Meteo, matematica e...farfalle!

"Matematica estiva" è il tema della 76-esima edizione del Carnevale della Matematica ferragostiana, che uscirà, come di consueto il 14 del mese, ospitato sul blog di Mau.
Matematica estiva in questi giorni sembrerebbe quasi un paradosso (forse un nuovo paradosso matematico?), infatti il tema presumerebbe che ci fosse la matematica e l'estate .....ma l'estate quest'anno parrebbe proprio non arrivare mai.

Dobbiamo farci una ragione del fatto che il 2014 sarà l’anno senza estate? 

A sostenerlo sono quasi la totalità dei meteorologi e dei siti meteo, i “guru” delle previsioni, che annunciano che proseguirà “l’instabilità ad oltranza con il rischio temporali”, tranne brevissime parentesi miti e soleggiate (senza picchi di caldo esagerato), che il clima si manterrà tipicamente autunnale con temperature di gran lunga inferiori rispetto alle medie del periodo e che continueranno precipitazioni abbondanti tipiche dei periodi più piovosi dell’anno.
Ma tornando al suddetto tema, vorrei qui introdurre brevi considerazioni sulla correlazione tra i modelli meteorologici, la matematica e le previsioni meteo, così difficili in questa "estate che non c'é".

La farfalla e la teoria del caos

La teoria del caos dimostra che i cambiamenti infinitesimali che avvengono in un sistema possono portare a cambiamenti sorprendentemente drammatici. L'esempio classico è la farfalla che batte le ali in Brasile provocando un tornado nel Texas. 

La rete Internet mette attualmente a disposizione i risultati dei modelli di previsione ad un pubblico sempre più vasto che varia dagli scienziati ricercatori agli amatori. Informazione, che se non opportunamente filtrata attraverso un minimo di preparazione teorica, può indurre molti all'errore di interpretazione e alla confusione. Inoltre, specialmente per i non addetti ai lavori, l'affidabilità delle previsioni e la competenza dei responsabili dei siti internet non sono deducibili dall'apparenza del sito stesso; infatti la veste grafica molto curata talvolta può nascondere enormi carenze di rigore scientifico al suo interno.

Cos'è la previsione meteorologica numerica?

La previsione meteorologica numerica (NWP Numerical Weather Prediction) costituisce forse uno degli aspetti più affascinanti e complessi della meteorologia.
Oggi si può affermare che l'obiettivo di conoscere in anticipo l'evoluzione del tempo con un ragionevole grado di affidabilità è stato forse raggiunto, grazie soprattutto allo sviluppo dei sempre più potenti elaboratori elettronici, i supercomputers, e della così detta "previsione d'ensemble" (EPS - Ensemble Prediction System), che consiste essenzialmente nel mettere a confronto simultaneamente dati ottenuti dai modelli, variando le condizioni iniziali e creando una sorta di "nuvola statistica" di soluzioni.
Alla linea dell'ensemble  si aggiunge la cosiddetta ipotesi del «multi-model ensemble», che significa il confronto dei risultati multipli non più ricavati da uno stesso modello, ma da più modelli diversi tra loro.

Metodo Sinottico - Analisi sinottica 11 agosto 2014

Oggi i più grandi centri meteorologici fanno girare contemporaneamente più modelli all'interno dei calcolatori, e un criterio di analisi è quello di rielaborare i diversi output mediante sofisticati criteri statistico-dinamici. 
Supponendo che tutti i modelli siano stati sviluppati in modo più o meno indipendente, eventuali errori possono essere compensati dal confronto. Emerge quindi una previsione "ottimale", intesa come risultato di rielaborazione di tutte le previsioni effettuate.
Questo sviluppo indipendente dei modelli consente quindi il cosiddetto "multimodel forecast", una linea promettente di previsione basata appunto sul confronto dei risultati di più modelli, che utilizzano equazioni fondamentali, note da un paio di secoli, e che ovviamente sono le stesse per tutti.

Ma cos'è un modello meteorologico?

