domenica 13 gennaio 2019

Batracomiomachia e un'inedita vittoria dei topi

Questa volta la matematica non c'entra...ma c'entrano i topi!
Stavamo rientrando da una serata tanguera quando l'amico Vito, conoscendo anche la mia passione per i topi, mi ha ricordato un divertente poemetto di Leopardi, "Paralipomeni della Batracomiomachia".

Bronzo di Bjorn Okholm Skaarup

Paralipomeni della Batracomiomachia, che parolone!
Trattasi di un ampio poemetto satirico in ottave scritto da Giacomo Leopardi (1798-1837) durante il suo soggiorno napoletano, tra il 1831 e la morte del poeta nel 1837.
L’opera sarà pubblicata solo postuma nel 1842, a Parigi (anche per sfuggire alla censura politica), grazie all’intervento dell’amico Antonio Ranieri (1806-1888).
Paralipomeni perché si presenta come la continuazione di una storia.
Paralipomeni viene infatti usato, come già in ambito biblico, per indicare un'aggiunta di cose precedentemente tralasciate (dal greco paraleipómena, a sua volta da paralèipô, appunto omettere, tralasciare) nella Batracomiomachia, la Battaglia dei topi e delle rane, (dal greco bátrachos (rana), mys (topo) e máche (battaglia)), poemetto ellenistico eroicomico erroneamente attribuito a Omero. 
Di qui l'uso di chiamarlo Batracomiomachia pseudomerica che Leopardi aveva già tradotto anni prima. 
La traduzione da parte di Giacomo Leopardi uscì infatti in tre redazioni successive, nel 1815, nel 1921 e infine nel 1926.

Prima di raccontare brevemente la divertente trama di questo poemetto ci vuole però una premessa: la storia della Batracomiomachia pseudomerica, anch'esso un poemetto giocoso di 303 versi (testo integrale tradotto dal Leopardi nel 1815)


Rara raffigurazione della Batracomiomachia incisa da Giuseppe Patrini 
su disegno del pittore Francesco Zuccarelli, tratta dal frontespizio 
di un’edizione dello stampatore veneziano G.B. Albrizzi del 1744 
(Biblioteca civica di Belluno)

Inizia così:
"Un topo un dì, tra’ topi il più ben fatto,
Venne d’un lago alla fangosa sponda:
Scampato egli era allor da un tristo gatto
E calmava il timor colla fresc’onda;
Mentre beveva, un garrulo ranocchio
Dalla palude a lui rivolse l’occhio."

e così racconta:

"Il re delle rane Gonfiagote persuade il timoroso Rubabriciole, figlio del re dei topi Rodipane, a montare sulle sue spalle per visitare il lago, assicurandolo che non correrà pericoli. Tuttavia, appare all'improvviso un serpente d'acqua e Gonfiagote, per sfuggirgli, si immerge, facendo così annegare Rubabriciole. 
La guerra scoppia immediatamente, e proprio quando la vittoria sembra ormai dei topi, Zeus scaglia il suo fulmine, e allo stesso tempo i granchi, giunti sul campo di battaglia, annientano alcuni topi facendoli a pezzi, mentre altri fuggono in preda al panico"


Particolare della xilografia di Gianni Verna

La battaglia si svolge nell'arco di un giorno, contro i dieci anni di durata della guerra di Troia e la Batracomiomachia è uno dei pochi testi pervenutici integri di quel filone di poesia scherzosa che dovette avere non poca diffusione probabilmente in ogni epoca della letteratura greca e "La guerra dei topi e delle rane", in particolare, recupera tematiche, scene e motivi dell'epica arcaica sovvertendoli in chiave di parodia.
Il significato di questa parodia può essere quello di una guerra inutile che si scatena per motivi apparentemente futili o forse per ataviche incomprensioni. 
Un poemetto scherzoso che si pone alle origini di quella favola antica e popolare che vede al centro animali riconducibili sotto molti aspetti alla natura umana.


Miniatura dal Pontificale di Guillaume Durand (XIII sec.)

Dopo questa premessa ecco la trama del poemetto di Leopardi (qui il testo completo) a cui manca però il finale.

