Il pi greco celato nel quadro di Tobia Ravà

Dalla scuola abbiamo imparato che pi greco è il rapporto tra la circonferenza e il suo diametro, ma si trovano molti procedimenti e curiosit๠per determinarlo, come i metodi e gli algoritmi cinesi e indiani, migliori di quelli greci e arabi, e tanti altri significati tra cui quello legato alla tradizione ebraica della ghematrià.

“Sviluppi a Rivo Alto” di Tobia Ravà - 2017

Il pi greco è un numero affascinante e intrigante con una storia plurimillenaria sparsa per tutto il mondo. 

"Che n’ebbe d’utile Archimede da ustori vetri sua somma scoperta?"

Questa frase ci aiutava, fin dalle medie, a ricordare il celebre numero irrazionale con ben 12 cifre, corrispondenti alle lettere di ogni parola:

π = 3,14159265358.....

Archimede, usando il "metodo di esaustione", inscrisse e circoscrisse poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati ed ottenne come rapporto tra circonferenza e diametro un numero compreso tra 3 + 10/71 e 3 + 10/70  in decimali tra 3.140845... e 3,142857... 

(ovviamente egli utilizzò nei calcoli le frazioni e non i numeri decimali) 

Fu quindi il primo ad ottenere due cifre decimali esatte, che è tuttora l'approssimazione più conosciuta di pi greco π≈3,14

Anche se, a ben vedere, Archimede è sicuramente molto più famoso per gli specchi ustori che per la sua determinazione di π, attraverso il "metodo di esaustione".

Il simbolo π (di pi greco) è invece di due millenni posteriore ad Archimede; fu introdotto intorno al 1700 e legittimato da Eulero.

 

Immagine dall'articolo "Un Tango per il Pi Day" marzo 2016

Da appassionata e studiosa di matematica, guardando i quadri di Tobia Ravà, mi resi conto di essere attratta da quel tappeto di cifre, simboli e numeri, e indotta a cercare se fossero proprio questi a dare il vero significato e il messaggio dell'opera.

Ad una mostra, quella di Milano del gennaio 2017 allo Spazio Tadini, incontrai ed ebbi un interessante e illuminante colloquio con Tobia.

Scoprii così che il simbolismo e il fascino dell'opera di Ravà sta tutto nell'uso dei numeri o delle parole, attraverso la mediazione della tradizione ebraica della ghematrià, che assegnando valori numerici alle lettere dell'alfabeto, e viceversa, gli permette di stabilire un rapporto fra cifre e parole generando veri e propri significati.

Foto fatta a Milano nel gennaio 2017 allo Spazio Tadini

Questa sua originalità e profondità credo rappresenti un esempio di come sia possibile "disegnare la matematica", riuscendo a comunicare con l'arte pittorica concetti astratti, illustrando così efficacemente una scienza che sembrerebbe visibile solo attraverso immagini mentali

I numeri quindi che si vedono nei quadri non sono messi a caso, per fare da sfondo, ma devono essere letti, interpretati e compresi.

Operazione questa molto complessa per un semplice osservatore e quindi queste opere si potrebbero ammirare anche senza scendere in profondità, limitandosi a goderne gli aspetti cromatici e delle forme, ma si farebbe sicuramente un torto all'artista, rimuovendo la vera sostanza e simbologia che le ha generate. 

Lo stesso autore Tobia Ravà ci spiega il significato profondo che sottendono le cifre e le lettere di questo quadro del 2017 “Sviluppi a Rivo Alto”, ambientato a Venezia, che riporto proprio per il 14 marzo, nella giornata dedicata al pi greco.

"L'opera raffigura il Ponte di Rialto nel lato verso S. Marco tra la Riva del Vin e la Riva del Ferro con visibile Parte del Fondaco dei Tedeschi il Palazzo dei Camerlenghi e parte dei palazzetti siti in Riva del Vin.

Il percorso di sviluppo numerico è un ponte metaforico tra razionale e irrazionale in quanto nel cielo è raffigurato il computo dopo la virgola del PI GRECO che parte da 3,14 per arrivare al tratto 99999 ed oltre, intervallato da alcune parole ebraiche che hanno lo stesso valore di ghematrià del tratto preso in esame. 

Cielo

Da notare che l’inizio ha di partenza SHADDAY (Onnipotente) composto da SHIN 300, DALET 4 e IOD 10 che appunto ha di somma 314. 

Sono visibili per esempio lungo il percorso: COCH 28 forza, MAGEN 93 scudo, KABAL 132 “essere parallelo” radice di KABBALAH, ELOIM uno dei nomi di D.O, LEHEM 78 pane ed altri. 

Laguna

Nell’acqua sul Canal Grande i numeri primi partendo da ALEF 1, fino all’809, seguiti dal valore ghematrico corrispondente al valore teosofico di ogni numero primo (somma delle cifre tra di loro in base 10 fino ad arrivare all’unità). Per esempio 599 è composto da 5 + 9 + 9 = 23 e 2 + 3 = 5 quindi la lettera sarà la HEI. 

Il dipinto è stato eseguito per dimostrare la SECONDA CONGETTURA di RAVA’ che suppone il fatto che a parte il numero 3 che è appunto il valore della lettera GHIMEL nessun numero primo avrà mai quale riduzione teosofica il numero 3 o un suo multiplo 6 o 9 quindi GHIMEL, VAV, TET non saranno mai lettere corrispondenti alla base 10 o numero teosofico di un numero primo.

Base del ponte a destra

Alla base del ponte a destra sono visibili EMET 441 = verità, AIN SOPH 207 infinito, MAIM 90 acqua e la firma TOBIA = 32.

Base del ponte a sinistra

Alla base del ponte a sinistra verso la Riva del Vin, SHALOM 376 = pace, HALOM 84 = sogno, OHR 207 luce in simmetria con AIN SOPH al di là del ponte, GESHER 503 = ponte.

Palazzetti in Riva del Vin

Sui palazzetti in Riva del Vin sono sviluppati diversi concetti per esempio viene ribadito il valore di SHADDAY onnipotente: 314 che ci porta al PI GRECO, questa parola (SHADDAY) fin dall’antichità viene messa all’apice delle culle dei bambini, allora gerle rotonde, come formula apotropaica recante positività ad una zona circolare sottostante. BEQIRBI 314 al centro di me stesso. Ma 314 è anche il valore di METATRON il più alto negli empirei angelici, ed è il valore di SUACH meditare e di CHUSH senso. 

