MacWilliams, un matematico donna

Cosa immagini quando senti un nome legato a un teorema? 
La probabilità è che la prima immagine che viene in mente sia quella di un matematico uomo, perché certi stereotipi prevalgono.

Viso del matematico Neil James Alexander Sloane che ho sovrapposto a un viso di donna (immagine).

Neil James Alexander Sloane è stato coautore insieme a Jessie MacWilliams del libro 

"Theory of Error-Correcting Codes" (1977)

E' capitato anche a me quando mi sono imbattuta nel Teorema di MacWilliams. 
Ho immediatamente immaginato MacWilliams come un uomo, ma ho piacevolmente poi scoperto, anche attraverso un simpatico aneddoto, che Jessie MacWilliams, in realtà, era una donna incredibilmente talentuosa. 
Questo conferma che l'immagine tipica di un "matematico" è dipinta come l'immagine di un uomo. Lo stereotipo ha influenzato persino me, matematica, a immaginare un matematico come un uomo ogni volta che sento un nuovo nome. 
Questo nonostante fin dalle medie (la mitica prof.ssa Massarani), quindi al liceo (prof.ssa  Carniello) e all'università (prof.ssa Marchionna di Algebra, prof.ssa Roux di Istituzioni di Analisi o prof.ssa De Socio di Meccanica Razionale...) abbia avuto, come docenti delle bravissime "matematiche" donne! 
Va anche notata la mancanza (o mancanza di conoscenza) di modelli femminili in matematica, che contribuisce a questa disparità. 
Tutti sanno quanto siano importanti i modelli di ruolo per bambini e adolescenti, soprattutto quando iniziano a pensare ai loro progetti per il futuro. 

"La matematica può essere meravigliosa, in quanto ha così tante applicazioni e penso che queste dovrebbero essere mostrate agli studenti in giovane età. Tuttavia, la maggior parte delle ragazze semplicemente non la considera, dato che spesso non conoscono nessun "matematico" donna."

Quindi il problema non è che i modelli di ruolo nel campo non esistano, è piuttosto che non si conoscono. 
Tuttavia, gli stereotipi profondamente radicati, insieme alla sottorappresentazione di queste figure nei media, nei libri di storia e nella conoscenza generale possono causare un circolo vizioso che può perpetuare anche la mancanza di donne nei campi STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics). 
Avere pochissime donne in matematica (o non conoscerle) e modelli femminili in campo scientifico possono dissuadere le ragazze dal prendere parte a quelle carriere, che di conseguenza lasceranno una mancanza di modelli di ruolo per le generazioni future.

Florence Jessie Collinson MacWilliams

Ma qual'è l'aneddoto legato alla signora MacWilliams che scoprì una serie di equazioni fondamentali, le "MacWilliams Identities"?
Florence Jessie Collinson, da sposata MacWilliams, (4 gennaio 1917 - 27 maggio 1990) è stata una matematica inglese che ha contribuito nel campo della teoria della codifica. 
Nata a Stoke-on-Trent, in Inghilterra, studiò all'Università di Cambridge, ricevendo un BA nel 1938 (BA sta per il Bachelor of Arts, del tutto equivalente alla nostra Laurea) e un MA (Master of Arts) in economia l'anno successivo. 
Trasferitasi negli Stati Uniti nel 1939, grazie a una borsa di studio, studiò alla Johns Hopkins University sotto la guida di Oscar Zariski e, l'anno dopo, nel 1940, seguì Zariski alla Harvard University per studiare lì per un anno. 
Sposatasi quindi con Walter MacWilliams nel 1941, lasciò il suo lavoro in campo matematico per alcuni anni, per crescere i suoi tre figli, una femmina e due maschi. 
Nel 1958 divenne programmatrice e imparò la Teoria dei Codici (la Teoria dei Codici è un ramo della teoria dell'informazione, o più in generale della matematica e dell'informatica, che studia i codici per la trasmissione di dati su cui si basano numerose applicazioni: telecomunicazioni, wireless, segnalazione ferroviaria, etc) presso i Bell Labs, a Murray Hill nel New Jersey, dove trascorse poi gran parte della sua carriera, fino al definitivo ritiro nel 1983. 
(Teoria dei Codici - MacWilliams Identities a pag 25)
MacWilliams voleva diventare membro dello staff tecnico dei Bell Labs ma, sebbene avesse svolto importanti ricerche e nonostante la laurea a Cambridge, le fu negata una promozione in una posizione di ricerca matematica finché non conseguì un dottorato di ricerca. 
Così nel 1961 tornò ad Harvard per un anno e ottenne un dottorato di ricerca, studiando la teoria della codifica con Andrew Gleason, con la tesi "Problemi combinatori della teoria dei gruppi elementari". 
L'aneddoto che si racconta riguarda proprio questo dottorato che conseguì studiando alla Harvard University insieme alla figlia Ann, che ottenne anche lei in quell'anno un dottorato in matematica. 
Un raro esempio di madre e figlia che frequentano e  ottengono insieme il dottorato, così come raccontò, in un necrologio apparso sul SIAM News di Chicago nel novembre 1990, Vera Pless dell'Università dell'Illinois, in occasione della sua morte avvenuta appunto quello stesso anno.