Inizia così:
Poi che da' granchi a rintegrar venuti
Delle ranocchie le fugate squadre,
Che non gli aveano ancor mai conosciuti,
Come volle colui ch'a tutti è padre,
Del topo vincitor furo abbattuti
Gli ordini, e volte invan l'opre leggiadre,
Sparse l'aste pel campo e le berrette
E le code topesche e le basette;
e così racconta:

"I topi (liberali), sconfitti dalle rane (borboniche) e dai granchi (austriaci), eleggono su base costituzionale il re Rodipane, di cui diventa primo ministro il conte Leccafondi, intellettuale progressista e impegnato in politica; i granchi intervengono per reprimere questo regime, di cui non possono tollerare l'esistenza, mettendo in rovinosa fuga i topi. 
Il conte Leccafondi allora va in esilio per cercare aiuto per la sua patria oppressa, incontra Dedalo, e scende persino nel regno dei morti a chiedere consiglio ai topi defunti, che però rispondono alle sue domande con una fragorosa risata. 
Alla fine essi gli consigliano di rientrare in patria e rivolgersi al generale Assaggiatore. Leccafondi riesce a ritornare a Topaia e dopo mille insistenze ad ottenere l'aiuto di Assaggiatore" 

Il poemetto si interrompe qui, perché come spiega Leopardi, al manoscritto da cui aveva tratto la storia manca la parte finale.
Ed ecco che torna in gioco l'amico Vito che, spinto dalla prof delle Medie inferiori a immaginare e  raccontare liberamente il finale, trovò logica e ovvia soluzione quella di un ritorno vincente dei topi:

"I topi sferrarono  un attacco navale contro le rane utilizzando le foglie galleggianti e le sbaraglarono!"



L'immagine, che rispecchia la conclusione di Vito,
 mi è stata data dall'amica Agnieszka Miruk

"Leopardi mette sarcasticamente in rilievo sia la violenza del potere autoritario dei granchi (e quindi del potere austriaco che soffoca l’aspirazione alla libertà del popolo italiano) che gli errori e le debolezze dei topi (e, in particolare, delle figure dei carbonari al canto VI). 
L’atteggiamento leopardiano è quello di distaccata disillusione nei confronti del mito del progresso e dell’ottimismo ottocentesco. 
Il rifiuto stesso del’assolutismo non si traduce in un’acritica esaltazione della libertà ma riconosce i limiti dell’azione liberale di Leccafondi ed è inflessibile nel giudicare molto negativamente le velleità degli intellettuali 'carbonari', che per Leopardi vedono nella causa della libertà solo un gioco di società, risultando così del tutto inutili ed inoffensifivi per il potere dei granchi 'austriaci'."


Se il poemetto leopardiano discute, sotto la veste di favola, gli avvenimenti politici del 1820-21 e il fallimento dei moti rivoluzionari, satireggiando gli Austriaci (rappresentati dai granchi, alleati delle rane), i Borbone (le rane), e gli insorti liberali napoletani (i topi), la conclusione del giovane Vito voleva essere invece una vittoria degli insorti e della libertà.




martedì 8 gennaio 2019

Cicale...dal canto romantico ai numeri primi 13 e 17

Sogno d’un dì di estate. Quanto scampanellare tremulo di cicale.
(Giovanni Pascoli)

Il canto delle cicale, e delle Magicicada di cui parleremo, è sicuramente la fase più romantica della vita di questa specie. E' il loro corteggiamento e quindi il canto dell’estate più romantico che possa esistere! 


Il canto delle cicale, più propriamente definito "frinire" prodotto da un organo particolare presente nell’addome, è infatti un vero e proprio corteggiamento. 
Il maschio così facendo attira la femmina, che leggiadra e sensuale si avvicina al maschio, riproducendo un canto più delicato. Complice in modo del tutto essenziale anche il clima caldo dei giorni estivi, si accoppieranno, depositeranno le uova, ma poi, dopo poche settimane, moriranno.



Ma le cicale cosa c'entrano con i numeri primi?
In Natura non si trovano solo i numeri di Fibonacci e, come vedremo, le cicale Magicicada conoscono anche i numeri primi. 
Esistono infatti due specie di cicale chiamate Magicicada septendecim e Magicicada tredecim, cicale periodiche che spesso vivono nello stesso ambiente, ma che si trovano solo nell'America settentrionale orientale.
Magicicada septendecim è di colore nero e misura quasi 4 cm., gli occhi e le zampe sono generalmente di colore rosso-arancio e le ali sono chiare con venature arancioni.
Generalmente Magicicada tredecim è simile a Magicicada septendecim sia in apparenza che in comportamento, ma con canti con toni più bassi, senza bande scure sul lato inferiore dell'addome, che varia dall'arancione chiaro al colore caramello, e di dimensioni leggermente inferiori. 


