venerdì 1 febbraio 2019

Alicia Boole...dai politopi ai numeri politopici

"...voi che potete "vederlo" per davvero, un angolo, e contemplare l'intiera circonferenza di un Circolo nella beata regione delle Tre Dimensioni... come potrò mai render chiara a voi l'estrema difficoltà che incontriamo noi, in Flatlandia, per riconoscere le nostre rispettive configurazioni?" 
(Edwin Abbott Abbott, Flatlandia, Adelphi, 1998)

Premettendo che politopo non ha nulla a che vedere con i topi, questo simpatico termine, derivato dall’aggettivo greco πολύς cioè "molto" e τόπος cioè "luogo", mi dà anche l'occasione per parlare dei numeri politopici e di una matematica, Alicia Boole. 


"Alcuni cerchi" di Vassily Kandinsky, 1926
Nella terna di forme primarie (triangolo, quadrato, cerchio), il cerchio è l'indicazione più chiara 
per la quarta dimensione.

In matematica, un numero figurato è un numero intero che può essere rappresentato mediante uno schema geometrico e regolare.
Orbene intendendo per politopo d-dimensionale o d-politopo l'analogo di un poligono nel piano (d=2) e di un poliedro nello spazio usuale (d=3) generalizzato ad uno spazio euclideo reale, se lo schema è un politopo si ha un numero politopico. 
Più semplicemente dato che i poligoni si possono quindi anche chiamare 2-politopi e i poliedri 3-politopi, quindi un numero 2-politopico o poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare e un numero 3-politopico o poliedrico è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poliedro regolare.


Numeri 2-politopici esagonali ©Mauro Fiorentini
Numeri 3-politopici dodecaedrici ©Mauro Fiorentini

Prendendo come primo esempio quello dei numeri triangolari possiamo quindi definire:
"un numero triangolare Tn è un numero figurato che può essere rappresentato sotto forma di una griglia triangolare equilatera di elementi tale che ogni riga successiva contiene un elemento in più del precedente."
Più semplicemente, i numeri triangolari sono i numeri di palline che si possono disporre a triangolo e i numeri triangolari centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a costituire triangoli uno intorno all’altro intorno a una pallina centrale.



Immagini ©Mauro Fiorentini

Elenco di numeri triangolari :
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120,136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431....

Non esiste limite alle categorie che possono essere definite mediante figure, esattamente come non esiste limite al modo di disporre palline sul piano o nello spazio: si può partire dai poligoni regolari, per arrivare a rettangoli sormontati da un triangolo o da un ettagono. 

Numeri 2-politopici stellari ©Mauro Fiorentini

Considerando i numeri politopici che corrispondono a forme con un alto grado di simmetria si ha:
in due dimensioni, ovvero 2-politopici, esistono tre categorie:
- i numeri poligonali, corrispondenti ai poligoni regolari
- i numeri poligonali centrati, corrispondenti ai poligoni regolari
- i numeri stellari.


in tre dimensioni, ovvero 3-politopici, abbiamo:
- i numeri platonici, corrispondenti ai cinque solidi platonici (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro)
- i numeri platonici centrati, corrispondenti ai cinque solidi platonici
- i numeri tetraedrici troncati
- i numeri ottaedrici troncati
- i numeri dodecaedro-rombici
- i numeri dodecaedro-rombici di Haüy
- i numeri piramidali (II)
- i numeri piramidali centrati
- i numeri stella octangula

Numeri 3-politopici a stella octangula ©Mauro Fiorentini

Il concetto di numeri n-politopici può essere esteso a più dimensioni, anche se è alquanto difficile figurarseli!
In 4 dimensioni vi sono 6 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante categorie di 4-politopici:
- ipertetraedrici a 4 dimensioni
- ipercubici a 4 dimensioni
- iperottaedrici a 4 dimensioni
- 24-cella 
- 120-cella 
- 600-cella 

In 5 o più dimensioni vi sono solo 3 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante sequenze di numeri 5-politopici:
- ipertetraedrici a 5 dimensioni
- ipercubici a 5 dimensioni
- iperottaedrici a 5 dimensioni

Vorrei ricordare a questo punto che il termine politopo o meglio n-politopo, per definire uno spazio matematico a n dimensioni,  è stato coniato da Alicia Boole, la figlia di George Boole, il fondatore della logica matematica.