Le ventidue lettere dell’alfabeto ebraico, forze vettoriali, diviso 7 numero base del processo creativo mi da appunto 3,14 valore di Pi Greco. 

Sul palazzetto di sinistra sono anche visibili le parole ebraiche ed i valori nella scomposizione alchemica: ESH 301 = fuoco, ADAMA’ 50 = terra, AVIR 217 aria e MAIM 90 acqua."

(Tobia Ravà)

Per concludere si potrebbe passare dalla pittura alla poesia, alla musica e alla danza.

Un esempio di poesia è il "cadae", equivalente alfabetico delle prime cinque cifre di π = 3,1415 che lo stesso Popinga (alias Marco Fulvio Barozzi) ci propone (tratto dalle "Stramberie poetiche attorno al pi greco") e che così introduce:

"Essendo il pi greco una delle pochissime forme di trascendenza che mi concedo (le altre si chiamano e, phi, ecc.), anch’io mi sono cimentato nella composizione di versi basati su questo numero. Si tratta di cadae, basati sul doppio senso e forniti delle due chiavi di lettura nel titolo, tutti di argomento fisico-matematico."

Ora d’aria (Pi greco)

Dal raggio (3 sillabe)

tu (1)

percorrevi (4)

il (1)

giro esterno: (5)

ti fece un doppio rapporto (9)

il boss (2)

Per la musica ricoro un brano dedicato al suono del π, o meglio un vals dedicato a π,  "Vals du Pi", in cui ci accorgiamo di come questo numero irrazionale possa trasformarsi in una bellissima melodia.

Una bellissima e originalissima composizione del pianista Jean Filoramo che, in una serata dedicata al Tango, così l'aveva annunciata:

"Ce soir, pour la première fois au PlayTango de Pavia chez Mariotango, j'executerai le "Vals du Pi" pour pianoforte en La minore que j'ai composé en suivant les 69 (Département 69 à Lyon ou je suis né) premières décimales du nombre Pi (π).

Dédié à mon amie Annalisa Santi"

"Vals du Pi" Jean Filoramo

Ripresa/video di Giorgio Camporotondo

Infine passando alla danza ricordo un tango interpretato (da me nella veste di ballerina tanguera insieme a Vittorio Giardelli) in Milonga (sala tipica dove si balla il Tango) usando figure e adorni (rigorosamente improvvisati, come vuole la tradizione, e non coreografati), ma che, come si vede nel video, ricordano giochi di cerchi (volcade, colgade e molinete) e simboli di infinito (ocho) perfettamente in linea con le caratteristiche geometriche di π.

Pi Greco Tango - Un Tango per il Pi Day 

Ripresa/video di Giorgio Camporotondo 

Vorrei concludere queste brevi curiosità, legate alla festa del "Pi Day", con un'ultima curiosità sull'origine di questa festa che si celebra ogni anno il 14 marzo, perché nel sistema anglosassone la data si scrive 03/14 come le prime tre cifre del Pi Greco, e che inoltre coincide con il compleanno di Albert Einstein.

Larry Shaw, il fondatore di Pi Day, 

all'Exploratorium di San Francisco 

con le torte in bella viasta

La prima celebrazione ufficiale del Pi Day fu organizzata nel 1988 dal fisico Larry Shaw all’Osservatorio di San Francisco, che insieme ai suoi colleghi decisero di festeggiare mangiando una fetta della loro torta preferita in onore del nome del numero. 

In America, infatti, si gioca sull’assonanza tra i termini pi e pie (“torta”) e si celebra il Pi Day preparando torte, crostate e pizze rustiche con disegnato il simbolo del pi greco.

A lanciare l'idea del Pi Day fu quindi l'Exploratorium di San Francisco, il grande Museo della Scienza, che iniziò, il 14 marzo, a celebrare il numero più famoso e misterioso del mondo matematico, con una serie di giochi, musiche, filmati ed altre iniziative tutte ispirate al π.

Ma fu il 12 marzo 2009, con la Risoluzione H.RES.224 della Camera dei Rappresentanti degli Stati Uniti d’America, la data in cui si riconobbe ufficialmente il 14 marzo come giornata per celebrare il  π e fu lo stesso Presidente Barack Obama ad invitare i docenti a vivere il Pi Day come occasione per “incoraggiare i giovani verso lo studio della matematica”.

"Cream tarte pi greco" - Torta dedicata al pi greco 

Dolce quindi che si basa sull’assonanza tra i termini pi e pie (“torta”)  

Immagine tratta da Giallo/Zafferano

Ringraziamenti

Un ringraziamento particolare a Tobia Ravà che ha permesso, con la sua spiegazione, la comprensione dell'opera, operazione questa molto complessa per un semplice osservatore 

Un ringraziamento a tutti i tangueri del Play Tango e in particolare a tutti coloro che mi hanno permesso di realizzare il video per il Pi Day:
organizzatori: Mario Carò e Paola Ionà
dj: Roberto Rampini
video maker: Giorgio Camporotondo
ballerini: Vittorio Giardelli, Vito Fasano, MarioyPaola, Cinzia Faccin, Marco Savio, Anna Annina, Enzo Soldano, Annalisa Santi

E un ringraziamento particolare al pianista e compositore Jean Filoramo

Note

¹ Per altre curiosità consiglio il recentissimo libro di Maurizio Codogno "Chiamatemi pi greco. Biografia del numero più famoso della matematica" 

Fonti

Alcune curiosità sono state riprese da questi miei precedenti articoli

http://annalisasanti.blogspot.com/2014/10/tobia-rava-dipinge-la-matematica.html

http://annalisasanti.blogspot.com/2016/03/diabulus-in-musica-un-vals-per-il-pi.html

http://annalisasanti.blogspot.com/2016/03/un-tango-per-il-pi-day.html

Proiezioni, previsioni, percezioni...realtà o illusioni?

Un cilindro è posto al centro di una stanza illuminato da due fasci di luce. 

Una delle due luci proietta un'ombra circolare, l'altra luce proietta un'ombra quadrata. 

Entrambe le proiezioni, costituite dall'ombra, sono vere, non c'è trucco e sono reali, ma sorprendentemente contraddittorie.

