Verità imperfette: wabi-sabi, Gödel e la ceramica raku

Viviamo in un mondo che celebra la perfezione, la velocità, l’efficienza, ma è nel limite, nell’errore e nell’incompleto che spesso si nascondono le verità più profonde. 

La stessa nozione di "verità imperfetta" può sembrare una contraddizione. La verità, per definizione, non dovrebbe forse essere integra, definitiva, immune da ambiguità? 

E tuttavia, sia la logica matematica che l’estetica tradizionale giapponese ci suggeriscono il contrario, cioè che esistono verità non dimostrabili, bellezze non simmetriche, forme non rifinite che contengono, proprio per questo, una forma più alta di autenticità.

Opera "Testa" dell'artista  Natalia Lubomirski - tecnica mista con base in raku nudo

Questo mio articolo nasce dal desiderio di proporre un dialogo inusuale tra tre ambiti solo apparentemente distanti: 

. la sensibilità estetica del wabi-sabi, 

. il teorema di incompletezza di Kurt Gödel e 

. la tecnica ceramica raku 

mettendoli a confronto per riflettere sul ruolo positivo dell’imperfezione e del limite nella verità, nella bellezza e nella creazione.

Cosa ci suggeriscono, nel loro insieme, rispetto al concetto di imperfezione e alle strutture del sapere e della creazione?

Wabi-sabi scritto in giapponese 

Wabi-sabi – Bellezza senza controllo

Il wabi-sabi è una sensibilità estetica giapponese che valorizza l’imperfetto, il transitorio, l’incompleto. 

Nelle forme asimmetriche, nei materiali grezzi, nelle superfici segnate dal tempo, si manifesta una bellezza intima e sobria. 

Il wabi-sabi non ricerca l’eternità, ma accoglie il divenire, non pretende la perfezione, ma la fragilità.

Derivato dalle pratiche Zen e dalla cerimonia del tè, il wabi-sabi suggerisce una visione del mondo in cui l’essere è sempre in divenire. 

È una filosofia del tempo, della precarietà e della profondità in cui l’oggetto bello non è quello che sfida il tempo, ma quello che lo incorpora visibilmente in sé: nella patina, nella scheggiatura, nell’asimmetria. 

Il valore non risiede nella finitezza dell’opera, ma nella sua capacità di evocare un silenzio contemplativo, un vuoto fertile.

Caricatura di Kurt Gödel dalla copertina del libro di Deborah Gambetta

 "Incompletezza - Una storia di Kurt Gödel"

Gödel – L’incompletezza come verità

Nel 1931, il logico austriaco Kurt Gödel pubblica i suoi celebri teoremi di incompletezza, modificando radicalmente la visione della logica formale e dei fondamenti della matematica. 

Il primo teorema afferma che in ogni sistema assiomatico coerente e sufficientemente potente da includere l’aritmetica esistono proposizioni vere che non sono dimostrabili all’interno del sistema stesso. 

Il secondo teorema stabilisce che la coerenza di un tale sistema non può essere dimostrata all’interno del sistema medesimo.

Queste affermazioni hanno implicazioni profonde e negano la possibilità di fondare la matematica su un sistema formale completo e chiuso, come sperato nel programma di David Hilbert. 

In una lettera a John von Neumann (1931), Gödel scrive: 

“Per ogni sistema formale coerente, ci sarà sempre un enunciato che afferma la propria verità ma non può essere provato nel sistema.”

L’incompletezza, dunque, non va intesa come fallimento, ma come un limite strutturale e costitutivo. 

Essa introduce una soglia epistemica che separa ciò che è formalmente derivabile da ciò che è logicamente (o intuitivamente) vero. 

Una soglia che, lungi dall’essere un difetto, garantisce la vitalità della ricerca matematica, come dire che vi è sempre qualcosa di vero che attende di essere pensato, ma non può essere dedotto.

Opera dell'artista Cinzia Fantozzi - Immagine tratta dalla pagina Raku e dintorni

A prima vista, il teorema di Gödel e la filosofia estetica del wabi-sabi appartengono a mondi inconciliabili: uno nasce dalla logica formale del primo Novecento, l’altro da una sensibilità millenaria orientale. 

Eppure entrambi mettono in discussione l’idea di completezza e di perfezione come ideali assoluti.

Nel wabi-sabi, l’imperfezione non è un errore da correggere, ma una qualità da accogliere e, allo stesso modo in Gödel, l’incompletezza non rappresenta un fallimento del sistema, ma una verità più profonda: che ogni costruzione formale lascia fuori qualcosa, un “di più” che non può essere catturato da regole.

Entrambe le visioni condividono l’accettazione del limite come apertura. 

Il silenzio lasciato da ciò che non si può dimostrare (in Gödel), come lo spazio vuoto o la crepa in una tazza wabi-sabi, non è un difetto: è ciò che rende l’opera viva, e la verità accessibile solo attraverso un’intuizione non completamente formalizzabile.

Opere Raku delle artiste Natalia Lubomirski e Cinzia Fantozzi

con le allieve Maria Grazia Giustizieri e Giusi Manini

Foto dalla mostra "L'imperfezione della bellezza"

Immagine elaborata da Annalisa Santi

Raku – L’opera è il fuoco

La ceramica raku nasce in Giappone nel XVI secolo, strettamente legata alla cerimonia del tè e alla filosofia Zen. 

L’argilla viene cotta rapidamente e poi estratta dal forno incandescente per essere posta in materiali combustibili. 

Il risultato è imprevedibile e ogni pezzo è unico, segnato dal caso, dalla materia, dal fuoco. 

Le crepe dello smalto, il tipico "craquelé", non sono difetti, ma tracce del processo, impronte del tempo e della trasformazione.

Come lo spazio vuoto o la crepa in una tazza wabi-sabi, anche il craquelé del raku non va nascosto ed è ciò che rende l’opera viva. 

È in queste fratture che si riflette una verità non programmata, accessibile solo attraverso un’intuizione che sfugge alla pianificazione e al controllo formale.

Il controllo dell’artista è solo parziale e l’opera accade, più che essere progettata.

Il raku diviene quindi l'espressione materiale di un principio condiviso con Gödel e il wabi-sabi, vale a dire la creazione che accetta l’incertezza, l’unicità, l’irripetibile.

Immagine elaborata da Annalisa Santi 

Wabi-sabi, Gödel e Raku  –  Tre visioni, un principio comune

In definitiva Wabi-sabi, Gödel e Raku convergono, in modo sorprendente, nella valorizzazione del limite e dove la perfezione logica fallisce, si apre lo spazio della verità irriducibile. 

Dove la bellezza si libera dal canone simmetrico, nasce una nuova sensibilità, e dove l’opera non è totalmente controllata, può manifestarsi l’inaspettato. 

L’imperfezione, in questo senso, non è una mancanza ma una condizione necessaria.

In una contemporaneità che tende a privilegiare l’efficienza, la completezza e il controllo, queste tre visioni offrono un’alternativa che consiste nel riconoscere valore nel non finito, nel non detto, nel non calcolabile. L’incompletezza - logica, estetica e materiale - non va temuta, ma riconosciuta come apertura verso ciò che eccede il sistema, la regola, la forma. 

Una zona dove la verità e la bellezza non si dimostrano, ma si intuiscono, si lasciano accadere.

L'affascinante e intrigante tecnica raku in questo video da CineFilosofia

Matematica, un'inesauribile conoscenza!

Il tema del Carnevale di aprile 2024 tenuto da MaddMaths!, "Matematica inesauribile", mi ha fatto immediatamente pensare ai Teoremi di Incompletezza di Gödel che penso forniscano una nozione precisa di inesauribilità, proprio perché in definitiva affermano che le teorie possono essere estese all'infinito con asserzioni di coerenza e che qualsiasi teoria può essere estesa al punto da produrre una teoria decisamente più forte.

