venerdì 27 aprile 2018

La matematica romantica dell'800

"La matematica forse non è altro che l'energia spirituale dell'intelletto essoterizzata, ridotta a organo e oggetto esteriore, un intelletto realizzato e oggettivato [. . . ] L'energia della matematica è l'energia che mette ordine.
D'altro canto, ogni scienza matematica tende a ridiventare filosofica, ad essere animata o razionalizzata, poi poetica, infine morale, per ultimo religiosa"
(Novalis da "Frammenti" trad. italiana di E. Pocar. Rizzoli, 1976)

Novalis, pseudonimo di Georg Friedrich Philipp Freiherr von Hardenberg (Schloss Oberwiederstedt, 2 maggio 1772 – Weißenfels, 25 marzo 1801), è stato un poeta, teologo, filosofo e scrittore tedesco, uno dei più importanti rappresentanti del romanticismo tedesco prima della fine del Settecento. 
Oltre che per le sue opere letterarie e filosofiche, che spaziano un po' in tutti i campi, è ricordato come il creatore del fiore azzurro (Blaue Blume), ovvero il nontiscordardimé, uno dei simboli più durevoli del movimento romantico, che diventa metafora del raggiungimento della perfezione e che, in senso più ampio, simboleggia l’amore e lo sforzo metafisico di accostarsi all’infinito e all’irraggiungibile; un proposito impossibile da realizzare, se non attraverso la matematica o la poesia.


Il Fiore Azzurro di Georg Friedrich Philipp Freiherr von Hardenberg (Novalis)

Ho scelto questa frase, forse non molto nota, come parallelo tra filosofia e matematica, perché scritta da uno degli iniziatori del Romanticismo tedesco e quindi molto significativa per introdurre quella che si potrebbe definire la Matematica romantica dell'800. 
Da sempre vi é stato un rapporto stretto tra matematica e filosofia e fin dall'antichità si evidenziano notevoli tentativi di avvalersi della matematica in ambito filosofico e anzi spesso la matematica finiva lei stessa per essere una forma di filosofia.

Basterebbe ricordare il filosofo Talete (625 a.C. – 547 a.C. circa), che oltre a calcolare l' altezza delle piramidi sfruttando l' ombra da esse proiettata, diede vita al famoso teorema sulle rette parallele che porta il suo nome, e non si può certo non menzionare Pitagora e i pitagorici che nel periodo tra il 580 a.C. e il 495 a.C affermavano che "il numero é il principio" e che si erano accorti che tutti gli enti hanno come caratteristica la misurabilità, o il cosmo platonico (PlatoneAtene 428/427 a.C. - Atene 348/347 a.C), formato dai 5 solidi regolari, e gli atomi democritei (Democrito  460 a.C. – 370 a.C) dotati di caratteristiche esclusivamente quantitative, o Eratostene, vissuto tra il 280 e il 200 a.C., che arrivò, anche se in modo piuttosto rudimentale, a calcolare il valore della circonferenza della Terra con grande precisione....... 
Tuttavia il forte legame tra filosofia e matematica, dopo Aristotele (383 a.C. – 322 a.C.), filosofo, scienziato e logico greco antico che, con Platone, suo maestro, e Socrate è considerato uno dei padri del pensiero filosofico occidentale, passerà in secondo piano e dovrà aspettare fino al Rinascimento per tornare in auge.
Certo Aristotele può considerarsi il precursore delle geometrie non euclidee, che furono però poi per lunghissimo tempo completamente ignorate.
Aristotele nel "De Caelo" (Περὶ οὐρανοῦ), ammette come ipotesi che sia impossibile che un triangolo abbia i 3 angoli pari a 2 angoli retti, che è come dire che sono possibili triangoli non euclidei.
Ed ancora dice che "proveremmo lo stesso piacere se la somma degli angoli interni di un triangolo fosse uguale a due angoli retti, ma anche se non lo fosse". 
La scelta infatti non dipende da motivazioni logiche ma dall’ esercizio della libertà del soggetto.
Inoltre nell’"Etica Eudemia" (Ηθικά Ευδήμεια) Aristotele indica la decisione sulla scelta tra assiomi euclidei (il triangolo euclideo) e non euclidei (il triangolo non-euclideo) come esempio di un libero atto di scelta tra due poli, laddove il ragionamento logico non può dare indicazioni orientative: l’Ethos è sopra il Logos, la libertà del soggetto è il fondamento dell’essere matematico e così sarà anche per Cartesio che sosterrà che il teorema euclideo, il quale afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo equivale a due angoli retti, è così "solo perchè la libertà di Dio l’ha voluto così, non perchè sia più vero dell’ipotesi contraria" (Mèditations mètaphysiques). 


La Scuola di Atene - affresco (770×500 cm circa) di Raffaello Sanzio - databile al 1509-1511 
Situato nella Stanza della Segnatura, una delle quattro "Stanze Vaticane", 
poste all'interno dei Palazzi Apostolici.
Platone e Aristotele, che insieme a Socrate sono considerati i  principali filosofi dell'antichità, 
si trovano al centro della composizione.

