Dallo stemma dei Borromeo alla teoria dei nodi

"Le nœud borroméen permet de tenir ensemble les troi registres, Réel, Symbolique, Imaginaire. Il n’y a aucune préséance d’un registre sur les autres. R,S,I ils ont même valeur et en même temps il faut les distinguer." 
(Jaques Lacan 8 juillet 1953 a la Société Française de Psychanalyse - Paris)¹ 

Link è una parola che ormai tutti usiamo spessissimo e che, in inglese, ha il significato di catena, collegamento, legame. 
Nel web, sta a indicare un collegamento tra pagine diverse (collegamento ipertestuale), ma in matematica, e più precisamente nella teoria dei nodi, un link è una collezione di nodi nello spazio.
Ma i link o i nodi cosa c'entrano con i Borromeo?

Stemma dei Borromeo sul palazzo settecentesco di via Manzoni 39 a Milanoi 

Girando per Milano e in Lombardia capita di ammirare le dimore, palazzi e castelli, della famiglia Borromeo che,  originaria di San Miniato in Toscana, divenne un'importante famiglia della nobiltà milanese e che per secoli ebbe forte influenza sulla città di Milano e sulle zone del Lago Maggiore (il cosiddetto "Stato Borromeo").
E come ogni casata che si rispetti ha il suo stemma su cui, tra gli altri simboli, come l’unicorno, il cammello o il cedro...troneggiano i tre cerchi a punta di diamante intrecciati, in modo tale che spezzandone uno anche gli altri due si disgiungano, simboleggiando l’unione indissolubile tra Borromeo, Sforza e Visconti. 
Gli "anelli o cerchi di Borromeo" è quindi un esempio di link con tre componenti, ciascuna delle quali è un nodo banale (cioè sciolto) e "link borromeo" (più erroneamente ma comunemente detto "nodo borromeo") deve il suo nome proprio al simbolo araldico fatto risalire alla persona di Federico Borromeo, cardinale e arcivescovo di Milano, che lo scelse appunto come suo emblema, simbolo della dinastia borromea e, data la sua religiosità, i tre anelli potrebbero rappresentare anche la trinità cristiana.

Il settecentesco palazzo Borromeo di via Manzoni 39 a Milanoi 

Sul "nodo borromeo" si è particolarmente focalizzato l'interesse di Jaques Lacan, psichiatra e filosofo francese, che ipotizzò una relazione tra Reale, Simbolico e Immaginario, ponendo questi tre concetti come le tre dimensioni dello spazio abitato da chi parla. 

Anche queste tre dimensioni infatti sono caratterizzate dal legame particolare, che nessuna delle tre può esistere senza le altre due. 
La particolarità sta quindi nel fatto che il punto di incastro non segue più un ordine, dal Reale all’Immaginario con al centro il Simbolico, poiché tutti gli anelli possono diventare centrali e avere le peculiarità dell’anello di mezzo. 
Fra gli anelli non vige una scansione gerarchica, dal migliore al peggiore o dal più al meno efficace e ognuno ha la sua importanza in rapporto agli altri due.
La particolarità degli anelli del "nodo borromeo" è proprio quella di essere indispensabili per l’unità del link, cioè per l'unità della collezione di nodi nello spazio, ma uniti in modo tale che se uno di essi qualsiasi viene sfilato anche gli altri due si liberano.

Jaques Lacan disegna il suo "nodo borromeo"

Schema a "nodo borromeo" tratto dai seminari del mercoledì, tenuti da Jaques Lacan a Parigi dal 1953 fino al 1980

Quando si parla di "nodo borromeo" si intende quindi un link formato da tre anelli che rimane unito poiché questi sono legati a tre e, essendo a due a due scollegati, basta che uno venga tagliato che il vincolo che li unisce si sciolga. 
Il "nodo borromeo" si presta quindi a divenire simbolo di soggetti diversi, ma nello stesso tempo collegati, senza che nessuno possa assumere le caratteristiche di anello centrale, posto fra gli altri due.
I soggetti di questo link quindi possono essere altri come Corpo, Mente e Psiche.
Tutti  e tre possono rappresentare il medio del legame, poiché ognuno dei tre potrà assumere le caratteristiche di anello centrale, posto fra gli altri due.
Gli "anelli di Borromeo" sono quindi un modo per ben simboleggiare queste tre componenti che devono essere si analizzate singolarmente ma che nello stesso tempo devono coesistere considerando il fatto che si deve far in modo che quella presa in considerazione continui ad essere influenzata dalle altre.
In questo caso quindi il link sta a simboleggiare che il benessere dell’uomo è garantito dall’equilibrio delle tre componenti, che sono indispensabili e quindi non disgiuntibili.
- Corpo, insieme delle caratteristiche fisiche, biologiche e meccaniche percettibili con i sensi
- Mente, l’insieme delle capacità del cervello caratteristiche dell’essere umano, come la sensazione, il pensiero, l’intuizione, la ragione, la memoria e la volontà
- Psiche, l’astrazione concettuale che include facoltà intellettive conoscitive e la coscienza, non solo fattori razionali ma anche irrazionali come l’inconscio o il concetto filosofico-religioso di anima.
Un dibattito, iniziato nell’antichità, che continua ancora oggi tra i numerosi studiosi che si interrogano sul rapporto che lega il Corpo, la Mente e la Psiche, un legame a tre componenti sciolte.

