Matematica, dall'astratto all'applicato il passo è breve?

Il tema del prossimo Carnevale della Matematica di novembre, che MaddMaths ospita, è "Comunicare o non comunicare, questo è il problema", ovvero credo si ponga il problema di capire se davvero sia possibile comunicare e divulgare la matematica con linguaggio comprensibile o in tempi che davvero coincidano con la sua applicazione.
Proprio in questo mese cadono anche i 150 anni dall'uscita del primo numero del Magazine Nature, che sicuramente ha molto contribuito a comunicare e divulgare tutta la Scienza e anche molti studi e curiosità matematiche.

Video 150 Years of Nature

Tra queste curiosità mi piace qui ricordare un tema apparso su Nature nel lontano luglio 2011 sull'impatto non pianificato della matematica, "The unplanned impact of mathematics".
In questo intrigante articolo Peter Rowlett introduceva sette racconti, poco conosciuti, che illustravano come il lavoro teorico del matematico, con le sue scoperte, possa poi portare ad applicazioni pratiche, ma anche come non possa essere forzato e, a volte, richiedere secoli.
Introduce l'articolo un divertente aneddoto:
"Da bambino, ho letto una barzelletta su qualcuno che ha inventato la spina elettrica e ha dovuto aspettare l'invenzione di una presa per metterla dentro." 

Ma chi inventerebbe qualcosa di così utile senza sapere a quale scopo avrebbe potuto servire? 
Nessuno tranne i matematici, perché la matematica mostra spesso questa sorprendente qualità. Cercando di risolvere i problemi del mondo reale, i ricercatori spesso scoprono che gli strumenti di cui hanno bisogno sono stati sviluppati anni, decenni o persino secoli prima da matematici senza alcuna prospettiva o senza curarsi dell'applicabilità. 
E la cassetta degli attrezzi è vasta, perché, una volta che un risultato matematico è dimostrato con soddisfazione della disciplina, non ha bisogno di essere rivalutato alla luce di nuove prove o confutato, a meno che non contenga un errore...se era vero per Archimede, allora è vero oggi!
Il matematico sviluppa argomenti che nessun altro può vedere e spinge le idee lontano nell'astratto, ben oltre dove gli altri si fermerebbero.
Questa estensione e astrazione, senza una direzione o uno scopo apparente, è fondamentale per la disciplina, né l'applicabilità è la ragione per cui lavorano i matematici.
Quindi spesso la comunicazione e la divulgazione di queste idee e scoperte appare anni o addirittura secoli dopo.
Non c'è modo di garantire in anticipo quale matematica pura troverà l'applicazione in seguito. Possiamo solo lasciare che il processo di curiosità e astrazione abbia luogo, lasciare che i matematici prendano in considerazione i risultati solo dal punto di vista logico, lasciando da parte la pertinenza applicativa e aspettando di vedere quali argomenti risulteranno in futuro estremamente utili. 
Si potrebbe dire che, così procedendo, quando arriveranno le sfide del futuro, avremo a portata di mano il pezzo giusto di matematica apparentemente inutile.

Per illustrare questa partiolarità della scoperta e della conseguente applicazione e comunicazione matematica a posteriori, Peter Rowlett chiese ai membri della British Society for the History of Mathematics alcune storie, non raccontate, dell'impatto non pianificato della matematica, tralasciando ovvietà come l'uso della teoria dei numeri nella crittografia moderna, o che la matematica esistesse già prima del computer o che i numeri immaginari sono diventati essenziali, per esempio, per i calcoli complessi che pilotano gli aeroplani... 
Peter Rowlett, nell'articolo, ne riportava sette:

- Dai quaternioni a Lara Croft di Mark McCartney e Tony Mann (Università di Ulster, Newtownabbey, Regno Unito; Università di Greenwich, Londra)
- Dalla geometria al Big Bang di Graham Hoare (Redattore di Mathematics Today)
- Dalle arance ai modem di Edmund Harriss (Università dell'Arkansas, Fayetteville)
- Dal paradosso alle pandemie di Juan Parrondo e Noel-Ann Bradshaw (Università di Madrid; Università di Greenwich, Londra)
- Dai giocatori d'azzardo agli studi attuariali di Peter Rowlett (Università di Birmingham, Regno Unito)
- Dai ponti al DNA di Julia Collins (Università di Edimburgo, Regno Unito)
- Dalle corde al nucleare di Chris Linton (Università di Loughborough, Regno Unito)

Io mi soffermerò solo su due, da me rielaborate con dati più recenti, legate ai grandi Keplero ed Eulero, che ho trovato interessanti e intriganti, per gli altri lascio alla curiosità del lettore l'articolo originale.