Alicia Boole Stott e i suoi politopi conservati all'Università di Groningen in Olanda

Alicia Boole, nata a Cork in Irlanda l'8 giugno 1860, era infatti la terza figlia di George Boole e di Mary Everest.
La mamma Mary, nata a Gloucester, in Inghilterra, colta e appassionata di matematica anche lei come il marito George, era nipote di quel Sir George Everest (1790-1866), matematico, geometra e cartografo, che eseguì un importante studio trigonometrico in India, Great Trigonometrical Survey, per cui in suo onore la Royal Geographical Society nel 1865 diede il suo nome al "Cima XV", la cima più alta del mondo (29.029 piedi, cioè 8.848 metri), nota appunto con questo nome. 
Mary, vissuta prima in Francia, rientrò in Inghilterra e alla morte del padre sposò il suo istitutore George Boole nel 1855. Andarono a vivere a Castle Road, vicino a Cork, in Irlanda ed ebbero cinque figlie destinate a essere ricordate nel mondo della cultura e soprattutto in ambito matematico.
La prima Mary Ellen Boole (1856-1900) sposò il matematico e scrittore Charles Howard Hinton (1853-1907), la seconda Margaret Boole (1858-1935) sposò Edward Taylor, uno dei padri fondatori dell'antropologia moderna, e fu la madre del fisico/matematico Geoffrey Ingram Taylor, Alicia Boole, la terza appunto conosciuta dai suoi amici come Alice è la matematica di cui parlerò, la quarta Lucy Everest Boole (1862-1905) divenne farmacista e la prima donna ad essere eletta membro dell'Institute of Chemistry, e l'ultima Ethel Lilian Boole (1864-1960) sposò Wilfrid Michael Voynich e divenne una nota scrittrice.
Curioso notare che Wilfrid Michael Voynich fu un rivoluzionario polacco, antiquario e bibliofilo, l'eponimo del manoscritto Voynich, di cui ho parlato nell'articolo sul numero primo di Belphagor, il numero 100000000000000666000000000000001. 
Questo intrigante primo palindromo, che ha un 1 per ogni estremità, 666, il numero della bestia nel mezzo e tredici zeri su ciascun lato che separa il 666 dalle unità, ha come simbolo una sorta di π invertito, che viene proprio dal famoso e contestato manoscritto Voynich.  


Foto di famiglia con Alicia in alto al centro ©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
Da sinistra a destra, dall'alto verso il basso: 
Margaret Taylor, Ethel L. Voynich, Alicia Boole Stott, Lucy E. Boole, Mary E. Hinton, Julian Taylor, 
Mary Stott, Mary Everest Boole, George Hinton, Geoffrey Ingram Taylor, Leonard Stott.

George Boole morì quando Alicia aveva solo quattro anni e, incapace di mantenersi senza un marito, la sua vedova Mary lasciò l'Irlanda con quattro delle sue cinque figlie per vivere a Londra. 
Lì divenne bibliotecaria al Queen's College, il primo college femminile in Inghilterra, e usò la sua conoscenza della matematica e dei metodi di insegnamento per agire come tutor non ufficiale per le studentesse. 
Tuttavia l'unica figlia che lasciò a Cork fu proprio Alicia, che fu allevata in parte da sua nonna, in parte dal suo prozio, e furono anni in cui si sentiva repressa e infelice, finché, a undici anni, andò a Londra, dove si unì a sua madre e alle sue sorelle. 
Anche se Alicia non ebbe un'istruzione formale, la matematica le fu insegnata da sua madre Mary. 
Questo non fu certo un insegnamento convenzionale in quanto Mary aveva le sue idee sull'insegnamento in generale e sull'insegnamento della matematica in particolare. 
Inoltre fu assistita in questa sua formazione matematica  anche dal cognato Charles Howard Hinton, che svolse un ruolo importante.
Hinton studioso dei metodi di visualizzazione geometrica delle dimensioni superiori, nonché di teosofia, e scrittore di romanzi scientifici, contribuì certo fortemente alle sue successive ideazioni degli n-politopi. 
Come nota di gossip ricordo che il "poliedrico" pensatore Charles Howard Hinton fu condannato per bigamia dopo aver sposato, oltre alla sorella Mary Ellen nel 1880, anche Maud Florence nel 1883.
Howard Hinton pubblicò il libro "Una nuova era di pensiero"  di cui Alicia Boole scrisse parte della prefazione e anche alcuni dei capitoli sulle sezioni dei solidi tridimensionali e la sua distribuzione fu promossa dalla stessa Alicia in quanto Hinton era andato con Mary Ellen in Giappone, dopo la sua condanna per bigamia. 
Alicia riuscì a dimostrare che esistono solo sei politopi regolari nella quarta dimensione e questi politopi erano stati elencati per la prima volta da Schläfli nel 1850 nel trattato che fu pubblicato nel 1901 dopo la sua morte.
I sei politopi regolari sono: l’ipercubo (o iperesaedro), l’ipertetraedro, l’iperottaedro, il 24-celle, il 120-celle ed il 600-celle.