L'una ci dice che l'oggetto ha qualcosa a che vedere con la figura del cerchio, e se vedessimo soltanto questa potremmo concludere che ci troviamo veramente di fronte ad una sfera su cui è proiettata una fonte di luce.  Ugualmente, se vedessimo soltanto la figura del quadrato proiettata dall'altro raggio di luce,  non c'è dubbio, che diremmo che un cubo è sospeso al centro della stanza. 

La cosa veramente interessante è che solo un punto di vista altro, esterno, diagonale, non diretto, ci obbliga a scoprire la verità, e cioè che l'oggetto sospeso non è né un cubo, né una sfera, ma un cilindro, cioè un solido geometrico più complesso. 

Questo per introdurre il tema, "Proiezioni", del Carnevale della Matematica di febbraio, il numero 157, lanciato dai Rudi Matematici, con una riflessione su un concetto che va oltre la geometria e che coinvolge la nostra percezione della realtà e delle sue illusioni.

Già Platone sosteneva che viviamo in un mondo di ombre, che nulla di ciò che percepiamo è "vero" e che colui che vedesse la "verità" verrebbe preso per pazzo dalla maggioranza degli altri uomini incatenati alla visione delle ombre. 

Per Kant gli oggetti delle nostre percezioni sono addirittura inarrivabili perché l'essere umano ha a che fare con i fenomeni prodotti dall’interazione tra tali oggetti e le proprie categorie mentali. 

Non percepiamo le ombre e basta, ma ognuno di noi ci mette qualcosa di suo, le reinterpretiamo, associandole alle nostre esperienze.

Quindi percependo solo una proiezione, che dipende anche dalle nostre conoscenze ed esperienze, non potremmo mai stabilire la verità.  

A parte questa divagazione "filosofica", il tema proposto mi ha portato a considerare il termine "proiezione" da tanti punti di vista di cui accenno brevemente, ma in particolare mi soffermerò su due: uno strettamente matematico/geometrico e l'altro statistico. 

Il termine "proiezione" spazia infatti ben oltre questi due concetti, in ambiti in cui il termine proiezione è forse meno conosciuto: 

- in Chimica la proiezione (o formula proiettiva) è un modo di rappresentazione bidimensionale della struttura tridimensionale di una molecola e riveste una notevole importanza per quanto riguarda la rappresentazione degli isomeri

- nelle Scienze politiche e in quelle militari proiezione è un termine usato  per riferirsi alla capacità di uno stato di applicare tutti o alcuni dei suoi elementi di potenza nazionale, come dispiegare all'estero proprie forze militari, per reagire a crisi o contribuire alla deterrenza, o ancora per aumentare la stabilità di un'area del mondo. (US Department of Defense (2013). The Dictionary of Military Terms. New York: Skyhorse Publishing.)

- nella balistica, proiezione è il lancio di un corpo pesante, come si fa per un proiettile con una carica di lancio in un'arma da fuoco o, come nei razzi, con altri sistemi di propulsione

- nella lotta e nelle arti marziali proiezione si riferisce al sollevamento o spostamento dell'avversario

- in psicologia la proiezione è un meccanismo di difesa arcaico e primitivo che consiste nello spostare sentimenti o caratteristiche propri, o parti del Sé, su altri oggetti o persone. 

O di uso frequente come: 

- in fotografia dove la proiezione è l'ingrandimento su di uno schermo di diapositive attraverso l'uso di un proiettore

- nel cinema dove la proiezione è lo scorrimento della sequenza di fotogrammi stampati sulla pellicola.

- ologrammi o proiezioni olografiche 3D sono proiezioni in alta definizione che simulano il 3D rendendo indistinguibile un oggetto reale da uno in video riproduzione

Proiezioni olografiche 3D al posto di elefanti, cavalli, tigri e leoni del 

Circo itinerante Roncalli che incanta gli spettatori rispettando gli animali

Tornando al primo punto di vista "matematico", di cui vorrei parlare più dettagliatamente, si potrebbe ben vedere come in fondo la proiezione geometrica non sia altro che un'ombra che si proietta su un piano.

In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio m  (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione P che sposta ogni punto dello spazio su un punto di m lungo una direzione perpendicolare ad m.

Vale a dire che una proiezione è la trasformazione di punti e linee in un piano in un altro piano collegando punti corrispondenti sui due piani con linee parallele, e il ramo della geometria che si occupa delle proprietà e degli invarianti delle figure geometriche sotto proiezione è chiamato geometria proiettiva.

Proiezione è infatti l'operazione fondamentale della geometria descrittiva e della geometria proiettiva, che trova ampia applicazione per esempio in cartografia, in meccanica e in architettura.

Si potrebbe parlare quindi del concetto di proiezione in geometria elementare, ma anche in geometria descrittiva e proiettiva.

La geometria descrittiva è infatti la scienza che permette, attraverso costruzioni geometriche, di rappresentare in modo inequivocabile su un piano oggetti a 2 o 3 dimensioni.

I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva si basano principalmente su due operazioni fondamentali: la proiezione e la sezione.

Il disegno tecnico si basa su tre metodi di proiezione, classificati secondo la Tabella UNI 3969 in:

1. proiezioni ortogonali

2. proiezioni assonometriche

3. proiezioni prospettiche

E questi tre metodi prevedono la definizione di tre elementi fondamentali:

1. il centro di proiezione

2. le linee di proiezione, che partendo dal centro di proiezione passano per i punti significativi della figura da proiettare

3. il piano di proiezione, dove si trova l’immagine della figura proiettata.

In pratica, per proiettare un oggetto su un piano, tracciamo delle linee (linee di proiezione) a partire dal centro di proiezione, passando per i punti significativi di una figura e, nei tre tipi di proiezioni, i tre elementi fondamentali sono diversi.

1. Nelle proiezioni ortogonali, il cui inventore è considerato Gaspard Monge, matematico francese vissuto nel 1700, il centro di proiezione è a distanza infinita, perciò le linee di proiezione sono parallele tra loro, e sono perpendicolari al piano di proiezione.

2. Nelle proiezioni assonometriche, formalizzate dall'inglese William Farish nella prima metà dell'Ottocento, il centro di proiezione è a distanza infinita, perciò le linee di proiezione sono parallele tra loro, ma sono inclinate rispetto al piano di proiezione.

3. Nelle proiezioni prospettiche il centro di proiezione può essere un punto posto a distanza finita (come in figura), perciò le linee di proiezione sono inclinate rispetto al piano di proiezione.

