettere in scena una commedia musicale basata su un gruppo di matematici morti e su un vivo, nonché molto famoso, professore di matematica di Princeton, il Musical risulta invece allegro, intelligente e accattivante.
Fermat's Last Tango - A Musical Fantasy
Come si alza il sipario appare un'espressione matematica illuminata che domina la scena. "Do you see that theorem?"("Vedete questo teorema?") - chiede il narratore - "In 1637, Pierre de Fermat ... wrote it down in the margin of a book. Then he added this tantalizing note"("Nel 1637, Pierre de Fermat scrisse ... giù a margine di un libro. Poi aggiunse questa nota allettante.")
Un faretto rivela improvvisamente un barbuto, deliziosamente vanitoso Pierre de Fermat, agghindato con abiti di corte e scarpe d'oro che prontamente canta: "I have discovered a truly marvelous proof, a truly marvelous proof of this, which this margin is not large enough to contain." ("Ho scoperto una dimostrazione veramente meravigliosa, una vera e meravigliosa dimostrazione di questo, anche se questo margine non è abbastanza grande per contenerla").
Poi una rapida successione di vignette, raffiguranti i trecento anni di immensa frustrazione matematica, si dispiega attraverso il pavimento a scacchiera in una scena piuttosto spoglia. Frustrazione generata dal fatto che questa dimostrazione del teorema di Fermat - noto come "L'ultimo teorema di Fermat" - non sia mai stata trovata in tutti questi anni, in cui la ricerca della soluzione aveva prodotto anche geniali tentativi, false piste o illusori trionfi.
Il numero musicale che chiude questo prologo introduce l'eroe della commedia musicale, Daniel Keane (che veste appunto i panni di Andrew Wiles) - il matematico, professore di Princeton, in pantaloni di velluto, giacca di tweed e occhiali cerchiati di corno, leggermente disorientato - che pretende di aver dimostrato l'ultimo teorema di Fermat.
Un Fermat che appare sulla scena beffardo, sprezzante, arrogante, e un po "vanesio", ma nel complesso molto affascinante e diabolico.
Sicuramente mettere Fermat nel ruolo di carnefice, che non vuole il nome di qualcuno diverso dal proprio associato al suo teorema, è stata la chiave di successo del Musical e l'aver "personificato", mettendo in luce le caratteristiche fin troppo umane dei personaggi coinvolti, questa lotta per la ricerca della dimostrazione matematica, ha catturato l'attenzione del pubblico sugli ostacoli che a volte sembrano messi apposta per complicare la visione della matematica e nello stesso tempo ha creato la sensazione di meraviglia per la bellezza e la semplicità di tutto, quando si vede finalmente la soluzione.
"This drama is so powerful because it describes the clash between frail humanity on the one hand and intellectual destiny on the other..."("Questo dramma è così potente perché descrive lo scontro tra l'umanità fragile da un lato, e il destino intellettuale, dall'altro"), come diceva in una recensione il matematico Arthur Jaffe dell'Università di Harvard o come osservava Osserman "As a musical fantasy on the subject of wrestling with the mysterious process of discovering a proof, `Fermat's Last Tango' is in a class by itself..."("Come fantasia musicale sul tema della lotta con il misterioso processo di scoperta di una dimostrazione, 'Fermat's Last Tango' è di una classe a sé").
Fermat's Last Tango - A Musical Fantasy
Un "vocabolario matematico" anche sorprendentemente sofisticato in cui magari si sente, non solo una volta ma più volte, la frase "Taniyama-Shimura conjecture" ("Taniyama-Shimura congettura").
Proprio come dice Jaffe "Of all popular portrayals of mathematics in the media, I believe that only this play contains real mathematical content," ...."The authors had real insight. The characters think about mathematics just the way a real mathematician would." ("Di tutte le rappresentazioni popolari della matematica nei media, credo che solo in questa commedia musicale vi sia un vero contenuto matematico"...."Gli autori dimostrano una conoscenza reale. I personaggi ragionano di matematica proprio come ragionerebbe un vero matematico").