I modelli di Alicia Boole Stott all'Università di Groningen in Olanda ©Museo universitario di Groningen 

Curiosa la descrizione di Geoffrey Taylor su come Alicia abbia scoperto i sei politopi regolari su quattro dimensioni:

"Il metodo di scoperta di Alice era tipicamente quello di una dilettante. Ha iniziato notando che un angolo in una normale figura quadridimensionale delimitata da tetraedri, per esempio, può avere solo 4 , 8 o 20 di essi che si incontrano in un punto perché una sezione di spazio tridimensionale vicino all'angolo in una posizione simmetrica poteva essere solo un tetraedro, un ottaedro o un icosaedro. Poi ha tracciato, usando solo la costruzione di Euclide, il progresso della sezione mentre la figura quadridimensionale passava attraverso il nostro spazio tridimensionale. In questo modo Alice, utilizzando solo le costruzioni di Euclide, ha prodotto sezioni di tutti e sei i politopi regolari."


Alicia Boole insieme a Pieter Hendrik Schoute  ©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
Da sinistra a destra, dall'alto verso il basso: 
Mary Stott, GI Taylor, Margaret Taylor, PH Schoute, A. Boole Stott 

Dopo il matrimonio con Walter Stott nel 1890 e la nascita di due figli, Mary e Leonard, condusse una vita di sacrifici e privazioni, ma non abbandonò mai i suoi studi e le sue ricerche sui politopi, tanto da interessare e stupire il matematico olandese Pieter Hendrik Schoute con il quale venne in contatto e a cui inviò le fotografie dei suoi modelli di cartone e legno per rappresentare le sezioni tridimensionali di solidi regolari convessi quadridimensionali, che lei appunto aveva chiamato politopi.
Fu così che Schoute studiò la geometria euclidea a più di 3 dimensioni, scrivendo 28 tavole, in collaborazione con Alicia Boole Stott che, proprio con le sue ricerche sui politopi regolari, generalizzò il concetto di poliedri regolari.
Schoute lavorò con Alicia per quasi 20 anni, persuadendola a pubblicare i suoi risultati che poi fece con due articoli pubblicati ad Amsterdam, "On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids" (1900) e "Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings" (1910), da cui si comprende che è stata la prima matematica a enumerare e descrivere tutti i 45 politipi semiregolari.
Scrisse anche tre documenti insieme a Schoute , ovvero "On Models of 3-dimensional sections of regular hypersolids in space of 4 dimensions" (1907), "On the sections of a block of eight-cells by a space rotating about a plane" (1908), e "Over wederkeerigheid in verband met halfregelmatige polytopen en netten" (1910). 
Anche se dopo la morte di Schoute, nell'aprile del 1913,  il lavoro di Alicia sui politopi sembrò fermarsi, tuttavia, l'Università di Groningen la onorò invitandola a partecipare alle celebrazioni per il trecentenario dell'università e assegnandole una laurea honoris causa il 1 ° luglio 1914. 
Fu proposta infatti per il riconoscimento da Johan Antony Barrau (1873-1953) che dopo aver letto i suoi documenti scrisse: 

"Da questi documenti, si deduce un dono molto speciale di riuscire a vedere la posizione e le forme in uno spazio a quattro dimensioni. Tre di questi articoli sono stati scritti congiuntamente con il dottor Pieter Hendrik Schoute, che ha collaborato per molti anni  con l'Università di Groningen, ed è questa proficua collaborazione con il professore la ragione per cui  la Facoltà di Matematica e Fisica ha proposto la signora Alicia Boole Stott per la laurea honoris causa in Matematica e Fisica, da conferire in occasione della prossima commemorazione dei 300 anni dell'Università."

Tuttavia, per qualche motivo non chiaro, Alicia non andò alla commemorazione a Groningen e la laurea fu assegnata "in absentia", ma furono esibiti i suoi modelli geometrici che possono essere visti tuttora come parte della mostra online di Groningen dei modelli matematici di superfici


Disegni dei piani delle sezioni perpendicolari della cella  600  conservati presso 
l'Università di Groningen in Olanda ©Museo universitario di Groningen  

Nel 1930 fu presentata ad Harold Coxeter, col quale lavorò a diversi problemi e che la descrisse dicendo: 

"La forza e la semplicità del suo carattere combinata con la diversità dei suoi interessi ne fa un'amica ispiratrice."

