Dallo stemma dei Borromeo alla teoria dei nodi

"Le nœud borroméen permet de tenir ensemble les troi registres, Réel, Symbolique, Imaginaire. Il n’y a aucune préséance d’un registre sur les autres. R,S,I ils ont même valeur et en même temps il faut les distinguer." 
(Jaques Lacan 8 juillet 1953 a la Société Française de Psychanalyse - Paris)¹ 

Link è una parola che ormai tutti usiamo spessissimo e che, in inglese, ha il significato di catena, collegamento, legame. 
Nel web, sta a indicare un collegamento tra pagine diverse (collegamento ipertestuale), ma in matematica, e più precisamente nella teoria dei nodi, un link è una collezione di nodi nello spazio.
Ma i link o i nodi cosa c'entrano con i Borromeo?

Stemma dei Borromeo sul palazzo settecentesco di via Manzoni 39 a Milanoi 

Girando per Milano e in Lombardia capita di ammirare le dimore, palazzi e castelli, della famiglia Borromeo che,  originaria di San Miniato in Toscana, divenne un'importante famiglia della nobiltà milanese e che per secoli ebbe forte influenza sulla città di Milano e sulle zone del Lago Maggiore (il cosiddetto "Stato Borromeo").
E come ogni casata che si rispetti ha il suo stemma su cui, tra gli altri simboli, come l’unicorno, il cammello o il cedro...troneggiano i tre cerchi a punta di diamante intrecciati, in modo tale che spezzandone uno anche gli altri due si disgiungano, simboleggiando l’unione indissolubile tra Borromeo, Sforza e Visconti. 
Gli "anelli o cerchi di Borromeo" è quindi un esempio di link con tre componenti, ciascuna delle quali è un nodo banale (cioè sciolto) e "link borromeo" (più erroneamente ma comunemente detto "nodo borromeo") deve il suo nome proprio al simbolo araldico fatto risalire alla persona di Federico Borromeo, cardinale e arcivescovo di Milano, che lo scelse appunto come suo emblema, simbolo della dinastia borromea e, data la sua religiosità, i tre anelli potrebbero rappresentare anche la trinità cristiana.

Il settecentesco palazzo Borromeo di via Manzoni 39 a Milanoi 

Sul "nodo borromeo" si è particolarmente focalizzato l'interesse di Jaques Lacan, psichiatra e filosofo francese, che ipotizzò una relazione tra Reale, Simbolico e Immaginario, ponendo questi tre concetti come le tre dimensioni dello spazio abitato da chi parla. 

Anche queste tre dimensioni infatti sono caratterizzate dal legame particolare, che nessuna delle tre può esistere senza le altre due. 
La particolarità sta quindi nel fatto che il punto di incastro non segue più un ordine, dal Reale all’Immaginario con al centro il Simbolico, poiché tutti gli anelli possono diventare centrali e avere le peculiarità dell’anello di mezzo. 
Fra gli anelli non vige una scansione gerarchica, dal migliore al peggiore o dal più al meno efficace e ognuno ha la sua importanza in rapporto agli altri due.
La particolarità degli anelli del "nodo borromeo" è proprio quella di essere indispensabili per l’unità del link, cioè per l'unità della collezione di nodi nello spazio, ma uniti in modo tale che se uno di essi qualsiasi viene sfilato anche gli altri due si liberano.

Jaques Lacan disegna il suo "nodo borromeo"

Schema a "nodo borromeo" tratto dai seminari del mercoledì, tenuti da Jaques Lacan a Parigi dal 1953 fino al 1980

Quando si parla di "nodo borromeo" si intende quindi un link formato da tre anelli che rimane unito poiché questi sono legati a tre e, essendo a due a due scollegati, basta che uno venga tagliato che il vincolo che li unisce si sciolga. 
Il "nodo borromeo" si presta quindi a divenire simbolo di soggetti diversi, ma nello stesso tempo collegati, senza che nessuno possa assumere le caratteristiche di anello centrale, posto fra gli altri due.
I soggetti di questo link quindi possono essere altri come Corpo, Mente e Psiche.
Tutti  e tre possono rappresentare il medio del legame, poiché ognuno dei tre potrà assumere le caratteristiche di anello centrale, posto fra gli altri due.
Gli "anelli di Borromeo" sono quindi un modo per ben simboleggiare queste tre componenti che devono essere si analizzate singolarmente ma che nello stesso tempo devono coesistere considerando il fatto che si deve far in modo che quella presa in considerazione continui ad essere influenzata dalle altre.
In questo caso quindi il link sta a simboleggiare che il benessere dell’uomo è garantito dall’equilibrio delle tre componenti, che sono indispensabili e quindi non disgiuntibili.
- Corpo, insieme delle caratteristiche fisiche, biologiche e meccaniche percettibili con i sensi
- Mente, l’insieme delle capacità del cervello caratteristiche dell’essere umano, come la sensazione, il pensiero, l’intuizione, la ragione, la memoria e la volontà
- Psiche, l’astrazione concettuale che include facoltà intellettive conoscitive e la coscienza, non solo fattori razionali ma anche irrazionali come l’inconscio o il concetto filosofico-religioso di anima.
Un dibattito, iniziato nell’antichità, che continua ancora oggi tra i numerosi studiosi che si interrogano sul rapporto che lega il Corpo, la Mente e la Psiche, un legame a tre componenti sciolte.

Il Tempietto del Santo Sepolcro è una delle meraviglie che Leon Battista Alberti, matematico, umanista, 

filosofo, architetto, musicista, scrittore e molto altro, realizzò per il potente mecenate Giovanni Rucellai (1403-1481) come  sacello a riproduzione del Santo Sepolcro conservato nell’Anastasis di Gerusalemme. 