Jessie fece lavori importanti sui codici di correzione degli errori e ha pubblicato nel 1977, insieme a Neil JA Sloane, il libro "The Theory of Error-Correcting Codes".
Le sue equazioni, note come "MacWilliams Identities", sono ampiamente utilizzate dai teorici della codifica, sia per ottenere nuove informazioni teoriche sulla correzione dei codici degli errori che per determinare le distribuzioni di peso di specifici codici. 
Le equazioni di MacWilliams hanno anche portato a risultati importanti nell'area della teoria combinatoria.

Trasmissione dei dati

MacWilliams lavorò anche sui codici ciclici, generalizzandoli a codici di gruppo abeliani e, insieme a Henry Berthold Mann, ha risolto un problema difficile che coinvolge alcune matrici di progettazione. 
A proposito del suo libro, "The Theory of Error-Correcting Codes", scritto nel 1977 in collaborazione con Neil JA Sloane ai Bell Labs, Vera Pless nota come questo libro enciclopedico, con quasi 1.500 riferimenti, copra molte diverse aree della teoria della codifica e scrive:

"I numerosi problemi di ricerca sparsi nel libro hanno stimolato il lavoro in molte aree della teoria dei codici".

Va infatti ricordato che la rilevazione e correzione dell'errore attraverso codici matematici, in  informatica, telecomunicazioni, e teoria dell'informazione, ha grande importanza pratica nel mantenimento dell'integrità dell'informazione nei sistemi con un canale rumoroso, o nei dispositivi per l'immagazzinamento dei dati caratterizzati da una scarsa affidabilità.
Dove la rilevazione d'errore consiste nella capacità di scoprire la presenza di errori causati dal rumore o da altri fenomeni deterioranti durante una trasmissione di dati (ad es. tramite il bit di parità) e la correzione d'errore consiste invece nell'ulteriore abilità di ricostruire i dati originali, eliminando gli errori occorsi durante la trasmissione.
Come sappiamo nel cosiddetto segnale digitale, il messaggio è convertito in simboli e attualmente la codifica digitale¹ in uso è quella relativa al sistema binario di 1 e 0, di conseguenza, convertire un fenomeno naturale o analogico in digitale vuol dire convertirlo in una sequenza di bit. 
Tale tipo di segnale solitamente non subisce molti disturbi e viene ricevuto quasi identico rispetto a quello emesso e l’apparato che riceve il segnale deve quindi decodificare il segnale digitale e trasformarlo in un linguaggio comprensibile. E' quindi tutt'ora molto importante trovare soluzioni per correggere eventuali errori che si possono trasmettere in situazioni di disturbo.

È solo in tempi recenti che ci si è posti il problema della comunicazione sicura, vale a dire della trasmissione di dati o messaggi privati tramite canali protetti, in cui si fosse certi che nessuna interferenza ne modificasse il contenuto. Tali interferenze presenti nel canale di passaggio vengono solitamente chiamate fonti rumorose, le quali spesso provocano la perdita di dati, ma più frequentemente modificano la natura del messaggio senza che il ricevente apparentemente ne percepisca il difetto.
La Teoria dei Codici, nata solamente negli anni ’40 del XX secolo, si preoccupa proprio di ovviare a questo problema.
Il processo che sta alla base di questa teoria è molto semplice. L’idea è quella di codificare il messaggio in questione, costituito da blocchi di cifre o parole, attraverso una stringa di numeri ridondante, cioè composta da più cifre di quelle strettamente necessarie, in modo tale che il ricevitore possa accorgersi di eventuali cambiamenti del formato iniziale e correggere gli errori presenti.
Dal punto di vista matematico, i codici più interessanti sono i codici lineari, per i quali esistono specifiche tecniche di codifica/decodifica, nonché di correzione di errori, attuabili semplicemente utilizzando strumenti di algebra lineare.