Non intendo qui fare una storia della matematica greca, che quasi sempre viaggiava in parallelo con la storia della filosofia, né soffermarmi sul rinato legame rinascimentale, perché dovrei scrivere un trattato, preferisco quindi riscoprire gli aspetti della matematica romantica.  
Si perché la matematica ottocentesca può essere definita romantica in quanto i matematici dell'800 smantellarono finalmente il dispotismo che Euclide esercitava da 2000 anni, rivendicando, in contrapposizione all'illuminismo, quell'idea di libertà (già aristotelica) come fondamentale esigenza dell'individuo.
Per  tutto questo lunghissimo tempo infatti Euclide (IV - III secolo a. C.) aveva continuato ad esercitare una dittatura così tirannica che, nella Critica della Ragion Pura, lo stesso Immanuel Kant ritenne che lo spazio euclideo fosse "la griglia insita nell'intelletto" con cui gli umani percepiscono il mondo esterno. 
L'800 segna quindi la fine dell'ancien régim euclideo e la nascita delle grandi geometrie non-euclidee, il secolo che si sarebbe rivelato il più grande, il più magnifico, e il più entusiasmante di tutta la storia della matematica. 

Ma vediamo di "far luce" sulle conseguenze di questa libertà di negare il V postulato di Euclide, che ha portato alle geometrie non Euclidee.


Fig. 1: Triangolo Ellittico Euclideo Iperbolico 

Il V postulato di Euclide, più noto come il Postulato (o l’assioma) delle parallele, ha rappresentato il punto cruciale per lo sviluppo della Geometria e della stessa Matematica.
Esso possiede varie formulazioni equivalenti, la più nota delle quali recita:

1)   Data una retta r ed un punto P che non le appartenga, esiste un’unica retta s  passante per P e ad essa parallela.
(in questo caso, poiché rs, si ha: r  s  r s =).

Questa formulazione è nota dal 1818 ad opera di Gergonne, ma molto probabilmente risale a tempi precedenti, ed apparirà nella sistemazione della geometria Euclidea dovuta a David Hilbert.

La formulazione originaria di Euclide fu la seguente:
2) Se due linee sono tagliate da una trasversale in modo tale che la somma degli angoli interni da una parte della trasversale è minore di 180°, allora le due linee s’intersecano dalla stessa parte della trasversale.
Un’altra interessante formulazione dello stesso postulato è:
3) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

Il problema fondamentale su questo postulato (o assioma) fu, quasi dall'inizio, il tentativo di capirne la necessità e la dipendenza o meno dagli altri assiomi. 
Sembra, infatti, abbastanza curioso e sintomatico che lo stesso Euclide lo abbia adoperato il meno possibile.
Per diverse ragioni quest’assioma non sembrò autoevidente, come gli altri, probabilmente perché i Greci avevano familiarità con linee, dette asintotiche, che pur non incontrandosi in alcuna regione limitata del piano, tendevano ad incontrarsi all’infinito. Non era dunque evidente che per un punto esterno ad una retta si potesse tracciare soltanto una parallela.
Occorsero molto tempo e l’ingegno di molti Matematici per dirimere la questione,  provando l’indipendenza con la costruzione di modelli di due nuove geometrie, dette Geometrie Non Euclidee, che, dal punto di vista della logica matematica, sono equivalenti alla Geometria Euclidea nel senso che ciascuna di esse è consistente se e solo se lo è la geometria Euclidea. (In realtà per geometria non Euclidea si deve intendere una qualsiasi geometria differente da quella di Euclide.)

Volendo schematizzare il problema, si può procedere secondo due direttive:

1) Cancellare il V postulato e studiare tutto quello che si può dedurre dai rimanenti postulati. Si ottiene una geometria nota come Geometria assoluta o neutrale.
2) Cercare di dimostrare la dipendenza del V postulato assumendo come ipotesi la sua negazione. Se si giunge ad una contraddizione questo significherà che il V postulato è in realtà deducibile dagli altri. Poichè il postulato in questione contiene due affermazioni, una di esistenza e l’altra di unicità, è possibile procedere in due modi negando solo l’unicità oppure negando l’esistenza.

Tutti i tentativi non portarono ad alcuna contraddizione; nacquero così due nuove geometrie,  dette appunto non Euclidee: 
1) la geometria iperbolica (Bolyai, Gauss, Lobachevsky) 
2) la geometria ellittica (Gauss, Riemann)
e l’indipendenza del V postulato fu definitivamente stabilita quando si costruirono modelli di tali geometrie (Eugenio Beltrami, 1868).