Un altro esempio di "link a tre componenti", il cui significato simbolico è legato alle imprese personali dei Medici (Lorenzo il Magnifico, Piero e Casimo), sono i tre anelli con diamante intrecciati, sempre con una disposizione triangolare che si trovano a Firenze.
Una delle 30 formelle che adornano il tempietto del Santo Sepolcro, opera di Leon Battista Alberti e collocato nella cappella annessa alla ex-chiesa di san Pancrazio, è costituita da tre anelli col diamante, intrecciati secondo una disposizione triangolare. 
Si noti però che questo link non ha la proprietà di unità e dissociazione degli anelli di Borromeo, infatti, in questo caso, gli anelli sono tutti intrecciati tra loro, anche a due a due.

Aldilà della simbologia araldica o filosofica, il "link borromeo", a partire dalla metà del XX secolo, diventa il paradigma del progresso scientifico e gli "anelli di Borromeo" nella forma più schematica è stato adottato anche come logo dell'Unione Matematica Internazionale (IMU) 

Questo è un logo di proprietà di International Mathematical Union (IMU)

 Gli "anelli borromei" possono essere disposti in maniere molto "simmetriche": ad esempio, possono essere

realizzati con tre curve piane disposte su tre piani a due a due ortogonali fra loro

Di questo stretto legame col progresso scientifico ne parlò in un articolo, apparso il 28 maggio 2004 sulla prestigiosa rivista americana "Science", dal titolo "Molecular Borromean Rings", Kelly S. Chichak1 (insieme a Stuart J. Cantri  e ad altri scienziati dei dipartimenti di chimica e biochimica delle Università di California e Missouri, candidati al Premio Nobel), dove inizialmente si legge:

"Un oggetto di particolare interesse nella teoria dei nodi è noto come "anelli Borromean" (BRs). Esso si presenta nella topologia a bassa dimensionalità ed è formato da tre anelli interbloccati in modo tale che la scissione di un qualsiasi anello porti agli altri due a cadere a pezzi. Sebbene questo simbolo possa essere rintracciato già nell'iconografia paleocristiana e nella mitologia nordica, la sua proliferazione su stemmi e statue commissionate dalla famiglia Borromeo nella Toscana del XV secolo ha segnato il suo destino etimologico. 
Oltre al fatto che il simbolo ha fatto incursioni culturali nell'arte, nella teologia e nell'araldica, l'ultimo secolo ha visto la sua comparsa sull'orizzonte scientifico nella fisica delle particelle e il magnetismo,  fino ad assumere un ruolo vitale nella modellizzazione di processi di sintesi chimica e di aggregazione molecolare"

Da questo articolo si capisce quindi come gli "anelli di Borromeo molecolari" siano esempi di molecole meccanicamente interconnesse nei quali tre macrocicli sono legati in maniera che rompendone uno qualsiasi si permette ai restanti di dissociarsi. 
È ritenuto quindi il più piccolo esempio  di "link borromeo". 
La loro sintesi è stata riportata per la prima volta proprio nel 2004 dal gruppo J. Fraser Stoddart² ed è conosciuto come borromeato il composto di tre macrocicli interpenetrati formati dalla reazione tra 2,6-diformilpiridina composti diamminici, complessato con ioni zinco.
Ha assunto così un ruolo vitale nella modellizzazione di processi di sintesi chimica e di aggregazione molecolare.

Vorrei ora soffermarmi però proprio sui termini nodo e link, per introdurre la cosiddetta teoria dei nodi.

Nodo banale (due rappresentazioni)

Nodi primi fino a sette incroci

La teoria dei nodi è una branca della topologia, a sua volta branca della matematica, che si occupa di nodi, ovvero di curve chiuse intrecciate nello spazio. 
La teoria ha applicazioni in fisica subatomica, chimica supramolecolare e biologia.
Per i suoi stretti legami con lo studio delle varietà di basse dimensioni (1, 2, 3 e 4), la teoria dei nodi è spesso considerata una branca della topologia della dimensione bassa.
Benché intuitiva, la definizione matematica di nodo presenta delle piccole sottigliezze e si possono scegliere essenzialmente due definizioni:
- un nodo può essere definito come una linea spezzata chiusa 
- un nodo può essere definito come una curva differenziabile nello spazio 
e si definisce quindi una nozione appropriata di equivalenza fra nodi. 

Link a 2,3,4,5 componenti

Un link è una unione finita disgiunta di nodi e più precisamente, nella teoria dei nodi, un link è una collezione di nodi nello spazio.
Più formalmente, un link è un insieme finito di curve semplici chiuse disgiunte nello spazio euclideo tridimensionale e tali curve sono supposte differenziabili.
Due link sono ritenuti equivalenti se sono collegati da una isotopia, ovvero da un movimento continuo del link che (a differenza dell'omotopia) richiede che il link "resti tale" ad ogni istante. Tramite la nozione di isotopia, il link modellizza l'idea di un certo numero di elastici flessibili, possibilmente annodati fra loro, che possono essere deformati ma non tagliati né reincollati.

Esempi di nodi e link

Un primo accenno di sistematizzazione della teoria dei nodi venne fatto da Alexandre-Théophile Vandermonde (1735-1796), il matematico che introdusse il determinante, nel XVIII secolo, ma a parte rari sprazzi, si dovette attendere la fine del XX secolo per vedere la teoria dei nodi trovare una formalizzazione, anche in conseguenza della sua importanza in fisica teorica, per l'elaborazione delle teorie note collettivamente come teoria delle stringhe.

Il primo impiego in fisica è però dovuto a William Thomson, ossia Lord Kelvin che, in pieno dibattito tra teoria ondulatoria e corpuscolare, propose nel 1867 i “vortex atoms”, atomi vortice o mulinello, formati da un'onda intrecciata in un nodo chiuso (come quello in figura  (c) il nodo a trifoglio).
Annodandosi in maniere più o meno complicate, si determinerebbero le proprietà chimico-fisiche degli atomi, concetto che, traslato alle particelle subatomiche e allo spaziotempo, si potrebbe identificare nella teoria delle stringhe. 
Le molecole deriverebbero quindi dall'unione dei nodi.
In realtà i nodi sono un caso particolare di link, ossia curve chiuse intrecciate nello spazio, che a differenza dei nodi  possono essere formati da più curve. 
Le molecole di Thomson sarebbero dunque dei link.
Per sviluppare la teoria era necessario però stabilire quali fossero i diversi tipi possibili di nodi e una tale classificazione avrebbe fornito una classificazione degli atomi, associando a ogni tipo di nodo un particolare atomo. 
I legami fra atomi sarebbero dunque stati spiegati da reciproci annodamenti, senza bisogno di far intervenire speciali forze atomiche.