Le prospettive possono però essere, in ordine di complessità, a un punto, a due punti e a tre punti, in relazione al fatto che una sola delle tre dimensioni sia

proiettata da un centro di proiezione, oppure due o, infine, tre.

Il metodo prospettico matematicamente esatto si fa risalire a Filippo Brunelleschi, attorno al 1420.

 

In Matematica il termine Proiezione si può identificare, sintetizzando: 

- in geometria algebrica, con la proiezione di un punto su un iperpiano che è un oggetto basilare per la teoria dell'eliminazione e la decomposizione algebrica cilindrica

- in algebra lineare e analisi funzionale, con un endomorfismo tra spazi vettoriali legato al concetto di perpendicolarità tra vettori

- in geometria descrittiva e disegno come metodo di rappresentazione grafica utile per rappresentare un oggetto tridimensionale da diversi punti di vista

- in cartografia, con il risultato di trasformazioni geometriche, matematiche o empiriche di punti geografici espressi in coordinate geografiche in punti espressi in coordinate cartesiane

- in Informatica come operazione unaria su relazioni nell'algebra relazionale.

Sfondamenti prospettici, bellissimi effetti 3D, illusioni ottiche 

dello street artist 1010 che colorano un muro di Amburgo 

Non voglio però dilungarmi ulteriormente sugli aspetti puramente geometrici o matematici, perché ce ne sarebbe da parlare ancora moltissimo, soprattutto pensando a quei grandissimi personaggi, come Filippo Brunelleschi, Masaccio, Leon Battista Alberti, Piero Della Francesca, Leonardo Da Vinci, Raffaello Sanzio, Albrecht Dürer...che hanno contribuito allo sviluppo della geometria proiettiva nella pittura e nell'architettura.

A questo punto faccio un notevole salto e dalle regole certe della proiezione geometrica vorrei passare, come anticipato, alle "regole" meno certe, vale a dire le cosiddette proiezioni statistiche, così legate a questo periodo storico, di cui sentiamo ormai continuamente parlare, a volte sparlare e con dubbi argomenti. 

Per proiezione statistica si intende la determinazione di valori futuri sulla base di ipotesi sul peso di alcuni parametri in un modello matematico. 

Nel caso però si ritenga (soggettivamente) che tali ipotesi si avvereranno realmente nel futuro, allora si parla di previsione. 

Spesso purtroppo si confonde il significato di questi due termini, parlando, per esempio, di previsioni piuttosto che proiezioni demografiche o nel caso delle cosiddette proiezioni elettorali, che spesso sono risultate molto poco attendibili. 

"Non c’è dubbio che un problema biologico deve essere risolto per mezzo di sperimentazioni e non al tavolo di un matematico.

Tuttavia, per penetrare più a fondo la natura di questi fenomeni, è indispensabile combinare il metodo sperimentale con la teoria matematica" 

(Carl Friedrich Gauss)

Si parla spesso delle cosiddette proiezioni statistiche dedotte da un modello matematico per gestire, ad esempio, un'epidemia.

Un modello matematico nello studio di una epidemia serve principalmente a chiarificare le ipotesi, le variabili e i parametri che sono in gioco e per proporre di conseguenza parametri significativi per l’analisi e la classificazione delle epidemie stesse.

Proiezioni e previsioni statistiche

Utile se non determinante è la comprensione delle caratteristiche di trasmissione (Rzero, velocità di propagazione) della malattia infettiva per determinare le strategie migliori per ridurne la trasmissione, per prevederne il corso e paragonare l’efficacia di diverse misure di profilassi, quali quarantena, isolamento e trattamento. 

In questo senso, i modelli matematici possono essere usati per pianificare, implementare e ottimizzare i programmi di individuazione, prevenzione, terapia e controllo dell'epidemia.

Ho preso in considerazione il modello matematico di Simone Cialdi e vorrei soffermarmi sull'introduzione fatta dallo stesso autore, che così commenta:

"Il fine è quello di sviluppare ed applicare un modello matematico appositamente realizzato per lo studio della diffusione dell'epidemia Covid-19 in Italia, tenendo conto anche delle caratteristiche specifiche dell'epidemia e del contesto italiano. Lo studio ha rivelato la centralità del problema  relativo all'affidabilità dei dati disponibili, che costituiscono l'"input" del  modello matematico."

Questa premessa cosa vorrebbe significare?

Purtroppo tutti i tipi di rilevazioni statistiche dipendono dalla scelta del campione e dalla attendibilità dei dati e le incertezze e le problematicità sono proprio quelle insite nei dati resi disponibili, in questo caso ogni giorno dalla Protezione Civile. 

Un esempio è quello del dato relativo ai casi totali registrati per mezzo dei tamponi, molto diversi se correlati alla decisione di eseguire i tamponi solo ai sintomatici o a tutti, o sulla metodologia ad essi legata diversa a seconda dei cicli di amplificazione (Ct) della reazione PCR usata. 

In concreto il dato non è omogeneo in quanto con questa diversa amplificazione (Ct) un tampone viene classificato come negativo, positivo o debolmente positivo con metodologia diversa, quindi determina dati non accettabili. 

In questo caso la curva non fornisce una vera immagine della diffusione della malattia ma dipende dall'efficacia del metodo usato per monitorarla. 

Un modello matematico per essere efficace e predittivo, quindi per una attendibile proiezione futura, anche se forse sarebbe meglio dire previsione, ha bisogno di dati per quanto possibile omogenei e riferiti a campioni attendibili.

Senza questa omogeneità e attendibilità è più che evidente come sia praticamente impossibile utilizzare questi dati in un modello matematico per fare previsioni a lungo termine (1 mese) sulla malattia. 

Eppure si sente troppo spesso parlare di proiezioni o previsioni, più o meno catastrofiche o ottimistiche, valide a lungo termine, cosa che, come ammette lo stesso autore, non potrebbe essere accettabile.

Non mi soffermo su questo studio (che lascio alla curiosità del lettore qui), preso solo ad esempio per far capire come complessa sia l'analisi dei dati e la loro rilevazione in base al campione, tutte variabili che non permettono di potersi basare solo su modelli matematici per gestire o prevedere l'andamento di una epidemia che, oltre alla difficoltà nel reperire dati omogenei comporta forme di variazione dovute anche, e forse soprattutto, alle mutazioni che si riscontrano, periodo dopo periodo, nel virus.