Note

¹ Digitale; il termine deriva dall’inglese digital, ovvero cifra, derivato dal latino ‘digitus’, ovvero dito.
Anche la telefonia mobile e la produzione musicale hanno subito dei cambiamenti di qualità e formato, passando dal sistema analogico a quello digitale. 
Per la telefonia si è passati dal Etacs al Gsm per finire con il 5G e, nel campo musicale, dal vecchio vinile (disco a 33 o 45 giri) al cd, per finire agli mp3 e mp4. 
Insomma il digitale ha portato una vera e propria rivoluzione che è entrata a far parte della nostra vita quotidiana, anche se dimentichiamo gli studiosi e i ricercatori che hanno permesso di raggiungere risultati sempre migliori.

Michel Rolle e il vitalizio di Colbert

Michel Rolle, chi era costui? Direbbe Don Abbondio!
I vitalizi, tanto di attualità negativa oggi, esistevano anche del XVII secolo?
Forse non erano dati alla "casta" politica, ma assegnati per merito!
  
Chi alle scuole superiori o all'università ha studiato un po' di Analisi non può certo non ricordare:

"Data una funzione f(x) continua in un intervallo [a,b], derivabile in (a,b) e tale che f(a)=f(b),  esiste un punto ξ ∈ (a,b) tale che f′(ξ)= 0"

nel 1846 Giusto Bellavitis diede il nome di Rolle al teorema.

Michel Rolle (1652-1719) presunto ritratto - Autore sconosciuto
Immagine © Wikipedia

In tutti i testi elementari di analisi matematica infatti si trova dimostrato questo teorema, il teorema di Rolle.
Si tratta dunque di un teorema molto noto che si porta nel programma di Analisi già nell'ultimo anno del Liceo Scientifico e negli esami di Analisi 1 o Matematica 1 delle facoltà scientifiche,  che però, a ben vedere, non nacque per essere applicato a funzioni bensì Rolle trovò il teorema, che oggi porta il suo nome, nel quadro delle ricerche finalizzate ad ottenere un metodo di risoluzione numerica per le equazioni di grado qualsiasi. 
Il suo obiettivo era infatti quello di localizzare le radici di un polinomio p(x), cioè trovare intervalli della retta reale all’interno dei quali si è certi dell’esistenza di una o più radici del polinomio. 
Tant'è che Rolle pubblicò nel 1691 un opuscolo dedicato alla dimostrazione del metodo, la "Démonstration d’une methode pour resoudre les égalitez de tous les dégrez".
Le equazioni considerate da Rolle erano a coefficienti reali ed il metodo era propedeutico al calcolo delle radici reali, mentre un’estensione al caso complesso fu enunciata molto tempo dopo da Gauss, nel 1816.

Ma lasciamo stare il Teorema di Rolle e vediamo invece un'altra curiosità, forse meno conosciuta, ma sempre legata al grande matematico francese.
Dalla sua biografia leggiamo che Michel Rolle (Ambert, 21 aprile 1652 – Parigi, 8 novembre 1719) era figlio di un mercante e che ricevette solo un'istruzione molto elementare, lavorando prima come trascrittore per un notaio e poi per vari avvocati nella sua regione natale, l'Alvernia. 
All'età di ventitré anni si trasferì a Parigi, sposato presto e gravato di una famiglia, aveva però difficoltà a guadagnare abbastanza soldi come maestro, scriba e inventore. 
Dotato comunque di genialità e avendo imparato da autodidatta l'analisi algebrica e diofantea, nel 1682 pose fine alle difficoltà economiche, perché ottenne un vitalizio da Jean-Baptiste Colbert per aver risolto uno dei problemi di Jacques Ozanam. 

"Trouver quatre nombres tels que la différence de deux quelconques fait un quarré et que la somme des deux quelconques des trois premiers soit encore un quarré"

(Trovare quattro numeri tali che la differenza di due qualsiasi sia un quadrato e che la somma di due qualsiasi dei primi tre sia ancora un quadrato)

Il problema posto da Ozanam era quello di trovare una super quadrupla a, b, c, d, vale a dire nel trovare quattro numeri tali che la differenza di due qualunque di essi fosse un quadrato perfetto e la somma di due qualunque dei primi tre fosse anch’essa un quadrato perfetto.

Oggi la risoluzione formale utilizza funzioni ellittiche
Immagine © Gerard Villemin

Anche se Ozanam aveva affermato che tali numeri, molto rari, avrebbero potuto essere formati da almeno 50 cifre e che imporre una somma quadrata fosse una vera sfida, Michel Rolle trovò una tale quadrupla, i cui quattro numeri avevano sette cifre e nel "Journal des sçavans", il 31 agosto 1682, venne pubblicata un'elegante soluzione al difficile problema posto pubblicamente da Ozanam.
Nell'articolo dal titolo "PROBLEME RESOLU PAR LE SIEUR Rolle professeur d'arithmetique" si fornisce una delle soluzioni date da Rolle, in cui i quattro numeri sono espressi da polinomi omogenei in due variabili e di grado venti, le cui radici vengono determinate attraverso il suo metodo a cascata.