Accoppiamento di cicale Magicicada

Si dicono septendecim e tredecim in quanto hanno cicli di vita di 17 e 13 anni rispettivamente. 
Per tutti questi anni tranne l'ultimo rimangono nel terreno alimentandosi con la linfa delle radici degli alberi, poi, nell'ultimo anno del ciclo, compiono la metamorfosi da ninfe ad adulti completamente formati ed emergono in massa dal terreno.
È un evento straordinario quando, ogni 17 anni, gli esemplari di Magicicada septendecim si impadroniscono della foresta in una sola notte. 
Emettono il loro canto sonoro, si accoppiano, si alimentano, depositano le uova, poi, dopo sei settimane, muoiono e la foresta torna silenziosa per altri 17 anni.
Qui le fantastiche immagini della loro trasformazione




Ma perché queste due specie hanno scelto come durata della loro vita un numero primo di anni?
Ci sono diverse spiegazioni possibili.
Siccome entrambe le specie hanno sviluppato cicli di vita che durano un numero primo d'anni, capiterà molto di rado che si sincronizzino per emergere nello stesso anno. 
In effetti le due specie dovranno dividersi la foresta solo una volta ogni 13 x 17 = 221 anni. 
Immaginate che cosa succederebbe se avessero scelto cicli composti da numeri d'anni non primi, per esempio 18 e 12? 
Nello stesso periodo di 221 anni si troverebbero in sincronia ben sei volte, e precisamente negli anni 36, 72, 108, 144, 180 e 216, cioè in quelli composti dagli stessi numeri primi che sono i costituenti elementari sia di 18 che di 12.
I numeri primi 13 e 17 evitano quindi alle due specie di cicale una competizione eccessiva. 

Il fungo massospora cicadina infetta le cicale periodiche e provoca la caduta dell'addome. 
La cicala nella foto è ancora viva, nonostante i segmenti del suo corpo mancanti. 

Ci sono due fasi di infezione da massospora cicadina
In entrambe le fasi, il fungo esce dall'addome della cicala mentre la cicala è viva.

L'evoluzione di un fungo che emergeva in simultanea con le cicale offre un'altra possibile spiegazione.
Come molti altri insetti anche le Magicicada hanno molti predatori, che hanno a che fare con pesticidi o terribili agenti patogeni fungini. 
Alcuni di questi funghi entomopatogeni prendono il controllo dei corpi dei loro ospiti in modi innovativi ma inquietanti. 
Uno di questi funghi è la massospora cicadina, che infetta le cicale periodiche Magicicada che compaiono nell'est del Nord America. 
Dopo aver trascorso oltre un decennio nel terreno in attesa che emergano i suoi ospiti, il fungo infetta le cicale e fa esplodere i loro addomi. Le cicale poi volano in giro e cercano di accoppiarsi, diffondendo invece l'infezione fungina sia attraverso l'aria che attraverso il contatto. 
È difficile immaginare un'infezione più orribile di questa, anche nel mondo degli insetti.

Per le cicale quel fungo è davvero letale, perciò hanno sviluppato un ciclo di vita che permettesse di evitarlo. 
Passando a un ciclo della durata di 17 o di 13 anni, ovvero di un numero primo d'anni, le cicale si sono garantite la certezza di emergere negli stessi anni del fungo molto meno spesso di quanto accadrebbe se i loro cicli di vita durassero un numero non primo d'anni.
Per le cicale, i numeri primi 13 e 17 non sono quindi una semplice curiosità astratta ma la chiave per la sopravvivenza e non portano loro certo sfortuna.