Un modello è una riproduzione semplificata della realtà, ossia un'astrazione che considera solamente le principali caratteristiche di quello che è il reale oggetto di studio. Tuttavia, un modello, sebbene possa sembrare limitato, in quanto non riproduce completamente la realtà, permette di esaminare gli aspetti piú importanti di un problema.
E non è poco! 
Se considerassimo tutti i dettagli di un problema, ottenendo quello che si definisce una simulazione come quella meteorologica, ci troveremmo ad affrontare un insieme di dati difficilmente correlabili tra loro e quindi la loro analisi ci sarebbe impossibile o di utilità limitata all'analisi di brevi periodi, come appunto per le simulazioni climatiche.
Certo un modello non può offrire garanzie di sicurezza assoluta ma è comunque un indispensabile strumento per il progresso della scienza e della tecnologia.
D'altra parte l'uso di un modello è del tutto naturale. 
Ad esempio, quando usciamo da casa per recarci al lavoro o per una gita, ci formiamo mentalmente l'idea del percorso che seguiremo, con le eventuali soste per il caffè o per il giornale, ma certo non prenderemo in considerazione la possibilità che un gabbiano atterri sul tetto della nostra auto o altri eventi improbabili. 
Automaticamente il pensiero opera una semplificazione della realtà per poter elaborare delle conclusioni su di essa.

Tabella riassuntiva delle caratteristiche dei principali modelli meteorologici globali.

Due esempi di modelli globali

(a sinistra) 
Rappresentazione schematica di un modello numerico globale a punti di griglia, che mostra la suddivisione in volumi elementari per i quali sono eseguiti i calcoli, generalmente ai nodi della griglia.
I colori riguardano una scala di temperatura (rosso = caldo; blu = freddo); sono anche riportati i vettori del vento (da Lab. Météorologie Dinamique, CNRS). 
(a destra) 
Una caratteristica peculiare del modello Arpège di Météo France è quella di utilizzare una maglia variabile, più fitta sulla zona di interesse (in questo caso la Francia e l’Europa), e progressivamente meno dettagliata nelle aree più lontane.
La metà dei punti di griglia totali è concentrata nel cerchio passante per la Groenlandia e il Sahara, mentre il quadrato verde rappresenta l’area dove viene fatto girare il modello ad area limitata «Aladin» con risoluzione 10 km. Il modello Arpége suddivide l’atmosfera in 4 milioni di «blocchetti» elementari.

Tornando quindi specificatamente ai modelli numerici di previsione meteorologica, questi sono modelli matematici dell'atmosfera che utilizzano le condizioni meteorologiche attuali (stato atmosferico) come input o inizializzazione delle equazioni fondamentali del modello stesso per la previsione meteorologica in momenti o istanti successivi (prognosi). Sono detti numerici perché la loro risoluzione, non possibile per via analitica data la complessità e non linearità delle equazioni coinvolte, passa attraverso opportune tecniche di analisi numerica e all'uso congiunto di supercalcolatori, vuoi anche per l'ingente mole di dati da elaborare in tempi brevi.

Ma quali sono le equazioni principali che sono utilizzate dai modelli?

Ovviamente non si possono scrivere qui tutte per esteso, tuttavia si possono citare le più importanti, dette primitive:
- Equazioni di Navier-Stokes (NS) per la definizione delle componenti del campo di vento (anche dette equazioni di bilancio della quantità di moto in un fluido).
- Equazione della termodinamica (è il fondamentale primo principio della termodinamica, detto anche di conservazione dell'energia, spesso banalizzato nell'espressione nulla si crea, nulla si distrugge).
- Equazione di evoluzione del vapore acqueo (tiene conto di tutti i processi che compongono il ciclo dell'acqua e dei suoi passaggi di stato, cioè evaporazione, condensazione, fusione, solidificazione e sublimazione).
- Equazione di continuità (che deriva dalla legge di conservazione della massa). 
Assicura che in un dato volume la quantità d’aria che entra sia pari a quella che esce.
A queste equazioni conservative prognostiche si aggiungono:
- Equazione di stato dei gas, che lega pressione, densità, temperatura e volume di una massa d’aria.
- Equazione idrostatica, che riguarda la relazione approssimata tra la variazione di pressione con la quota e la densità dell’aria.

E qual'è l'affidabilità di queste equazioni per una corretta previsione?