La proposta stimolò uno studio dei tipi più semplici di nodi e un seguace di Lord Kelvin, Peter Guthrie Tait si pose quindi il problema della classificazione dei nodi. 
Egli considerò solo i nodi alternati, ossia quelli in cui il filo passa alternativamente sopra e sotto ogni incrocio e nel 1899 lo statunitense Charles Newton Little espanse la classificazione ai nodi non alternati, fino a 10 incroci.

La teoria di Thomson, che a taluni potrebbe apparire bizzarra, ai tempi in cui fu formulata era capace di spiegare molti dati sperimentali, ma cadde in disuso quando nella prima metà del ’900 Niels Bohr propose invece di considerare gli atomi come sistemi solari in miniatura, tenuti insieme da forze analoghe a quella gravitazionale.
La teoria dei nodi ebbe dunque nuova vita solo nel ’900 quando se ne intuirono le potenzialità come strumento applicabile anche in altre aree scientifiche come la fisica e la biologia. 
Nonostante i grandi sviluppi degli ultimi anni, il problema principale resta una classificazione completa dei nodi ed è quindi lecito affermare che la storia dei nodi non è ancora conclusa.

Come ultima curiosità legata al "link borromeo" lascio tre immagini che permettono di costruire con tre braccialetti (in questo caso, ma potrebbero essere semplicemente tre spaghi) questo affascinante legame dei tre "cerchi dei Borromeo".

Due anelli slegati vengono uniti a un terzo che passa sopra all'anello di destra

 e sotto a quello di sinistra 

Chiudendo il terzo anello si ottiene il "link borromeo" 

Si costruisce così il "link borromeo" con tre miei braccialetti -  © Annalisa Santi 2018

Note

¹ "Il nodo Borromeo permette di tenere insieme i tre registri, Reale, Simbolico, Immaginario.
Non c'è la precedenza di un registro sugli altri. R, S, I hanno lo stesso valore e allo stesso tempo devono essere distinti."
(dal discorso di apertura "Le symbolique, l’imaginaire, le réel" di Jaques Lacan, 8 luglio 1953, alla Società Francese di Psicoanalisi di Parigi)

² Sir James Fraser Stoddart (Edimburgo, 24 maggio 1942) è un chimico britannico, attivo nel campo della chimica supramolecolare e della nanotecnologia, già vincitore nel 2008 della Medaglia Davy e vincitore del premio Nobel per la chimica nel 2016 assieme a Jean-Pierre Sauvage e Ben Feringa per la progettazione e la sintesi di macchine molecolari. 


Fonti

Per la teoria dei nodi e per le immagini ho fatto riferimento al programma KnotPlot , un programma ideato dal canadese Robert Glenn Scharein, del dipartimento di matematica dell'Università dello Utah, per la visualizzazione interattiva e l’elaborazione di nodi 3D e 4D.

La luce magica dei solidi in cristallo di Jack Storms

"Quando non c’è luce non c’è colore, non c’è forma, non c’è vita"
(Michelangelo Merisi detto il Caravaggio 1571 - 1610)


I solidi in cristallo, che magicamente creano uno spettacolo ipnotico di luci con colori di fuoco e ghiaccio, sono tra le opere dello scultore californiano Jack Storms. 

Jack Storms e il suo Beveled Cube

La magia della luce, che dà colore, forma e vita, emana da queste sculture realizzate con tre diversi tipi di vetro, cristallo al piombo, cristallo ottico e vetro dicroico, che Jack Storms plasma con una tecnica unica e sorprendente, un processo a "vetro freddo".
Processo che Jack apprende durante il suo anno da studente alla Plymouth State University e che richiede molto più impegno rispetto alla lavorazione del "vetro a caldo" dei soffiatori di vetro, che plasmano il pezzo mentre il vetro si scioglie.
Come ci racconta sul suo sito web, Jack apprese il processo del "vetro freddo", cioè di unire il cristallo al piombo con il vetro dicroico, da un artista del vetro nel New Hampshire. "Lavorando fianco a fianco con l'artigiano per oltre un anno, ho imparato ogni componente e sfaccettatura di questa forma d'arte incredibilmente difficile e rara e alla fine sono diventato uno scultore abbastanza abile da potermi esprimere  da solo ed aprire nel 2004 lo StormWorks Studio"
L'artista dopo qualche anno, nel 2013, ha trasferito quindi il suo studio a Valencia, in California, dove ha ampliato le sue attività e ha aperto Storms Publishing.

Video Jack Storms Prismatic Glass Art

Questi pezzi scolpiti a mano e splendidamente riflettenti iniziano con un nucleo di frammenti di vetro dicroici di cui ogni faccia viene lucidata e laminata fino a brillare come uno specchio. Questo nucleo viene poi avvolto e scolpito, in vetro ottico che rifrange la luce e che passa attraverso i pezzi e crea un ulteriore spettacolo di luci.
Quindi tutto inizia al centro. 
Lavorando con blocchi di cristallo al piombo, li taglia più volte, levigando e lucidando ogni fetta. Poi, con la precisione di un chirurgo, inserisce tra di loro un vetro dicroico in ogni fase, fermandosi per incollarli e levigarli prima di ripetere il processo. 
Il risultato finale? 
Sculture di vetro a forma di cubi, uova e persino bicchieri di champagne e bottiglie di vino, che ostentano un'esposizione caotica di colori, pezzi che non solo attirano l'attenzione ma che ipnotizzano ed emozionano.