1) Il caso iperbolico: data una retta ed un punto P non appartenente ad essa esistono diverse rette per P ad essa parallele.
Equivalentemente: la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°.
È necessaria una precisazione. La negazione del V postulato deve essere formulata 
nel seguente modo: esiste una retta r ed esiste un punto P fuori di essa tale che 
almeno due diverse parallele a r passano per P.
Oppure: esiste un triangolo tale che la somma dei suoi angoli interni è minore di 180°.
Tuttavia, partendo da queste ipotesi è possibile dimostrare che la proprietà ipotizzata vale per tutte le scelte di una retta e di un punto fuori di essa, e per tutti i triangoli.  

2) Il caso ellittico: data una retta ed un punto P non appartenente ad essa, non esiste alcuna retta per P ad essa parallela. 
Equivalentemente: la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°.

Lo stesso Euclide, mentre riteneva evidenti i primi quattro postulati della sua 
geometria, non considerava altrettanto evidente il quinto detto “delle rette 
parallele”, infatti questo postulato non rimanda ad alcuna costruzione 
geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano. Vani 
sono stati i tentativi, fatti sino ad oggi dai matematici, di dimostrare, riformulare o sostituire il quinto postulato. 
Alcuni studiosi come Gauss, Bolyai, Lobabacevskij, Riemann nei primi del XIX secolo, hanno costruito delle geometrie che, negando il quinto postulato, hanno dato vita alle geometrie dette appunto non euclidee.



Fig. 2: Due rette aventi una perpendicolare in comune nelle tre geometrie 
Nella geometria iperbolica le rette divergono, ed è quindi possibile trovare molte rette parallele 
(cioè che non si intersecano). 
Nella geometria ellittica le rette convergono e quindi non esistono rette parallele.

Cerchiamo di scoprire questa grande rivoluzione anche attraverso i suoi protagonisti.

Cominciò il matematico francese Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867), formulando una geometria, definita proiettiva, in cui le rette parallele s'incontrano (all'infinito) e in cui definì anche i punti circolari all'infinito, concetti che portarono al principio della dualità e al principio di continuità, aiutando anche lo sviluppo dei numeri complessi.  
Ma sarà il russo Nikolaj Ivanovic Lobacevskij  (1792 - 1856) che dalla sperduta università di Kazan costruì la prima geometria completamente non euclidea, indipendentemente dall'ungherese János Bolyai, chiamata appunto geometria di Lobacevskij.
In questo modo Lobacevskij abolisce il dogma della "verità" assoluta della geometria euclidea e, per questo, può essere definito il Niccolò Copernico della geometria, anche se il riconoscimento delle sue idee da parte della comunità matematica fu piuttosto lento in quanto i matematici di quel tempo erano troppo legati alla situazione presente per poterla giudicare in modo più ampio, e quindi dovette continuare a sviluppare le sue idee in solitario isolamento. 
Tali idee furono accettate pienamente solamente molti decenni dopo la sua morte.
Nel 1848 il matematico János Bolyai ( 1802 - 1860) scoprì che Lobachevsky aveva pubblicato un'opera simile alla sua nel 1829, e anche una generalizzazione di questa teoria.
Anche János, infatti, fu ossessionato dal postulato delle parallele di Euclide e, alla fine, giunse alla conclusione che il postulato è indipendente dagli altri assiomi della geometria e che diverse geometrie coerenti avrebbero potuto essere costruite sulla sua negazione.
Tra il 1820 e il 1823 preparò infatti un trattato su un sistema completo di geometria non euclidea e scrisse al padre, anche lui matematico, "Dal nulla ho creato un altro, nuovo universo"
Il lavoro di Bolyai fu pubblicato quindi nel 1832 come appendice ad un libro di testo di matematica del padre, con il nome di "Appendice che espone in maniera assoluta la vera scienza nello spazio".
Il testo rivestì una grande importanza nello sviluppo della matematica, perché fu, insieme alla geometria di Lobacevskij, la prima opera che gettò i fondamenti della geometria non euclidea.


Jean-Victor Poncelet, Nikolaj Ivanovic Lobacevskij, János Bolyai, Bernhard Riemann 

Ma sarà con la geometria di Riemann che la rivoluzione andrà ancora oltre tanto che la relatività di Einstein descriverà il nostro universo come una superfìcie riemaniana di quattro dimensioni, tre spaziali e una temporale.
Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826 - 1866) fu non solo un grande matematico innovatore, ma va ricordato anche per gli altri studi che effettuò sin dalle prime fasi della sua carriera, affrontando problemi fisici, come i fluidi magnetici, la legge dell'induzione di Faraday, oltre a temi di filosofia naturale, metafisica, teoria della conoscenza e di psicologia.
La sua prima tesi risale al 1851 e riguarda una nuova teoria sulle funzioni di variabile complessa, ramo della matematica allora nascente che grazie al suo contributo ricevette un notevole impulso.
Nel 1854 per la sua abilitazione all'insegnamento scrisse la sua seconda tesi, intitolata "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen" (Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria) e pubblicata postuma nel 1867, con la quale introdusse i concetti di varietà e di curvatura di una varietà, tra le quali spiccarono gli spazi non euclidei.
Una delle questioni poste in questo scritto consistette proprio nel prospettare una indagine sulla natura geometrica dello spazio e sulla sua curvatura.² 
A Gottinga prese la cattedra del grande Gauss che, sembra, si fosse tempo prima già dedicato a queste speculazioni, scoprendo le potenzialità della geometria non euclidea, ma che, per paura di pubblicare un lavoro così rivoluzionario temendo le "strida dei beoti", avesse tenuto celati e per sé i risultati.