Dalle arance ai modem 

Nel 1998 la matematica salì alla ribalta con la notizie che Thomas Hales dell'Università di Pittsburgh, in Pennsylvania, aveva dimostrato che la congettura di Keplero era "molto probabilmente vera", dimostrando che il modo in cui i fruttivendoli impilano le arance è il modo più efficiente per imballare le sfere. 
Un problema che era stato aperto dal 1611 era finalmente risolto! 
Il problema è molto semplice da formulare: se si hanno un numero di sfere uguali, come si devono posizionare per occupare il minor spazio possibile? Ad esempio, se devo imballare le arance, come le organizzo in modo da ottenerne il massimo in una cassetta?
La sua dimostrazione comportò un gigantesco calcolo computazionale e alcuni anni dopo, Hales stesso avviò un programma per completare una vera prova formale della congettura, finché il 10 agosto 2014 il progetto, chiamato Project FlysPecK (dove le lettere F, P e K sono le iniziali delle parole che compongono la frase Formal Proof of Kepler), ha annunciato il completamento con successo del programma con un calcolo al computer che richiese 6 giorni e mezzo. 
Anche se al tempo in televisione un fruttivendolo dichiarò "Penso che sia una perdita di tempo e denaro dei contribuenti", da allora, continuando metaforicamente e mentalmente a discutere con quel fruttivendolo, oggi la matematica del confezionamento delle sfere consente la comunicazione moderna, essendo al centro dello studio di codifica di canali e codici di correzione degli errori.
Nel 1611, Johannes Kepler suggerì che l'accatastamento del fruttivendolo fosse il più efficiente, ma non fu in grado di fornire una prova. 
Si è rivelato essere un problema molto difficile e anche la più semplice domanda del modo migliore per accostare i cerchi è stata dimostrata solo nel 1940 da László Fejes Tóth. 
Già nel diciassettesimo secolo, Isaac Newton e David Gregory discutevano del "kissing problem" "quante sfere possono 'baciare' una determinata sfera senza sovrapposizioni?"
In due dimensioni è facile dimostrare che la risposta è 6 e Newton pensava che 12 fosse il massimo in 3 dimensioni. 
Lo è, ma solo nel 1953 Kurt Schütte e Bartel van der Waerden ne hanno dato una dimostrazione.
Il numero di accostamenti in 4 dimensioni è stato dimostrato essere 24 da Oleg Musin nel 2003. 
In 5 dimensioni possiamo solo dire che si trova tra 40 e 44 e tuttavia sappiamo che la risposta in 8 dimensioni è 240, dimostrata nel 1979 da Andrew Odlyzko dell'Università del Minnesota, Minneapolis e Neil Sloane. 
Lo stesso problema ha avuto un risultato ancora più strano e la risposta in 24 dimensioni è stata 196.560. 
Queste dimostrazioni, sorprendentemente, sono più semplici del risultato per tre dimensioni e si riferiscono a due accostamenti di sfere incredibilmente densi, chiamati reticolo E8 in 8 dimensioni e reticolo Leech in 24 dimensioni.