Questo ritornello ricorda infatti che verso la fine degli anni 50 i matematici giapponesi Yutaka Taniyama e Goro Shimura formularono una congettura nota come "congettura di Taniyama-Shimura".
Questa congettura affermava che ogni L-serie di un'equazione ellittica poteva essere associata ad una specifica M-serie di una forma modulare.
Dal punto di vista matematico è molto importante, infatti se si fosse dimostrata vera avrebbe voluto dire che problemi delle curve ellittiche vecchi di secoli si sarebbero potuti trasportare nelle loro forme modulari e affrontati con nuovi strumenti matematici, ovviamente sarebbe valso anche l'opposto.
E partì proprio da questa congettura la successiva dimostrazione di Wiles, perché nel 1984 avvenne un fatto che rivoluzionò la sua vita.
Durante un convegno in Germania, Gerhard Frey dimostrò che chi avesse risolto la congettura di Taniyama-Shimura avrebbe automaticamente dimostrato anche l'ultimo teorema di Fermat.
Andrew Wiles e la sua dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat
Sicuramente fu lo stimolo che portò Wiles, insieme al suo ex allievo Richard Taylor, alla prima stesura della dimostrazione del teorema (che conteneva un difetto di elaborazione) e, dopo un anno tormentato, alla successiva e definitiva presentazione, il 24 ottobre 1994, dei due manoscritti, "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" e "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras" , il secondo dei quali Wiles l'aveva scritto con Taylor e aveva finalmente dimostrato alcune condizioni necessarie per giustificare il passo corretto nel documento principale.
Altra canzone che colpisce simpaticamente è una ballata d'amore che Keane dedica ai numeri "The Beauty of Numbers" e che, come suppone proprio la sua ideatrice Joanne Sidney Lessner, probabilmente è l'unica canzone d'amore per la matematica che sia mai stata scritta.
Il culmine, il punto in cui il rapporto tra Fermat e Keane esplode, è mirabilmente sottolineato dalla canzone "I'll Always Be There" ("Sarò sempre lì") un trio di tango che coinvolge Fermat, Keane, e la moglie di Keane. Un tango che vuol significare una lotta emotiva di un intellettuale per risolvere il teorema, ma anche la lotta per il suo cuore e per la sua anima.
Fermat's Last Tango - A Musical Fantasy
In definitiva è la moglie che si rivela essere il vero catalizzatore.
Keane si rende conto che sua moglie, con la sua famiglia, rappresenta tutto ciò che è veramente importante per lui. Tutto ciò che gli avrebbe permesso anche il fallimento, ma che gli ha dato la possibilità di vedere in modo chiaro e di riuscire nell'impresa.
E che dire infine della trovata simpatica, brillante e originale dell'"Aftermath"?
Aftermath è il luogo da dove torna il beffardo Fermat e dove, ovviamente, vanno i matemateci illustri dopo la morte.
Si perché anche Pitagora, Euclide, Sir Isaac Newton, Carl Friedrich Gauss si trovano tutti in questo luogo e devono decidere se anche Kaen sia degno, per i suoi meriti matematici, di passarci l'eternità.
Lo decidono unendo tra loro melodie orecchiabili che vanno dall'operetta, al blues fino al tango del titolo (che si può ascoltare nel video a 58'58" dall'inizio).
Titolo che originariamente era "Proof" ("La Prova"), poi cambiato in "Fermat's Last Tango", proprio per includere il riferimento musicale al "tango", che in quegli anni ritornava in auge e che nel 2009 sarebbe poi stato dichiarato "Un Bene Culturale Immateriale" e inserito nel Patrimonio Universale dell'Unesco.
Aftermath è il luogo da dove torna il beffardo Fermat e dove, ovviamente, vanno i matemateci illustri dopo la morte.
Si perché anche Pitagora, Euclide, Sir Isaac Newton, Carl Friedrich Gauss si trovano tutti in questo luogo e devono decidere se anche Kaen sia degno, per i suoi meriti matematici, di passarci l'eternità.