Tra i matematici "romantici" del diciannovesimo secolo non posso non ricordare Eugenio Beltrami, che diede notevole impulso ai nuovi studi di geometria, venendo anche in contatto a Pisa con Bernhard Riemann, stabilitosi nella città toscana per motivi di salute, e traducendo alcuni lavori di Gauss. 
I rapporti con questi e altri matematici di fama internazionale, ebbero una notevole influenza sull'indirizzo dei suoi studi di geometria e infatti Beltrami deve la sua fama soprattutto all'aver individuato nella pseudosfera un primo modello "concreto" per la geometria non euclidea di Lobatschewsky.
L’interesse di Beltrami per le geometrie non euclidee nasce in modo del tutto naturale nell'estate del 1867, come proseguimento dei suoi studi di geodesia e in particolare delle questioni relative alla rappresentazione di una superficie in modo che le sue geodetiche siano linee rette. 


Cuffia di Beltrami - Modello cartaceo di una porzione di piano iperbolico - Università di Pavia

Come si legge in una lettera del 1872, l'origine di tutto è stata un'osservazione "buttata là da Lagrange in una delle sue Memorie sulle carte geografiche".
Le opere in cui Beltrami tratta l’argomento sono quattro. 
Le prime, e più importanti, sono "Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea" e "Teoria fondamentale degli spazii di curvatura costante", risalenti entrambe al 1868. 
In queste si tratta rispettivamente la planimetria e la stereometria non euclidea, utilizzando in modo massiccio le tecniche introdotte da Gauss e Riemann, oggi tipiche della geometria differenziale. 
Beltrami non fu interessato a mettere ordine all'apparato assiomatico della dottrina di Lobatschewskij, che secondo lui sarebbe stata comunque da rivedere, ma ne ricercò un substrato reale, soprattutto per mettere a tacere chi definiva le geometrie non euclidee "geometrie del soprasensibile" o "da manicomio". 




È proprio questo l'aspetto innovativo nelle teorie di Beltrami, che fu il primo a scoprire un ambiente in cui la geometria non euclidea trovava una realizzazione, e questo ambiente era proprio la pseudosfera.
Un modo per toccare con mano e vedere con i propri occhi un'immagine più o meno approssimata della superficie pseudosferica nella realtà, per poter avere dei riscontri visivi di alcune proprietà e magari intravederne delle altre.

"Ho avuto un’idea bizzarra", scrive Beltrami a un suo amico matematico francese, Guillaume-Jules Hoüel (1823 - 1886), "ho voluto tentare di costruire materialmente la superficie pseudosferica sulla quale si realizzano i teoremi della geometria non euclidea"

Di questi modelli di pseudosfera (dalla corrispondenza privata si deduce che ne costruì almeno tre), ne è rimasto solo uno, costruito in cartone e chiamato confidenzialmente "cuffia di Beltrami", con diametro di 1,04 m che oggi è custodito presso il dipartimento di matematica dell’Università di Pavia.



Fig. 3: Trattrice e Pseudosfera da Geogebra

Il luogo rappresentato con il contributo di Geogebra (in fig.3 a sinistra) prende il nome di Trattrice. 
Si tratta di un luogo geometrico di punti costruito nel rispetto della seguente regola: 
1) individuato l’asse delle y come asse di simmetria (sarà anche asintoto verticale), si considerino i segmenti di egual misura che hanno un estremo sull’asse y e l’altro estremo sulla curva, in modo tale che il segmento risulti tangente ad essa. 
2) man mano che un estremo si muove lungo l’asse l’altro estremo descriverà la trattrice.
L’equazione indicata (in fig.3) con f(x) si ottiene risolvendo l’equazione differenziale della trattrice.


Fig. 4 : Trattrice ed equazione rispetto a x

La trattrice è una particolare curva geometrica, in cui i segmenti tangenti tra una curva e una data retta risultano di uguale misura; in pratica, un oggetto viene trascinato lungo un piano orizzontale (xy) da un segmento trascinatore di lunghezza costante. Tale segmento mantiene un suo estremo su un punto della retta y che si muove di moto rettilineo uniforme con velocità infinitesimale. 
L'altro estremo è sovrapposto all'oggetto trascinato, il quale rimarrà sempre equidistante da y rispetto alla direzione del proprio moto in quell'istante. 

La rotazione della trattrice (fig. 3 a sinistra) intorno all’asse y consente di costruire la pseudosfera (in fig.3 a destra) 
Il nome deriva dal fatto che la sua curvatura è costante in ogni punto e si oppone a quella di una sfera. 
In ambiente Geogebra si può valutare la variazione della trattrice al variare del parametro a e la diminuzione dell’angolo di rotazione porterà a un’apertura della pseudosfera. 