Durante la collaborazione con Coxeter, che avveniva per lettera o durante i famosi "tè e politopi", Alicia ottenne altri importanti risultati, relativi alla costruzione di poliedri mediante l'utilizzo della sezione aurea.
Collaborazione che si concluse quattro anni prima della sua morte (17 dicembre 1940), quando Coxeter lasciò l'Inghilterra per prendere un posto a Toronto nel 1936, destinato a diventare “il re dello spazio infinito”.
In quell'occasione così gli scrisse la quasi ottantenne Alicia:

"Mio caro! Non so come scriverti, le parole sembrano così futili accanto a una separazione così grande! Ma in realtà non posso che rallegrarmi per il tuo bene, che è appena capitato... Mentre sto scrivendo la mia mente è tornata al mondo adorabile che abbiamo visitato insieme e che tu hai reso tanto tuo. Mi chiedo dove tu arriverai! Come vorrei poterti seguire."


Flatlandia è un racconto fantastico, scritto dal reverendo e pedagogo Edwin Abbott Abbott, che basandosi 
sul meccanismo di mondi concentrici, incompatibili e incomunicanti, mette in dubbio
 i nostri stessi punti di riferimento, e si chiude con l'inquietante ipotesi di una quarta dimensione.

Così come Alicia e Hinton parlavano di quarta dimensione assimilabile alla grandezza temporale, un po’ com'è esposto nella teoria della relatività ristretta di Einstein, anche in seguito Henri Poincaré e altri si porranno il problema di ciò che è la realtà e di ciò che l’essere umano percepisce. 
Mentre la ricerca matematica sulla geometria a più di tre ordinarie dimensioni ha portato frutti tangibili nel mondo della scienza fisica, basti pensare alla formulazione appunto della teoria della relatività del 1904, il romanzo di Edwin Abbott Abbott (Flatlandia di cui ho citato una frase in apertura) e le altre forme di diffusione del pensiero geometrico hanno ispirato tantissimo l’immaginario collettivo e quello di scrittori, artisti e registi cinematografici del XX secolo.
Negli ultimi anni i fisici hanno cominciato a parlare di configurazioni che coinvolgono 10, 11 o 26 dimensioni, mentre i matematici ormai parlano con disinvoltura di strutture in spazi n-dimensionali. 
Uno dei modi più comuni di pensare alle dimensioni è di considerarle come ciò che i matematici, i fisici o gli ingegneri chiamano "gradi di libertà".

Molti considerano i politopi convessi tra i più importanti oggetti geometrici e ritengono che gran parte della geometria euclidea si riduca essenzialmente alla teoria dei politopi convessi. 
Attualmente i politopi trovano importanti applicazioni nella ottimizzazione, nella programmazione lineare, nella computer grafica e in molti altri campi. 
La loro importanza ha portato a studiarli anche con strumenti software specifici e a definire precise regole per la codifica dei singoli oggetti politopo.


Vista della cella a 10 celle nella 3- sfera, con assi di simmetria periferica 18 "x 31" 
Stampa a colori di un'immagine al computer del 2013 ©photo gallery Banchoff 

"Grazie agli straordinari progressi della computer graphics, oggi possiamo avere una diretta esperienza visiva di oggetti che esistono solo in dimensioni superiori. 
Quando osserviamo queste immagini muoversi sullo schermo di un computer grafico, la sfida che ci viene lanciata è simile a quella che dovettero sostenere i primi scienziati che lavorarono con un telescopio, con un microscopio o con i raggi X.  Stiamo vedendo cose che non erano mai state viste prima d’ora, e stiamo appena cominciando a imparare come devono essere interpretate queste immagini. Siamo davvero solo nella primissima fase di una nuova era, l’era della visualizzazione delle dimensioni."

Queste parole di Thomas Francis Banchoff  dimostrano che tutto ciò che Alicia Boole Stott ed i suoi successori si erano sforzati di fare usando una matita ed un foglio di carta, o con fogli di cartoncino, adesso lo si può fare unendo le conoscenze algebriche con le costruzioni geometriche, calcolando miliardi di coordinate in tempuscoli minimi con l’ausilio dei processori elettronici.
Proprio come afferma uno dei più grandi esperti mondiali di computer graphics, il professor Thomas Francis Banchoff, che su uno schermo di un elaboratore elettronico si possono osservare le vere immagini che rappresentano ciò che potremmo percepire se potessimo entrare negli spazi a dimensioni superiori.