In proposito Torkel Franzén  ha scritto un libro interessante, "Inexhaustibility - A Non-Exhaustive Treatment - Lecture Notes in Logic" dove dimostra proprio che la nostra conoscenza matematica è inesauribile e dove l'inesauribilità della conoscenza matematica viene trattata sulla base del concetto di progressioni transfinite delle teorie concepito da Turing e Feferman.

Non voglio addentrarmi nel concetto di progressioni transfinite, che lascio alla trattazione di un interessante .pdf, ma solo ricordare che i Teoremi di Incompletezza di Gödel oltre a essere tra i risultati più significativi nella fondazione della matematica, hanno altresì aperto a nuove trattative filosofico/matematiche sull'inesauribilità.

Com'è noto i Teoremi di Incompletezza di Gödel sono due teoremi della logica matematica che riguardano i limiti della dimostrabilità nelle teorie assiomatiche formali. 

Questi risultati, pubblicati da Kurt Gödel nel 1931, sono importanti sia nella logica matematica che nella filosofia della matematica. 

I teoremi principalmente dimostrano che il programma di David Hilbert, per trovare un insieme completo e coerente di assiomi per tutta la matematica, è impossibile.

David Hilbert (1862 - 1943)

La teoria della dimostrazione non è una materia inventata per sostenere una dottrina formalista nella filosofia della matematica, ma piuttosto, è stata sviluppata come un tentativo di analizzare aspetti dell'esperienza matematica per isolare e possibilmente superare, problemi metodologici nei fondamenti della matematica. 

Le origini di questi problemi, formulati con forza e talvolta in modo controverso negli anni '20, sono rintracciabili già nella trasformazione della matematica nel diciannovesimo secolo, con l’emergere della matematica astratta, il suo affidamento su nozioni di teoria degli insiemi e la sua attenzione alla logica in un contesto ampio e fondamentale. 

Questioni sostanziali emersero già nei lavori matematici e nei saggi fondamentali di Richard Dedekind e Leopold Kronecker e riguardavano la legittimità di concetti indecidibili, l'esistenza di infiniti oggetti matematici e il senso delle prove non costruttive di asserzioni esistenziali.

Nel tentativo di mediare tra posizioni fondative contrastanti, Hilbert spostò le questioni, già intorno al 1900, da un livello matematico a un livello metamatematico vagamente concepito. 

Questo approccio venne rigorosamente realizzato appunto negli anni ’20, quando egli approfittò della possibilità di formalizzare la matematica in sistemi deduttivi e indagò i quadri formali sottostanti da un punto di vista strettamente costruttivo, "finitista". 

L'approccio di Hilbert sollevò affascinanti questioni metamatematiche: dalla completezza semantica alla decidibilità meccanica fino all'incompletezza sintattica. 

Tuttavia, la soluzione matematica sperata dei problemi fondamentali non fu raggiunta e il fallimento del suo programma di coerenza finitista sollevò e approfondì questioni metodologiche altrettanto affascinanti. 

Una gamma più ampia di problemi con soluzioni solo parziali ha creato un argomento vivace che abbraccia questioni computazionali, matematiche e filosofiche, con una ricca storia.

In un sistema matematico, pensatori come Hilbert credevano infatti che fosse solo questione di tempo trovare una tale assiomatizzazione che permettesse di provare o confutare (dimostrandone la negazione) ogni formula matematica.

Il problema era se esistessero teorie incomplete (e necessariamente coerenti) ovvero basate su affermazioni che non potessero essere dimostrate né vere né false. Tra queste c’è l’aritmetica, per cui tutta la matematica che usa l’aritmetica rientra tra le teorie incomplete.

Kurt Gödel (1906 - 1978)

Nel 1931 il matematico e logico austriaco Kurt Gödel pubblicò un articolo che mostrava che esistono affermazioni aritmetiche vere che non possono essere dimostrate nel sistema formale dei Principia Mathematica, assumendo che Principia Mathematica fosse coerente, e i suoi metodi non si applicavano solo ai Principia ma a qualsiasi sistema formale che contenesse un minimo di aritmetica. 

Poco dopo la II Conferenza sull'epistemologia delle scienze esatte, organizzata dal 5 al 7 settembre 1930 dalla Gesellschaft für empirische Philosophie, il 20 novembre, von Neumann scrisse a Gödel per annunciargli di aver scoperto un notevole corollario del suo risultato: l'indimostrabilità della coerenza (secondo teorema di incompletezza). 

Nel frattempo, però, tale risultato era stato ottenuto anche da Gödel ed era stato comunicato da Hahn all'Accademia delle Scienze di Vienna il 23 ottobre 1930. 

Il 1° novembre 1930 i "Monatshefte für Mathematik und Physik" ricevettero l'articolo epocale di Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I (Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia mathematica e di sistemi simili) pubblicato nel 1931.

Quindi un paio di mesi dopo che Gödel aveva annunciato questo risultato in una conferenza a Königsberg nel settembre 1930, dove John von Neumann aveva altresì parlato del formalismo descrivendo il programma di Hilbert come la ricerca di una dimostrazione di conservatività dei concetti transfiniti rispetto a quelli finiti¹,  John von Neumann e lo stesso Gödel si resero conto, indipendentemente, che dal teorema di incompletezza si poteva trarre un sorprendente corollario. 

"Ogni teoria coerente ed effettivamente assiomatizzata che consenta lo sviluppo di parti fondamentali dell’aritmetica non può dimostrare la propria coerenza." 

Questo divenne noto come il secondo teorema di incompletezza. 

Il secondo teorema di incompletezza confutava le ambizioni generali del programma di Hilbert. 

In risposta al risultato di Gödel, Hilbert tentò, nel suo ultimo articolo pubblicato, di formulare una strategia per prove di coerenza che ricordava le sue considerazioni dei primi anni '20 (quando pensava alle teorie degli oggetti come costruttive) ed estendeva chiaramente il punto di vista finitista.

Riassumendo il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che nessun sistema coerente di assiomi i cui teoremi possano essere elencati mediante una procedura efficace (come un algoritmo) è in grado di dimostrare tutte le verità sull'aritmetica dei numeri naturali. 

Vale a dire che per qualsiasi sistema formale coerente di questo tipo, ci saranno sempre affermazioni sui numeri naturali che sono vere, ma che non sono dimostrabili all'interno del sistema.

Il secondo teorema di incompletezza, estensione del primo, mostra che il sistema non può dimostrare la propria coerenza.

In sintesi Gödel dice che possono esserci delle proposizioni matematiche vere ma non dimostrabili e l'incompletezza riguarda la dimostrabilità.

Ad esempio la congettura di Riemann non ha ancora dimostrazione. Ma esiste? 

La congettura di Goldbach da secoli attende una dimostrazione. Ma esiste? 

L'ultimo teorema di Fermat fino a una trentina di anni fa era senza dimostrazione (cioè era una congettura) ma poi è stata trovata da Andrew Wiles!

Fin qui è tutto chiaro?

Forse non del tutto perché principalmente bisognerebbe spiegare cosa sia la logica.

La logica è un modo ordinato per dimostrare una cosa partendo da un'altra e questo si chiama presupposto di base, o assioma. 

Gli assiomi non li dimostriamo ma li accettiamo perché sembrano ragionevoli o utili per un determinato scopo. Dopo aver deciso gli assiomi, dobbiamo anche accordarci sulle regole di inferenza logica, e poi possiamo trarre conclusioni in modo semplice: ogni conclusione o è essa stessa un assioma, oppure segue direttamente dalle conclusioni precedenti tramite una delle regole di inferenza.

Questo metodo di indagine, il "metodo assiomatico", è antico e sebbene non ci permetta di conoscere le cose "con assoluta certezza", ci rende almeno più facile scoprire esattamente su cosa ci basiamo quando affermiamo qualcosa: quali sono gli assiomi alla base dell'asserzione e quali sono le regole di inferenza logica che abbiamo utilizzato per passare da un'asserzione all'altra. 