In geometria, la pseudosfera (superficie che, nelle sue proprietà generali, era già stata studiata da Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e da Ferdinand Minding (1806-1885), matematico tedesco di origine russa), è una superficie di rivoluzione generata dalla rotazione della trattrice³ intorno al suo asintoto. 
Tale superficie fu proposta da Eugenio Beltrami come modello di geometria iperbolica nel 1868. 
Essa localmente soddisfa gli assiomi della geometria iperbolica, allo stesso modo di come la superficie di un cilindro localmente è un modello equivalente ad un piano euclideo. che poteva essere interpretata come un modello euclideo di geometria non euclidea. 
Con questo modello dimostrava che la geometria di Lobacevskj aveva lo stesso diritto logico-matematico della classica geometria di Euclide. 
Alla superficie aveva dato il nome di pseudosfera perché ha curvatura costante come una sfera ma di segno negativo.
Per capire come avviene questa "traduzione" occorre introdurre la nozione di geodetica. 
Nel piano il percorso più breve che unisce due punti si trova sulla retta passante per i due punti. 
Estendendo questo concetto alle superfici, il percorso più breve che unisce due punti della superficie si trova su di una linea, generalmente curva, detta geodetica. 
Per esempio, dovendosi muovere sulla superficie di una sfera, il percorso più breve non è quello rettilineo, perché non esistono percorsi di questo tipo, ma è l’arco di cerchio massimo, che in questo caso è una geodetica.


Fig. 5: Tre geodetiche che formano un triangolo su una superficie con curvatura gaussiana positiva da Geogebra
animazione Geogebra

Fig. 6: Un iperboloide, un cilindro e una sfera: si tratta di superfici con curvatura gaussiana (rispettivamente) 
negativa, nulla e positiva.

Anche se nel 1901 Hilbert dimostrerà rigorosamente che il modello descritto da Beltrami ha un valore esclusivamente locale e non può essere accettato come prova matematica, il modello di Beltrami, pur non essendo un modello rigoroso, ha avuto un grande ruolo storico perché ha fornito la chiave per interpretare le nuove geometrie non euclidee.



Friedrich Gauss, Augustin Cauchy, Georg Cantor, David Hilbert 

Sempre di rivoluzione rispetto al vecchio mondo della matematica tradizionale si parla, con l'irruzione dell'analisi complessa, cioè dello studio delle funzioni complesse di numeri complessi.
I numeri complessi, quelli scritti nella forma: 
z = a+ib, 
dove a e b sono numeri reali (a e b coefficienti numerici - a parte reale - b parte immaginaria), mentre la lettera i indica la radice quadrata di -1 

sono però numeri che nella matematica "elementare" non hanno senso, tanto che i matematici cinquecenteschi, che per primi incapparono in questa strana entità (Gerolamo Cardano e Raffaele Bombelli), la definirono "unità immaginaria", e fu Cartesio a definirli "numeri immaginari", mentre fu Eulero a introdurre il simbolo i.
Anche se noti e studiati da tempo, uno dei primi matematici a metterli in luce fu infatti Girolamo Cardano (Ars Magna, 1545), poliedrica figura del Rinascimento italiano, che per primo trattò esplicitamente questi numeri (senza ancora usare il simbolo i), i numeri complessi furono posti al centro dell'attenzione, e sistematicamente indagati da  Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855), il "Principe dei matematici" (Princeps mathematicorum), "il più grande matematico della modernità" (in opposizione ad Archimede, considerato dallo stesso Gauss come il maggiore fra i matematici dell'"antichità").

Annoverato fra i più importanti matematici della storia avendo contribuito in modo decisivo all'evoluzione delle scienze matematiche, fisiche e naturali, Gauss, forzando forse un po' il paragone, potrebbe dirsi che, rispetto alla matematica romantica, occupò il posto che Johan Wolfgang Goethe (1749-1832) ebbe rispetto al romanticismo tedesco. 
Dopo Gauss, il grandissimo e molto bigotto barone Augustin Cauchy (1789 -1857) costruì la "basilica" dell'analisi complessa. 
Uno tra i maggiori matematici suoi contemporanei, Niels Henrik Abel (1802 - 1029), lo definì un "cattolico fanatico", aggiungendo che "era pazzo e non c'era nulla da fare per lui", ma allo stesso tempo lo riconobbe come "il solo che sappia come si fa la matematica".
È raro, con la notevole eccezione di Blaise Pascal, che i matematici abbiano posizioni religiose così estreme, ma sotto questo aspetto, e per le sue posizioni politiche, Cauchy può essere inserito nel filone reazionario, quello della Santa Alleanza e della Restaurazione e fu membro attivissimo delle conferenze di San Vincenzo de Paoli, dando vita a molte società filantropiche nella Parigi del XIX secolo. 
Scienza e fede, secondo lui, non potevano entrare in contrasto perché aventi la stessa origine, ovvero l'opera di Dio.