Lo decidono unendo tra loro melodie orecchiabili che vanno dall'operetta, al blues fino al tango del titolo (che si può ascoltare nel video a 58'58" dall'inizio).
Titolo che originariamente era "Proof" ("La Prova"), poi cambiato in "Fermat's Last Tango", proprio per includere il riferimento musicale al "tango", che in quegli anni ritornava in auge e che nel 2009 sarebbe poi stato dichiarato "Un Bene Culturale Immateriale" e inserito nel Patrimonio Universale dell'Unesco.
Una pièce musical/matematica molto originale, divertente e nello stesso tempo introspettiva, basata su un enigma che, affondando le radici nella Grecia di Pitagora ed Euclide, scorre i trecento anni di ricerca della soluzione e si incentra sul tormentato ultimo anno del professore di Princeton nella sua ricerca della dimostrazione. Una commedia musicale che sicuramente consiglierei a tutti gli amanti del genere (anche se non proprio amanti della matematica) e che ho cercato di raccontare in questo breve post.
Per poterla gustare dal vivo si dovrebbe andare nel tempio del Musical, Broadway, dove ancora va in scena (qui una rappresentazione del 2012 in vista della 100th Birthday Broadway Celebration)
Oltre al video integrale qui proposto, si può anche acquistare il "DVD Fermat's Last Tango" che credo sia ancora distribuito dal Clay Mathematics Institute.
Non so se sia mai stata messa in scena in altre nazioni europee, oltre all'Inghilterra, o che sia mai stata tradotta. ma spero un giorno di vederla rappresentata anche in Italia.
Fonti:
From the book
L'Ultimo Teorema di Fermat - Simon Singh
From the exert:
Congettura di Taniyama-Shimura
http://www.math.u-psud.fr/~breuil/PUBLICATIONS/Universalis.pdf
Dimostrazione di Wiles
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf
From website:
http://www.theatermania.com/new-york-city-theater/news/12-2000/do-the-math_1145.html
Critica di Osserman e Arthur Jaffe della Harvard University
http://www.thefreelibrary.com/Drama+in+numbers%3A+putting+a+passion+for+mathematics+on+stage.-a096417274
From Video:
http://www.imdb.com/title/tt0278443/
https://www.youtube.com/watch?v=RNqQPcMYcG8
From the book
L'Ultimo Teorema di Fermat - Simon Singh
From the exert:
Congettura di Taniyama-Shimura
http://www.math.u-psud.fr/~breuil/PUBLICATIONS/Universalis.pdf
Dimostrazione di Wiles
http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf
From website:
http://www.theatermania.com/new-york-city-theater/news/12-2000/do-the-math_1145.html
Critica di Osserman e Arthur Jaffe della Harvard University
http://www.thefreelibrary.com/Drama+in+numbers%3A+putting+a+passion+for+mathematics+on+stage.-a096417274
From Video:
http://www.imdb.com/title/tt0278443/
https://www.youtube.com/watch?v=RNqQPcMYcG8
E io che avevo sempre pensato che Pitagora dimorasse nei Campi Elisi :-)
RispondiEliminaMi sa che i matematici non siano molto amati dagli Dei!!!!! Quindi niente campi fioriti per loro :-) :-) :-)
RispondiEliminaGrazie!
RispondiEliminaLe mie conclusioni sul teorema di Fermat
RispondiEliminaIl teorema può essere espresso in maniera equivalente nel seguente modo:
se x^n + y^n = z^n per n intero positivo >2 allora x, y,z non possono essere tutti e tre numeri interi positivi.
Dimostrazione
L’equazione è anche quella di un triangolo rettangolo di lati x^(n/2), y^(n/2), z^(n/2). Se x y z fossero tutti e tre interi positivi ,soddisfacendo l’equazione risolverebbero anche il triangolo. Ma allora per l’ ipotesi si avrebbe x^n +y^n= z^n e per Pitagora x^2+y^2=z^2 Ma ciò è assurdo in quanto moltiplicando ambo i membri di quest’ultima relazione per z^(n-2) si ottiene x^2*z^(n-2)>x^n+ Y^2*z^(n-2)> y^ n = z^n. dove il primo membro è chiaramente > di x^n+ y^n contrariamente all’ipotesi
D’altra parte poiché la soluzione di un triangolo è unica, occorre che la triade (x^ (n/2), y^(n/2), z^(n/2) ) soddisfi l’equazione iniziale. Ma allora SI AVREBBE ANDANDO A SOSTITUIRE A (x, y, z) la nuova triade x^((n^2)/2) + y^((n^2)/2)= z^((n^2)/2) dove (((n^2)/2) = n solo se n=2.