Vuole essere solo un esempio volto a cercare di dare una più corretta valutazione della statistica e delle sue proiezioni.

Statistica di cui si parla forse troppo spesso, soprattutto in questi due terribili anni, dai media senza che se ne conosca la vera essenza e i limiti.

E ammettendo anche una più evoluta cultura della statistica, siamo sicuri che non si possa cadere in errore? 

La cosa non è così semplice o ovvia e i dati e le rilevazioni possono essere sia generati che interpretati in modi diversi, spesso portando a risultati intenzionalmente ingannevoli o sbadatamente deformanti.

E sempre più spesso accade che un dato statistico (come anche una notizia o un’opinione), arbitrariamente o incautamente pubblicata, sia ripresa acriticamente e abbia un’enorme diffusione senza che venga fatta alcuna verifica sull’attendibilità della sua origine. 

Anche se parrebbe esagerato affermare che la diffusione di una notizia possa essere inversamente proporzionale alla sua credibilità, sta di fatto, soprattutto ultimamente con la diffusione delle informazioni su internet, che molte cose considerate "vere" non hanno alcun fondamento se non il fatto che sono così diffuse da sembrarlo. 

E accade inevitabilmente con dati e statistiche come con ogni altro genere di informazioni.

Il problema non sta tanto nell’esistenza degli errori, che sono sempre possibili, quanto nella diffusa abitudine di accettare dati sballati e incoerenti come se fossero "certezze" indiscutibili e di ripeterli ad infinitum senza mai verificarne la credibilità.

E ciò purtroppo accade non solo per statistiche riguardanti sondaggi o previsioni meteo, ma anche per temi molto più delicati legati appunto all'informazione medica, alla prevenzione e alla cura di malattie, o all'andamento di questa epidemia.

Deformazioni consapevoli e stupidaggini involontarie le cui conseguenze sarebbero comiche se non fossero invece drammatiche e pericolose.

La statistica è uno strumento di notevole utilità solo se usata bene!

Certo bisogna fare una netta distinzione fra la matematica, che in questo caso coinvolge essenzialmente il calcolo delle probabilità, e il modo in cui si raccolgono, s'interpretano e si elaborano i dati. 

Anche se esistono metodi precisi per determinare il "margine di errore", questo, gioco forza, non può mai essere zero, ed è proprio per questo che si potrebbe definire la statistica la "scienza dell’inesattezza", in grado di dirci con precisione qual è il margine di errore in ogni dato.

"Sappiamo bene che queste argomentazioni basate sulle probabilità sono imposture, e se non abbiamo molta cautela nel loro uso possono essere ingannevoli"

 

Perciò, ricorrendo ancora a Platone, nessuna statistica può essere "esatta", anche se questa esigenza filosofica non deve togliere il merito alle statistiche di essere utili e, sempre nei limiti dell’inevitabile incertezza, credibili.

Come è auspicabile e nella sua stessa natura, ogni scienza ha il dovere di dubitare di se stessa e ogni teoria deve essere considerata valida fino al momento in cui nuovi sviluppi sperimentali o metodologici la possano mettere in discussione.

Comunque sta di fatto che le statistiche sono manipolabili e sempre in tutto il loro sviluppo, dall’impostazione iniziale (scelta del campione) fino alle interpretazioni conclusive (proiezioni, inferenze e generalizzazioni), anche se le deformazioni a volte non sono necessariamente intenzionali ma dovute a superficialità di valutazione o a errori di impostazione. 

Errori non "voluti", ma che ugualmente risultano devianti, e che, diffusi come presunte certezze, hanno la pretesa di "dimostrare" tutto e il contrario di tutto.

Una frase famosa attribuita da Mark Twain a Benjamin Disraeli, I conte di Beaconsfield, politico e scrittore britannico nel periodo Vittoriano, anche se mai riscontrata nei suoi lavori, riassume molto bene la valenza che possono avere alcune statistiche:

"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics" 

("Ci sono tre specie di bugie: le bugie, le sfacciate bugie, e le statistiche")

Non sempre si tratta di "bugie" e una statistica può essere "falsa" non per distorsione intenzionale, ma per un errore di metodo o di interpretazione. 

Anche quando la significatività, da un punto di vista matematico, è seria (anche se spesso non lo è) ci possono essere molti fattori che rendono discutibile il risultato. Basta una piccola differenza nel modo in cui si pone una domanda o come si raccolgono e si interpretano i dati, per poter appunto "dimostrare" una tesi piuttosto che un'altra.

Da un'illustrazione della Bibbia di Gustave Doré

Eppure inizialmente la statistica aveva scopi assolutamente nobili, in quanto la parola statistica deriva dalla parola "Stato" ed è una scienza nata proprio per poter governare bene uno stato. 

Infatti, la necessità di effettuare rilevazioni statistiche fu avvertita quando gli antichi popoli cominciarono a darsi una organizzazione sociale, una struttura economica, un ordinamento militare. 

Uno tra i più antichi rilevamenti di dati di cui si abbia notizia, è quello svolto da Mosè nel deserto del Sinai, durante il ritorno in Israele del popolo ebraico. (Origini della Statistica "Storia della Statistica - I momenti decisivi" di Maria Pia Perelli D’Argenzio)

Fu Dio a chiedere a Mosè di contare tutti i maschi delle 12 tribù di Israele che avevano un'età superiore ai 20 anni, per sapere quanti erano gli uomini sui quali si potesse contare per costruire l'esercito d'Israele e questo censimento è documentato nella Bibbia, proprio nel Libro dei Numeri.

E i numeri costituiscono le basi della statistica, anche se capire se abbiano un significato e cosa se ne possa dedurre è tutt’altro che facile. 

Insomma ci possiamo "fidare" delle statistiche solo se sappiamo che cosa sono e come funzionano e il problema non è tanto lo strumento matematico, ma l’uso che se ne fa.

Come affermava Giancarlo Livraghi, uno dei due traduttori del libro  scritto da Darrell Huff dal titolo originale "How to lie with statistics" (testo completo in inglese qui), il libro di statistiche più venduto della seconda metà del secolo scorso, uscito in USA nel lontanissimo 1954, ma pubblicato in Italia solo nel 2007 "Mentire con le Statistiche": 

"L’inondazione di numeri con cui ci affliggono continuamente i mezzi di cosiddetta informazione, basata su statistiche mal capite o su dati del tutto immaginari, rischia di far annegare nel marasma anche quelle valutazioni che meriterebbero di essere seriamente approfondite...per quanto riguarda le statistiche, sarebbe importante diffondere come cultura di base la capacità di capirne il significato. Potrebbe bastare una estesa adozione del libro di Darrell Huff nelle scuole medio-superiori, e renderlo testo obbligatorio per la qualificazione al mestiere di giornalista".