Bella Vino Chardonnay by Jack Storms

Ognuna delle sculture di Jack Storms inizia quindi al centro, da un nucleo centrale, e poi l’artista esegue dei tagli, delle riduzioni, delle aggiunte, frantuma, lucida e assembla insieme il vetro centinaia di volte fino a che non riesce ad ottenere il core design che sta cercando. 
Core design che dipende anche da una "magica" relazione matematica.
Jack è noto infatti per l’utilizzazione della serie di Fibonacci come riferimento per tutti i disegni delle sue realizzazioni in vetro e quindi il suo lavoro richiede sia creatività artistica che esattezza matematica. 
Ma cosa c'entra Fibonacci?
E' proprio seguendo la sequenza di Fibonacci, e quindi il perfetto rapporto di proporzioni che ne deriva, che Jack fa sì che un pezzo di vetro riesca a catturare ed emanare luce e bellezza oltre la nostra immaginazione.

Featured Lumiere by Jack Storms 

In effetti, la sequenza di Fibonacci, che genera il rapporto aureo, è sempre stato uno strumento importante nell'arte ed è stata utilizzata da molti artisti e architetti come Leonardo da Vinci, Michelangelo, Raffaello, Le Corbousier....ma forse mai per captare in un modo così perfetto la luce e creare effetti così sorprendentemente ipnotici e affascinanti.
Stiamo parlando del rapporto aureo, il "Φ", uno dei numeri irrazionali più affascinante, stiamo parlando del "numero d'oro", del "numero magico", del "golden ratio" che è veramente unico nelle sue proprietà matematiche e che pervade l'arte, l'architettura e il design, la musica, la finanza...e tutta la natura stessa. 
Le prime applicazioni del rapporto aureo, risalgono a 5000 anni fa, agli antichi Egizi, anche se non ne è stata ritrovata una precisa definizione, poi furono i Greci, 3000 anni fa, a introdurre per primi il concetto di "sezione del segmento in media ed estrema ragione", terminologia originaria che fu in seguito abbreviata nel solo termine sezione, "sezione aurea". 
Ma il vero trionfo della sezione aurea nell’ arte si ebbe nel Rinascimento quando rappresentò per tutti gli artisti di quel periodo un canone di bellezza cui ispirarsi.
Il primo incontro con la "divina proportione" in genere avviene in Geometria. 
Trattasi infatti della proposizione 11 del libro II degli Elementi di Euclide che recita così: 
 "Come dividere un segmento in modo che il rettangolo che ha per lati l’ intero segmento e la parte minore sia equivalente al quadrato che ha per lato la parte maggiore”.
Ma Φ può essere approssimato, con crescente precisione, anche dai rapporti fra due termini successivi della successione di Fibonacci, a cui è appunto strettamente collegato.
Leonardo Pisano, noto anche con il nome di Fibonacci, visse tra il XII il XIII secolo, uno dei più grandi matematici del Medioevo, ideò una successione  di numeri interi positivi, definita per ricorrenza, in cui ciascun numero è la somma dei due precedenti e i primi due termini della successione sono per definizione F1=1 e F2=1.
Tale successione ha quindi una definizione ricorsiva secondo la seguente regola:
F1=1
F2=1
Fn=F{n-1}+F{n-2}
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,..ad infinitum 

Fibonacci, la sua serie e il rapporto "Φ"

Qui non voglio dilungarmi sulla sequenza di Fibonacci (lascio un link per i più curiosi) ma, anche attraverso video suggestivi, vorrei tornare a parlare delle meravigliose forme scultoree in vetro che da questo perfetto "rapporto aureo" traggono origine. 

Iniziamo con il Chroma Cube.

Chroma Cube by Jack Storms

Il cubo è una forma geometrica ordinaria conosciuta in tutto il mondo, ma la scultura cubica di Jack Storm è tutt'altro che ordinaria. 
Il Chroma Cube è realizzato con il miglior cristallo ottico al piombo e vetro dicroico, è stato meticolosamente tagliato e lucidato e, presentando oltre trecento tagli, brilla come un grande diamante e la sua bellezza e complessità ne fanno una delle sculture più ricercate di Jack Storm.

Video Chroma Cube by Jack Storms

Un'altra stupenda opera è quella chiamata Full Core Cirque. 

Full Core Cirque by Jack Storms

In quest'opera l'artista crea una sorta di contrasto tra il nucleo e la corona circolare dell'esterno, che attrae l'occhio in un gioco di visioni alterne dal centro al contorno.

Video Full Core Cirque by Jack Storms

Ed ora la suggestiva Chroma Spherix.

Chroma Spherix by Jack Storm

Chroma Spherix si può definire un sogno a lungo immaginato da Jack che ha sempre desiderato creare i suoi nuclei di cristallo in sfere, ma che non era mai riuscito con i mezzi che aveva per modellare il vetro. 
Finalmente Jack ha ideato gli strumenti e la tecnica per realizzare la sfera, inventando un tornio che gli ha permesso di trasformare il vetro come il legno, ed è così nato questo capolavoro che attira la luce in ogni direzione brillando come il sole.
"I use a cutting edge medium to make organic and familiar things", ha spiegato a proposito del processo di trasformazione del vetro sul tornio. 

Video Chroma Spherix by Jack Storms

E infine lo spettacoloso Möbius

 Möbius by Jack Storms 

Nel Möbius ogni angolo visualizzato offre una resa visiva spettacolare e sempre diversa. 
Il Möbius inspiegabilmente ha un solo smusso che racchiude l'intero pezzo, senza inizio e senza fine e c'è una tale transizione tra le forme che l'effetto del gioco di luci diventa particolarmente ipnotizzate.