Oppure poiché vale anche l’ipotesi, moltiplicando ambo i membri di x^n+y^n=z^n per z^((n^2-2n)/2)) si trova:
x^n*z^((n^2-2n)/2))> x^((n^2)/2)+ y^n*z^((n^2-2n)/2))> y^((n^2)/2)= z^((n^2)/2) che contraddice x^((n^2)/2)+y^((n^2)/2)= z^((n^2)/2)
Le mie conclusioni sul teorema di Fermat
RispondiEliminaIl teorema può essere espresso in maniera equivalente nel seguente modo:
se x^n + y^n = z^n per n intero positivo >2 allora x, y,z non possono essere tutti e tre numeri interi positivi.
Dimostrazione
L’equazione è anche quella di un triangolo rettangolo di lati x^(n/2), y^(n/2), z^(n/2). Se x y z fossero tutti e tre interi positivi ,soddisfacendo l’equazione risolverebbero anche il triangolo. Ma allora per l’ ipotesi si avrebbe x^n +y^n= z^n e per Pitagora x^2+y^2=z^2 Ma ciò è assurdo in quanto moltiplicando ambo i membri di quest’ultima relazione per z^(n-2) si ottiene x^2*z^(n-2)>x^n+ Y^2*z^(n-2)> y^ n = z^n. dove il primo membro è chiaramente > di x^n+ y^n contrariamente all’ipotesi
D’altra parte poiché la soluzione di un triangolo è unica, occorre che la triade (x^ (n/2), y^(n/2), z^(n/2) ) soddisfi l’equazione iniziale. Ma allora SI AVREBBE ANDANDO A SOSTITUIRE A (x, y, z) la nuova triade x^((n^2)/2) + y^((n^2)/2)= z^((n^2)/2) dove (((n^2)/2) = n solo se n=2.
Oppure poiché vale anche l’ipotesi, moltiplicando ambo i membri di x^n+y^n=z^n per z^((n^2-2n)/2)) si trova:
x^n*z^((n^2-2n)/2))> x^((n^2)/2)+ y^n*z^((n^2-2n)/2))> y^((n^2)/2)= z^((n^2)/2) che contraddice x^((n^2)/2)+y^((n^2)/2)= z^((n^2)/2)
Dimostrazione ultima
RispondiEliminaSia per ipotesi x^n+y^n= z^n. Dividiamo ambo i membri per z^(n-2) . Otteniamo x^n/(z^(n-2)) < x^2+ y^n/ (z^(n-2))< y^2= z^2 e poniamo x^n/(z^(n-2)) = a e y^n/(z^(n-2)) =b . Quindi a+b= z^2 relazione a cui posso pensare come ad un triangolo rettangolo di cateti a^(1/2), b^(1/2) e ipotenusa z. Poniamo b>a . Allora a maggior ragione avremo 2*b^(1/2) > z. Ma anche nel caso più sfavorevole dove z= b+1 si trova 4b> b^2+2b+1 e quindi a maggior ragione 2b>b^2 cioè 2>b.