Il pregiudizio, che sembra difficilmente superabile, è che la statistica sia un argomento comunque ostico, difficile, poco interessante per chi non è direttamente coinvolto. 

Superare questa barriera dovrebbe essere invece un impegno, consapevole e ostinato, da parte di tutto il sistema didattico e culturale, e uno strumento adatto allo scopo, sarebbe proprio il libro di Darrell Huff".

Un libro che rappresenta un antidoto sicuro nei confronti dell’uso spesso impreciso, talora sconsiderato, quasi sempre pericoloso, che della statistica fanno pubblicitari, giornalisti e politici a volte con il solo scopo di fare del sensazionalismo, a volte per promuovere interessi economici, politici o personali.

Gli stessi divulgatori spesso non hanno una percezione corretta dei numeri che stanno usando, ma non possono resistere, come l’autore ci mostra, dall’impiegarli per gonfiare, sensazionalizzare e sovrasemplificare.

Darrel Huff non rivolge una critica alla scienza statistica in sé, la cui utilità e importanza non è messa in questione, ma alle sue distorsioni, talvolta inconsce, che ci conducono per dare un significato diverso da quello contenuto (oppure assente) nei dati presentati. 

E' quindi soprattutto un libro che educa alla comprensione della statistica ma che insegna anche ad essere scettici non solo sull'accettazione dei dati ma anche sull'interpretazione che noi stessi potremmo darne. 

In statistica bisogna essere scettici su tutto, anche sulla propria analisi perché: 

"Non ci sono fatti, solo interpretazioni" (Friedrich Nietzsche)  

  

Note

Alcuni paragrafi sono stati ripresi da due miei precedenti articoli da cui si possono trarre altre curiosità:

"La statistica del pollo e i suoi inganni"

"Curva esponenziale...infodemica o pandemica?"

Il "marziano" Paul Halmos, il matematico con la passione per i gatti e la fotografia

"Marziani" era il termine usato per riferirsi a un gruppo di eminenti scienziati ebrei ungheresi (principalmente fisici e matematici, ma non solo) emigrati negli Stati Uniti nella prima metà del XX secolo, vale a dire dopo la Grande Purga del 1933.

Gli scienziati ungheresi erano apparentemente superumani nell'intelletto, parlavano una lingua madre incomprensibile e provenivano da un piccolo paese oscuro, e ciò li portò a essere chiamati "marziani", un nome che adottarono scherzosamente.

Nell'immagine (partendo da sinistra in alto):

John von Neumann, Paul Erdős, Eugene Wigner e Edward Teller, Leó Szilárd,

 Theodore von Kármán, Paul Halmos, George Polya e John G. Kemeny

Lo scherzo, sostenuto da John von Neumann, consisteva anche nel fatto che gli scienziati ungheresi fossero in realtà discendenti di una forza scout marziana, sbarcata a Budapest intorno all'anno 1900, che in seguito se ne fosse andata dopo aver ritenuto il pianeta inadatto, ma lasciando dietro di sé i figli di diverse donne terrestri, bambini che divennero tutti famosi scienziati. 

Tra questi scienziati tra cui, Paul Erdős, Theodore von Kármán, John G. Kemeny, John von Neumann, George Pólya, Leó Szilárd, Edward Teller, Eugene Wigner, è incluso anche Paul Halmos. 

Immagine di Halmos col gatto Roger 1970

©The Paul R. Halmos Papers at the Archives of American Mathematics.

Paul Richard Halmos (3 marzo 1916 - 2 ottobre 2006) è stato un matematico americano di origine ungherese che fece progressi fondamentali nelle aree della logica matematica, teoria della probabilità, statistica, teoria degli operatori, teoria ergodica, e analisi funzionale (in particolare, spazi di Hilbert ) ed è stato descritto appunto come uno dei marziani, noto per alcuni dei suoi libri di testo e per la sua collezione di fotografie di matematici.

Immagine di Halmos col gatto Roger 1970

©The Paul R. Halmos Papers at the Archives of American Mathematics.

Ma qui non voglio parlare dei suoi vastissimi contributi matematici ma di due curiosità che lo resero famoso. 

Oltre alla sua passione per i gatti, una è quella appunto della sua passione per la fotografia.

Paul R. Halmos si è infatti divertito a scattare fotografie dei matematici che ha incontrato in tutto il mondo e nei suoi vari campus negli Stati Uniti, tanto che nel 2011, 343 delle foto di Halmos, fatte tra il 1943 e il 1988, sono state digitalizzate dagli Archives of American Mathematics.

Halmos ha fotografato matematici, i loro coniugi, i loro fratelli e sorelle e altri parenti, i loro uffici, i loro cani e gatti...e delle circa 6000 fotografie della sua collezione, Halmos ne ha scelte circa 600 per il libro "I have a photographic Memory".

Copertina del libro "I have a photographic Memory".

Le immagini sono scatti sinceri che mostrano che i matematici sono semplicemente se stessi e le didascalie di accompagnamento, oltre a identificare i soggetti, contengono aneddoti e frammenti di storia che rivelano l'arguzia, il fascino e l'intuizione inimitabili di Halmos. 

Questo libro non è solo una deliziosa raccolta di cimeli matematici ma è anche un prezioso documento storico.

L'altra è ricordata nelle memorie dello stesso Halmos in cui afferma di aver inventato la notazione "iff" per le parole "se e solo se" e di essere stato il primo ad adottare la notazione "tombstone" ("lapide") per indicare la fine di una dimostrazione.

In matematica al posto dell'abbreviazione tradizionale "Q.E.D", "Quod Erat Demostrandum", che significa "che doveva essere dimostrato" (in italiano spesso sostituito da un meno dotto "C.V.D", "Come Volevasi Dimostrare") si usa anche il "tombstone" (la "lapide"), o appunto "halmos", "∎" (o "□") per denotare la fine di una dimostrazione.

La sua forma grafica varia, in quanto può essere 

un quadrato o un rettangolo pieno o vuoto

A volte quindi è chiamato "simbolo di finalità Halmos" o "halmos" dal nome del matematico che per primo lo usò in un contesto matematico nel 1950, avendo l'idea di introdurlo vedendo che veniva usato per indicare il fine di articoli su riviste. 