Si perché in molte credenze o superstizioni popolari questi due numeri invece spesso sono considerati "portasfortuna", infatti la triscaidecafobia  e la eptacaidecafobia  sono rispettivamente la paura del numero 13 e del numero 17.
La triscaidecafobia (dal greco τρεισκαίδεκα treiskaídeka, "tredici" e φόβος phóbos, "paura") è la paura irragionevole del numero 13, principalmente legata alla cultura popolare e alla superstizione nordica. 
Il termine è stato coniato da Isador Coriat nell'opera Abnormal Psychology, anche se in alcune culture il numero 13 è considerato simbolo di fortuna e prosperità, specialmente nella regione del Tibet, in Cina.
L'eptacaidecafobia (dal greco ἑπτακαίδεκα "diciassette" e φόβος phóbos, "paura") è invece la paura del numero 17. 
Il numero 17, in particolare abbinato al giorno venerdì, è ritenuto particolarmente sfortunato in Italia e altri paesi di origine greco-latina. 
Già nella Grecia antica il numero 17 era aborrito dai seguaci di Pitagora in quanto era tra il 16 e il 18, perfetti nella loro rappresentazione di quadrilateri 4×4 e 3×6.

Per me, come per le simpatiche e canore cicale Magicicada il 13 e il 17 non portano sicuramente sfortuna: il 13 è il giorno in cui sono nata, che ritengo una grandissima fortuna, mentre il 17 è sicuramente un numero propizio. 
Secondo la Cabala ebraica 17 infatti è il valore numerico delle lettere ebraiche tet (9) ט + vav (6) ו + beit (2) ב, che, lette nell'ordine, danno la parola tov (טוב ) "buono, bene".


Foto  ©Annalisa Santi 



Fonti

L'Enigma dei Numeri Primi - Marcus Du Sautoy
Magicicada periodiche
https://www.cicadamania.com/where.html
http://www.magicicada.org/about/species_pages/species.html
Fungus Fact Friday
http://www.fungusfactfriday.com/221-massospora-cicadina/

lunedì 31 dicembre 2018

2019 sinonimo di Felicità

Davvero il 2019 è sinonimo di Felicità?
Finalmente dovrebbe prospettarsi un anno felice...si perché il 2019 ha tutte le caratteristiche per poter essere "felice", visto che il 2019 è proprio un "numero felice"!


Ulteriori spiegazioni da un articolo precedente

Al 2019 corrisponde infatti la somma:


2²+0²+1²+9²=4+0+1+81=86
da cui
8²+6²=64+36=100
da cui
1²+0²+0²= 1


Cercherò di spiegare questa curiosità matematica ricordando che è detto "felice" o "non felice" (da non confondere con il numero di Harshad derivato dal sanscrito harsa "grande gioia") un numero così definito:
dato un numero n, si definisce una sequenza data dalla somma dei quadrati delle cifre di n; allora n è felice se e solo se questa sequenza porta a 1.
Ovvero, più semplicemente, tramite il seguente processo:
partendo da un qualsiasi numero intero positivo, si sostituisce al numero la somma dei quadrati delle sue cifre (o il quadrato della cifra se unica) e si ripete quindi il processo fino ad ottenere 1 (con ulteriori iterazioni che porteranno sempre a 1), oppure si entrerà in loop, ovvero in un ciclo che non porterà mai a 1.
I numeri per cui tale processo darà 1 sono quindi "numeri felici", mentre quelli che non danno mai 1 sono "numeri infelici". 




Una visione più filosofica e poetica la troviamo in questi versi che contengono forse il vero senso della felicità come unità:

il cielo, raggiunta l’unità divenne chiaro
la terra, raggiunta l’unità divenne tranquilla
lo spirito, raggiunta l’unità divenne potente
la valle, raggiunta l’unità divenne piena
le creature, raggiunta l’unità divennero vive
(Lao Tse)

Per Lao Tse il problema della felicità ha infatti “una soluzione che dipende soprattutto dal raggiungimento dell'unità"; quindi raggiungere la felicità vuol dire raggiungere l’unità.
Così come i numeri possono essere felici se anche loro raggiungono l’uno!
Sono i versi di Lao Tse (Laozi o Lao Tsu soprannome, che vuol dire "vecchio maestro", forse di Chung-erh o Po-yang o anche Lao tan che pare visse nel VI secolo a.C. di qualche anno più vecchio di Confucio) che arrivano dal 
 Tao Te King, la sacra scrittura del Taoismo.


Articolo pubblicato precedentemente su Facebook il 24 dicembre 2018
di Annalisa Santi
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=10218788574093860

I magici numeri di Sophie Germain

"Proof", un dramma  di David Auburn vincitore del premio Pulitzer 2001, "Proof" anche un film  del 2005 ispirato al dramma, è una storia in cui la matematica gioca un ruolo importante, anche se traspare una matematica dominata da pochi geni, magari folli o depressi.
100 minuti a cui hanno contribuito, con diverse centinaia di riviste e libri, i membri della MAA  (Mathematical Association of America), dell' AMS (American Mathematical Society), del College Mathematics Journal e del Mathematics Magazine, dando così la possibilità di ricreare l'atmosfera di un vero set di matematici. 