Un noto dialogo di Lewis Carroll, "What the Tortoise Said to Achilles" ("Ciò che la tartaruga disse ad Achille") dimostra però che anche la seconda componente del metodo, le regole di inferenza, non è immune da dubbi.

Scritto da Lewis Carroll (pseudonimo di Charles Lutwidge Dodgson, che oltre a scrivere le celebri quanto un po' ambigue e inquietanti favole di Alice, era, oltre che un illustre fotografo britannico, un matematico e un logico) nel 1895 per la rivista filosofica Mind, è un breve dialogo allegorico sui fondamenti della logica. 

Il titolo allude a uno dei paradossi del movimento di Zenone, in cui Achille non avrebbe mai potuto superare la tartaruga in una corsa. 

Nel dialogo di Carroll, la tartaruga sfida Achille a usare la forza della logica per fargli accettare la conclusione di un semplice argomento deduttivo. Alla fine Achille fallisce, perché l'astuta tartaruga lo conduce in una regressione infinita.

Il dialogo di Carroll è apparentemente la prima descrizione di un ostacolo al "convenzionalismo" sulla verità logica e dimostra che esiste un problema regressivo che nasce dalle deduzioni del modus ponens².

In generale, il metodo genera solo un elenco sempre crescente di affermazioni vere, ma mai la conclusione. Quindi possiamo andare avanti all’infinito senza arrivare alla conclusione. In questo senso, si tratta di un "regresso infinito", anche se il termine "regresso" potrebbe non sembrare del tutto appropriato e non credo che Lewis l'abbia usato.

Più semplicemente Carroll ha dimostrato che il fatto di avere assiomi, anche i migliori e più perfetti, non è sufficiente per determinare la verità in un sistema logico, poiché bisogna anche stare molto attenti alla scelta delle regole di inferenza. 

Concludendo i teoremi di incompletezza di Gödel hanno dimostrato che la matematica è inesauribile?

A questa domanda faccio rispondere da Tullio Eugenio Regge matematico e fisico italiano : 

Tullio Eugenio Regge (1931 - 2014)

"Neppure la matematica può considerarsi come un sistema chiuso e completo di assiomi e teoremi. Il mondo matematico è inesauribile, nessun insieme finito di postulati e di deduzioni potrà mai darci la risposta a tutte le domande. Il teorema di Gödel pose brutalmente fine a tutti i tentativi di condensare la matematica in una lista di assiomi da cui dovrebbe seguire la verità o la falsità di ogni sua asserzione. Se lo stesso linguaggio matematico che la fisica usa per descrivere il mondo rimane intrinsecamente incompleto, non è ragionevole attendersi che l'universo sia descrivibile a partire da un insieme finito di leggi naturali. A molti ripugna l'incompletezza della matematica e di riflesso quella della fisica, ma va detto che per le scienze esatte il teorema di Gödel non è affatto una sconfitta: al contrario, esso ci fornisce una spinta intellettuale verso sviluppi sempre più ampi e fecondi."

Note 

¹ Ce ne parla Gabriele Lolli, uno dei maggiori esperti di logica e di filosofia della matematica, in un'interessante intervista del 2011 

² Carroll affronta la regola più importante della logica del primo ordine, il modus ponens, che dice che se si assume un enunciato P, e se si assume anche l'enunciato condizionale "P implica Q" (o precedentemente dimostrato), allora l’enunciato Q stesso è una conseguenza logica e può quindi considerarsi dimostrato. Ciò che Achille impara è che il modus ponens deve essere prima concesso come regola di inferenza, altrimenti non si potrà mai raggiungere alcuna conclusione.

Se p implica q è una proposizione vera, e anche la premessa p è vera, allora la conseguenza q è vera o in notazione con operatori logici:

[(p->q)∧p]⊢q

dove ⊢ rappresenta l'asserzione logica, nota anche come sequente

Matematica e Intelligenza Artificiale, due rami dello stesso albero

 "La matematica e l'intelligenza artificiale sono due rami dello stesso albero"

Con queste parole il professor Angel Garrido, dottore in filosofia con master in Intelligenza Artificiale e Matematica, docente all'UNED di Madrid, ha voluto evidenziare il fatto che uno dei motivi principali per cui l'Intelligenza Artificiale è stata in grado di ottenere così tanto, ed ha ancora il potenziale per ottenere molto di più, è la Matematica.

Ovverosia l'Intelligenza Artificiale è principalmente una miscela di matematica e programmazione. 

AI Artificial Intelligence o IA Intelligenza Artificiale

Grandi menti matematiche hanno svolto un ruolo chiave nell'IA negli ultimi anni e solo per citarne alcuni: Janos Neumann (noto anche come John von Neumann), Konrad Zuse, Norbert Wiener, Claude E. Shannon, Alan M. Turing, Grigore Moisil, Lofti A. Zadeh, Ronald R. Yager, Michio Sugeno, Solomon Marcus, o Albert-Lászlò Barabási... 

Introdurre quindi anche lo studio dell'intelligenza artificiale non è solo utile per la sua capacità di risolvere problemi difficili, ma, soprattutto per la sua natura matematica, ci prepara a comprendere il mondo attuale, permettendoci di agire sulle sfide del futuro.

Sentiamo tutti parlare di come la matematica sia tutt'intorno a noi, ma quello di cui potremmo non renderci conto è che anche l'Intelligenza Artificiale sia già tutt'intorno a noi. 

Nel bel mezzo delle conversazioni sul meraviglioso (e talvolta pericoloso) futuro che l'IA ci riserva, con le sue auto autonome, i robot, l'enorme potenziale nella sanità, nell'istruzione e così via, non riusciamo spesso a riconoscere il suo contributo alla nostra vita di tutti i giorni.

Le previsioni basate sull'Intelligenza Artificiale di Google, per Google Maps, analizzano il movimento del traffico in un dato momento raccogliendo dati anonimi sulla posizione dai dispositivi mobili. 

Le app di ride sharing come Ola e Uber utilizzano l'aiuto dell'IA per determinare il prezzo, ridurre al minimo i tempi di attesa e le deviazioni. 

I voli commerciali utilizzano gli autopiloti IA, riducendo a pochi minuti il ​​tempo di coinvolgimento umano, quello solo per il decollo e l'atterraggio.

Nella posta elettronica l'IA analizza il filtro antispam e la categorizzazione intelligente della posta.

Nel settore bancario/finanziario, l'intelligenza artificiale viene utilizzata per determinare e prevenire transazioni fraudolente e anche nelle decisioni di credito. 

Nei social network, Facebook utilizza l'Intelligenza Artificiale per riconoscere i volti e suggerire tag, Instagram utilizza l'apprendimento automatico per identificare il significato contestuale degli emoji, anche i filtri Snapchat sono possibili grazie all'Intelligenza Artificiale.

L'elenco è davvero lungo e include anche le nostre attuali applicazioni AI preferite, ovvero gli assistenti personali intelligenti. 

Che si tratti di Google Assistant, Siri, Alexa o Cortana, questi assistenti svolgono un ruolo enorme nel rendere le nostre vite più comode, il tutto utilizzando la tecnologia voice-to-text. 

L'ultimo eclatante esempio è Chat GPT, il nuovo strumento di OpenAI che mira a rendere l’interazione con i sistemi di Intelligenza Artificiale più naturale e intuitiva.

L'Intelligenza Artificiale conversazionale ha fatto molta strada negli ultimi anni, con numerosi modelli e piattaforme sviluppati per consentire alle macchine di comprendere e rispondere agli input del linguaggio naturale.

Tra questi c'è appunto Chat GPT, acronimo di Generative Pretrained Transformer, la startup fondata da Sam Altman, uno strumento di elaborazione del linguaggio naturale (o Natural Language Processing) potente e versatile che utilizza algoritmi avanzati di apprendimento automatico per generare risposte simili a quelle umane all’interno di un discorso. 