Nel suo libro di memorie "Voglio essere un matematico" scrisse:

"Il simbolo non è sicuramente una mia invenzione: è apparso su riviste popolari (non di matematica) prima che lo adottassi, ma, ancora una volta, mi sembra di averlo introdotto per primo in matematica. È il simbolo che a volte assomiglia a ▯, ed è usato per indicare una fine, di solito la fine di una dimostrazione. Il più delle volte è chiamato lapide, ma almeno un autore generoso lo ha definito halmos."

Non posso concludere questo breve post se non citando la risposta di Halmos alla domanda su cosa significasse per lui la matematica:

"It is security. Certainty. Truth. Beauty. Insight. Structure. Architecture. I see mathematics, the part of human knowledge that I call mathematics, as one thing - one great, glorious thing." 

Aggiungo questo video di 44 minuti che contiene una rara intervista di Peter Renz a Paul Halmos, in cui rivela i suoi pensieri sulla matematica e su come insegnarla e scriverne.

 

Animali matematici

"Animali" è il tema proposto da Paolo Alessandrini per il Carnevale della Matematica #150 di maggio ed io mi sono ricordata di un curioso e interessante articolo, letto circa un anno fa, proprio dedicato alla matematica degli animali.

Scritto molto bene da Erik Nelson, un dottorando in filosofia presso la Dalhousie University che si concentra sulla filosofia della cognizione animale, e correlato da un simpatico video, mi ha dato lo spunto per rispondere al tema, con questa libera traduzione intercalata da mie considerazioni e alcune note.

I pappagalli grigi africani sono molto chiacchieroni 

Si pensa che gli esseri umani siano diversi dagli altri animali in modo fondamentale tanto da renderci unici, o anche più avanzati di altre specie. 

Spesso però queste affermazioni di superiorità umana sono utilizzate per giustificare il modo in cui trattiamo gli animali, in casa, in laboratorio o nell'allevamento industriale.

Allora cos'è che ci rende così diversi dagli altri animali? 

Molti filosofi, passati e presenti, hanno indicato che siano le nostre capacità linguistiche. 

Questi filosofi sostengono infatti che il linguaggio non solo ci permette di comunicare tra di noi, ma rende anche le nostre vite mentali più sofisticate di quelle che mancano di linguaggio. Alcuni filosofi sono arrivati ​​al punto di sostenere che le creature prive di linguaggio non sono in grado di essere razionali, fare inferenze, afferrare concetti o persino avere credenze o pensieri.

Illustrazione di uno scimpanzé imbronciato dal libro di Charles Darwin del 1872,

 "L'espressione delle emozioni nell'uomo e negli animali". (Collezione Wellcome)

Anche se siamo disposti ad accettare queste affermazioni, cosa dovremmo pensare degli animali che sono in grado di parlare? 

Molti tipi di uccelli , per esempio i pappagalli, sono in grado di emettere suoni di tipo linguistico, e ai gorilla e agli scimpanzé è stato insegnato a comunicare usando il linguaggio dei segni. 

Queste vocalizzazioni o comunicazioni indicano davvero che, come gli esseri umani, anche questi animali sono capaci di sofisticati processi mentali?

Gli studiosi hanno generalmente risposto a questa domanda negando che i pappagalli parlanti e i gorilla che comunicano con segni dimostrino qualcosa di più di una mimica intelligente. 

Robert Brandom , illustre Professore di Filosofia dell'Università di Pittsburgh, ha affermato che se un pappagallo dice "rosso" quando gli si mostrano oggetti rossi e "blu" quando gli si presentano oggetti blu, non ha effettivamente dimostrato di comprendere il significato di quelle parole, perché, secondo Brandom e molti altri studiosi, comprendere il significato di una parola richiede di comprendere sia il significato di quella parola sia le connessioni che esistono tra quella e altre parole.

Quindi, se un pappagallo è in grado di dirci il colore di oggetti diversi, ciò non significa necessariamente che il pappagallo capisca il significato di quelle parole. Per fare ciò, un pappagallo dovrebbe dimostrare di comprendere anche che il rosso e il blu rientrano nella categoria del colore, o che se qualcosa è totalmente rosso non può, allo stesso tempo, essere completamente blu.

Pappagallo grigio il più usato per esperimenti di tipo matematico

Ma quale tipo di comportamento dimostrerebbe che un pappagallo o uno scimpanzé hanno capito le parole che stanno usando? 

Erik Nelson, come filosofo che si concentra sullo studio della cognizione animale, per rispondere a questo tipo di domanda, esamina il lavoro sia empirico che teorico.

In una recente ricerca, sostiene che testare le capacità aritmetiche di un animale può fornire informazioni su quanto siano in grado di capire. 

Per capirne il perché, dobbiamo però fare una breve deviazione attraverso la filosofia della matematica.

Il matematico e filosofo tedesco Gottlob Frege

Alla fine del 1800, il matematico e filosofo tedesco Gottlob Frege (Wismar, 8 novembre 1848 – Bad Kleinen, 26 luglio 1925), considerato quasi unanimemente dalla critica odierna uno dei più grandi logici dopo Aristotele ed il padre del pensiero formale del Novecento, cercò di dimostrare che l'aritmetica è una scienza logica oggettiva. 

Molti filosofi e matematici all'epoca pensavano che l'aritmetica fosse semplicemente un artefatto della psicologia umana e Frege temeva che una tale comprensione avrebbe reso l'aritmetica del tutto soggettiva, ponendola su un terreno non più solido delle ultime tendenze della moda.

Il frontespizio del "Die Grundlagen der Arithmetik" 

di Gottlob Frege, pubblicato nel 1884.

In "Die Grundlagen der Arithmetik", Frege inizia analizzando logicamente che tipo di entità siano i numeri e ritiene che la chiave di questa indagine sia capire cosa serve per rispondere alla domanda "quanti?".

Se ti passo un mazzo di carte e chiedo: "Quante?" senza specificare cosa voglio contare, sarebbe difficile anche solo capire che tipo di risposta sto cercando. 

Ti sto chiedendo quanti mazzi di carte, quante carte, quanti semi o qualsiasi altro numero di modi per dividere il mazzo? 