Articolo (pag.285) del "Journal des sçavans" del 31 agosto 1682 

I numeri trovati in questo modo hanno appunto solo sette cifre e Rolle specifica che la quadrupla è quindi formata dai seguenti 4 numeri:

2.399.057
2.288.168
1.873.432
6.560.657

Come si vede dalla copia digitale (in Gallica) del giornale dell'anno 1682 si tratta di un breve articolo che inizia alla fine di pag 284 e finisce all'inizio di pag 286, ed è collocato tra un articolo sull'"ELOQUIENTIAE FORENSIS..." e uno "DE L'AME DES PLANTES...".

Fatto sta che questo brillante exploit portò a Rolle un riconoscimento pubblico e il vitalizio ricevuto da Colbert gli diede la possibilità di proseguire nei suoi studi matematici, di pubblicare le sue scoperte e di ricevere vari incarichi. 
Rolle in seguito godette del patrocinio del ministro Louvois, lavorò come insegnante di matematica elementare, ed ebbe anche un incarico amministrativo a breve termine nel Ministero della Guerra. Nel 1685 si unì all'Académie des Sciences in una posizione di livello molto basso per il quale non ricevette uno stipendio regolare fino al 1699, quando Rolle fu promosso ad una posizione salariata nell'Academia, divenendo "pensionnaire géometre", posto ambito dato che solo 20 dei 70 membri dell'Accademia, erano pagati.
Tra gli accademici di spicco, come "pensionnaire géometre", c'erano oltre a Rolle, l'abate Jean Gallois, un sostenitore della matematica greca, Pierre Varignon, che caldeggiò le idee di Leibniz. e Guillaume François Antoine de L'Hospital, un accademico onorario, che nel 1696 aveva pubblicato "Analyze des infiniment petits". 
Sebbene fosse la sua abilità nell'analisi diofantea a rendere la reputazione di Rolle, la sua area preferita era l'algebra delle equazioni, di cui pubblicò nel 1690 il "Traité d'algèbre", la sua opera più famosa.

Rolle osteggiò in un primo tempo l'analisi infinitesimale, per cui anche l'Accademia era molto divisa, ma nell'autunno del 1706 riconobbe pienamente a Varignon, Fontenelle e Malebranche, il valore delle nuove teorie infinitesimali.
Resterà a l'Académie des Sciences di Parigi fino alla morte avvenuta, dopo un secondo ictus (nel 1708 subì un primo attacco di apoplessia) l'8 novembre 1719. 
Si spegneva così all'età di 67 anni, l'abile algebrista che rompeva con le tecniche cartesiane e che nonostante la sua posizione critica ai metodi infinitesimali ne fu un valido interprete e futuro protagonista.

I quadrati magici tra matematica, arte e leggenda

"Capire tu mi devi!
Di Un fai Dieci, getta via il Due,
uguaglia il Tre, e sarai ricco.
Che crepi il Quattro!
Di Cinque e Sei, dice la strega, fai Sette e Otto.
È tutto fatto. Se Nove è Uno, Dieci è nessuno.
Questa è la tabellina della strega!" 
(Johann Wolfgang von Goethe)¹ 

Cosa c'è di così magico nel Quadrato Magico?
I quadrati magici sono chiamati "magici" perché ogni riga, colonna e diagonale nel quadrato ha la stessa somma, chiamata la costante magica, dove somma è il termine che usiamo per definire l'operazione di addizione dei numeri nel quadrato.

"Panquadrato" 64x64 di Ugo Adriano Graziotti - 1983

Prima di addentrarmi nella spiegazione da un punto di vista strettamente matematico racconterò un po' di storia e mi soffermerò a parlare di tre curiosi quadrati: il quadrato magico di Lo Shu,  quello non proprio magico della Sagrata Familia, per concludere con il Panquadrato di Adriano Graziotti.

I quadrati magici hanno una storia molto antica e già gli antichi Cinesi, intorno al 650 a.C., conoscevano l’unico quadrato di ordine 3, che chiamarono Lo Shu.