"L'ipercubo" di Attilio Pierelli al Dipartimento di Matematica Università di Tor Vergata - Roma

Ho iniziato questo articolo con l'arte pittorica di Kandinsky e quindi chiudo con l'immagine di un'altra opera d'arte, scultorea di Attilio Pierelli, sempre legata al concetto di politopo.
Se per Kandinsky il cerchio è l'indicazione più chiara per la quarta dimensione (4-politopo):

"Perché il cerchio mi affascina? 
Perché: 1) è la forma più modesta, ma si afferma senza riguardo; 2) è precisa, ma inesauribilmente variabile; 3) è stabile e instabile allo stesso tempo; 4) sommessa e forte nello stesso tempo; 5) una tensione che porta in sé infinite tensioni. Il cerchio è una sintesi dei maggiori contrasti e unisce il concentrico con l'eccentrico in una forma e in un equilibrio. Nella terna di forme primarie (triangolo, quadrato, cerchio), il cerchio è l'indicazione più chiara per la quarta dimensione […] Il cerchio è la sintesi delle più grandi opposizioni. Combina il concentrico e l’eccentrico in un’unica forma e in equilibrio." (Kandinsky)

per Pierelli l'indicatore più significativo è l'ipercubo:

"Tutti i giorni, per 10 anni, per almeno tre ore, studiai per comprendere a fondo il legame tra la realtà e la sua immagine […] Ordine ed equilibrio sono i dati che si incontrano nella geometria iperspaziale e posso dire che nel creare le sculture ispirate agli iperspazi, mi trovo di fronte alla necessità di lavorare in modo esasperatamente ordinato per ottenere il miglior risultato estetico." (Attilio Pierelli)


In geometria, un tesseratto è un 4-politopo, cioè un ipercubo quadridimensionale.
Curioso ricordare che il nome "tesseract" fu coniato proprio dal matematico e scrittore Charles Howard Hinton, cognato di Alicia Boole nel 1880 quando scrisse l’articolo "What Is the Fourth Dimension?" in cui immagina che i punti dello spazio tridimensionale possano rappresentare intersezioni tra oggetti quadridimensionali e lo spazio tridimensionale.
Una proiezione del tesseratto nel piano può essere realizzata disegnando due cubi paralleli, e collegando i corrispettivi vertici con dei segmenti.
Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche. 
Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche. 
"L'ipercubo", realizzazione di Attilio Pierelli è un'opera che dà un esempio di percezione fisica di idee astratte, in quanto l'artista è stato capace di rappresentare la quarta dimensione nella tridimensionalità.
Una sequenza aritmetica regola la struttura iperspaziale dell’Ipercubo, composto da otto cubi tridimensionali, a loro volta formati da sei superfici quadrate bidimensionali. 
Ciò che si trova al di là della nostra esperienza può essere percepito soltanto attraverso espedienti di natura illusionistica, ma l’opera d’arte ci porta a riconoscere come tali illusioni ottiche possano comunque creare un mondo davanti a noi. 

"Il punto di partenza per una nuova concezione è dovuto probabilmente a Kandinsky, che nel suo libro 'Ueber das Geistige in der Kunst' ('Informazioni sull'arte spirituale') pone nel 1912 le premesse di un'arte nella quale l'immaginazione dell'artista sarebbe stata sostituita dalla concezione matematica […] Così, se nell’incertezza delle percezioni sensibili noi andremo a considerare il pensiero matematico, come l’astrazione che rende pensabile la natura, l’opera di un artista sarà allora la sua materializzazione."



Fonti

Image
©Pat'sBlog
https://pballew.blogspot.com/2014/10/those-amazing-boole-girls.html
©Mauro Fiorentini
http://www.bitman.name/math/indiceanalitico/6
©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
http://www.bristol.ac.uk/homepage/
©Museo universitario di Groningen  
https://www.master-abroad.it/universities/Olanda/University-of-Groningen/



domenica 13 gennaio 2019

Batracomiomachia e un'inedita vittoria dei topi

Questa volta la matematica non c'entra...ma c'entrano i topi!
Stavamo rientrando da una serata tanguera quando l'amico Vito, conoscendo anche la mia passione per i topi, mi ha ricordato un divertente poemetto di Leopardi, "Paralipomeni della Batracomiomachia".