Il Tempietto del Santo Sepolcro è una delle meraviglie che Leon Battista Alberti, matematico, umanista, 

filosofo, architetto, musicista, scrittore e molto altro, realizzò per il potente mecenate Giovanni Rucellai (1403-1481) come  sacello a riproduzione del Santo Sepolcro conservato nell’Anastasis di Gerusalemme. 

Un altro esempio di "link a tre componenti", il cui significato simbolico è legato alle imprese personali dei Medici (Lorenzo il Magnifico, Piero e Casimo), sono i tre anelli con diamante intrecciati, sempre con una disposizione triangolare che si trovano a Firenze.
Una delle 30 formelle che adornano il tempietto del Santo Sepolcro, opera di Leon Battista Alberti e collocato nella cappella annessa alla ex-chiesa di san Pancrazio, è costituita da tre anelli col diamante, intrecciati secondo una disposizione triangolare. 
Si noti però che questo link non ha la proprietà di unità e dissociazione degli anelli di Borromeo, infatti, in questo caso, gli anelli sono tutti intrecciati tra loro, anche a due a due.

Aldilà della simbologia araldica o filosofica, il "link borromeo", a partire dalla metà del XX secolo, diventa il paradigma del progresso scientifico e gli "anelli di Borromeo" nella forma più schematica è stato adottato anche come logo dell'Unione Matematica Internazionale (IMU) 

Questo è un logo di proprietà di International Mathematical Union (IMU)

 Gli "anelli borromei" possono essere disposti in maniere molto "simmetriche": ad esempio, possono essere

realizzati con tre curve piane disposte su tre piani a due a due ortogonali fra loro

Di questo stretto legame col progresso scientifico ne parlò in un articolo, apparso il 28 maggio 2004 sulla prestigiosa rivista americana "Science", dal titolo "Molecular Borromean Rings", Kelly S. Chichak1 (insieme a Stuart J. Cantri  e ad altri scienziati dei dipartimenti di chimica e biochimica delle Università di California e Missouri, candidati al Premio Nobel), dove inizialmente si legge:

"Un oggetto di particolare interesse nella teoria dei nodi è noto come "anelli Borromean" (BRs). Esso si presenta nella topologia a bassa dimensionalità ed è formato da tre anelli interbloccati in modo tale che la scissione di un qualsiasi anello porti agli altri due a cadere a pezzi. Sebbene questo simbolo possa essere rintracciato già nell'iconografia paleocristiana e nella mitologia nordica, la sua proliferazione su stemmi e statue commissionate dalla famiglia Borromeo nella Toscana del XV secolo ha segnato il suo destino etimologico. 
Oltre al fatto che il simbolo ha fatto incursioni culturali nell'arte, nella teologia e nell'araldica, l'ultimo secolo ha visto la sua comparsa sull'orizzonte scientifico nella fisica delle particelle e il magnetismo,  fino ad assumere un ruolo vitale nella modellizzazione di processi di sintesi chimica e di aggregazione molecolare"

Da questo articolo si capisce quindi come gli "anelli di Borromeo molecolari" siano esempi di molecole meccanicamente interconnesse nei quali tre macrocicli sono legati in maniera che rompendone uno qualsiasi si permette ai restanti di dissociarsi. 
È ritenuto quindi il più piccolo esempio  di "link borromeo". 
La loro sintesi è stata riportata per la prima volta proprio nel 2004 dal gruppo J. Fraser Stoddart² ed è conosciuto come borromeato il composto di tre macrocicli interpenetrati formati dalla reazione tra 2,6-diformilpiridina composti diamminici, complessato con ioni zinco.
Ha assunto così un ruolo vitale nella modellizzazione di processi di sintesi chimica e di aggregazione molecolare.

Vorrei ora soffermarmi però proprio sui termini nodo e link, per introdurre la cosiddetta teoria dei nodi.

Nodo banale (due rappresentazioni)

Nodi primi fino a sette incroci

La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. 
La teoria ha applicazioni in fisica subatomica, chimica supramolecolare e biologia.
Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei nodi è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.
Benché intuitiva, la definizione matematica di nodo presenta delle piccole sottigliezze e si possono scegliere essenzialmente due definizioni:
- un nodo può essere definito come una linea spezzata chiusa 
- un nodo può essere definito come una curva differenziabile nello spazio 
e si definisce quindi una nozione appropriata di equivalenza fra nodi. 