Nel 1963 Edward Lorenz, professore al dipartimento di Meteorologia del MIT di Boston, dimostrò che un sistema complesso come quello atmosferico presenta un' altissima sensibilità ai valori iniziali.
Troncando il numero di cifre decimali, ad esempio dopo solo la settima, Lorenz fece notare che le soluzioni dei modelli erano afflitte da notevoli dispersioni nei risultati, e che sarebbe stato impossibile spingersi in previsioni oltre i 10-15 giorni.
Detto in altri termini, la struttura della dinamica dell'atmosfera descritta dall'insieme di equazioni non lineari dei modelli è molto sensibile a piccolissime variazioni dei dati di partenza, quelli ottenuti dai dati delle stazioni ed elaborati dai modelli . 
E’ pertanto un sistema parzialmente caotico.
In modo poetico Lorenz sintetizzò la situazione con la famosa battuta che «un battito d'ali di una farfalla in Brasile potrebbe provocare un tornado in Texas». 
Problemi noti come quello dei «tre corpi» in astronomia o del «doppio pendolo » misero in crisi la visione deterministica del mondo che all'incirca un secolo fa lasciava presupporre che si potesse prevedere lo stato dell'universo in ogni istante futuro conoscendone le condizioni iniziali.

Lo "strange attractor" di Lorenz

In matematica, un attrattore è un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo. Perché tale insieme possa essere definito attrattore, le traiettorie che arrivano ad essere sufficientemente vicine ad esso devono rimanere vicine anche se leggermente perturbate. Dal punto di vista geometrico un attrattore può essere un punto, una curva, una varietà, o anche un insieme più complicato dotato di struttura frattale e noto con il nome di attrattore strano

Edward Lorenz  ha dimostrato che un modello meteo ha un comportamento caotico, considerando una serie di 12 equazioni differenziali non lineari. Lorenz ha deciso di cercare un comportamento complesso in un insieme ancora più semplice di equazioni, e fu condotto al fenomeno della laminazione di convezione del fluido. Il modello fisico è semplice: basta posizionare un gas in una scatola rettangolare con una fonte di calore sul fondo. Lorenz ha semplificato alcune equazioni della dinamica dei fluidi (chiamate equazioni di Navier-Stokes) che si è conclusa con una serie di tre equazioni non lineari:

dove P è il numero di Prandtl rappresenta il rapporto tra la viscosità del fluido alla sua conducibilità termica, R rappresenta la differenza di temperatura tra la parte superiore e inferiore del sistema, e B è il rapporto tra la larghezza e l'altezza della scatola utilizzata per contenere il sistema. I valori Lorenz utilizzati sono P  = 10, R  = 28, B  = 8/3. Queste tre equazioni sembrano semplici da risolvere, tuttavia esse rappresentano un  sistema dinamico estremamente complicato. Se si rappresentano i risultati in tre dimensioni si ottiene la figura seguente, chiamato attrattore di Lorenz.

Le proiezioni di questo attrattore nei piani bidimensionali yz e xz sono le seguenti:

Proiezione sul piano yz

Proiezione sul piano xz

L'attrattore di Lorenz è un esempio di un attrattore "strano" (strange attractor). Gli attrattori strani sono "unici" attrattori fase-spazio in cui non si sa esattamente dove il sistema si troverà su l' attrattore . Due punti su l' attrattore che sono vicini a vicenda in una sola volta, saranno arbitrariamente lontani in tempi successivi. L'unica restrizione è che lo stato del sistema rimanga sopra l'attrattore. Gli attrattori strani sono unici in quanto non chiudono mai su se stessi - il moto del sistema non si ripete mai (non periodico). Il movimento che stiamo descrivendo su questi strani attrattori è ciò che intendiamo per comportamento caotico.  L'attrattore di Lorenz è stato il primo attrattore strano, ma ci sono molti sistemi di equazioni che danno luogo a dinamiche caotiche. Esempi di altri attrattori strani sono gli attrattori Rössler e Hénon. L'attrattore Rössler è nato dallo studio delle oscillazioni nelle reazioni chimiche. E' formato da un altro insieme di equazioni di Navier-Stokes, vale a dire:

dove A  = 0.2, B  = 0.2, e C  = 5.7. Una proiezione nel piano xy di questo attrattore è:

Un altro attrattore strano, creato in modo ricorsivo, è l'attrattore Hénon:

Si è dovuto quindi ricorrere a un nuovo metodo di interpretazione dei risultati dei modelli che si avvale di tecniche dinamico/statistiche.
Detto in parole semplici, considerata l'instabilità intrinseca delle equazioni dai risultati di Lorenz, si fa girare il modello più volte di seguito variando ogni volta un determinato set di condizioni iniziali inserendo volutamente degli errori casuali nell'intorno dei punti assegnati.
Il risultato di questa operazione si riassume in una «nuvola» statistica di soluzioni.