Un altro aspetto che maggiormente caratterizza la matematica ottocentesca è l'ossessiva, instancabile ricerca del rigore assoluto che, rispetto alla matematica settecentesca, introduce una dimensione nuova, quasi di ansia metafisica, che culminerà con Georg Cantor (1845 - 1918), cultore appassionato di filosofia medievale. 
Fino all'800 le dimostrazioni dei teoremi matematici erano assai approssimative, basate essenzialmente sul buon senso o su un sano realismo. 
Dominava l'idea che la matematica non fosse altro che il linguaggio dell'universo, linguaggio che gli uomini dovevano scoprire e decifrare, e che quindi le proprietà matematiche dovessero verificare un principio di realtà, non essere assurde, ma "ragionevoli". 
Un'idea di buon senso e di ragionevolezza che era alla base dell'illuminismo e che permeava tutti i grandi matematici del `700 dai Bernulli a Eulero

Ma una volta che,  con le geometrie non euclidee e con i numeri complessi, la matematica non era più reale, ma era stata creata dalla ragione umana, allora non poteva essere più basata su un principio di realtà, ma bensì fondata su una propria coerenza interna. 
E Abel fu uno dei primi a mettere in campo il rigore e si occupò di analisi nel tentativo di fornire ad essa una trattazione rigorosa, tanto che in una lettera ad un matematico norvegese si lamentava della “tremenda oscurità che senza alcun dubbio si trova nell'analisi. Essa manca a tal punto di ogni piano sistematico che è sorprendente che tanti uomini siano stati in grado di studiarla. E, quello che è peggio, essa non è mai stata trattata rigorosamente. Ci sono pochi teoremi dell'analisi avanzata che siano stati dimostrati in maniera logicamente sostenibile…”.
È proprio questa ricerca del rigore assoluto che porterà nell'800 prima alla teoria degli invarianti e dei gruppi (James Joseph Sylvester, Thomas Carlyle, Robert Lee Moore) e poi alla grande "cattedrale" della fondazione astratta e assiomatica della matematica, la teoria degli insiemi di Georg Cantor.
Una ricerca di libertà così come affermava Georg Cantor: "L'essenza della matematica risiede nella sua libertà" 
(frase che a sua vola trasformava una celebre frase di Hegel: “L'essenza dello spirito è la libertà”).
Questa ricerca di libertà ma anche di rigore troverà quindi il suo culmine nel programma hilbertiano. 

David Hilbert (1862-1943) proponeva di dotare la matematica di un sistema di assiomi che si auto-dimostrasse. 
Il suo libro Grundlagen der Geometrie (Fondamenti della geometria), pubblicato nel 1899, ottenne un successo tale da influenzare molti sviluppi della matematica del XX secolo.
Lo scopo dell'autore fu quello di fornire un rigore e un formalismo assiomatico (confrontabili con quelli dell'algebra e dell'analisi matematica) anche alla geometria, disciplina che, come abbiamo visto, durante tutto il XIX secolo aveva avuto un progresso senza precedenti, aveva raggiunto numerosi e importanti risultati ma che, pur ponendosi obiettivi ambiziosi, era ancora priva di basi logicamente solide.
Il risultato di tale opera di assiomatizzazione fu il raggiungimento di un grado di elevata astrazione, ben superiore per consapevolezza e robustezza logica a quello della geometria pre-hilbertiana.

Finché anche il programma hilbertiano venne sbaragliato da Kurt Göde(1906-1978) che con due celeberrimi teoremi (1931) rese vana la ricerca di una non-contraddittorietà dell'edificio matematico.
Arriviamo così al 1931, anno in cui l'epoca eroica della matematica romantica finisce per sempre. 
Ma nel frattempo aveva rivoluzionato il pensiero matematico e i suoi dogmi, aveva scardinato venerabili convinzioni.  
Dopo i trionfi di Cartesio, Leibniz ed Eulero,  di fine '700 la vecchia analisi matematica aveva esaurito la sua spinta propulsiva, tanto che forse il più grande matematico del '700, Joseph-Louis Lagrange (1736-1813), riteneva che il filone fosse ormai esaurito e che la matematica avesse fatto il suo tempo, o che per lo meno si avviasse a una fase di decadenza. 
Tanto che, a parer suo, le cattedre di matematica sarebbero scese al livello di quelle di lingua araba. 