Tra questi contributi, che risaltano nella trama e nell'importante Teoria dei Numeri che Catherine (la protagonista della storia) cerca di dimostrare essere sua, troviamo citato il più grande (almeno per il 2005, data di uscita del film) numero primo di Sophie Germain.
Trattasi del numero 

7068555 · 2¹²¹³º¹ - 1 

composto di 36.523 cifre, scoperto nel gennaio di quell'anno, ma ampiamente superato poi dal numero di Sophie Germain 

2618163402417 · 2¹² ºººº - 1

composto da 388.342  cifre decimali, scoperto nel febbraio 2016 da James Scott Brown attraverso il progetto di calcolo distribuito PrimeGrid 
Ben lontani però, come grandezza e numero di cifre, dagli ultimi numeri primi di Mersenne, scoperti recentemente.
Il mondo infatti, proprio dal 21 dicembre 2018, ha un nuovo numero primo¹, il più grande numero primo composto da quasi 25 milioni di cifre: 

2⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1 

Fa appunto parte dei numeri primi di Mersenne che hanno una formula semplice: 2ⁿ-1. 
In questo caso, "n" è uguale a 82.589.933, che è di per sé un numero primo, ed è composto da 24.862.048 cifre.


La Parigi di Sophie Germain con la Tour Eiffel alla quale contribuì con i suoi studi 
e con le sue ricerche sull'elasticità dei metalli e le vibrazioni elastiche

Ma qui non volevo parlare di numeri primi in generale ma appunto dei numeri primi di Sophie Germain e della vita travagliata e a volte tragicomica della loro ideatrice. 
Se infatti i numeri primi di Mersenne sono considerati "i gioielli della teoria dei numeri"², come potremmo definire quelli di Sophie Germain?
Decisamente delle rarità!
Proprio grazie alla ricerca sui numeri primi più grandi, i numeri primi di Germain conoscono oggi una nuova popolarità. 
Sono infatti tra le specie più ricercate e in particolare quelli della forma p = k x 2ⁿ - 1 
Si definisce infatti numero primo di Sophie Germain un numero primo p tale che 2p+1 è anch'esso un numero primo, dove il numero 2p+1 è invece chiamato primo sicuro³. 

Questi "rari gioielli" prendono nome dalla matematica francese Sophie Germain (Parigi 1 aprile 1776 - Parigi 27 giugno 1831), che all'inizio del XIX secolo li usò per dimostrare un caso particolare dell'Ultimo Teorema di Fermat, secondo il quale, lo ricordo, l'equazione

xⁿ + yⁿ = zⁿ 

non ha soluzioni per n maggiore di 2 e con x, y e z numeri interi. 
Ma come se ne servì per dimostrare un caso particolare del Teorema di Fermat?
Dopo i progressi di Euler, per circa cinquanta anni non ci furono miglioramenti, nonostante l'Ultimo Teorema fosse diventato il problema più famoso della teoria dei numeri, e all'inizio del XIX secolo i matematici erano semplicemente riusciti a dimostrare che non ci sono soluzioni alle seguenti equazioni:

x ³ + y ³ = z ³

x ⁴ + y ⁴ = z ⁴

ma questa situazione mutò radicalmente proprio grazie a Sophie Germain.
La Germain lavorò per anni alla teoria dei numeri interessandosi appunto all'Ultimo Teorema di Fermat e ottenedo così un risultato che riteneva molto importante. 
Volendo delle conferme sulla validità della sua scoperta, decise di contattare la massima autorità d'allora, cioè Carl Friedrich Gauss, usando però lo pseudonimo di Monsieur Le Blanc.

A questo punto è meglio fare un passo indietro e chiarire il perché dello pseudonimo.
Nel 1789, l'anno che segna l'inizio della Rivoluzione francese, l'anno dell'assalto alla Bastiglia e della sua distruzione, una ragazzina di tredici anni, Sophie Germain, figlia di un ricco mercante parigino eletto deputato all'Assemblea Costituente, scopriva il suo grande amore per la matematica.
Sophie si dedicò completamente ad essa, passando le notti sui libri di Newton e di Euler nonostante l'opposizione del padre contrariato per questi interessi della figlia, considerati poco femminili, e che le confiscava abiti e candele per scoraggiarla. 