Resta però il fatto che, nel settore dell'intelligenza artificiale, sia implicato anche l'uso dei dati personali da parte degli algoritmi e credo sia necessario creare un insieme di regole, come l'AI Act, il pacchetto di regole comunitarie sull'intelligenza artificiale ancora in bozza, per tutelare o almeno fare chiarezza sull'uso dei dati sensibili.

Ritornando al titolo, tutto ciò è reso possibile solo grazie alla Matematica.

Come Galileo Galilei era convinto che bisognasse conoscere l’arte matematica per poter comprendere a fondo la natura ("La matematica è il linguaggio con il quale Dio ha creato il mondo"), così conoscere la matematica è fondamentale per l'Intelligenza Artificiale.

Avere una laurea in Matematica non è una necessità assoluta per creare reti neurali per l'IA, ma le persone che scrivono gli algoritmi, che fanno la ricerca o indagano sui confini delle capacità dell'IA non possono andare lontano senza imparare la matematica coinvolta. 

Questo è il motivo per cui la Matematica è essenziale per l'Intelligenza Artificiale e l'apprendimento automatico, perché ci guida nel modo in cui possiamo risolvere problemi astratti profondi molto difficili e lo fa utilizzando metodi e tecniche già noti. 

L'Intelligenza Artificiale è descritta come una tecnologia che consente a una macchina di simulare il comportamento umano e l'apprendimento automatico è una parte dell'IA che consente a una macchina di apprendere automaticamente dai dati passati senza dover essere esplicitamente programmata per farlo.

Ma quali sono i rami di matematica essenziali per l'intelligenza artificiale?

Gli argomenti di matematica utilizzati nell'intelligenza artificiale includono, principalmente algebra lineare, analisi matematica (calculus), probabilità e statistica.

- L'algebra lineare è utilizzata nell'apprendimento automatico per definire i parametri e la struttura di diversi algoritmi di apprendimento automatico. Questo aiuta a capire come vengono assemblate le reti neurali e come funzionano.

Gli argomenti principali sono: scalari, vettori, matrici, tensori, autovalori, norme di matrice...

- L'analisi matematica è utilizzata per amplificare la parte sofisticata dell'apprendimento automatico. Questo è ciò che fa sì che l'IA impari dagli esempi, aggiorni i parametri di diversi modelli di volta in volta e renda le prestazioni del tutto migliori.

Gli argomenti importanti sono: derivate, derivate parziali e direzionali, integrali, operatori differenziali, gradienti, algoritmi del gradiente (massimi e minimi locali/globali, SGD Stochastic Gradient Descent, NAG Numerical Algebraic Graphical, MAG Mathematical Analysis Group, Adams), ottimizzazione convessa...

In ANN (Artificial Neural Network), che è un algoritmo nell'IA, il suo funzionamento principale è progettato utilizzando il calcolo differenziale e vale per altri algoritmi di apprendimento. 

- La teoria della probabilità e la statistica sono utilizzate per formulare ipotesi sui dati sottostanti quando si progettano questi algoritmi di deep learning o IA ed è quindi essenziale comprendere le principali distribuzioni di probabilità.

Argomenti importanti sono: variabili casuali, distribuzioni (binomiale, Bernoulli, Poisson, esponenziale, gaussiana), varianza e aspettative, elementi di probabilità, teorema di Bayes (MAP Maximum a posteriori, ML Maximum Likelihoo), variabili casuali speciali...

Il fondamento dell'intelligenza artificiale, come più o meno tutto ciò che riguarda i computer, dunque si basa su concetti matematici. Se discutiamo di deep learning (una sottoparte dell'IA), molto si basa sulla matematica insegnata a livello universitario.

Diversi documenti di ricerca nelle aree pertinenti e un attento esame di qualsiasi algoritmo efficace nell'Intelligenza Artificiale possono chiarire che il pilastro è la matematica pura. 

Il piano centrale è quasi sempre il risultato di una serie di equazioni. 

Anzi proprio per la ricerca di nuovi algoritmi, si può ritenere che la matematica, nel campo dell'Intelligenza Artificiale, sia certamente più rilevante dell'informatica.

D'altronde come una volta disse il famoso scrittore americano di matematica e scienze, Martin Gardner 

"La matematica non è solo reale, ma è l'unica realtà" 

è infatti alla base di una serie di altri campi, e uno di questi campi è proprio l'Intelligenza Artificiale.

Martin Gardner sulla statua Alice in Wonderland al Central Park di New York - immagine

 dall'articolo "Odio e amore...una dicotomia matematica!"

A conclusione di queste brevi considerazioni vorrei però aggiungere che, nonostante il potenziale dell'apprendimento automatico sia apparentemente illimitato, anche gli algoritmi più intelligenti sono comunque limitati proprio dai vincoli della matematica.

La consapevolezza di queste limitazioni matematiche è  legata al famoso matematico austriaco Kurt Gödel, che sviluppò negli anni '30 i cosiddetti teoremi di incompletezza, due proposizioni che suggeriscono che non tutte le questioni matematiche possono essere effettivamente risolte. 

Ora uno studio¹, "Learnability can be undecidable", guidato dal primo autore e scienziato informatico Shai Ben-David dell'Università di Waterloo indica che l'apprendimento automatico è limitato dalla stessa irrisolvibilità. 

La capacità di una macchina di apprendere effettivamente, chiamata learnability, può essere limitata dalla matematica che non è dimostrabile. In altre parole, si sta fondamentalmente dando a un'intelligenza artificiale un problema indecidibile, qualcosa che è impossibile da risolvere per un algoritmo con una risposta vero o falso.

Nell'introduzione allo studio si legge:

"Le basi matematiche dell'apprendimento automatico giocano un ruolo chiave nello sviluppo del campo. Migliorano la nostra comprensione e forniscono strumenti per progettare nuovi paradigmi di apprendimento. I vantaggi della matematica, tuttavia, a volte hanno un costo. Gödel e Cohen hanno mostrato, in poche parole, che non tutto è dimostrabile. Qui mostriamo che il machine learning condivide questo destino. Descriviamo scenari semplici in cui l'apprendibilità non può essere dimostrata né confutata utilizzando gli assiomi standard della matematica. La nostra dimostrazione si basa sul fatto che l'ipotesi del continuo non può essere provata né confutata. Mostriamo che, in alcuni casi, una soluzione al problema di massimizzazione delle aspettative (EMX Expectation Maximization problem) è equivalente all'ipotesi del continuo." 

"Per noi è stata una sorpresa", ha spiegato a Nature il ricercatore senior e matematico Amir Yehudayoff, del Technion-Israel Institute of Technology, il fatto che un sito web cerca di mostrare pubblicità mirata ai visitatori che navigano più frequentemente nel sito, anche se non è noto in anticipo quali utenti visiteranno il sito. 

Secondo i ricercatori, in questo caso, il problema matematico da risolvere presenta somiglianze con un framework di apprendimento automatico noto come PAC learning (Probably Approximately Correct learning), come apprendimento probabilmente approssimativamente corretto, ma è anche simile a un paradosso matematico chiamato ipotesi del continuum, un altro campo di indagine per Gödel.

"O la matematica è troppo grande per la mente umana o la mente umana

 è più di una macchina" - Kurt Gödel

"Come i teoremi di incompletezza, l'ipotesi del continuo riguarda la matematica che non può mai essere dimostrata vera o falsa, e date le condizioni del problema di massimizzazione delle aspettative (EMX Expectation Maximization), almeno, l'apprendimento automatico potrebbe ipoteticamente imbattersi nello stesso stallo perpetuo [...] identificare un problema di apprendimento automatico il cui destino dipende dall'ipotesi del continuum, lasciando la sua risoluzione per sempre irraggiungibile" scrive in un commento il matematico e scienziato informatico Lev Reyzin dell'Università dell'Illinois a Chicago, che non era coinvolto nel lavoro sulla ricerca su Nature. 