E invece il secolo successivo, l'800, si sarebbe rivelato il più entusiasmante di tutta la storia della matematica mettendo in luce modi diversi di accostarsi alla matematica, teorie rivoluzionarie, ricerca del rigore assoluto e le premesse per quelle che si potrebbero definire due diverse matematiche, del "noto" e dell'"ignoto". 
Una che, per comodità e fissando un termine senza assumerne le connotazioni di giudizio negativo, potremmo definire "cinica" (o opportunistica), opposta ad un'altra che, adottando l'aggettivo dello scrittore Robert Musil (1880 - 1942), possiamo chiamare "passionale". 
La prima è la matematica del regolo calcolatore, delle formule, dell'ingegnere e delle banche, ma anche quella del docente universitario, ed è una matematica del "noto", essenzialmente reazionaria, mentre la seconda è la matematica dell'"ignoto", della promessa, della fantasia e dell'onestà, della mobilità e dell'esercizio esasperato, gratuito e impeccabile. 
E questa matematica, "oscillante tra lo sport estremo e la mistica, assume per sua natura un carattere spiritualmente coraggioso" (come scrive Canetti) se non, come dice Musil, addirittura "audace".
"La matematica è un'ostentazione di audacia della pura ratio; uno dei pochi lussi oggi ancora possibili" 
(Robert Musil da L'uomo matematico) 

L'uomo matematico, Der mathematische Mensch in tedesco, è un breve saggio di Robert Musil del 1913.
In questo saggio Musil fa alcune considerazioni sul ruolo e la natura della matematica in generale, ma soprattutto nel mondo moderno, evidenziandone il carattere "antieconomico e passionale" [unökonomisch und leidenschaftlich].

Il primo pensiero che viene in mente leggendo questo saggio è che, per come stanno le cose oggi, e per l'idea mercantile che si ha della funzione della cultura, con le sue parole d'ordine, utilità, professionalità, ricaduta, produttività, etc., non passerà molto tempo che ci sarà reso noto (nelle nostre nazioni dell'Occidente) che la matematica, quella "non utilitaristica" di cui sta parlando Musil, sia di fatto diventata un lusso che non possiamo più permetterci.
Il volto non utilitaristico della matematica è per Musil caratteristico del matematico stesso, che "serve la verità". 
Riferendosi alla crisi dei fondamenti della matematica che proprio in quegli anni si presentava, Musil elogia l'atteggiamento del matematico:
"Il matematico imputa questo scandalo intellettuale, in modo esemplare, cioè con fiducia e orgoglio, alla natura diabolicamente pericolosa del suo intelletto".
[Diesen intellektuellen Skandal trägt der Mathematiker in vorbildlicher Weise, das heißt mit Zuversicht und Stolz auf die verteufelte Gefährlichkeit seines Verstandes



Piero della Francesca - Prospettiva anatomico numerica di una testa umana (da De prospectiva pingendi) 
 Reggio Emilia, Biblioteca Comunale

Perché introdurre Robert Musil? Più un letterato che un matematico o un filosofo?
Perché proprio tra Novalis e Musil c'e in mezzo l'esplosione e l'affermarsi della matematica come disciplina autonoma, e soprattutto come libertà di pensiero e perché Musil è stato forse uno degli scrittori che meglio hanno definito la matematica romantica evidenziando i legami stretti tra quella matematica, la conseguente crisi dei fondamenti  e il pensiero filosofico a lei legato.
Dopo essersi iscritto a ingegneria meccanica al politecnico di Brno,  decise quindi di studiare filosofia, psicologia, matematica e fisica all'Università di Berlino e si laureò nel 1908 in filosofia, con una tesi sulle teorie di Ernst Mach, fisico e filosofo austriaco nonché neuroscienziato ante litteram.
Nei suoi scritti si evidenzia il successo del mondo positivista, freddo e robotico, e la delusione del Romanticismo, evidentemente incapace, data l’irrefrenabile corsa della macchina, di far adottare dall’umanità valori superiori a quelli materiali.
Come si legge anche da numerosi passi della sua opera più famosa, L'uomo senza qualità¹, Musil auspica che l'audacia intellettuale e la precisione della matematica  vengano applicate anche al mondo dei sentimenti, dato che: 
"Noi sbraitiamo per il sentimento contro l'intelletto, dimenticando che il sentimento senza intelletto - con rare eccezioni - è una vescica di grasso". 
Per Musil 
"l'intelletto [...] appena tocca il sentimento diventa spirito" e la coniugazione di queste due facoltà umane spetterebbe ai poeti, che tuttavia "non sanno che pesci pigliare, e si consolano imprecando". 
Il matematico è visto, in termini che ricordano il concetto di Übermensch di Nietzsche (Oltreuomo o Superuomo), come "un'analogia dell'uomo spirituale dell'avvenire", poiché sa "fare nel proprio campo ciò che noi dovremmo fare nel nostro".
"La loro vita [dei matematici] ha molto da insegnarci e può essere per noi un modello: i matematici sono un'analogia dell'uomo spirituale dell'avvenire." 