Il quadrato magico "Lo Shu"

Secondo un'antica leggenda cinese, si dice che il primo quadrato magico sia stato trovato sul dorso di una tartaruga e questa storia è la prima documentazione scritta di un quadrato magico.. 
Questa leggenda risale al 650 a.C., ai tempi delle grandi inondazioni in Cina, secondo la quale la disastrosa piena del fiume Lo, causata dall’ira dal dio del fiume contro la popolazione, ebbe fine solo con la comparsa di una tartaruga.
Racconta che un giorno l'imperatore Yu (夏禹), che camminava lungo il fiume Lo (洛河), notò una tartaruga che usciva dall'acqua con strani segni sul dorso e, dopo un attento esame, scoprì che i segni rappresentavano dei numeri, e che il modello formava un quadrato magico.
La tartaruga che emerse dal fiume aveva infatti un insolito motivo 3 x 3 sul suo guscio che in seguito divenne la base del "Lo Shu Square", una griglia matematica in cui la somma dei numeri di ogni riga, colonna o diagonale è la stessa. 
Indipendentemente dalla direzione in cui si considerano i numeri, orizzontale, verticale o diagonale, la loro somma porta sempre a 15.
Lu rimase sbalordito e decise di chiamare la tartaruga "Lo Shu". "Lo" è il nome del fiume e "Shu" significa libro, testo o pergamena, quindi il nome può essere tradotto come "Il libro del fiume Lo". 

Il numero 15 è considerato un numero potente perché corrisponde al numero di giorni in ciascuno dei 24 cicli dell'anno solare cinese. In altre parole, è il numero di giorni nel ciclo della luna nuova fino alla luna piena.
Il "Lo (Luo) Shu Square", a volte chiamato il Magic Square, è anche alla base dell'antica astrologia del Feng Shui , della scuola di Xuan Kong Fei Xing , così come dell'I-Ching.  
Come si vede dall'immagine, nel "Lo Shu Square" il numero 5 è al centro, con numeri dispari e pari che si alternano alla sua periferia.

I quattro numeri pari - 2,4,6,8 - sono ai quattro angoli del quadrato, mentre i cinque dispari - 1,3,5,7,9 - formano una croce al centro, intorno al numero 5 (五wu) che richiama i 5 elementi che, secondo la tradizione, compongono l’universo (acqua, metallo, legno, fuoco e terra). 
I numeri dispari, simboli di luce, trasportano l'energia Yang, e i numeri pari, simboli di ombra, quella Yin, quindi nel "Lo Shu Square" i numeri Yin e Yang si alternano attorno al suo numero centrale 5.
I numeri nel "Lo Shu Square" sono un'espressione di energie specifiche e a loro vengono attribuite proprietà specifiche. 
Ad esempio, il numero 9 (九jiu) suona come la parola eternità. Gli antichi cinesi consideravano il 9 l’ultimo numero degli uomini dal momento che i numeri dal 10 in poi appartenevano al cielo. Per questo il nove fu in età imperiale un numero ad uso esclusivo dell’imperatore: le stanze della città proibita (la residenza dell’Imperatore a Pechino) sono proprio 9.999. mentre il numero 1 (一 yi) rappresenta l’onore, la leadership e lo sviluppo permanente.
La numerologia cinese trova infatti le sue radici nella tradizione taoista ed è chiaramente spiegata nel Classico dei Mutamenti, I Ching o Yi Jing (易經 Yìjīng), un antico testo di divinazione cinese e il più antico del classici cinesi, uno dei 5 classici confuciani su cui si basa la cultura tradizionale cinese. 
Tradizione che considera appunto i numeri dispari simboli di luce e uomo (yang) e i numeri pari di ombra e femmina (yin).²
La configurazione del "Lo Shu Square" era considerata comunque simbolo di armonia ed era un modello importante per il tempo e lo spazio e serviva da base per la pianificazione della città, la progettazione di tombe e di templi. Il quadrato magico è stato usato per designare gli spazi di importanza politica e religiosa. 

Il quadrato magico Lo Shu sul retro di una piccola tartaruga (al centro), circondata dai segni dello zodiaco 

cinese e dagli otto trigrammi, tutti portati da una grande tartaruga (che, presumibilmente, rappresenta

 il cavallo del Drago che in precedenza aveva rivelato i trigrammi di Fu Xi). 

Disegnato da un anonimo artista tibetano.