Video Möbius by Jack Storms

Concludo questo meraviglioso viaggio di luce e colori con un video che spiega come Jack Storms crea i suoi capolavori di vetro, le opere d'arte che possono richiedere da 8 a 18 settimane per essere completate dall'inizio alla fine, comportando un grande dispendio di lavoro, perfezione e pazienza.
Operando con tre diversi tipi di vetro, cristallo ottico, cristallo al piombo e vetro dicroico, Jack taglia e impila frammenti di vetro dicroico e li incolla con una speciale resina epossidica bicomponente per ottenere un "look core fluttuante", quindi sovrappone il vetro o il cristallo intorno alla prima struttura, quindi la elabora a mano in una forma specifica. Possono quindi essere necessarie più di dieci settimane per produrre un pezzo. 
Ma poiché Jack è alla continua ricerca della perfezione, il processo di ideazione grafica, di lucidatura, di assemblaggio di affilatura e riaffilatura, di recisione sono passaggi necessari che attua con la massima dedizione e il massimo impegno.

Video Glass Sculpture by Jack Storms

Nel 2011, la Harrington Art Partnership ha incaricato Storms di creare una grande campana di vetro per l'esposizione pubblica al Firehouse Arts Center di Pleasanton, in California. 
La Firehouse Crystal Bell, pesante 500 libbre e alta mezzo metro, è un'allusione alla storia della galleria d'arte come prima stazione dei pompieri della città ed è stata creata in parte anche per onorare i pompieri del passato. 
La campana è composta da oltre ottomila pezzi di vetro e Storms ha impiegato circa due anni per concluderla.

Firehouse Crystal Bell by Jack Storms

Nel 2012, Douglas Biro ha commissionato a Storms la creazione di un'opera d'arte per commemorare lo storico trionfo di Derek Jeter, interbase, capitano e bandiera dei New York Yankes, l'u0mo che nel 2009 ha trascinato la squadra di baseball della Grande Mela al trionfo nelle World Series, evento che non accadeva dal lontano 2000. 
E' nata così, 3000 Hits Baseball Bat, la mazza da baseball in cristallo ottico, progettata con tremila pezzi di vetro. 
L'opera è di proprietà privata ed è conservata nella casa di Jeter. 

3000 Hits Baseball Bat by Jack Storms 

Recentemente il Rotary Club Carmel Valley ha incaricato Storms di creare una scultura in dono al presidente della Nigeria Olusegun Obasanjo per celebrare l'apertura della prima banca del sangue in Africa.
Prima banca del sangue nata soprattutto grazie all'impegno di una donna Giwa-Tubosun il cui lavoro le è valso una nomination per il 2014 nella "100 Women List" della BBC.


Fonti

Notizie e immagini dal sito ufficiale di Jack Storms
https://jackstorms.com/
Video dal canale youtube di Jack Storms
https://www.youtube.com/user/glasssculptor/videos?disable_polymer=1

La Matematica è più di una forma d'arte

"La matematica è più di una forma d'arte."
(Takakazu Seki, 関孝和 1642-1708)¹

Perché per Takakazu Seki la matematica è più di un'arte?
E a quale matematica si riferiva?
Si riferiva al "Wasan" con i suoi artistici e colorati "Sangaku"!

Durante il periodo Edo, tra il 1603 e il 1868, il Giappone visse un lungo periodo di isolamento, durante il quale interruppe quasi del tutto le relazioni con il resto del mondo.
Per oltre due secoli, fiorì così in Giappone una cultura unica e originale, che influenzò tutte le discipline e la matematica che si sviluppò in quegli anni, senza influenze straniere, prese il nome di wasan. 
Il wasan era praticato da studiosi ma anche da persone comuni, che affrontavano problemi matematici per divertimento e per risolvere le necessità della vita quotidiana, come costruire un ventaglio o disporre i fiori in un vaso. 

Spesso i quesiti venivano disegnati su piccole tavolette di legno, i sangaku, che venivano appese di fronte ai templi per sfidare i pellegrini e i passanti a scrivere la soluzione sul retro della tavola. 
Una matematica "partecipativa", artistica e divertente di cui nei secoli si sono purtroppo perse le tracce.
Una matematica che ha origine cinese, origine che si riscontra ad esempio nella rappresentazione dei numeri tramite bastoncini di legno o di bambù detti sangi (算木) disposti su un'apposita griglia.
Si trattava di un vero sistema numerico posizionale con cifre da 1 a 9 e dallo zero 0, adottato dal periodo che va dal 475 a.C. circa al 16° secolo.

Numeri scritti in sangi (算木) Triangolo di Tartaglia 

La pagina riprodotta sopra riporta i numeri del triangolo di Tartaglia scritti utilizzando i sangi (算木).

Ogni campo della griglia contiene una cifra del sistema numerico decimale e  i colori rosso e nero permettevano di distinguere tra numeri positivi e negativi.
I sangi³ davano la possibilità di eseguire operazioni aritmetiche di diverso tipo, di estrarre radici quadrate e cubiche, di trattare sistemi lineari e di risolvere equazioni algebriche.

Numeri sangi (算木) 