Naturalmente, i parametri del problema di massimizzazione delle aspettative (EMX) non sono gli stessi con cui l'apprendimento automatico deve confrontarsi in altre situazioni, ma accademicamente, il nuovo documento serve a ricordare come l'avanguardia dell'informatica non possa sfuggire ai suoi fondamenti logico/filosofici e matematici.

"L'apprendimento automatico è maturato come disciplina matematica e ora si unisce ai molti sottocampi della matematica che si occupano del fardello dell'indimostrabilità e del disagio che ne deriva", scrive Reyzin. "Forse risultati come questo porteranno a procedere con una sana dose di umiltà, anche se gli algoritmi di apprendimento automatico continuano a rivoluzionare il mondo che ci circonda."

Note

¹Studio "Learnability can be undecidable"

Autori

Shai Ben-David1, Pavel Hrubeš2, Shay Moran3, Amir Shpilka and Amir Yehudayoff

Il "marziano" Paul Halmos, il matematico con la passione per i gatti e la fotografia

"Marziani" era il termine usato per riferirsi a un gruppo di eminenti scienziati ebrei ungheresi (principalmente fisici e matematici, ma non solo) emigrati negli Stati Uniti nella prima metà del XX secolo, vale a dire dopo la Grande Purga del 1933.

Gli scienziati ungheresi erano apparentemente superumani nell'intelletto, parlavano una lingua madre incomprensibile e provenivano da un piccolo paese oscuro, e ciò li portò a essere chiamati "marziani", un nome che adottarono scherzosamente.

Nell'immagine (partendo da sinistra in alto):

John von Neumann, Paul Erdős, Eugene Wigner e Edward Teller, Leó Szilárd,

 Theodore von Kármán, Paul Halmos, George Polya e John G. Kemeny

Lo scherzo, sostenuto da John von Neumann, consisteva anche nel fatto che gli scienziati ungheresi fossero in realtà discendenti di una forza scout marziana, sbarcata a Budapest intorno all'anno 1900, che in seguito se ne fosse andata dopo aver ritenuto il pianeta inadatto, ma lasciando dietro di sé i figli di diverse donne terrestri, bambini che divennero tutti famosi scienziati. 

Tra questi scienziati tra cui, Paul Erdős, Theodore von Kármán, John G. Kemeny, John von Neumann, George Pólya, Leó Szilárd, Edward Teller, Eugene Wigner, è incluso anche Paul Halmos. 

Immagine di Halmos col gatto Roger 1970

©The Paul R. Halmos Papers at the Archives of American Mathematics.

Paul Richard Halmos (3 marzo 1916 - 2 ottobre 2006) è stato un matematico americano di origine ungherese che fece progressi fondamentali nelle aree della logica matematica, teoria della probabilità, statistica, teoria degli operatori, teoria ergodica, e analisi funzionale (in particolare, spazi di Hilbert ) ed è stato descritto appunto come uno dei marziani, noto per alcuni dei suoi libri di testo e per la sua collezione di fotografie di matematici.

Immagine di Halmos col gatto Roger 1970

©The Paul R. Halmos Papers at the Archives of American Mathematics.

Ma qui non voglio parlare dei suoi vastissimi contributi matematici ma di due curiosità che lo resero famoso. 

Oltre alla sua passione per i gatti, una è quella appunto della sua passione per la fotografia.

Paul R. Halmos si è infatti divertito a scattare fotografie dei matematici che ha incontrato in tutto il mondo e nei suoi vari campus negli Stati Uniti, tanto che nel 2011, 343 delle foto di Halmos, fatte tra il 1943 e il 1988, sono state digitalizzate dagli Archives of American Mathematics.

Halmos ha fotografato matematici, i loro coniugi, i loro fratelli e sorelle e altri parenti, i loro uffici, i loro cani e gatti...e delle circa 6000 fotografie della sua collezione, Halmos ne ha scelte circa 600 per il libro "I have a photographic Memory".

Copertina del libro "I have a photographic Memory".

Le immagini sono scatti sinceri che mostrano che i matematici sono semplicemente se stessi e le didascalie di accompagnamento, oltre a identificare i soggetti, contengono aneddoti e frammenti di storia che rivelano l'arguzia, il fascino e l'intuizione inimitabili di Halmos. 

Questo libro non è solo una deliziosa raccolta di cimeli matematici ma è anche un prezioso documento storico.

L'altra è ricordata nelle memorie dello stesso Halmos in cui afferma di aver inventato la notazione "iff" per le parole "se e solo se" e di essere stato il primo ad adottare la notazione "tombstone" ("lapide") per indicare la fine di una dimostrazione.

In matematica al posto dell'abbreviazione tradizionale "Q.E.D", "Quod Erat Demostrandum", che significa "che doveva essere dimostrato" (in italiano spesso sostituito da un meno dotto "C.V.D", "Come Volevasi Dimostrare") si usa anche il "tombstone" (la "lapide"), o appunto "halmos", "∎" (o "□") per denotare la fine di una dimostrazione.

La sua forma grafica varia, in quanto può essere 

un quadrato o un rettangolo pieno o vuoto

A volte quindi è chiamato "simbolo di finalità Halmos" o "halmos" dal nome del matematico che per primo lo usò in un contesto matematico nel 1950, avendo l'idea di introdurlo vedendo che veniva usato per indicare il fine di articoli su riviste. 

Nel suo libro di memorie "Voglio essere un matematico" scrisse:

"Il simbolo non è sicuramente una mia invenzione: è apparso su riviste popolari (non di matematica) prima che lo adottassi, ma, ancora una volta, mi sembra di averlo introdotto per primo in matematica. È il simbolo che a volte assomiglia a ▯, ed è usato per indicare una fine, di solito la fine di una dimostrazione. Il più delle volte è chiamato lapide, ma almeno un autore generoso lo ha definito halmos."

Non posso concludere questo breve post se non citando la risposta di Halmos alla domanda su cosa significasse per lui la matematica:

"It is security. Certainty. Truth. Beauty. Insight. Structure. Architecture. I see mathematics, the part of human knowledge that I call mathematics, as one thing - one great, glorious thing." 

Aggiungo questo video di 44 minuti che contiene una rara intervista di Peter Renz a Paul Halmos, in cui rivela i suoi pensieri sulla matematica e su come insegnarla e scriverne.

 

Shannon il giocoliere della Scienza

 "Shannon ha fatto per la scienza del computer ciò che Einstein ha fatto per la fisica"

Claude Shannon, il matematico monociclista giocoliere che ha trasformato l'"informazione" da un'idea vaga in un concetto preciso che sta alla base della rivoluzione digitale.

Il tema Carnevale della Matematica tenuto dai Rudi Mathematici, mi ha dato lo spunto per parlare di Claude Elwood Shannon (Petoskey, 30 aprile 1916 – Medford, 24 febbraio 2001) che è stato un ingegnere e matematico statunitense, con una ben meritata reputazione di "padre del digitale", la tecnologia oggi dominante e veramente onnipresente, ma anche appassionato giocoliere.

Tra le sue passioni e i suoi molti hobbies, c'era quello per la giocoleria ed è noto come stupisse, correndo per i corridoi dei Bell Labs con un monociclo lanciando in aria palline da giocoliere.

Claude Shannon su monociclo - Foto ©  famiglia Shannon

Gli strumenti di base della giocoleria sono la palla, l'anello e la clava. 

In generale i giocolieri si destreggiano con quasi tutto, ma le palle, di cui parlerò, sono le più facili da usare, anche se i giocolieri professionisti usano gli anelli e le clave più impressionanti, spesso infuocate.