Il tutto sembrerebbe abbastanza magico, ma è utile? 
Negli anni '60 un ingegnere di nome Gordon Lang lo credeva. 
Lang stava progettando i sistemi per modem ed era impegnato a raccogliere tutta la matematica che riusciva a trovare perché aveva bisogno di inviare un segnale su un canale rumoroso, come una linea telefonica. 
Il modo naturale è scegliere una raccolta di toni per i segnali, ma il suono ricevuto potrebbe non essere lo stesso di quello inviato. 
Per risolvere questo, ha ricavato i suoni da un elenco di numeri ed è stato quindi semplice scoprire quale dei segnali che avrebbero potuto essere inviati fosse il più vicino al segnale ricevuto. 
I segnali possono quindi essere considerati come sfere, con spazio di manovra per il rumore,  e, per massimizzare le informazioni che possono essere inviate, queste "sfere" devono essere accostate il più strettamente possibile.
Negli anni '70, Lang sviluppò un modem con segnali a 8 dimensioni, usando l'imballaggio E8. 
Ciò ha contribuito ad aprire Internet, poiché i dati potevano essere inviati al telefono, invece di affidarsi a cavi appositamente progettati.
Tutto questo senza dimenticare i contributi dati in precedenza dal Secret Communication System (brevettato l'11 agosto 1942), il sistema ideato da Hedy Kiesler (Hedy Lamarr) e George Antheil per il quale ottennero il Pioneer Award dalla EFF, premio atteso da tempo per gli sforzi scientifici che arrivò a Hedy solo tre anni prima della sua morte nel 2000, mentre all'epoca Antheil era già scomparso da oltre 40 anni.
La loro invenzione è infatti alla basa di molti sistemi per le trasmissioni radio ancora oggi, non solo nella crittografia o in scopi militari, ma anche in ambito informatico e nella telefonia mobile, e sempre per questa invenzione, Lamarr e Antheil sono stati anche inseriti nella National Inventors Hall of Fame degli Stati Uniti nel 2014.

Dai ponti al DNA

Quando Leonhard Euler dimostrò alla gente di Königsberg nel 1735 che non potevano attraversare tutti i loro sette ponti in un solo viaggio, inventò un nuovo tipo di matematica, in cui le distanze non contavano. 
Eulero schematizzò il problema con un grafo, indicando con quattro vertici le zone della città (le due isole e le due rive del fiume) e con sette spigoli (i ponti che le congiungevano) e dimostrò che purtroppo non esiste alcun percorso che permetta di realizzare questa passeggiata che i cittadini di Königsberg desideravano tanto.
La sua soluzione si basava solo sulla conoscenza della disposizione relativa dei ponti, non su quanto fossero lunghi o quanto fossero grandi, ma solo nel 1847, Johann Benedict Listing finalmente coniò il termine "topologia" per descrivere questo nuovo campo e per i successivi 150 anni circa i matematici lavorarono per comprendere le implicazioni dei suoi assiomi.

Immagine da Dropsea

La cittadina prussiana di Königsberg è tagliata dal fiume Pregel al cui centro si trovano due isole raggiungibili attraverso sette ponti. E' dunque possibile trovare un percorso chiuso (punto di inizio e punto di fine coincidono) in grado di attraversare tutti i sette ponti una e una sola volta?

Per la maggior parte del tempo, la topologia è stata perseguita come una sfida intellettuale, senza aspettarsi che fosse utile. 
Dopotutto, nella vita reale, la forma e la misurazione sono importanti e una ciambella non è la stessa di una tazza di caffè, ma chi mai si preoccuperebbe dei buchi 5-dimensionali negli spazi astratti 11-dimensionali? 
Persino parti della topologia dal suono pratico come la teoria dei nodi, che aveva le sue origini nei tentativi di comprendere la struttura degli atomi, furono ritenute inutili per la maggior parte del diciannovesimo e del ventesimo secolo.
Improvvisamente, negli anni '90, iniziarono ad apparire le applicazioni della topologia. All'inizio lentamente, ma, guadagnando sempre più slancio, oggi sembra che ci siano poche aree in cui la topologia non venga utilizzata. 
I biologi imparano la teoria dei nodi per comprendere il DNA, gli informatici usano trecce (fili intrecciati di materiale che corrono nella stessa direzione) per costruire computer quantistici, mentre altri scienziati usano la stessa teoria per far muovere i robot. 
Il calcolo quantistico non funzionerà se non saremo in grado di costruire un sistema robusto resistente al rumore, quindi le trecce (operatori treccia) sono perfette per la memorizzazione delle informazioni perché non cambiano se le muovi.
Gli ingegneri utilizzano strisce Möbius unilaterali per rendere più efficienti i nastri trasportatori e i medici ricorrono alla teoria dell'omologia per eseguire scansioni del cervello.
È proprio perché la topologia è priva di misurazioni della distanza che è così potente. 
Gli stessi teoremi si applicano a qualsiasi DNA annodato, indipendentemente da quanto tempo passi o da quale animale provenga. Non abbiamo bisogno di scanner cerebrali diversi per le persone con cervelli di dimensioni diverse.  
I cosmologi la usano per capire come si formano le galassie e le società di telefonia mobile utilizzano la topologia per identificare i buchi nella copertura della rete e i telefoni stessi utilizzano la topologia per analizzare le foto scattate.
Quando i dati del sistema di posizionamento globale sui telefoni cellulari non sono affidabili, la topologia può comunque garantire che tali telefoni ricevano un segnale. 