Bronzo di Bjorn Okholm Skaarup

Paralipomeni della Batracomiomachia, che parolone!
Trattasi di un ampio poemetto satirico in ottave scritto da Giacomo Leopardi (1798-1837) durante il suo soggiorno napoletano, tra il 1831 e la morte del poeta nel 1837.
L’opera sarà pubblicata solo postuma nel 1842, a Parigi (anche per sfuggire alla censura politica), grazie all’intervento dell’amico Antonio Ranieri (1806-1888).
Paralipomeni perché si presenta come la continuazione di una storia.
Paralipomeni viene infatti usato, come già in ambito biblico, per indicare un'aggiunta di cose precedentemente tralasciate (dal greco paraleipómena, a sua volta da paralèipô, appunto omettere, tralasciare) nella Batracomiomachia, la Battaglia dei topi e delle rane, (dal greco bátrachos (rana), mys (topo) e máche (battaglia)), poemetto ellenistico eroicomico erroneamente attribuito a Omero. 
Di qui l'uso di chiamarlo Batracomiomachia pseudomerica che Leopardi aveva già tradotto anni prima. 
La traduzione da parte di Giacomo Leopardi uscì infatti in tre redazioni successive, nel 1815, nel 1921 e infine nel 1926.

Prima di raccontare brevemente la divertente trama di questo poemetto ci vuole però una premessa: la storia della Batracomiomachia pseudomerica, anch'esso un poemetto giocoso di 303 versi (testo integrale tradotto dal Leopardi nel 1815)


Rara raffigurazione della Batracomiomachia incisa da Giuseppe Patrini 
su disegno del pittore Francesco Zuccarelli, tratta dal frontespizio 
di un’edizione dello stampatore veneziano G.B. Albrizzi del 1744 
(Biblioteca civica di Belluno)

Inizia così:
"Un topo un dì, tra’ topi il più ben fatto,
Venne d’un lago alla fangosa sponda:
Scampato egli era allor da un tristo gatto
E calmava il timor colla fresc’onda;
Mentre beveva, un garrulo ranocchio
Dalla palude a lui rivolse l’occhio."

e così racconta:

"Il re delle rane Gonfiagote persuade il timoroso Rubabriciole, figlio del re dei topi Rodipane, a montare sulle sue spalle per visitare il lago, assicurandolo che non correrà pericoli. Tuttavia, appare all'improvviso un serpente d'acqua e Gonfiagote, per sfuggirgli, si immerge, facendo così annegare Rubabriciole. 
La guerra scoppia immediatamente, e proprio quando la vittoria sembra ormai dei topi, Zeus scaglia il suo fulmine, e allo stesso tempo i granchi, giunti sul campo di battaglia, annientano alcuni topi facendoli a pezzi, mentre altri fuggono in preda al panico"


Particolare della xilografia di Gianni Verna

La battaglia si svolge nell'arco di un giorno, contro i dieci anni di durata della guerra di Troia e la Batracomiomachia è uno dei pochi testi pervenutici integri di quel filone di poesia scherzosa che dovette avere non poca diffusione probabilmente in ogni epoca della letteratura greca e "La guerra dei topi e delle rane", in particolare, recupera tematiche, scene e motivi dell'epica arcaica sovvertendoli in chiave di parodia.
Il significato di questa parodia può essere quello di una guerra inutile che si scatena per motivi apparentemente futili o forse per ataviche incomprensioni. 
Un poemetto scherzoso che si pone alle origini di quella favola antica e popolare che vede al centro animali riconducibili sotto molti aspetti alla natura umana.


Miniatura dal Pontificale di Guillaume Durand (XIII sec.)

Dopo questa premessa ecco la trama del poemetto di Leopardi (qui il testo completo) a cui manca però il finale.

Inizia così:
Poi che da' granchi a rintegrar venuti
Delle ranocchie le fugate squadre,
Che non gli aveano ancor mai conosciuti,
Come volle colui ch'a tutti è padre,
Del topo vincitor furo abbattuti
Gli ordini, e volte invan l'opre leggiadre,
Sparse l'aste pel campo e le berrette
E le code topesche e le basette;
e così racconta:

"I topi (liberali), sconfitti dalle rane (borboniche) e dai granchi (austriaci), eleggono su base costituzionale il re Rodipane, di cui diventa primo ministro il conte Leccafondi, intellettuale progressista e impegnato in politica; i granchi intervengono per reprimere questo regime, di cui non possono tollerare l'esistenza, mettendo in rovinosa fuga i topi. 
Il conte Leccafondi allora va in esilio per cercare aiuto per la sua patria oppressa, incontra Dedalo, e scende persino nel regno dei morti a chiedere consiglio ai topi defunti, che però rispondono alle sue domande con una fragorosa risata. 
Alla fine essi gli consigliano di rientrare in patria e rivolgersi al generale Assaggiatore. Leccafondi riesce a ritornare a Topaia e dopo mille insistenze ad ottenere l'aiuto di Assaggiatore" 

Il poemetto si interrompe qui, perché come spiega Leopardi, al manoscritto da cui aveva tratto la storia manca la parte finale.
Ed ecco che torna in gioco l'amico Vito che, spinto dalla prof delle Medie inferiori a immaginare e  raccontare liberamente il finale, trovò logica e ovvia soluzione quella di un ritorno vincente dei topi:

"I topi sferrarono  un attacco navale contro le rane utilizzando le foglie galleggianti e le sbaraglarono!"