Nonostante la sua natura divertente e giocosa, la giocoleria ha un lato scientifico più serio e il primo studio scientifico noto sulla giocoleria apparve nel 1903 quando Edgar James Swift pubblicò un articolo sull'"American Journal of Psychology" che documentava la velocità con cui gli studenti imparavano a lanciare due palline con una mano. 

Negli anni '40 fu fondata l'"International Jugglers Association" e negli anni '50 e '60 la giocoleria fu usata per confrontare le abilità di apprendimento generale.

Fu solo negli anni '70 che gli aspetti scientifici della giocoleria iniziarono a essere studiati seriamente.

In effetti, è stato proprio Claude Shannon ad avviare questa ricerca e a creare le prime macchine da giocoliere, formulando un teorema di giocoleria, costruendo una macchina robotica di giocoleria, con parti di un set di Erector, programmandola per destreggiarsi tra tre palline di metallo facendole rimbalzare contro un tamburo, e diventando così una specie di giocoliere accademico.

Macchina robotica di giocoleria di Shannon - Foto © Mark Ostow

Questa sua passione, a cui si dedicò con metodo scientifico, è anche una testimonianza della convinzione di Shannon che qualsiasi cosa potesse  essere oggetto di una seria analisi matematica.  

Giocoleria a parte, il nome di Claude Elwood Shannon è sicuramente molto più importante, per la nostra era digitale, di nomi famosi come quelli di Bill Gates o Steve Jobs, in quanto è stato l'artefice di ciò che noi oggi conosciamo come la rivoluzione digitale tanto che si dice che "Shannon ha fatto per la scienza del computer ciò che Einstein ha fatto per la fisica".

John von Neumann, Alan Turing e molti altri innovatori ci hanno fornito computer in grado di elaborare le informazioni, ma è stato Claude Shannon a darci il concetto moderno di informazione, con un salto intellettuale. 

Shannon è noto infatti per aver fondato la teoria informatica con un documento fondamentale, "A Mathematical Theory of Communication", che pubblicò nel 1948, quando era un ricercatore di 32 anni presso i Bell Laboratories.

Non molto tempo dopo la sua nascita, il 30 aprile 1916, divenne chiaro che Claude Shannon sarebbe diventato un grande inventore. 

Da giovane, aggiustava le radio dei vicini o trasformava le recinzioni di filo spinato in una linea telegrafica, attraverso la quale comunicava con un amico.

Nel 1936, dopo due lauree di primo livello in matematica e ingegneria elettronica si distinse subito per le sue doti di matematico.

Interessandosi fin dall’inizio all’algebra di Boole e alla trasmissione dei segnali, fondò la teoria della progettazione di circuiti digitali nel 1937, quando a soli 21 anni, da studente universitario al Massachusetts Institute of Technology (MIT), scrisse la sua tesi dimostrando che le applicazioni elettriche dell'algebra booleana potevano costruire qualsiasi relazione numerica logica.

La tesi evidenziava come i simboli di George Boole potessero essere utilizzati come una sequenza d’interruttori "accesi" o "spenti" (on/off) e come l’aritmetica binaria (stringhe di "0" e "1") potesse essere applicata ai circuiti elettrici.

Quello che immaginava era un computer costruito con circuiti elettrici invece che con motori, attingendo all'algebra booleana che, con parole più semplici, assegna il valore di "1" alle dichiarazioni "vere" e il valore di "0" a quelle "false", applicando quindi il valore di "1" per circuito acceso, e il valore della "0" al circuito spento, facendo nascere, con questo metodo semplice e geniale, il metodo digitale.

In questo studio Shannon dimostrò infatti che il fluire di un segnale elettrico attraverso una rete di interruttori (cioè dispositivi che possono essere in uno dei due stati) segue esattamente le regole dell'algebra di Boole, se si fanno corrispondere i due valori di verità (Vero e Falso) della logica simbolica allo stato Aperto o Chiuso di un interruttore. 

Pertanto, dimostrando che un circuito digitale può essere descritto da un'espressione booleana, la quale può poi essere manipolata secondo le regole di questa algebra, Shannon definì un potente metodo, ancora oggi usato, per l'analisi e la progettazione dei sistemi digitali di elaborazione dell'informazione.

Claude Shannon ai Bell Labs davanti al calcolatore analogico.

Concepito da Bush e dai suoi studenti alla fine degli anni '20 e completato nel 1931,

 l'analizzatore differenziale era un computer analogico - Foto © MIT museum

Potremmo definire proprio questa scoperta come l'anello di congiunzione tra il mondo analogico e quello digitale, tanto che lo stesso Howard Gardner definì la tesi di Shannon "forse la più importante, e anche la più nota, tesi di master del secolo".

Shannon ha così aperto la strada al campo della teoria informatica, che affronta la questione di come quantificare le informazioni, in "bit" e "byte", dato che per esprimere le informazioni in un "bit", si utilizza una cifra binaria, un "1" o uno "0", e che queste cifre binarie possono descrivere qualsiasi cosa, dalle parole alle immagini, dalle canzoni ai video o al software di gioco più sofisticato.

Con la più elegante semplicità, Shannon aveva mostrato che tutti questi tipi di media potevano essere espressi allo stesso modo, con un concetto veramente innovativo che ha cambiato per sempre la comunicazione elettronica.

Gli anni '80 vedranno l'ascesa del personal computer ma il declino personale di Shannon, che lasciò il MIT nel 1978 e a cui, alla fine, fu diagnosticato il morbo di Alzheimer.

Shannon entrò in una casa di cura nel 1993 e anche se furono proprio i contributi di Shannon a rendere possibile Internet, per una crudele ironia della sorte, proprio quando la rivoluzione di Internet iniziò a cambiare il mondo moderno, Shannon cadde nella demenza. 

Morì nel febbraio 2001, lasciando dietro di sé un'influenza su tutto, dai telefoni cellulari al mondo cibernetico, alla TV ad alta definizione...

La cavia meccanica dei Bell Labs, il topo chiamato Teseo - © Nokia Corporation

Come ricordavo Shannon era anche un uomo pieno di hobbies ed un inventore originale che, in quella che lui chiamava la sua "stanza dei giocattoli", progettò una vasta gamma di aggeggi e diede vita, tra l'altro, a un topo meccanico (Teseo, dalla leggenda del Minotauro) che era in grado, grazie a un dispositivo magnetico, di muoversi all'interno di un labirinto modificabile e di trovare un pezzo di formaggio.

La cavia meccanica dei Bell Labs, il topo chiamato appunto Teseo, è considerata la prima macchina capace di apprendere autonomamente, il prototipo di un nuovo sistema di comunicazione in cui il labirinto è il campo dal quale trarre gli insegnamenti necessari per la propria autonomia di movimento e può essere considerato quindi uno dei primi algoritmi che "imparavano" dall’esperienza fatta, insomma un precursore dell’intelligenza artificiale.

Claude Shannon insieme alla moglie Betty Moore Shannon, 

la sua più stretta collaboratrice -  © Andrew e Peggy Shannon

Detto per inciso, era anche molto amato dalla mia mamma, "scientifica" giocatrice alla roulette, perché, come lei, Shannon frequentava i Casinò e infatti aveva l’abitudine di passare i weekend a Las Vegas, con la moglie Betty Moore Shannon, applicando varie teorie alla roulette o al tavolo da blackjack.

Progettò anche un computer indossabile, che utilizzò proprio per scopi di gioco d'azzardo, facendo viaggi redditizi a Las Vegas anche insieme a Edward O. Thorp, il matematico del conteggio delle carte e autore di "Beat the Dealer", una sorta di Bibbia per tutti i giocatori di blackjack.

Uno dei primi modelli della statua dedicata a Shannon 

con l'iscrizione della sua equazione - © Eugene Daub

Ma tornando alle "palle", all'inizio degli anni '80, Shannon pubblicò il primo teorema matematico formale della giocoleria, correlando la durata del tempo in cui le palline sono in aria con la durata di ciascuna pallina nella mano del giocoliere. Il suo teorema ha così dimostrato l'importanza della velocità della mano per una giocoleria di successo.