"La matematica è una meravigliosa apparecchiatura spirituale fatta per pensare in anticipo tutti i casi possibili"
(Robert Musil da L'uomo senza qualità)

Disputa tra 'Platone e Aristotele' o 'la Filosofia' - Luca Della Robbia (1400 - 1482) 
Formella in marmo, proveniente dal lato nord del campanile di Firenze, basamento inferiore  
Museo dell'Opera del Duomo

E oggi, quasi 90 anni dopo i teoremi di Gödel, la matematica continua a pullulare di invenzioni, creazioni, scoperte. 
Ma è venuto meno l'afflato che nell'800 ne ha permesso lo splendido rigoglio ed è stato al culmine di quella sontuosa fioritura della matematica che entrò di forza nella filosofia e nella discussione generale, con Bertrand Russell, Ernst Cassirer, Ludwig Wittgenstein
Oggi la distanza della matematica e della scienza dalla filosofia si può cogliere anche da questa frase che nel settembre 2010 Stephen Hawking sparò come una bordata che risuonò in tutto il mondo accademico e non solo. 

"La filosofia è morta", perché "i filosofi non hanno tenuto il passo con gli sviluppi moderni della scienza, in particolare della matematica e della fisica. Gli scienziati sono diventati i portatori della torcia della scoperta nella nostra ricerca della conoscenza."

Ma forse non è proprio così e lo stesso Stephen Hawking rifletteva molto profondamente sulla fonte della conoscenza umana. 
Ciò che si può dire è che ne sapeva di scienza più (della maggior parte) dei filosofi di professione e che si basava sulle osservazioni e sugli esperimenti più che sul puro pensiero, ma non che non stava filosofando. 
Di sicuro, quindi, la filosofia non è morta e queste sue parole si attagliano più propriamente alle varianti del puro pensiero, come quelle che comprendono la fisica e la metafisica cosmologica, non certo ai vitali contributi, che ancora oggi vengono dati dalla filosofia al pensiero umano in campi come l'etica, l'estetica, la politica e, forse ancora più importante, all'epistemologia. 
Concludo con le parole di Carlo Rovelli in risposta⁴ ai fisici  Stephen Hawking e Steven Weinberg, ma anche a quelle correnti filosofiche che considerano il sapere scientifico "inautentico" o di serie b, oppure una forma di organizzazione dei pensieri arbitraria e non più efficace di altre. 

"Una scienza che considera morta la filosofia appassisce per superficialità, così come una filosofia che non presta attenzione al sapere scientifico del suo tempo è ottusa e sterile e tradisce la sua stessa radice profonda, quella della sua etimologia⁵: l’amore per il sapere"




Note

¹ La sua opera principale è il romanzo (incompiuto) Der Mann ohne Eigenschaften (L'uomo senza qualità), una delle pietre miliari della letteratura di tutti tempi, di cui il primo volume pubblicato nel 1930, prima parte del secondo volume edita nel 1933, e ultima parte, rimasta incompiuta, dopo la morte dell'autore.
² "La matematica relativistica della seconda metà dell'Ottocento", di Rossana Tazzioli, pubbl. su "Le Scienze", num.338, ott.1996, pag.68-73
³ La trattrice è una particolare curva geometrica che viene chiamata anche col nome di "curva di inseguimento" o "curva di caccia". 
Fu introdotta per la prima volta da Claude Perrault nel 1670, e studiata in seguito da Isaac Newton nel 1676 e da Christian Huygens nel 1692. 
⁴ Dall'intervento di Carlo Rovelli alla conferenza alla London School of Economics, in Gran Bretagna, sul tema: "Serve la filosofia alla scienza?". (video della conferenza qui)
L'intervento aveva chiuso il "Congresso europeo di filosofia della fisica" del luglio 2016, e aveva risposto a una serie di recenti commenti pubblici molto negativi sulla filosofia, da parte di due scienziati assai noti: Stephen Hawking che aveva ribadito che "la filosofia è morta", perché ora abbiamo la scienza, e il premio Nobel Steven Weinbergun che aveva intitolato un capitolo del suo libro, appunto, "Contro la filosofia".
Recentemente i due famosi fisici avevano infatti sostenuto l’inutilità della ricerca speculativa e quindi era tornata ad infiammarsi una disputa che divise Atene ai tempi di Platone. 
Conferenza in cui ancora una volta la fisica aveva affrontato le questioni fondamentali: qual è la natura del tempo? Qual è la natura dello spazio? Qual è il ruolo della mente nella descrizione della realtà? 
A domande di questo tipo, aveva risposto il fisico e autore di best-seller Carlo Rovelli, sostenendo che non possono essere affrontate senza consapevolezza filosofica.
⁵Filosofia (in greco antico: φιλοσοφία, philosophía, composto di φιλεῖν (phileîn), "amare", e σοφία (sophía), "sapienza", ossia "amore per la sapienza")

Fonti

Storia della matematica - Carl. B. Boyer - Arnoldo Mondadori Editore, Milano 1990
Appunti di Storia delle Matematiche - M. Sfoglianti - Facoltà di Matematica 'Federigo Enriques'
Dalla geometria di Euclide alla geometria dell'Universo - Geometria su sfera, cilindro, cono, pseudosfera - Autori: F.Arzarello, C.Dané, L. Lovera, M. Mosca, N. Nolli, A. Ronco, 2012
Aristotele e i fondamenti assiomatici della geometria - Imre Toth - Vita e Pensiero, Milano 1997