Link a 2,3,4,5 componenti

Un link è una unione finita disgiunta di nodi e più precisamente, nella teoria dei nodi, un link è una collezione di nodi nello spazio.
Più formalmente, un link è un insieme finito di curve semplici chiuse disgiunte nello spazio euclideo tridimensionale e tali curve sono supposte differenziabili.
Due link sono ritenuti equivalenti se sono collegati da una isotopia, ovvero da un movimento continuo del link che (a differenza dell'omotopia) richiede che il link "resti tale" ad ogni istante. Tramite la nozione di isotopia, il link modellizza l'idea di un certo numero di elastici flessibili, possibilmente annodati fra loro, che possono essere deformati ma non tagliati né reincollati.

Esempi di nodi e link

Un primo accenno di sistematizzazione della teoria dei nodi venne fatto da Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796), il matematico che introdusse il determinante, nel XVIII secolo, ma a parte rari sprazzi, si dovette attendere la fine del XX secolo per vedere la teoria dei nodi trovare una formalizzazione, anche in conseguenza della sua importanza in fisica teorica, per l'elaborazione delle teorie note collettivamente come teoria delle stringhe.

Il primo impiego in fisica è però dovuto a William Thomson, ossia Lord Kelvin che, in pieno dibattito tra teoria ondulatoria e corpuscolare, propose nel 1867 i “vortex atoms”, atomi vortice o mulinello, formati da un'onda intrecciata in un nodo chiuso (come quello in figura  (c) il nodo a trifoglio).
Annodandosi in maniere più o meno complicate, si determinerebbero le proprietà chimico-fisiche degli atomi, concetto che, traslato alle particelle subatomiche e allo spaziotempo, si potrebbe identificare nella teoria delle stringhe. 
Le molecole deriverebbero quindi dall'unione dei nodi.
In realtà i nodi sono un caso particolare di link, ossia curve chiuse intrecciate nello spazio, che a differenza dei nodi  possono essere formati da più curve. 
Le molecole di Thomson sarebbero dunque dei link.
Per sviluppare la teoria era necessario però stabilire quali fossero i diversi tipi possibili di nodi e una tale classificazione avrebbe fornito una classificazione degli atomi, associando a ogni tipo di nodo un particolare atomo. 
I legami fra atomi sarebbero dunque stati spiegati da reciproci annodamenti, senza bisogno di far intervenire speciali forze atomiche.

La proposta stimolò uno studio dei tipi più semplici di nodi e un seguace di Lord Kelvin, Peter Guthrie Tait si pose quindi il problema della classificazione dei nodi. 
Egli considerò solo i nodi alternati, ossia quelli in cui il filo passa alternativamente sopra e sotto ogni incrocio e nel 1899 lo statunitense Charles Newton Little espanse la classificazione ai nodi non alternati, fino a 10 incroci.

La teoria di Thomson, che a taluni potrebbe apparire bizzarra, ai tempi in cui fu formulata era capace di spiegare molti dati sperimentali, ma cadde in disuso quando nella prima metà del ’900 Niels Bohr propose invece di considerare gli atomi come sistemi solari in miniatura, tenuti insieme da forze analoghe a quella gravitazionale.
La teoria dei nodi ebbe dunque nuova vita solo nel ’900 quando se ne intuirono le potenzialità come strumento applicabile anche in altre aree scientifiche come la fisica e la biologia. 
Nonostante i grandi sviluppi degli ultimi anni, il problema principale resta una classificazione completa dei nodi ed è quindi lecito affermare che la storia dei nodi non è ancora conclusa.

Come ultima curiosità legata al "link borromeo" lascio tre immagini che permettono di costruire con tre braccialetti (in questo caso, ma potrebbero essere semplicemente tre spaghi) questo affascinante legame dei tre "cerchi dei Borromeo".

Due anelli slegati vengono uniti a un terzo che passa sopra all'anello di destra

 e sotto a quello di sinistra 

Chiudendo il terzo anello si ottiene il "link borromeo" 

Si costruisce così il "link borromeo" con tre miei braccialetti -  © Annalisa Santi 2018

Note

¹ "Il nodo Borromeo permette di tenere insieme i tre registri, Reale, Simbolico, Immaginario.
Non c'è la precedenza di un registro sugli altri. R, S, I hanno lo stesso valore e allo stesso tempo devono essere distinti."
(dal discorso di apertura "Le symbolique, l’imaginaire, le réel" di Jaques Lacan, 8 luglio 1953, alla Società Francese di Psicoanalisi di Parigi)

² Sir James Fraser Stoddart (Edimburgo, 24 maggio 1942) è un chimico britannico, attivo nel campo della chimica supramolecolare e della nanotecnologia, già vincitore nel 2008 della Medaglia Davy e vincitore del premio Nobel per la chimica nel 2016 assieme a Jean-Pierre Sauvage e Ben Feringa per la progettazione e la sintesi di macchine molecolari. 


Fonti

Per la teoria dei nodi e per le immagini ho fatto riferimento al programma KnotPlot , un programma ideato dal canadese Robert Glenn Scharein, del dipartimento di matematica dell'Università dello Utah, per la visualizzazione interattiva e l’elaborazione di nodi 3D e 4D.