Da allora molti matematici sono stati affascinati dalla giocoleria: 

"Penso che sia una questione di dare un senso all'ordine che è negli schemi di giocoleria", ha detto Jonathan Stadler, un professore di matematica alla Capital University in Ohio, che ha iniziato a fare giocoleria da adolescente. "Ha a che fare con la comprensione di come le cose si susseguano"

I vincoli fisici che influenzano la maestria e limitano il numero di oggetti manipolati derivano ovviamente dalla gravità e ogni palla deve essere lanciata sufficientemente in alto per dare al giocoliere il tempo di affrontare le altre palle. 

Così che la necessità di velocità o l'altezza aumenta rapidamente con il numero di oggetti manipolati.

Questi vincoli temporali sulla giocoleria sono proprio riassunti dal teorema di Shannon che definisce le relazioni che devono esistere tra il tempo in cui le mani sono vuote o piene e il tempo che ogni pallina trascorre in aria.

Shannon ha presentato i suoi teoremi in un articolo che ha scritto negli anni '80 dal titolo "Scientific Aspects of Juggling" in cui fornisce le prime basi matematiche della giocoleria.

Shannon apre l'articolo con un dialogo tratto da "Lord Valentine's Castle", il romanzo di fantascienza di Robert Silverberg ambientato nel lontano pianeta di Majipoor, e, prima di passare agli aspetti matematici, sottolinea l'importanza che, nel leggere questo suo articolo, le persone "cerchino di non dimenticare la poesia, la teatralità e la musica della giocoleria".

Prosegue quindi, nell'arco di circa due pagine, viaggiando per oltre 4.000 anni e coprendo una gamma considerevole di cenni popolari e culturali della giocoleria. 

Sin dai tempi antichi, la giocoleria è stata considerata principalmente una forma di intrattenimento e il suo tour storico si apre con la prima raffigurazione conosciuta di giocoleria, che proviene dalla tomba di un principe egizio del Medio Regno (1994-1781 a.C.) in cui quattro donne lanciano tre palle ciascuna. 

Prima rappresentazione di giocoleria - Immagine da Scientific Aspects of Juggling

Da lì si parte per l'isola polinesiana di Tonga, con il marinaio-avventuriero Capitano James Cook e lo scienziato Georg Forster. 

L'anno era il 1774 e Forster osservò, in "A Voyage Round the World", che i tongani avevano un talento per mantenere più oggetti sospesi nell'aria in sequenza. 

Shannon cita anche l'osservazione di Forster di una ragazza che, "vivace e disinvolta in tutte le sue azioni, giocava con cinque zucche, delle dimensioni di piccole mele, perfettamente sferiche. Le lanciava in aria una dopo l'altra continuamente e non mancava mai di catturarle tutte con grande destrezza, almeno per un quarto d'ora".

Si ritorna quindi sulla terraferma e a un'altra ragazza, protagonista nel 400 a.C., al banchetto di Senofonte e Socrate, che, vedendo la giovane donna destreggiarsi tra dodici cerchi in aria, è stupito nell'osservare: 

"L'impresa di questa ragazza, signori, è solo una delle tante prove che la natura della donna non è davvero inferiore a quella dell'uomo, tranne che nella sua mancanza di giudizio e forza fisica."

Un giudizio, che non fa certo annoverare Socrate tra i femministi ante litteram e di cui Shannon, forse, ne mette in dubbio anche la capacità visiva.

La ragazza infatti, giocando con dodici cerchi, avrebbe detenuto il record mondiale per il maggior numero di oggetti manipolati contemporaneamente e su questo fatto Shannon è disposto a concedere a Senofonte e Socrate il beneficio del dubbio: 

"Chi potrebbe chiedere testimoni migliori del grande filosofo Socrate e del famoso storico Senofonte? Sicuramente potevano entrambi contare fino a dodici ed erano attenti osservatori".

Più avanti nell'articolo, Shannon rende più esplicito il caso delle giocoliere, precisamente due che ha scelto per una menzione speciale: Lottie Brunn, "la giocoliera donna più veloce del mondo" protagonista nel circuito europeo degli anni '20, e Trixie Firschke, la "first lady dei giocolieri", una star tedesca nata in una famiglia di cistercensi di Budapest.

Così, iniziando dall'antico Egitto e passando per l'ibrido del menestrello medievale di "giocoleria, magia e commedia", Shannon finisce nel mondo degli spettacoli di varietà del ventesimo secolo e dei loro protagonisti che hanno ispirato una generazione di ragazze e ragazzi, incluso il giovane Claude Shannon, a terrorizzare i loro genitori con l'intento di voler scappare per unirsi al circo.

Enrico Rastelli, giocoliere bergamasco, 

in uno dei suoi più famosi numeri di scena

Conclusa la lezione di storia, passa a un'indagine più seria: come comprendere la psiche di un giocoliere e la pratica della giocoleria?

In questa analisi Shannon considera due tipologie di giocolieri: giocolieri delle prestazioni e giocolieri tecnici, dove i tecnici si destreggiano in un gioco di numeri, una corsa al maggior numero di oggetti manipolati.  

Tra questi ha dato molto spazio a uno dei più grandi tecnici del mondo, Enrico Rastelli, in grado di tenere dieci palline in aria contemporaneamente, e di cui la rivista Vanity Fair disse a elogio: 

"Nella sua devozione ventennale al suo mestiere questo figlio d'Italia elevò la giocoleria, probabilmente per la prima volta, a ciò che era inconfondibilmente un'arte."

Rastelli e i giocolieri tecnici sono quelli che hanno maggiormente interessato Shannon  e, da allora, i matematici, dando loro la possibilità di organizzare con numeri e formule implicite la ricerca di gestire un numero sempre crescente di oggetti.  

Si arriva così alla parte strettamente matematica che Shannon introduce con un riferimento al Jazz.

Non deve sorprendere in quanto il suo amore per la giocoleria è stato superato solo dal suo amore per la musica, e quindi apre la sezione matematica con un riferimento al batterista Gene Krupa, che sosteneva che "Il ritmo incrociato del 3 contro 2 è uno dei più seducenti conosciuti." e che per Shannon era utile per un'introduzione alla matematica della giocoleria. 

Il modello tre contro due è infatti lo schema con cui la maggior parte delle persone impara per la prima volta a destreggiarsi: tre palline in due mani.

Osservando i movimenti di un giocoliere ciò che emerge è una serie di parabole prevedibili; una palla lanciata in aria produce un arco, più palle, più archi. 

Non resta che combinarli in uno schema coerente, impostato su un ritmo, ed è così che Shannon affronta il problema della giocoleria, non solo come esercizio di coordinazione, ma come formula algebrica.

 

Così si presenta l'equazione di Shannon:

(F + D) H = (V + D) N

Le variabili che Shannon usa per formare i suoi teoremi sono:

D - il tempo di sosta (tempo che una palla trascorre in una mano tra quando viene presa e quando viene lanciata)

F - il tempo di volo (tempo che una palla trascorre in aria tra quando viene lanciata e quando viene presa)

V - il tempo libero tempo una mano è vuota tra il lancio di un oggetto e la presa del successivo)

H - numero di mani coinvolte

B - numero di palline giocate

Teorema 1

In una giocoleria uniforme: (F + D) / (V + D) = B / H o (F + D) H = (V + D) N

Cioè, il numero di palline e mani è proporzionale al tempo totale per ogni circuito di palline e ogni circuito di mani. 

Questo teorema è rappresentato schematicamente per la cascata di tre sfere in figura

Immagine © Juggling

Teorema 2

Se B e H sono relativamente primi (non hanno un divisore comune), allora c'è essenzialmente un unico giocoliere uniforme. Le palline sono numerate da 0 a B-1 e le mani da 0 a H-1 in modo tale che ogni pallina passa attraverso le mani in sequenza ciclica e ogni mano prende le palline in sequenza ciclica.