Rielabolarazione di Yin Yang 
 Colorful Painting 5 di Dirk Czarnota

Queste due storie, come tante altre che se ne posssono trovare, dimostrano come la Matematica oscilli fondamentalmente tra due aspetti. 
Fin dall'antichità mentre alcuni la studiavano per risolvere problemi tecnici, altri cominciarono a chiamarla "arte" e la affiancarono alla filosofia. 
Quindi, senza alcuna ambiguità, chiamiamo queste due facce della matematica Matematica Applicata e Matematica Pura, che ben definì Bertrand Russell (1910) nei Principia Mathematica. 
Tuttavia, spesso può essere molto difficile tracciare una linea di separazione tra Matematica Pura e Matematica Applicata con la conseguente capacità di comunicarla e divulgarla. 
Come tanti esempi dimostrano, è capitato numerose volte, nel corso della storia, che problemi legati alla Matematica Pura e senza alcuna apparente applicazione, dessero poi a distanza di anni un contributo fondamentale al progresso. 
Bisogna quindi immaginarsi la matematica come un grosso Yin-Yang, ma invece che "luce" contro "ombra" o "fuoco" contro "acqua" mettiamoci "pura" contro "applicata".
I matematici applicati si concentrano sull’uso e la comunicazione nel mondo reale della matematica: ingegneria, economia, fisica, biologia, astronomia, tutti questi campi hanno bisogno di tecniche quantitative per rispondere a domande e risolvere problemi. La matematica pura, d’altra parte, è matematica fine a se stessa.
Ma se "applicata" significa utile non ne segue che "pura" debba voler dire inutile.
Come abbiamo visto è tutt'altro!
La matematica pura non si preoccupa delle sue applicazioni, non si occupa del mondo reale, ma ciò che potrebbe sembrare inutile, un giorno potrebbe diventare fondamentale.

Dallo stemma dei Borromeo alla teoria dei nodi

"Le nœud borroméen permet de tenir ensemble les troi registres, Réel, Symbolique, Imaginaire. Il n’y a aucune préséance d’un registre sur les autres. R,S,I ils ont même valeur et en même temps il faut les distinguer." 
(Jaques Lacan 8 juillet 1953 a la Société Française de Psychanalyse - Paris)¹ 

Link è una parola che ormai tutti usiamo spessissimo e che, in inglese, ha il significato di catena, collegamento, legame. 
Nel web, sta a indicare un collegamento tra pagine diverse (collegamento ipertestuale), ma in matematica, e più precisamente nella teoria dei nodi, un link è una collezione di nodi nello spazio.
Ma i link o i nodi cosa c'entrano con i Borromeo?

Stemma dei Borromeo sul palazzo settecentesco di via Manzoni 39 a Milanoi 

Girando per Milano e in Lombardia capita di ammirare le dimore, palazzi e castelli, della famiglia Borromeo che,  originaria di San Miniato in Toscana, divenne un'importante famiglia della nobiltà milanese e che per secoli ebbe forte influenza sulla città di Milano e sulle zone del Lago Maggiore (il cosiddetto "Stato Borromeo").
E come ogni casata che si rispetti ha il suo stemma su cui, tra gli altri simboli, come l’unicorno, il cammello o il cedro...troneggiano i tre cerchi a punta di diamante intrecciati, in modo tale che spezzandone uno anche gli altri due si disgiungano, simboleggiando l’unione indissolubile tra Borromeo, Sforza e Visconti. 
Gli "anelli o cerchi di Borromeo" è quindi un esempio di link con tre componenti, ciascuna delle quali è un nodo banale (cioè sciolto) e "link borromeo" (più erroneamente ma comunemente detto "nodo borromeo") deve il suo nome proprio al simbolo araldico fatto risalire alla persona di Federico Borromeo, cardinale e arcivescovo di Milano, che lo scelse appunto come suo emblema, simbolo della dinastia borromea e, data la sua religiosità, i tre anelli potrebbero rappresentare anche la trinità cristiana.