Se vogliamo definire  più rigorosamente un quadrato magico allora possiamo considerarlo come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia, che si calcola con la formula:

M(n) = ½ n (n² + 1)

Allora il nostro quadrato magico "Lo Shu" può definirsi come una matrice quadrata di numeri interi positivi di ordine n = 3, la cui costante di magia vale:

M(3) = ½ ∙ 3 (3² + 1) = 3/2 ∙ 10 = 15

Script originale di Shams al-Ma'arif

Breve storia

Noti anche in India e in Persia, i quadrati magici giunsero in Europa relativamente tardi, attraverso la traduzione di fonti arabe, prima dalle opere del filosofo ed astrologo ebreo Abraham ben Meir ibn Ezra (ca. 1090–1167), che potrebbe essere stato uno dei primi pionieri dell’introduzione dei quadrati magici in Europa e poi, come elementi occulti, nel Rinascimento.
Abraham ben Meir tradusse infatti molte opere dall’arabo in ebraico e dalla Spagna, dove visse a Granada, giunse in Italia con molti viaggi diffondendo così le sue opere anche relative ai quadrati magici. 
La vera riscoperta dei quadrati magici in Europa avvenne però nel Quattrocento, con lo sviluppo in Italia del neoplatonismo rinascimentale, periodo in cui la teoria generale dovette essere riscoperta indipendentemente dai precedenti sviluppi in Cina, India e Medio Oriente.
Le correnti numerologiche sfociarono in una rinascita degli studi matematici, persino in persone lontane da tentazioni occultistiche, come Luca Pacioli (1445 - 1517), che tuttavia chiamò “divina” la famosa proporzione. 

Sator³ esempio di quadrato magico letterale

Paracelso lo considerava un talismano erotico e  Girolamo Cardano , 

nel suo "De rerum variegate", un rimedio contro la rabbia

Il Sator di Capestrano che risale al VIII sec. d.C. è una incisione (misteriosamente) rovesciata 

su una lastra infissa a circa due metri da terra nella facciata della chiesa romanica

 di San Pietro ad Oratorium di Capestrano

Pacioli si occupò di quadrati magici, nel manoscritto "De viribus quantitatis", redatto  presumibilmente tra il 1496 e il 1508, dove associò i diversi quadrati magici ai pianeti allora conosciuti, secondo una tradizione già iniziata prima del loro arrivo in Europa. 
Un vero e proprio "mago" rinascimentale fu il medico, algebrista, inventore e astrologo pavese Girolamo Cardano (1501 - 1576), e il "mago" d'oltralpe Cornelio Agrippa di Nettesheim (1486–1535) che nell’edizione del 1533 della sua opera "De Occulta Philosophia" descrive i quadrati magici nel secondo libro, dedicato alla magia celeste, cioè al potere delle stelle e dei pianeti. 

Di ogni quadrato magico, Agrippa fornisce la descrizione in chiave planetaria, secondo il seguente schema:
Ordine 3: quadrato di Saturno
Ordine 4: quadrato di Giove
Ordine 5: quadrato di Marte
Ordine 6: quadrato del Sole
Ordine 7: quadrato di Venere
Ordine 8: quadrato di Mercurio
Ordine 9: quadrato della Luna.

Sempre di questo periodo rinascimentale è il famoso quadrato magico 4x4 che Albrecht Dürer  (1471 - 1528) immortalò nel 1514 nella sua incisione Melencolia I, che si crede essere il primo visto nell'arte europea. 
Su questo però non mi soffermerò, avendone già parlato in un precedente articolo completamente dedicato al grande artista "Albrecht Dürer, dalla magia alla matematica" (di cui lascio qui il link per la curiosità del lettore). preferendo invece parlare di uno più discusso recentemente, sempre 4x4, quello posto sulla facciata della Passione della Sagrada Família a Barcellona. 

Il quadrato di Subirachs 

sulla facciata della Passione della Sagrada Família³ a Barcellona

Il quadrato "non magico" di Subirachs 

La facciata della Passione della Sagrada Família⁴ a Barcellona, ideata da Antoni Gaudí (1852 - 1926) e progettata dallo scultore Josep Subirachs (1927 - 2014), presenta un quadrato 4 × 4 la cui costante è 33, l'età di Gesù al tempo della Passione. 
Strutturalmente, è molto simile al quadrato magico in Melancholia 1 di Albrecht Dürer, ma riporta i numeri in quattro delle celle ridotti di 1