Teorema 3

Se B e H non sono primi relativamente e n è il loro massimo comune divisore, allora B = np e H = nq, dove p e q sono primi tra loro. In questo caso, ci sono tanti tipi di juggle quanti sono i modi di partizionare n in una somma di interi.

Di questi tre teoremi trovate la dimostrazione in  "Scientific Aspects of Juggling" dove Shannon spiega anche come abbia intrapreso e portato a termine con successo la sperimentazione.

Shannon ha infatti condotto una serie di esperimenti per misurare i vari tempi di permanenza, i tempi di assenza e i tempi di volo coinvolti nella giocoleria effettiva e ha chiamato il sistema che ha usato "Jugglometer".

I tre schemi di base: a cascata, a doccia e a fontana - Immagine © Juggling

In sostanza, la giocoleria si riduce al semplice movimento del lancio, con ogni palla che segue un arco parabolico pulito mentre viene lanciata, tranne per il fatto che ci sono più palle che seguono percorsi intrecciati in schemi ripetuti periodicamente. 

Per un singolo giocoliere, ci sono tre schemi di base: 

- la cascata, in cui un numero dispari di palline viene lanciato da una mano all'altra

- la fontana, in cui un numero pari di palline si destreggia in due colonne separate

- la doccia, in cui tutte le palline vengono lanciate in cerchio. 

Un giocoliere più esperto potrebbe lanciare più di un oggetto da una sola mano contemporaneamente, una pratica nota come multiplexing.

Il modo in cui i giocolieri coordinano i loro arti per muoversi ritmicamente e con la stessa frequenza all'interno di questi vincoli è diventato un obiettivo primario nello studio del movimento umano. 

I ricercatori hanno preso in prestito concetti dalla teoria matematica degli oscillatori accoppiati [vedere "Coupled Oscillators and Biological Synchronization", di Steven H. Strogatz e Ian Stewart da Scientific American, dicembre 1993]

Il fenomeno chiave nell'oscillazione accoppiata è la sincronizzazione: la tendenza di due arti a muoversi con la stessa frequenza. 

Il particolare tipo di coordinazione mostrato dalle mani del giocoliere dipende dallo schema di giocoleria. 

Nella cascata, ad esempio, l'incrocio delle palle tra le mani richiede che una mano prenda alla stessa velocità con cui l'altra lancia. Anche le mani si alternano: una mano prende una palla dopo che l'altra ne ha lanciata una.

Il motivo a fontana, al contrario, può essere stabilmente eseguito in due modi: lanciando (e afferrando) le palle contemporaneamente con entrambe le mani (in sincronia) o lanciando una palla con una mano e afferrandone una con l'altra allo stesso tempo ( fuori sincrono). Teoricamente, si può eseguire la fontana con frequenze diverse per le due mani, ma quella coordinazione è difficile a causa della tendenza degli arti a sincronizzarsi.

La definizione dei vincoli fisici e temporali è un aspetto dell'analisi di giocoleria e un modello realistico deve anche incorporare almeno altri tre fattori complicanti. 

In primo luogo, l'oscillazione della mano del giocoliere non è uniforme, perché la mano è riempita con una palla durante una parte della sua traiettoria e vuota durante la parte rimanente. In secondo luogo, i movimenti di entrambe le mani sono influenzati dalle esigenze fisiche di lancio e ripresa accurati. Terzo, il tempismo tra le mani si basa su una combinazione di visione, sensazione e memoria.

Questi tre fattori rendono gli schemi di giocoleria intrinsecamente variabili, in quanto due lanci e due catture non sono esattamente gli stessi, ma l'analisi di questa mutevolezza fornisce utili indizi sulla strategia generale dei giocolieri per produrre uno schema solido che minimizzi la possibilità di errore.

Le variabili associate al lancio (angolo di rilascio, velocità di rilascio, posizione dei lanci, altezza dei lanci) sono quelle più strettamente controllate: i giocolieri tentano di lanciare le palle nel modo più coerente possibile, il cui tempismo deve obbedire al teorema di Shannon. 

Data l'altezza, una misura cruciale del tasso di giocoleria è il cosiddetto rapporto di permanenza, che è definito come la frazione di tempo in cui una mano tiene una palla tra due prese (o lanci). 

In generale, se il rapporto di permanenza è grande, la probabilità di collisioni in aria sarà piccola. Questo perché la mano mantiene la palla per un tempo relativamente lungo e quindi ha l'opportunità di lanciare con precisione. Se il rapporto di permanenza è piccolo, il numero di palline nell'aria mediato nel tempo è grande, il che è favorevole per apportare correzioni.

Divertente immagine di Claude Shannon in sella a un biciclo

 o velocipede - Foto ©  famiglia Shannon

Ci sono molte possibili combinazioni di lanci, quindi come fanno i giocolieri a decidere quali produrranno uno schema valido? 

Lo fanno per mezzo di un sistema di notazione matematica chiamato "scambio di sito" che collega ogni pallina lanciata a quanto tempo rimane in aria, descrivendola in termini di "battiti". 

Ad esempio, un tiro di una battuta significa che il giocoliere passa semplicemente la palla da una mano all'altra. 

Se la palla viene lanciata in aria, l'altezza che raggiunge determina quanto tempo impiega la palla a tornare nella mano del giocoliere: due battiti, tre battiti o più...Più battiti, più alta deve essere lanciata la palla per mantenere lo schema. Grazie alla disponibilità di strumenti di animazione online, un giocoliere può vedere come apparirà un determinato schema prima di tentare il trucco nel mondo fisico.

Qui non mi dilungherò oltre, lasciando, per la curiosità del lettore, il link a un articolo in cui tutti i processi, le dimostrazioni e le sperimentazioni sono spiegate in dettaglio 

Il "diorama" di giocoleria di Claude Shannon - Foto © MIT museum

Nel 1982 Shannon costruì il suo "diorama" di giocoleria no-drop in cui il display presenta tre clown animati, che ricordano tre grandi giocolieri: il russo Sergei Ignatov "il poeta della giocoleria", l'italiano Enrico Rastelli e la rumena Virgoaga, detentori all'epoca del titolo mondiale.

I tre si destreggiano con il loro numero record di oggetti di scena: Ignatov si destreggia con 11 anelli, Rastelli con dieci palline e "Virgoaga" con sette clave. 

I pagliacci si muovono come se stessero davvero facendo i giocolieri e Shannon, in un articolo scritto al riguardo nel numero di marzo 1982 della rivista "Juggler's World", disse:

"I più grandi giocolieri di tutti i tempi non possono sostenere i loro numeri per più di pochi minuti, ma i miei piccoli pagliacci si destreggiano tutta la notte e non fanno cadere mai un oggetto!"

I pagliacci che si destreggiano nel "diorama" - Foto © MIT museum

Fino all'arrivo di Shannon sulla scena, i matematici erano stati riluttanti a usare un passatempo come fonte di dati ed esperimenti e nessuna rivista scientifica aveva esplorato la matematica della giocoleria, ma da quel momento la giocoleria detiene un fascino estetico oltre che intellettuale per il matematico. 

"Il modo in cui mi sento quando guardo una bella equazione è lo stesso che provo quando guardo un bel modello di giocoleria", ha detto Burkard Polster della Monash University australiana, che ha scritto il libro sulla matematica della giocoleria nel 2002, "The Mathematics of Juggling". 

Concludo con una nota davvero giocosa, un simpatico video di uno spettacolo del febbraio 2015 di Federico Benuzzi, giocoliere e insegnante di Fisica e Matematica, che dimostra, come diceva Galileo, che "Il buon insegnamento è per un quarto preparazione e tre quarti teatro"

Video di Federico Benuzzi