Se chiedo: "Quanti semi?" e rispondi “quattro”, stai dimostrando non solo che sai contare, ma che capisci cosa sono i semi.

Frege pensava che l'applicazione delle etichette numeriche dipendesse dalla capacità di cogliere la connessione tra ciò che viene contato e quanti ce ne sono. 

Risposta "quattro" alla domanda "Quanti?" potrebbe sembrare un atto disconnesso, come i pappagalli che chiamano semplicemente "rossi" gli oggetti rossi. Quindi, se gli animali sono in grado di rispondere correttamente in modo affidabile alla domanda "Quanti?" questo dimostrerebbe che capiscono la connessione tra la quantità numerica e gli oggetti di cui vengono interrogati.

Immagine dal Video di Irene Pepperberg

Un esempio di animali che dimostrano una vasta gamma di capacità aritmetiche è dato dal lavoro che Irene Pepperberg ha fatto con i pappagalli grigi africani, i più famosi suoi soggetti Alex e Griffin.

Alex, un pappagallo africano grigio, è stato in grado di dimostrare grande abilità con i numeri e ha cambiato il modo in cui pensiamo ai cervelli degli uccelli.

Nel 1977, la dottoressa Irene Pepperberg e Alex, il suo primo soggetto di ricerca sui pappagalli grigi, iniziarono una ricerca fondamentale sulle capacità cognitive dei pappagalli, fornendo una nuova visione dell'intelligenza non umana. 

Attraverso i suoi metodi pionieristici, Alex ha imparato a utilizzare con precisione oltre cento etichette per descrivere oggetti, forme, colori e materiali, ha fatto semplici calcoli e ha compreso i concetti di "nessuno", "uguale / diverso", "più grande/più piccolo". 

Per testare le capacità aritmetiche di Alex, Pepperberg gli mostrava una serie di oggetti su un vassoio e gli chiedeva: "Quanti?" per ciascuno degli oggetti. Ad esempio, gli mostrava un vassoio con oggetti di forma diversa e gli chiedeva: "Quanti quattro angoli?" (La parola di Alex per i quadrati.) e Alex è stato in grado di fornire la risposta in modo affidabile per importi fino a sei.

Alex è stato anche in grado di fornire il nome dell'oggetto se gli è stato chiesto di cercare un certo numero di quegli oggetti. 

Ad esempio, se un vassoio conteneva diverse quantità di oggetti colorati, inclusi cinque oggetti rossi, e ad Alex veniva chiesto: "Di che colore è cinque?" Alex è stata in grado di rispondere correttamente dicendo "rosso".

Le indagini di Pepperberg sulla capacità di apprendere e comprendere l'aritmetica di base forniscono esempi che dimostrano che Alex era in grado di fare di più che imitare semplicemente i suoni umani. 

Fornire la risposta giusta quando gli veniva chiesto "Quanti?" implicava che fosse in grado di capire le connessioni tra la quantità numerica e gli oggetti su cui veniva interrogato.

Uno scimpanzé alle prese con questioni numeriche

Sebbene i risultati di Pepperberg siano impressionanti, sono tutt'altro che unici e le capacità numeriche sono state identificate in molte specie diverse, in particolare gli scimpanzé. 

Le scimmie sono matematiche, anche se imprecise! 

La ricerca comparativa ha verificato che le scimmie utilizzano informazioni quantitative e numeriche, come dimostrato in un articolo "Abilità matematiche della scimmia" di Michael J. Beran, Bonnie M. Perdue e Theodore A. Evans in cui si delineano molti di questi risultati. 

L'articolo inizia con una sintesi storica del lavoro con i primati nella valutazione del ruolo che il numero gioca nella vita di questi animali e si concentra quindi sulla questione se i primati possono contare e possono usare i simboli per rappresentare le informazioni numeriche. 

Anche se le prove per il conteggio sono limitate, pare chiaro che possono esprimere giudizi di grandezze ordinate e possono imparare ad associare simboli con varie quantità e numeri di elementi.

Immagine di un cane (Achille) a cui vengono riempite due ciotole 

con più o meno cibo - Foto © Silvia Manzo

Alcune di queste capacità dimostrano che gli animali comprendono le connessioni sottostanti tra diverse parole ed etichette e che stanno quindi facendo qualcosa di più che imitare i suoni e le azioni degli umani che li circondano.

Gli animali che possono fare operazioni aritmetiche di base ci mostrano che alcuni sono davvero in grado di comprendere i termini che usano e le connessioni tra di loro. 

Diversi studi hanno suggerito che dozzine di specie animali sono in grado di elaborare informazioni numeriche. 

Animali diversi come mammiferi, uccelli, anfibi, pesci e persino alcuni invertebrati sono stati studiati con successo attraverso una formazione approfondita e l'osservazione del comportamento spontaneo, fornendo la prova che le capacità numeriche non sono limitate ai primati. 

Lo studio delle specie non primate rappresenta uno strumento utile per ampliare la nostra comprensione dell'unicità delle nostre capacità cognitive, in particolare per quanto riguarda le radici evolutive della mente matematica.

I test sui cani, ad esempio, hanno dimostrato che hanno una conoscenza di base della cardinalità: il numero di cose in offerta. 

Se viene mostrata una pila di leccornie e poi viene mostrata di nuovo la pila dopo che è stata nascosta e il numero di leccornie è leggermente cambiato, reagiranno in modo diverso rispetto al fatto che non ci fosse stato alcun cambiamento.

Tuttavia, è ancora una questione aperta se la loro comprensione di queste connessioni sia il risultato dell'apprendimento di espressioni linguistiche o se le loro espressioni linguistiche aiutino semplicemente a dimostrare le capacità sottostanti.

Il cavallo Clever Hans

Vorrei ricordare, come curiosità finale, quella del cavallo di nome Clever Hans  divenuto famoso all'inizio del '900, entusiasmando il pubblico con le sue capacità di conteggio. 

Il suo allenatore poneva un problema e il cavallo batteva la risposta. 

Alla fine, però, si è scoperto che Hans non poteva davvero aggiungere o sottrarre, ma stava invece rispondendo a segnali sottili e involontari del suo allenatore, che si sarebbe visibilmente rilassato quando il cavallo avesse raggiunto il numero corretto. 

Fonti

Libera traduzione, alcune immagini e video tratti da "Animals that can do math understand more language than we think"

https://theconversation.com/animals-that-can-do-math-understand-more-language-than-we-think-133736