Il settecentesco palazzo Borromeo di via Manzoni 39 a Milanoi 

Sul "nodo borromeo" si è particolarmente focalizzato l'interesse di Jaques Lacan, psichiatra e filosofo francese, che ipotizzò una relazione tra Reale, Simbolico e Immaginario, ponendo questi tre concetti come le tre dimensioni dello spazio abitato da chi parla. 

Anche queste tre dimensioni infatti sono caratterizzate dal legame particolare, che nessuna delle tre può esistere senza le altre due. 
La particolarità sta quindi nel fatto che il punto di incastro non segue più un ordine, dal Reale all’Immaginario con al centro il Simbolico, poiché tutti gli anelli possono diventare centrali e avere le peculiarità dell’anello di mezzo. 
Fra gli anelli non vige una scansione gerarchica, dal migliore al peggiore o dal più al meno efficace e ognuno ha la sua importanza in rapporto agli altri due.
La particolarità degli anelli del "nodo borromeo" è proprio quella di essere indispensabili per l’unità del link, cioè per l'unità della collezione di nodi nello spazio, ma uniti in modo tale che se uno di essi qualsiasi viene sfilato anche gli altri due si liberano.

Jaques Lacan disegna il suo "nodo borromeo"

Schema a "nodo borromeo" tratto dai seminari del mercoledì, tenuti da Jaques Lacan a Parigi dal 1953 fino al 1980

Quando si parla di "nodo borromeo" si intende quindi un link formato da tre anelli che rimane unito poiché questi sono legati a tre e, essendo a due a due scollegati, basta che uno venga tagliato che il vincolo che li unisce si sciolga. 
Il "nodo borromeo" si presta quindi a divenire simbolo di soggetti diversi, ma nello stesso tempo collegati, senza che nessuno possa assumere le caratteristiche di anello centrale, posto fra gli altri due.
I soggetti di questo link quindi possono essere altri come Corpo, Mente e Psiche.
Tutti  e tre possono rappresentare il medio del legame, poiché ognuno dei tre potrà assumere le caratteristiche di anello centrale, posto fra gli altri due.
Gli "anelli di Borromeo" sono quindi un modo per ben simboleggiare queste tre componenti che devono essere si analizzate singolarmente ma che nello stesso tempo devono coesistere considerando il fatto che si deve far in modo che quella presa in considerazione continui ad essere influenzata dalle altre.
In questo caso quindi il link sta a simboleggiare che il benessere dell’uomo è garantito dall’equilibrio delle tre componenti, che sono indispensabili e quindi non disgiuntibili.
- Corpo, insieme delle caratteristiche fisiche, biologiche e meccaniche percettibili con i sensi
- Mente, l’insieme delle capacità del cervello caratteristiche dell’essere umano, come la sensazione, il pensiero, l’intuizione, la ragione, la memoria e la volontà
- Psiche, l’astrazione concettuale che include facoltà intellettive conoscitive e la coscienza, non solo fattori razionali ma anche irrazionali come l’inconscio o il concetto filosofico-religioso di anima.
Un dibattito, iniziato nell’antichità, che continua ancora oggi tra i numerosi studiosi che si interrogano sul rapporto che lega il Corpo, la Mente e la Psiche, un legame a tre componenti sciolte.

Il Tempietto del Santo Sepolcro è una delle meraviglie che Leon Battista Alberti, matematico, umanista, 

filosofo, architetto, musicista, scrittore e molto altro, realizzò per il potente mecenate Giovanni Rucellai (1403-1481) come  sacello a riproduzione del Santo Sepolcro conservato nell’Anastasis di Gerusalemme. 

Un altro esempio di "link a tre componenti", il cui significato simbolico è legato alle imprese personali dei Medici (Lorenzo il Magnifico, Piero e Casimo), sono i tre anelli con diamante intrecciati, sempre con una disposizione triangolare che si trovano a Firenze.
Una delle 30 formelle che adornano il tempietto del Santo Sepolcro, opera di Leon Battista Alberti e collocato nella cappella annessa alla ex-chiesa di san Pancrazio, è costituita da tre anelli col diamante, intrecciati secondo una disposizione triangolare. 
Si noti però che questo link non ha la proprietà di unità e dissociazione degli anelli di Borromeo, infatti, in questo caso, gli anelli sono tutti intrecciati tra loro, anche a due a due.