L'immagine, che rispecchia la conclusione di Vito,
 mi è stata data dall'amica Agnieszka Miruk

"Leopardi mette sarcasticamente in rilievo sia la violenza del potere autoritario dei granchi (e quindi del potere austriaco che soffoca l’aspirazione alla libertà del popolo italiano) che gli errori e le debolezze dei topi (e, in particolare, delle figure dei carbonari al canto VI). 
L’atteggiamento leopardiano è quello di distaccata disillusione nei confronti del mito del progresso e dell’ottimismo ottocentesco. 
Il rifiuto stesso del’assolutismo non si traduce in un’acritica esaltazione della libertà ma riconosce i limiti dell’azione liberale di Leccafondi ed è inflessibile nel giudicare molto negativamente le velleità degli intellettuali 'carbonari', che per Leopardi vedono nella causa della libertà solo un gioco di società, risultando così del tutto inutili ed inoffensifivi per il potere dei granchi 'austriaci'."


Se il poemetto leopardiano discute, sotto la veste di favola, gli avvenimenti politici del 1820-21 e il fallimento dei moti rivoluzionari, satireggiando gli Austriaci (rappresentati dai granchi, alleati delle rane), i Borbone (le rane), e gli insorti liberali napoletani (i topi), la conclusione del giovane Vito voleva essere invece una vittoria degli insorti e della libertà.




martedì 8 gennaio 2019

Cicale...dal canto romantico ai numeri primi 13 e 17

Sogno d’un dì di estate. Quanto scampanellare tremulo di cicale.
(Giovanni Pascoli)

Il canto delle cicale, e delle Magicicada di cui parleremo, è sicuramente la fase più romantica della vita di questa specie. E' il loro corteggiamento e quindi il canto dell’estate più romantico che possa esistere! 


Il canto delle cicale, più propriamente definito "frinire" prodotto da un organo particolare presente nell’addome, è infatti un vero e proprio corteggiamento. 
Il maschio così facendo attira la femmina, che leggiadra e sensuale si avvicina al maschio, riproducendo un canto più delicato. Complice in modo del tutto essenziale anche il clima caldo dei giorni estivi, si accoppieranno, depositeranno le uova, ma poi, dopo poche settimane, moriranno.



Ma le cicale cosa c'entrano con i numeri primi?
In Natura non si trovano solo i numeri di Fibonacci e, come vedremo, le cicale Magicicada conoscono anche i numeri primi. 
Esistono infatti due specie di cicale chiamate Magicicada septendecim e Magicicada tredecim, cicale periodiche che spesso vivono nello stesso ambiente, ma che si trovano solo nell'America settentrionale orientale.
Magicicada septendecim è di colore nero e misura quasi 4 cm., gli occhi e le zampe sono generalmente di colore rosso-arancio e le ali sono chiare con venature arancioni.
Generalmente Magicicada tredecim è simile a Magicicada septendecim sia in apparenza che in comportamento, ma con canti con toni più bassi, senza bande scure sul lato inferiore dell'addome, che varia dall'arancione chiaro al colore caramello, e di dimensioni leggermente inferiori. 


Accoppiamento di cicale Magicicada

Si dicono septendecim e tredecim in quanto hanno cicli di vita di 17 e 13 anni rispettivamente. 
Per tutti questi anni tranne l'ultimo rimangono nel terreno alimentandosi con la linfa delle radici degli alberi, poi, nell'ultimo anno del ciclo, compiono la metamorfosi da ninfe ad adulti completamente formati ed emergono in massa dal terreno.
È un evento straordinario quando, ogni 17 anni, gli esemplari di Magicicada septendecim si impadroniscono della foresta in una sola notte. 
Emettono il loro canto sonoro, si accoppiano, si alimentano, depositano le uova, poi, dopo sei settimane, muoiono e la foresta torna silenziosa per altri 17 anni.
Qui le fantastiche immagini della loro trasformazione