Parallelo tra il quadrato di  Josep Subirachs e quello del Albrecht Dürer

E' facile anche notare che pur avendo lo stesso schema di sommatoria, questo non è un vero quadrato magico (non è un quadrato magico normale) perché non rispetta la regola che un quadrato magico n x n debba contenere ciascuno degli interi positivi da 1 a n². dato che due numeri (10 e 14) sono duplicati e due (12 e 16) sono assenti. 
Subirachs prese il quadrato magico dall'incisione del pittore tedesco Albrecht Dürer, Melencolia I , e lo adattò, ripetendo i numeri 14 e 10 invece di 12 e 16, per arrivare fino a 33, l'età in cui si ritiene tradizionalmente che Gesù sia stato giustiziato. 
Tradizionalmente creduto perché, storicamente, questo non è mai stato confermato, tuttavia è vero che 33 è anche un numero simbolico, e non del tutto casuale, basato sull'importanza del numero 3 nel mondo cristiano, come simbolo della trinità.
Inoltre, nel quadrato della Sagrada Familia, c'è anche una sorta di firma subliminale nascosta. Sommando i numeri che si ripetono e guardando la loro corrispondenza nell'alfabeto romano, otteniamo le iniziali INRI, l'acronimo che significa Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum (Gesù di Nazareth, re degli ebrei) ed è il segno che Ponzio Pilato scrisse sulla croce di Gesù e qui, la sua firma.
I numeri che compaiono due volte sono infatti 10 e 14 e la loro somma è 10+10+14+14 = 48.
Ma 48 è anche la somma delle lettere della parola INRI (nell'alfabeto latino).
INRI = 9+13+17+9 = 48.

Dopo i brevi cenni storici e dopo aver parlato di questi due quadrati, magici e non, per soddisfare la curiosità lascio alcune considerazioni matematiche legate a questi quadrati (altre e più dettagliate potreste trovarle qui).

Alcune considerazioni matematiche sul Quadrato Magico

Un quadrato magico è una disposizione di numeri interi in forma di tabella quadrata in cui siano rispettate due condizioni:
- i valori siano tutti distinti tra loro 
- la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna, e in entrambe le diagonali, dia sempre lo stesso risultato, denominato "costante di magia" del quadrato (o "costante magica", o "somma magica"). 
In matematica, una tabella di questo tipo è detta matrice quadrata. In modo analogo a quanto avviene con queste ultime, il numero di righe (o di colonne) è detto "ordine" del quadrato magico.
Quindi possiamo definire più rigorosamente un quadrato magico come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia.

Costante di magia 

La costante che è la somma di qualsiasi riga, colonna o diagonale è chiamata "costante magica" o "somma magica", M. 
Ogni quadrato magico normale ha una costante dipendente dall'ordine n, calcolato dalla formula:

Questa può essere dimostrata notando che la somma di 1+2+...+n² è n²(n² +1)/2
Poiché la somma di ogni riga è M, la somma delle somme di riga è nM = n²(n² +1)/2, che diviso per l'ordine n produce la costante magica. 
Per i normali quadrati magici di ordine n = 3, 4, 5, 6, 7 e 8, le costanti magici sono, rispettivamente: M = 15, 34, 65, 111, 175, e 260 (sequenza A006003 in OEIS ). 

Proprietà

- Il quadrato magico di ordine 1 è banale 

Il quadrato magico 1 × 1, con una sola cella contenente il numero 1, è chiamato banale , perché tipicamente non viene preso in considerazione quando si discutono i quadrati magici; ma è effettivamente un quadrato magico per definizione, se consideriamo una singola cella come un quadrato di ordine uno.

- Il quadrato magico di ordine 2 non può essere costruito 

I normali quadrati magici di tutte le dimensioni possono essere costruiti ad eccezione di 2 × 2 (cioè, dove l'ordine n = 2).

Numero di quadrati magici di un dato ordine 
Escludendo rotazioni e riflessioni, quante configurazioni hanno i quadrati magici?

- 1 sola configurazione del quadrato magico 3 × 3
Del quadrato magico di ordine 3 [M(3)=15] è possibile una sola configurazione. Eccone un esempio (ruotato rispetto al "Lo Shu"):

- 880 configurazioni del quadrato magico 4 x 4 
Del quadrato magico di ordine 4 [M(4)=34] sono possibili 880 configurazioni diverse senza rotazione o riflessione, come stabilì per primo Frénicle de Bessy nel 1693. Ecco un esempio  molto simile al famoso quadrato magico del Durer (le due colonne centrali sono state invertite)

- 275.305.224 configurazioni dei quadrato magico 5 x 5
Del quadrato magico di ordine 5 [M(5)=65] sono possibili 275.305.224 configurazioni diverse, come stabilito da R. Schroeppel nel 1973 con l’ausilio del computer. Eccone un esempio:

- Per il caso 6 × 6, si stima che siano circa 1,8 × 10^19 configurazioni, come stabilito statisticamente da Pinn e Wieczerkowski nel 1998. Eccone un esempio: 

- Per il caso n?
Non è stata determinata la regola che consenta di stabilire il numero di quadrati magici di un qualsiasi ordine n.