Aldilà della simbologia araldica o filosofica, il "link borromeo", a partire dalla metà del XX secolo, diventa il paradigma del progresso scientifico e gli "anelli di Borromeo" nella forma più schematica è stato adottato anche come logo dell'Unione Matematica Internazionale (IMU) 

Questo è un logo di proprietà di International Mathematical Union (IMU)

 Gli "anelli borromei" possono essere disposti in maniere molto "simmetriche": ad esempio, possono essere

realizzati con tre curve piane disposte su tre piani a due a due ortogonali fra loro

Di questo stretto legame col progresso scientifico ne parlò in un articolo, apparso il 28 maggio 2004 sulla prestigiosa rivista americana "Science", dal titolo "Molecular Borromean Rings", Kelly S. Chichak1 (insieme a Stuart J. Cantri  e ad altri scienziati dei dipartimenti di chimica e biochimica delle Università di California e Missouri, candidati al Premio Nobel), dove inizialmente si legge:

"Un oggetto di particolare interesse nella teoria dei nodi è noto come "anelli Borromean" (BRs). Esso si presenta nella topologia a bassa dimensionalità ed è formato da tre anelli interbloccati in modo tale che la scissione di un qualsiasi anello porti agli altri due a cadere a pezzi. Sebbene questo simbolo possa essere rintracciato già nell'iconografia paleocristiana e nella mitologia nordica, la sua proliferazione su stemmi e statue commissionate dalla famiglia Borromeo nella Toscana del XV secolo ha segnato il suo destino etimologico. 
Oltre al fatto che il simbolo ha fatto incursioni culturali nell'arte, nella teologia e nell'araldica, l'ultimo secolo ha visto la sua comparsa sull'orizzonte scientifico nella fisica delle particelle e il magnetismo,  fino ad assumere un ruolo vitale nella modellizzazione di processi di sintesi chimica e di aggregazione molecolare"

Da questo articolo si capisce quindi come gli "anelli di Borromeo molecolari" siano esempi di molecole meccanicamente interconnesse nei quali tre macrocicli sono legati in maniera che rompendone uno qualsiasi si permette ai restanti di dissociarsi. 
È ritenuto quindi il più piccolo esempio  di "link borromeo". 
La loro sintesi è stata riportata per la prima volta proprio nel 2004 dal gruppo J. Fraser Stoddart² ed è conosciuto come borromeato il composto di tre macrocicli interpenetrati formati dalla reazione tra 2,6-diformilpiridina composti diamminici, complessato con ioni zinco.
Ha assunto così un ruolo vitale nella modellizzazione di processi di sintesi chimica e di aggregazione molecolare.

Vorrei ora soffermarmi però proprio sui termini nodo e link, per introdurre la cosiddetta teoria dei nodi.

Nodo banale (due rappresentazioni)

Nodi primi fino a sette incroci

La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. 
La teoria ha applicazioni in fisica subatomica, chimica supramolecolare e biologia.
Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei nodi è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.
Benché intuitiva, la definizione matematica di nodo presenta delle piccole sottigliezze e si possono scegliere essenzialmente due definizioni:
- un nodo può essere definito come una linea spezzata chiusa 
- un nodo può essere definito come una curva differenziabile nello spazio 
e si definisce quindi una nozione appropriata di equivalenza fra nodi. 

Link a 2,3,4,5 componenti

Un link è una unione finita disgiunta di nodi e più precisamente, nella teoria dei nodi, un link è una collezione di nodi nello spazio.
Più formalmente, un link è un insieme finito di curve semplici chiuse disgiunte nello spazio euclideo tridimensionale e tali curve sono supposte differenziabili.
Due link sono ritenuti equivalenti se sono collegati da una isotopia, ovvero da un movimento continuo del link che (a differenza dell'omotopia) richiede che il link "resti tale" ad ogni istante. Tramite la nozione di isotopia, il link modellizza l'idea di un certo numero di elastici flessibili, possibilmente annodati fra loro, che possono essere deformati ma non tagliati né reincollati.