Nel campo dei modelli atmosferici e più in generale nello sviluppo del software, vi è una continua evoluzione. Anche i limiti tecnologici relativi allo sviluppo di nuovi tipi di microprocessori si sono spostati sempre più avanti, nella direzione di una maggior potenza di calcolo e riduzione del tempo macchina necessario. Naturalmente lo sviluppo di processori sempre più veloci ha consentito di realizzare modelli meteorologici sempre più sofisticati.
Resta una difficoltà intrinseca e non di poco conto, cioè quella di creare una previsione su una singola località a partire dagli output dei modelli.
Infatti ognuno di noi è interessato alla temperatura vicino al suolo, alla nuvolosità, alla stima delle precipitazioni, alla nebbia, ma queste variabili non sempre sono disponibili all'uscita dei modelli, più spesso esse devono essere interpretate o derivate mediante schemi appositi. Da qui si inserisce il fondamentale apporto del "previsore locale", che sa interpretare i dati e li traduce nel giusto contesto territoriale.

Tecniche e analisi basate sulla matematica frattale

Dalla scoperta di Lorenz molto cammino è stato compiuto in tutte le branche del sapere. Tra tutte le definizioni create sul 1900, una sembra la più significativa: il 1900 è il secolo delle Rivoluzioni. Dopo la Relatività e la Meccanica Quantistica, la rivoluzione più importante è la scoperta della teoria del Caos.

CAOS - Attrattore di Lorenz - Simulazione 

Nello sviluppo della scienza del caos e doveroso dare un posto di rilievo a Benoit B. Mandelbrot, un matematico polacco formatosi in Francia e negli Stati Uniti, a cui si deve la "matematica dei frattali", come tentativo di capire scientificamente la realtà laddove la matematica tradizionale fallisce per intrinseci limiti interpretativi.
I frattali sembrano infatti rispecchiare nello spazio la complessità del comportamento dei sistemi caotici nel tempo. Benché non esistano in natura insiemi frattali in senso stretto, come non esistono rette o piani geometrici, alcuni oggetti naturali posseggono una struttura che approssima quella di tali insiemi.

Gli eventi caotici, come la turbolenza atmosferica, manifestano andamenti simili su scale temporali diverse, più o meno come gli oggetti dotati di autosomiglianza che, a scale spaziali diverse, presentano sempre gli stessi elementi fondamentali. Questa  configurazione ripetitiva definisce la dimensione frazionaria, o frattale. 

La costruzione dei frattali si basa, più che su un’equazione, su un algoritmo,  intendendo per algoritmo quel procedimento meccanico che permette la risoluzione di problemi mediante un numero finito di passi.
L’algoritmo non è mai applicato una volta sola, la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito e, ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e dopo un certo numero di iterazioni l’occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche.
Quindi grazie soprattutto allo sviluppo della geometria frattale, in grado di descrivere in termini grafici forme e processi naturali, quantificando il loro grado di «erraticità» attraverso rigorosi metodi matematici, si è acquisito un nuovo codice interpretativo.
Queste strutture matematiche, capaci di esprimere comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli, di cui si possono avvalere i meteorologi per affinare le tecniche di analisi dei dati, si sono rivelate estremamente proficue nello studio della turbolenza e dei fenomeni meteorologici in generale.

"Il nostro universo fisico non ha più come simbolo il moto regolare e periodico dei pianeti, moto che è alla base della meccanica classica. E' invece un universo di instabilità e fluttuazioni, che sono all'origine dell'incredibile ricchezza di forme e strutture che vediamo nel mondo intorno a noi. Abbiamo quindi bisogno di nuovi concetti e nuovi strumenti per descrivere una natura in cui evoluzione e pluralismo sono divenute le parole fondamentali"

(come diceva il russo Ilya Prigogine, nobel per la chimica nel 1977)

Fonti:

From the exert

http://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/attractors.html

From website

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Weather_forecasts.html

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/

http://www.meteorete.it/carte.php

http://c21l.org/multiverse-learning/
http://classes.yale.edu/fractals/index.html

Links to information

https://it.wikipedia.org/

From video

https://www.youtube.com/watch?v=A9RKfmVJQBk