Quando l'uso del soroban  (l'abaco giapponese) prese il sopravvento, le aste di conteggio furono abbandonate tranne in una notazione simbolica per l'algebra, dove i sangi si svilupparono e modificarono soprattutto grazie proprio a Seki Takakazu, che sviluppò i "numeri delle aste" in notazione simbolica per l'algebra, migliorando drasticamente la matematica giapponese. 
E' bene ricordare però che  giapponesi non ebbero una loro propria matematica fino all'anno 1627, quando fu pubblicato Jink ̄o-ki . 
Questo fu infatti il primo libro di matematica giapponese pubblicato, che essenzialmente spiegava come usare il soroban e, fino ad allora, gran parte dell'apprendimento e dello studio in matematica provenivano dai classici della Cina, con particolare attenzione a The Nine Chapters e Cheng's Treatise. 
Questo ritardo nello sviluppo della matematica fu anche dovuto al fatto che fino alla fine del 1500, la maggior parte degli usi della matematica in Giappone consistevano nell'imposizione di tasse sulla terra (geometria) e per le transazioni commerciali (l'aritmetica di base).
Esistevano quindi figure di "specialisti in matematica" del "Dipartimento di Intelligenza Aritmetica" che però conoscevano solo la geometria sufficiente per ottenere l'area del terreno e calcolare l'imposta richiesta. 
Il governo aveva quindi, fino allora, visto la matematica come un mezzo per un fine, vale a dire per l'acquisizione di denaro. 
Intorno agli inizi del 1600 le cose cominciarono a cambiare e un nuovo gruppo di sovrani, i Tokugawa, prese il controllo di tutto il Giappone, unendo tutte le terre sotto un unico governo. 
Il Dipartimento di Intelligenza aritmetica si sciolse e le tasse non furono più legate alla quantità di terra posseduta.
I Tokugawa apportarono altri importanti cambiamenti, la chiusura dei confini giapponesi e la messa al bando (e quindi l'eliminazione) del cristianesimo e dei missionari.  
Tutti i missionari furono infatti messi a morte insieme a quelli che non volevano rinnegare il cristianesimo.

Tokugawa Ieyasu primo shōgun del periodo Edo

Iniziò però in Giappone un periodo di pace, chiamato periodo Edo, che durò fino al 1868, quando furono riaperti i confini, e fu durante questo periodo che la cultura matematica incominciò a svilupparsi e a prosperare.
Durante il tempo della Grande Pace i samurai divennero i nuovi nobili del Giappone e, non più necessari come guerrieri, ricevettero incarichi governativi e divennero, molto più spesso, insegnanti itineranti.
Il tempo era ormai maturo per un'esplosione di apprendimento nei luoghi che, dato che non c'erano edifici scolastici, maggiormente creavano aggregazione, come il santuario locale o il tempio buddista. 
Sempre più persone furono indotte così a riunirsi per funzioni religiose, educative e sociali, tanto che nel secolo successivo il popolo giapponese avrebbe raggiunto il più alto tasso di alfabetizzazione di tutte le nazioni, diventando uno dei più istruiti.
Si sviluppò così la matematica wasan con i suoi sangaku. 
Queste tavolette avrebbero adornato templi e santuari mostrando la nuova conoscenza appresa. 
Tuttavia i sangaku avevano anche un significato più profondo e divennero un modo per ringraziare gli dei e gli spiriti per la nuova conoscenza.

Takakazu Seki o Kōwa Seki

Uno dei protagonosti di questo rifiorire di cultura matematica wasan fu proprio Takakazu Seki o Kōwa Seki, che  è stato infatti uno dei più grandi matematici giapponesi.
Seki Kowa, chiamato anche Takakazu, nacque verso il 1642, probabilmente a Fujioka, Gumma, in Giappone. 
Seki è il suo cognome, e Kowa è la lettura cinese dei caratteri, mentre la lettura giapponese è Takakazu. Il suo secondo nome è Shinsuke e lo pseudonimo è Jiyutei.
Nato in una famiglia di guerrieri samurai, secondo figlio di Uchiyama Shichibei Nagaakira in tenera età fu però adottato da una nobile famiglia di nome Seki Gorozayemon e prese il nome con cui ora è conosciuto, Seki, che deriva proprio dalla famiglia che lo adottò. 
Seki si rivelò subito un bambino prodigio in matematica. 
Da autodidatta si era formato una cultura matematica e, a nove anni, iniziò a parlarne con un istitutore di casa che si rese conto del talento del ragazzo.
Iniziò il suo studio da libri matematici stampati durante la dinastia Chosun, portati dall'esercito di Hideyosi. 
A quel tempo la dinastia Chosun praticava infatti un sistema matematico ben organizzato in libri di testo. 
Ben presto Seki costruì una biblioteca di libri giapponesi e cinesi sulla matematica e venne riconosciuto come un esperto, "Il Saggio Aritmetico"(termine che è scolpito sulla sua 
lapide), e presto ebbe molti allievi. 
Come si legge in "Una storia della matematica giapponese" (Chicago, 1914) di DE Smith e Y Mikami:

"A tempo debito, come discendente della classe dei samurai, servì in un ufficio pubblico, quello di esaminatore dei conti del Signore di Koshu, proprio come Newton divenne il direttore della zecca sotto la regina Anna. 
Quando il suo signore divenne l'erede dello Shogun, Seki divenne samurai di Shogunate e nel 1704 ottenne una posizione d'onore come maestro di cerimonie nella casa dello Shogun"

 

Statua in bronzo di Takakazu Seki (città Fujioka, prefettura di Gunma)

Ma Seki fu soprattutto un illustre esponente della scuola wasan, che considerava la matematica più vicina all'arte che alla scienza o alla tecnologia, ma non vedeva la matematica solo come arte, piuttosto come una disciplina capace di penetrare l’essenza dell’universo, una via per comprendere l’ordine profondo della natura. 

Nonostante ciò (o, forse, proprio per questo), Seki e i matematici wasan spesso precedettero quelli occidentali nella scoperta di importanti teoremi e algoritmi, soprattutto nell'algebra lineare, nella multilineare e nella soluzione approssimata delle equazioni algebriche non lineari.

Seki sviluppò strumenti matematici avanzati (precursori del calcolo differenziale, matrici, determinanti) non solo per risolvere problemi pratici, ma per esplorare le leggi universali. In questo senso, la matematica era una scienza filosofica, una chiave per la comprensione del mondo, simile all’approccio di Euclide o Newton in Europa.

Non era “arte” nel senso estetico o decorativo, ma arte nel senso più alto di "techne" (abilità creativa) che si fa sapere, epistemé.

Nel contesto culturale del Giappone Edo, dominato dal confucianesimo e dal neo-confucianesimo, la pratica di una disciplina come la matematica era vista anche come un esercizio di auto-coltivazione morale e intellettuale.