Un'acquaforte del Settecento de l''Ecole Polytecnique dove, ai suoi corsi, 
non potevano accedere le donne

Questo però non fermò Sophie che, quando nel 1794 venne  aperta a Parigi l'Ecole Polytechnique, che sarebbe stato il luogo ideale per perfezionare la sua preparazione di autodidatta, decise di iscriversi con uno stratagemma.
Dato che i corsi erano allora riservati ai soli uomini riuscì ad ottenerne le dispense utilizzando il nome di uno studente che aveva abbandonato gli studi, Antoine-August Le Blanc.
Uno pseudonimo grazie al quale poteva anche chiedere spiegazioni e far correggere le proprie soluzioni ai problemi proposti agli studenti, senza doversi esporre e rivelare così la sua femminilità.
Un gioco che continuò finché il celebre Lagrange, che teneva il corso di analisi, stupito per le soluzioni brillanti e ingegnose proposte da Le Blanc non chiese di incontrarlo, obbligando in tal modo Sophie a rivelare la sua vera identità. 
Lagrange, stupefatto e ammirato nel trovarsi di fronte a una giovane e brillante donna, ne divenne amico e consigliere, aiutandola a proseguire gli studi. 

Con Gauss si ripetè un'analoga situazione!
Gauss in effetti non si era mai interessato al teorema di Fermat ritenendo l'enunciato privo di interesse, ma quando ricevette la lettera di Le Blanc rimase così impressionato dal suo risultato da dedicarsi comunque al problema e da confermarne la validità del suo metodo (carteggio Gauss-Germain). 
La Germain però non ricevette risposta e, dopo l'invasione della Prussia nel 1806 da parte di Napoleone, preoccupata per la sorte di Gauss, scrisse ad un amico di famiglia, il generale Joseph-Marie Pernety, chiedendo di riservare al grande matematico un'attenzione particolare. 
Fu così che, quando il generale incontrò Gauss, gli spiegò che il trattamento di riguardo nei suoi confronti era dovuto all'intervento di una giovane matematica parigina Sophie Germain, che firmava i suoi lavori con lo pseudonimo di Monsieur Le Blanc. 
Gauss scoprì così la vera identità del suo interlocutore e scrisse queste parole che rappresentano il più prezioso omaggio all'intelligenza di Sophie: 

"Quando una persona di sesso femminile che, secondo il nostro giudizio e i nostri pregiudizi maschili, deve urtare in difficoltà infinitamente superiori a quelle che incontrano gli uomini per giungere a familiarizzarsi con le spinose ricerche della matematica, quando questa persona riesce, nonostante tutto, a sormontare simili ostacoli e a penetrare fino alle regioni più oscure della scienza, ella deve senza dubbio possedere un nobile coraggio, un talento assolutamente straordinario e un genio superiore."

In una delle lettere indirizzate a Gauss, Germain riporta quello che oggi è noto come il "Teorema di Germain", il suo più importante contributo alla teoria dei numeri, un notevole passo avanti verso la soluzione del teorema di Fermat. 
Sophie Germain introduce un nuovo metodo di indagine al problema che si basava sull'utilizzo di una tipologia particolare di numeri primi che in seguito verranno appunto chiamati "numeri primi di Sophie Germain". 
Per questi numeri primi la Germain riuscì a dimostrare che "probabilmente" non esistevano soluzioni del teorema di Fermat; intendendo per "probabilmente" che queste eventuali soluzioni avrebbero dovuto avere delle proprietà talmente particolari da rendere difficile l'esistenza di questi numeri. 
Sophie Germain dimostrò quello che venne poi definito il "primo caso" dell' Ultimo Teorema di Fermat per ogni primo dispari p quando 2p + 1 è anche un numero primo. 