Esempi di nodi e link

Un primo accenno di sistematizzazione della teoria dei nodi venne fatto da Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796), il matematico che introdusse il determinante, nel XVIII secolo, ma a parte rari sprazzi, si dovette attendere la fine del XX secolo per vedere la teoria dei nodi trovare una formalizzazione, anche in conseguenza della sua importanza in fisica teorica, per l'elaborazione delle teorie note collettivamente come teoria delle stringhe.

Il primo impiego in fisica è però dovuto a William Thomson, ossia Lord Kelvin che, in pieno dibattito tra teoria ondulatoria e corpuscolare, propose nel 1867 i “vortex atoms”, atomi vortice o mulinello, formati da un'onda intrecciata in un nodo chiuso (come quello in figura  (c) il nodo a trifoglio).
Annodandosi in maniere più o meno complicate, si determinerebbero le proprietà chimico-fisiche degli atomi, concetto che, traslato alle particelle subatomiche e allo spaziotempo, si potrebbe identificare nella teoria delle stringhe. 
Le molecole deriverebbero quindi dall'unione dei nodi.
In realtà i nodi sono un caso particolare di link, ossia curve chiuse intrecciate nello spazio, che a differenza dei nodi  possono essere formati da più curve. 
Le molecole di Thomson sarebbero dunque dei link.
Per sviluppare la teoria era necessario però stabilire quali fossero i diversi tipi possibili di nodi e una tale classificazione avrebbe fornito una classificazione degli atomi, associando a ogni tipo di nodo un particolare atomo. 
I legami fra atomi sarebbero dunque stati spiegati da reciproci annodamenti, senza bisogno di far intervenire speciali forze atomiche.

La proposta stimolò uno studio dei tipi più semplici di nodi e un seguace di Lord Kelvin, Peter Guthrie Tait si pose quindi il problema della classificazione dei nodi. 
Egli considerò solo i nodi alternati, ossia quelli in cui il filo passa alternativamente sopra e sotto ogni incrocio e nel 1899 lo statunitense Charles Newton Little espanse la classificazione ai nodi non alternati, fino a 10 incroci.

La teoria di Thomson, che a taluni potrebbe apparire bizzarra, ai tempi in cui fu formulata era capace di spiegare molti dati sperimentali, ma cadde in disuso quando nella prima metà del ’900 Niels Bohr propose invece di considerare gli atomi come sistemi solari in miniatura, tenuti insieme da forze analoghe a quella gravitazionale.
La teoria dei nodi ebbe dunque nuova vita solo nel ’900 quando se ne intuirono le potenzialità come strumento applicabile anche in altre aree scientifiche come la fisica e la biologia. 
Nonostante i grandi sviluppi degli ultimi anni, il problema principale resta una classificazione completa dei nodi ed è quindi lecito affermare che la storia dei nodi non è ancora conclusa.

Come ultima curiosità legata al "link borromeo" lascio tre immagini che permettono di costruire con tre braccialetti (in questo caso, ma potrebbero essere semplicemente tre spaghi) questo affascinante legame dei tre "cerchi dei Borromeo".

Due anelli slegati vengono uniti a un terzo che passa sopra all'anello di destra

 e sotto a quello di sinistra 

Chiudendo il terzo anello si ottiene il "link borromeo" 

Si costruisce così il "link borromeo" con tre miei braccialetti -  © Annalisa Santi 2018

Note

¹ "Il nodo Borromeo permette di tenere insieme i tre registri, Reale, Simbolico, Immaginario.
Non c'è la precedenza di un registro sugli altri. R, S, I hanno lo stesso valore e allo stesso tempo devono essere distinti."
(dal discorso di apertura "Le symbolique, l’imaginaire, le réel" di Jaques Lacan, 8 luglio 1953, alla Società Francese di Psicoanalisi di Parigi)

² Sir James Fraser Stoddart (Edimburgo, 24 maggio 1942) è un chimico britannico, attivo nel campo della chimica supramolecolare e della nanotecnologia, già vincitore nel 2008 della Medaglia Davy e vincitore del premio Nobel per la chimica nel 2016 assieme a Jean-Pierre Sauvage e Ben Feringa per la progettazione e la sintesi di macchine molecolari. 


Fonti

Per la teoria dei nodi e per le immagini ho fatto riferimento al programma KnotPlot , un programma ideato dal canadese Robert Glenn Scharein, del dipartimento di matematica dell'Università dello Utah, per la visualizzazione interattiva e l’elaborazione di nodi 3D e 4D.