Ma ciò è assurdo perché allora b=1 e a =0
no non è esatta. Meglio la seguente dimostrazione:
EliminaData l’ipotesi con n primo>2 e x,y,z,interi positivi e coprimi (ogni esponente intero positivo infatti, che non sia 4 o multiplo di 4 può ottenersi dal prodotto di un conveniente numero intero positivo per un determinato primo >2), sia (x,y,z) la terna primitiva minore tale per cui si abbia x^n+y^n=z^n. Tale equazione è, tra le varie cose che può descrivere, anche l’equazione di un triangolo rettangolo di lati x^(n/2), y^(n/2), z^(n/2); numeri che risolvendo il triangolo, debbono necessariamente soddisfare l’equaz. E poiché un triangolo ha un’unica soluzione e la triade per ipotesi deve essere costituita da numeri interi positivi, occorrerà porre:
x=b^2, y=c^2 z=q^2 dove b,c,q sono evidentemente ancora coprimi,e dove poniamo b e quindi x dispari ( non è riduttivo perché essendo coprimi, due di essi dovranno essere dispari). Allora l’equazione diventa b^(2n)+c^(2n)=q^(2n) cioè:
(q^n-c^n)*(q^n+c^n)=b^(2n)=x^n, dove i due fattori a primo membro sono potenze di grado n perché primi tra loro,essendo q e c coprimi uno pari e l’altro dispari. Cioè q^n+c^n=l^n< x^n<z^n. con l fattore di x e con (q,c,l) terna inferiore a (x,y,z) contrariamente all’ipotesi.
Dunque per i valori ipotizzati (interi positivi) l’equazione non ammette soluzioni, tranne la banale x=y=z=0.
C'è unimprecisione nella conclusione. Rettifico col seguente commento.:
RispondiEliminaPoiché a<b<2,e a+b=z^2, z^2<3 e poiché z, y,x sono interi positivi x=y=0 e quindi z=0
Sia x^n+y^n=z^n l’equazione ipotizzata alle solite condizioni.
RispondiEliminaSe ( u,v,t ) interi positivi soddisfano l’ equazione ipotizzata tale che u^n+v^n=t^n anche u^(n/2) v^(n/2) t^(n/2) la soddisfano perché sono i lati del triangolo rettangolo che l’equazione descrive. Ciò tuttavia conduce a una contraddizione. Infatti poiché quest’ultima triade risolvendo il triangolo deve necessariamente risolvere l’equazione, sostituendo ottengo: u^((n^2)/2)+v^((n^2)/2)=t^((n^2/2) ma poiché per l’ipotesi u^n+v^n=t^n , moltiplicando ambo i membri di quest’ultima per t^((n^2-2n)/2) trovo:
u^n*t^((n^2-2n)/2) > u^((n^2)/2)+v^n*t^((n^2-2n)/2)>v^((n^2)/2)= t^((n^2)/2) relazione che contraddice la precedente.
Sia x^n+y^n=z^n l’equazione ipotizzata alle solite condizioni.
RispondiEliminaSe ( u,v,t ) interi positivi soddisfano l’ equazione ipotizzata tale che u^n+v^n=t^n anche u^(n/2) v^(n/2) t^(n/2) la soddisfano perché sono i lati del triangolo rettangolo che l’equazione descrive. Ciò tuttavia conduce a una contraddizione. Infatti poiché quest’ultima triade risolvendo il triangolo deve necessariamente risolvere l’equazione, sostituendo ottengo: u^((n^2)/2)+v^((n^2)/2)=t^((n^2/2) ma poiché per l’ipotesi u^n+v^n=t^n , moltiplicando ambo i membri di quest’ultima per t^((n^2-2n)/2) trovo:
u^n*t^((n^2-2n)/2) > u^((n^2)/2)+v^n*t^((n^2-2n)/2)>v^((n^2)/2)= t^((n^2)/2) relazione che contraddice la precedente.
https://www.facebook.com/groups/maddmaths/permalink/1068449439865346/ Gli strumenti matematici per dimostrare che non esistono soluzioni intere positive all'equazione: a^n + b^n= c^n con n uguale per a, b e c, Fermat li conosceva infatti ai margini di una copia dell'Arithmetica di Diofanto di Alessandria scrisse in proposito: "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina". La differenza che si riscontra per ottenere il risultato formulato è la somma dei coefficienti binomiali, che sono citati nella copia dell'Arithmetica di Diofanto che Fermat studiava e che, potendo i coefficienti essere infiniti, Fermat li riporta come memoria nella nota risolutiva con: "......non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina".
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