Fare matematica significava educare il pensiero, disciplinare la mente, coltivare la virtù della precisione e dell’armonia.

Per Seki, la matematica permetteva di esprimere verità perfette, immutabili, oltre la contingenza del mondo materiale. 

In questo senso, si avvicina a una concezione quasi metafisica o trascendente della matematica, non dissimile da quella platonica.

Anche se Seki non lasciò molti scritti teorici sul significato filosofico della matematica, i suoi allievi e la tradizione wasan trasmisero questa idea: la matematica non è solo utile, non è solo bella, è vera, ed è una via per avvicinarsi alla verità dell’universo.

Per Seki Takakazu, la matematica non era solo arte, ma una scienza superiore e un cammino intellettuale verso la comprensione dell’ordine cosmico, una disciplina che univa rigore logico, abilità tecnica, ed elevazione spirituale.

Scritto sul numero di Bernoulli e coefficienti binomiali  (1712) 

Anche se gran parte del primo sviluppo di Wasan fu preso in prestito dalla matematica formulata in Cina, durante il periodo Edo, subì una rivoluzione proprio per mano di Seki Kowa. 
La matematica, già prima del periodo Edo in Giappone, comprendeva la conoscenza della geometria (essenzialmente importata dalla Cina), ma è curioso il fatto, come fa notare M Fujiwara in "Miscellaneous notes on the history of Wazan", che i matematici giapponesi 
usassero il Teorema di Pitagora per trasformare i problemi geometrici in quelli algebrici. 
Sempre alla scuola di Wasan e alla matematica giapponese si deve la creazione di un calendario astronomicamente accurato, anche se non ci sono molti documenti riguardanti la matematica che si sviluppò su questo argomento.   

Dimostrazione del Teorema di Pitagora

               
Va ricordato anche che già intorno al 13° secolo, la versione giapponese dell'abaco, il soroban  fu introdotto in Giappone dalla Cina, il suanpan, e adottato per eseguire calcoli complessi e noiosi in modo molto rapido ed efficiente. 
Si può infatti imparare a eseguire calcoli estremamente rapidamente con il soroban e ancora oggi, alcuni studenti giapponesi imparano a fare calcoli mentalmente visualizzando un soroban nell'aria. 

Kowa e i suoi seguaci svilupparono uno stile distintivo della matematica e formularono appunto concetti sviluppati contemporaneamente in Occidente, come l'algebra lineare e il calcolo. 
Una caratteristica di Wasan sono i Sangaku o San Gaku (算額 tavoletta di calcolo), enigmi geometrici scolpiti su tavolette di legno, senza soluzione, che venivano posti come offerte ai santuari shintoisti o ai templi buddisti durante il periodo Edo da membri di tutte le classi sociali.
I Sangaku erano dipinti a colori su tavolette di legno (ema) e appesi nei recinti dei templi buddisti e dei santuari shintoisti come offerte ai kami e ai buddha, come sfide per i membri della congregazione o come dimostrazioni delle soluzioni alle domande. 
Questi problemi sono spesso indicati in inglese come  "Japanese Temple Problems" (Problemi del tempio giapponese) e, di solito, erano di natura geometrica e riguardavano la ricerca di aree, volumi e raggi di cerchi. 

I Sangaku erano quindi enigmi che molti cercavano di risolvere, inclusi nobiltà, preti e popolani. 
Ci sono molti libri che contengono questi problemi con la traduzione inglese e c'è un meraviglioso sito web  (link SanGaku) che contiene questi problemi tratti dal libro di H. Fukagawa e D. Pedoe "Japanese Geometry Problems: San Gaku" - Charles Babbage Research Center, 1989. I disegni e le soluzioni sono state elaborate da Kevin Mirus.

Quali sono i raggi dei cerchi blu? 

Purtroppo quando il contatto con l'Occidente fu stabilito nel periodo Mejii, che seguì il periodo di Edo, lo stile Wasan fu abbandonato a favore della matematica occidentale, tanto che Wasan e la storia della matematica giapponese sono stati poco studiati e presi in considerazione in occidente.
La maggior parte di queste tavolette è stata inoltre tristemente persa durante la modernizzazione del periodo Mejii, anche se ne sono rimaste circa 900 .  
Il governo dovette adottare la matematica occidentale per essere in grado di comunicare con tutti i nuovi partner commerciali con cui si erano ristabiliti i rapport e,  a tal fine, fu indetta una legge che mise fuori legge Wasan al fine di far adottare nelle scuole solo la matematica occidentale. 
Chiunque avesse ancora insegnato Wasan avrebbe perso la  licenza di insegnamento e sarebbe stato imprigionato. 

Replica di Hatsubi-Sampo esposta nel Museo Nazionale di Natura e Scienza , Tokyo , Giappone 

Nel 1674 Seki pubblicò "Hatsubi Sampo" in cui risolse quindici problemi Sangaku che erano stati posti. 
Un lavoro notevole per l'attenta analisi dei problemi che ha fatto Seki e che certamente è stato uno dei motivi del suo grande successo come insegnante.
Seki ha inoltre anticipato molte delle scoperte della matematica occidentale. 
Infatti Seki ideò un nuovo sistema di notazione matematica (endan-jutsu) e lo impiegò per formulare autonomamente molti teoremi e teorie che erano state, o sarebbero state di lì a poco, scoperte in Occidente.