Ma perché queste due specie hanno scelto come durata della loro vita un numero primo di anni?
Ci sono diverse spiegazioni possibili.
Siccome entrambe le specie hanno sviluppato cicli di vita che durano un numero primo d'anni, capiterà molto di rado che si sincronizzino per emergere nello stesso anno. 
In effetti le due specie dovranno dividersi la foresta solo una volta ogni 13 x 17 = 221 anni. 
Immaginate che cosa succederebbe se avessero scelto cicli composti da numeri d'anni non primi, per esempio 18 e 12? 
Nello stesso periodo di 221 anni si troverebbero in sincronia ben sei volte, e precisamente negli anni 36, 72, 108, 144, 180 e 216, cioè in quelli composti dagli stessi numeri primi che sono i costituenti elementari sia di 18 che di 12.
I numeri primi 13 e 17 evitano quindi alle due specie di cicale una competizione eccessiva. 

Il fungo massospora cicadina infetta le cicale periodiche e provoca la caduta dell'addome. 
La cicala nella foto è ancora viva, nonostante i segmenti del suo corpo mancanti. 

Ci sono due fasi di infezione da massospora cicadina
In entrambe le fasi, il fungo esce dall'addome della cicala mentre la cicala è viva.

L'evoluzione di un fungo che emergeva in simultanea con le cicale offre un'altra possibile spiegazione.
Come molti altri insetti anche le Magicicada hanno molti predatori, che hanno a che fare con pesticidi o terribili agenti patogeni fungini. 
Alcuni di questi funghi entomopatogeni prendono il controllo dei corpi dei loro ospiti in modi innovativi ma inquietanti. 
Uno di questi funghi è la massospora cicadina, che infetta le cicale periodiche Magicicada che compaiono nell'est del Nord America. 
Dopo aver trascorso oltre un decennio nel terreno in attesa che emergano i suoi ospiti, il fungo infetta le cicale e fa esplodere i loro addomi. Le cicale poi volano in giro e cercano di accoppiarsi, diffondendo invece l'infezione fungina sia attraverso l'aria che attraverso il contatto. 
È difficile immaginare un'infezione più orribile di questa, anche nel mondo degli insetti.

Per le cicale quel fungo è davvero letale, perciò hanno sviluppato un ciclo di vita che permettesse di evitarlo. 
Passando a un ciclo della durata di 17 o di 13 anni, ovvero di un numero primo d'anni, le cicale si sono garantite la certezza di emergere negli stessi anni del fungo molto meno spesso di quanto accadrebbe se i loro cicli di vita durassero un numero non primo d'anni.
Per le cicale, i numeri primi 13 e 17 non sono quindi una semplice curiosità astratta ma la chiave per la sopravvivenza e non portano loro certo sfortuna.


Si perché in molte credenze o superstizioni popolari questi due numeri invece spesso sono considerati "portasfortuna", infatti la triscaidecafobia  e la eptacaidecafobia  sono rispettivamente la paura del numero 13 e del numero 17.
La triscaidecafobia (dal greco τρεισκαίδεκα treiskaídeka, "tredici" e φόβος phóbos, "paura") è la paura irragionevole del numero 13, principalmente legata alla cultura popolare e alla superstizione nordica. 
Il termine è stato coniato da Isador Coriat nell'opera Abnormal Psychology, anche se in alcune culture il numero 13 è considerato simbolo di fortuna e prosperità, specialmente nella regione del Tibet, in Cina.
L'eptacaidecafobia (dal greco ἑπτακαίδεκα "diciassette" e φόβος phóbos, "paura") è invece la paura del numero 17. 
Il numero 17, in particolare abbinato al giorno venerdì, è ritenuto particolarmente sfortunato in Italia e altri paesi di origine greco-latina. 
Già nella Grecia antica il numero 17 era aborrito dai seguaci di Pitagora in quanto era tra il 16 e il 18, perfetti nella loro rappresentazione di quadrilateri 4×4 e 3×6.

Per me, come per le simpatiche e canore cicale Magicicada il 13 e il 17 non portano sicuramente sfortuna: il 13 è il giorno in cui sono nata, che ritengo una grandissima fortuna, mentre il 17 è sicuramente un numero propizio. 
Secondo la Cabala ebraica 17 infatti è il valore numerico delle lettere ebraiche tet (9) ט + vav (6) ו + beit (2) ב, che, lette nell'ordine, danno la parola tov (טוב ) "buono, bene".


Foto  ©Annalisa Santi 



Fonti

L'Enigma dei Numeri Primi - Marcus Du Sautoy
Magicicada periodiche
https://www.cicadamania.com/where.html
http://www.magicicada.org/about/species_pages/species.html
Fungus Fact Friday
http://www.fungusfactfriday.com/221-massospora-cicadina/