Legendre successivamente dimostrò che se p è un primo tale che 4p + 1, 8p + 1, 10p + 1, 14p + 1, o 16p + 1 è anche un primo, allora il "primo caso" dell' Ultimo Teorema di Fermat vale per p <100, ricordando che i numeri primi di Sophie Germain minori di 100 sono:
2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89
Per questi numeri primi p Germain osservò che xⁿ + yⁿ = zⁿ non ha soluzioni con x, y e z interi, diversi da zero e che non siano multipli di p. 
Proprio le ingegnose argomentazioni portate da Sophie Germain a sostegno della sua dimostrazione servirono poi ad altri matematici per progredire ulteriormente nella soluzione del Teorema di Fermat.



Com' è noto, dopo anni anzi secoli di attesa, l'Ultimo Teorema di Fermat è stato dimostrato da Andrew Wiles, che insieme al suo ex allievo Richard Taylor, diede una prima stesura della dimostrazione del teorema (che conteneva un difetto di elaborazione) e che, dopo un anno tormentato, arrivò alla successiva e definitiva presentazione, il 24 ottobre 1994, dei due manoscritti, "Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem" e "Ring theoretic properties of certain Hecke algebras", con i quali fu accettata definitivamente la sua dimostrazione.
(pièce musical/matematica molto originale "Fermat's Last Tango"

In seguito Gauss abbandonò la teoria dei numeri per dedicarsi alla matematica applicata e la Germain, senza più appoggi nel campo della matematica, decise di concentrarsi sulla fisica, rimasta incuriosita dagli esperimenti di un fisico tedesco Ernst Chladni, dove diede importanti contributi nello studio delle vibrazioni elastiche.

Sophie Germain rappresenta sicuramente una rivoluzionaria!
Nacque, daltronde, nel 1776, l’anno che segnò l’inizio della Rivoluzione Americana e fu nel 1789, anno in cui scoppiò la Rivoluzione Francese, che scoprì l’amore per la matematica
Tutta la sua vita è stata una vera e propria rivoluzione,  perché si dedicò alla matematica e alla fisica, discipline riservati ai soli uomini, sfidando le convenzioni e i pregiudizi sociali dell'epoca, senza poter accedere a una formazione formale per diventare una famosa matematica. 
Un esempio di donna che, soffocata dalla rigida discriminazione sessuale, non potè esprimere le sue vere potenzialità e che morì a Parigi, nel 1831, prima che l'Università di Gottingen le potesse conferire, su sollecitazione di Gauss, la laurea honoris causa, laurea che, nonostante i suoi grandi meriti scientifici, non era riuscita ad ottenere.
Un esempio lampante di una delle migliaia di altre donne brillanti e capaci a cui non fu data la possibilità di condividere i loro doni intellettuali con il mondo.



Delle quasi 100 strade di Parigi che prendono il nome da matematici, solo una prende 
il nome da una donna, Rue Sophie Germain - foto © Cheryl Slaughter




Note

¹ In matematica, un numero primo è un numero intero positivo che abbia esattamente due divisori distinti. In modo equivalente si può definire come un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile solamente per 1 e per sé stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che  abbia più di due divisori è detto composto. Ad esempio 2, 3 e 5 sono primi mentre 4 e 6 non lo sono perché sono divisibili rispettivamente anche per 2 e per 2 e 3. L'unico numero primo pari è 2, in quanto tutti gli altri numeri pari sono divisibili per 2.
² Così li definiva Chris Caldwell, un matematico dell'Università del Tennessee, Martin, nel 2009 parlando a NPR (National Public Radio) di questi grandi numeri primi.
³ In teoria dei numeri, un numero primo sicuro è un numero primo esprimibile nella forma 2p + 1, dove p è anch'esso numero primo e p è detto numero primo di Sophie Germain.
⁴ L'ingegnere Gustave Eiffel decise di far incidere, sotto la balconata del primo piano della torre, i nomi di 72 cittadini francesi - soprattutto scienziati e ingegneri - in segno di riconoscimento per i loro studi. I nomi, ben visibili dal suolo, si trovano su tutti i quattro lati della torre (18 per ciascun lato); erano stati ricoperti di vernice all'inizio del XX secolo, ma vennero recuperati e restaurati nel 1986. Curiosamente dell'elenco non fa parte nessuna donna: critiche furono in particolare mosse per l'esclusione della matematica Sophie Germain le cui ricerche sulla teoria dell'elasticità furono cruciali per la costruzione della torre stessa. 
Fonti

Informazioni da
https://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/germain.html
https://www.agnesscott.edu/lriddle/women/germain.htm
https://primes.utm.edu/top20/page.php?sort=SophieGermain