Vediamole nel dettaglio:

- Seki fu il primo matematico a studiare i determinanti nel 1683 e un contributo notevole di questo matematico all'algebra fu proprio la scoperta del determinante (Biografia nel dizionario della biografia scientifica - New York 1970-1990). 
Studiò infatti le matrici 2x2 e 3x3, e, pur non essendo in grado di determinare una formula generale, ottenne comunque un risultato più generale di quello che Leibniz avrebbe ottenuto dieci anni più tardi. 
- Seki ha anche scoperto i numeri di Bernoulli prima di Jacob Bernoulli e la riscoperta autonoma di molti risultati del calcolo infinitesimale.
- Studiò equazioni trattando sia le radici positive che quelle negative, anche se non aveva ancora alcun concetto di numeri complessi. 
- Fu il primo in Giappone a studiare i quadrati magici e le equazioni diofantee.
Per esempio, nel 1683, considerò le soluzioni intere di ax - by = 1 dove a , b sono numeri interi.
Scrisse sui quadrati magici, sempre nel suo lavoro del 1683 (fu il primo trattato del tema in Giappone), dopo aver studiato un'opera cinese di Yank Hui sul tema nel 1661. 
- Introdusse i caratteri kanji per rappresentare variabili e incognite nelle equazioni, ed anche se fu obbligato a limitare il suo lavoro alle equazioni fino al quinto grado, in quanto il suo alfabeto algebrico (endan-jutsu) non era adatto alle equazioni generiche dell'n-esimo ordine, fu in grado di creare equazioni con coefficienti letterali di qualsiasi grado e con diverse variabili, e di risolvere equazioni simultanee. 
In questo modo fu in grado di derivare l'equivalente di f(x), e quindi di giungere alla nozione di discriminante (una funzione speciale della radice di un'equazione polinomiale esprimibile mediante i coefficienti del polinomio).
- Nel 1685, risolse l'equazione cubica 30 + 14 x - 5 x 2 - x 3 = 0 usando lo stesso metodo che userà Horner cento anni dopo.
- Scoprì il metodo Newton o Newton - Raphson per risolvere le equazioni e introdusse una versione della formula che poi si dirà di interpolazione di Newton.
- Un altro dei contributi di Seki fu sulla rettificazione del cerchio, ovvero il calcolo del pi greco. 
Un'altra importante scoperta attribuita a lui è infatti enri (円 理), o principio del cerchio, un sistema matematico sostanzialmente equivalente al calcolo sviluppato dai suoi contemporanei Newton e Leibniz in Europa, ed è così chiamato perché la sua prima applicazione era il calcolo del valore di pi a 15 cifre decimali.
Ottenne un valore che era corretto fino al 9° decimale,  risultato che i suoi allievi portarono alla precisione fino al 18º decimale.

Il soroban in Yoshida Koyu s' Jinkōki (edizione 1641)

Purtroppo la segretezza che ha circondato le scuole in Giappone, rende difficile determinare i contributi fatti da Seki, anche se si è riusciti ad attribuirgli queste importanti scoperte nel calcolo, tramandate poi dai suoi stessi allievi.
Gran parte della sua fama infatti gli deriva, soprattutto, dalle riforme sociali che introdusse allo scopo di sviluppare lo studio della matematica in Giappone e di renderlo ampiamente accessibile.
Considerando il fatto che Seki sviluppò molti concetti matematici allo stesso tempo e anche prima dei matematici in Europa, perché i giapponesi abbandonarono lo stile Wasan al contatto con l'Occidente? 
In che senso la matematica occidentale era "superiore" a quella Wasan? 
                          

Va ricordato che il termine Wasan , da wa ("giapponese") e san ("calcolo"), fu coniato nel 1870²  e impiegato per distinguere la teoria matematica giapponese originaria dalla matematica occidentale (洋 算yōsan).

Questo schema matematico, evolutosi durante un periodo Edo (1603-1867) in cui il popolo giapponese era isolato dalle influenze europee, fu introdotto da Kambei Mori che è stato il primo matematico giapponese noto nella storia. 

Kambei è conosciuto soprattutto come insegnante di matematica giapponese che, tra i suoi studenti più importanti, istruì Yoshida Shichibei Kōyū , Imamura Chishō e Takahara Kisshu, studenti che vennero chiamati dai loro contemporanei "i tre aritmetici".

Promulgazione della Costituzione Meiji, xilografia in stile ukiyo-e di Yōshū Chikanobu, 1889

Quando all'inizio del periodo Meiji (1868-1912), il Giappone e la sua gente si aprirono all'Occidente e gli studiosi giapponesi adottarono la tecnica matematica occidentale, questo portò a un calo di interesse per le idee usate in Wasan . 

Molto probabilmente una delle principali differenze tra la matematica giapponese e la matematica occidentale sta nel contesto in cui sono state sviluppate. 

Ad esempio, è vero che Seki Kowa ed i suoi seguaci hanno sviluppato un sofisticato metodo equivalente al calcolo di Newton e Leibniz, ma lo hanno applicato solo a indagini geometriche, come la ricerca di aree e volumi. 

Newton invece sviluppò il calcolo allo scopo di descrivere una teoria fisica, la teoria della gravità. 

In Occidente gran parte dello sviluppo della matematica fu in questo periodo motivata da domande che sorgevano in fisica e  che riguardavano forze e quantità non facilmente visualizzabili, come energia e quantità di moto, e quindi sorse un nuovo livello di astrazione della matematica, mentre in Giappone la matematica rimase focalizzata sulla soluzione di problemi geometrici che potevano essere facilmente visualizzati ed essere esteticamente piacevoli. 

Il più alto livello di astrazione in matematica ha dato un maggiore potere di risoluzione dei problemi e ha aperto nuove strade per l'esplorazione matematica. 

È per questo motivo che credo che, sebbene Wasan e la matematica occidentale fossero alla stessa altezza all'inizio del XVIII secolo, la matematica occidentale accelerò il suo sviluppo e acquisì molto più prestigio della matematica del Giappone, proprio agli albori della modernizzazione giapponese.

Note

¹ Citazione da

https://web.archive.org/web/20040407050516/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/Quotations/Seki.html

² da Helaine Selin - Enciclopedia della storia della scienza, tecnologia e medicina nelle culture non occidentali  (p. 641 su Google Libri). 

Helaine Selin (nata nel 1946) è una scrittrice americana, autrice  di numerosi best seller 

³ Il lettore interessato ad approfondire il calcolo con i sangi può trovare diverse spiegazioni nella pagina di wikipedia dedicata al rod calculus.