Alcune trasformazioni che preservano la proprietà magica
(altre trasformazioni più dettagliate qui) 

- Ciascun quadrato magico rimane magico se ruotato di 90°, 180° o 270° gradi, oppure se viene riflesso rispetto all’asse orizzontale, verticale e a ciascuna delle sue diagonali.

- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri sono moltiplicati per qualsiasi numero fisso k e avrà come costante magica kM(n)
Nell'esempio seguente gli elementi del quadrato di sinistra (M(4)=34) sono stati raddoppiati nel quadrato di destra (M(4)=68):

- Se aggiungiamo o sottraiamo la stessa quantità q a ciascun numero di un quadrato magico, otteniamo di nuovo un quadrato magico. Un quadrato magico normale a cui abbiamo aggiunto o sottratto q ha costante magica M(n) + nq o M(n) - nq.
Nell'esempio seguente a ogni elemento del quadrato magico normale di sinistra è stato aggiunto q=3 e quindi la costante magica del quadrato di sinistra risulta M(4)=34+4x3=46

- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri vengono aggiunti o sottratti da qualsiasi numero fisso. In particolare, se ogni elemento in un quadrato magico normale viene sottratto da n² + 1, otteniamo il complemento del quadrato originale. Nell'esempio seguente, gli elementi del quadrato 4 × 4 a sinistra (M(4)=34) vengono sottratti da 17 (4²+1) per ottenere il complemento del quadrato a destra (M(4)=34) 

Il Panquadrato di Adriano Graziotti

Concludo questo breve excursus sui quadrati magici, che per secoli hanno affascinato matematici e artisti, parlando dell'opera che ho usato per aprire questo post.
Si tratta del "Panquadrato" un'opera molto intrigante del matematico, pittore e scultore italiano Ugo Adriano Graziotti (1912 - 2000), che è considerato il più grande quadrato magico ed è entrato, a buon diritto nei Guinnes dei primati.

Dettaglio del Panquadrato di Graziotti

E' un quadrato magico di ordine 64 che comprende tutti i numeri naturali da 1 a 4096 e la cui costante magica è: 

M(64) = ½ ∙ 64(64² + 1) = 32 ∙ 4097 = 131.104

Oltre a risultare dalla somma dei numeri delle righe, colonne e diagonali, la costante magica 131 104, è data anche dalla somma dei numeri che compongono le raffigurazioni simmetricamente distribuite nel quadrato: 4 labirinti, 4 semidiagonali, 4 greche, 4 vampiri e i 2 bracci della croce centrale. 
Si ottengono cosi 18 "sottoquadrati" aventi la stessa costante del quadrato principale. 
Il numero 87, nell'ultima casella in basso a destra, è la criptica firma dell'artista: infatti le iniziali "H" e "G" di Hadrianus Graziotti corrispondono rispettivamente all'ottava e settima lettera dell'alfabeto. Il numero accanto, 2736, è l'anno di esecuzione del quadrato secondo il calendario dell'antica Roma: esso è dato dalla somma di 1983, anno di composizione del lavoro, e 753 a.C., anno della fondazione dell'Urbe. 
Complesso da descrivere, davvero geniale da concepire rientra tra le opere che l'artista dedicò alla sua passione matematica, e quello dei quadrati magici fu uno dei temi di ricerca sulla arcaica scienza che più appassionò Graziotti. 



Note

¹Filastrocca dell'Antro della Strega che possiamo leggere nel Faust, il celeberrimo poema dello scrittore tedesco Johann Wolfgang von Goethe. 
Questa filastrocca si presta ad una interpretazione matematica e può essere letta infatti come un algoritmo per costruire un quadrato magico a partire dai numeri naturali da 1 a 9.
La filastrocca in tedesco recita: 
"Du mußt verstehn!
Aus Eins mach’ Zehn, Und Zwei laß gehn,
Und Drei mach’ gleich, So bist Du reich.
Verlier’ die Vier!
Aus Fünf und Sechs, So sagt die Hex’, Mach’ Sieben und Acht,
So ist’s vollbracht. Und Neun ist Eins, Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexen-Einmal-Eins!"

² Istituto Confucio dell'Università di Torino 

³ Il Sator è un’iscrizione in latino, che appaia come lapide o come graffito, apparentemente semplice ed elegante, fatta di lettere anziché di numeri, una lastra di pietra su cui sono incise cinque parole latine di cinque lettere ciascuna che formano una frase palindroma "Sator Arepo Tenet Opera Rotas", leggibili in direzioni orizzontali e verticali (manca la direzione obliqua presente dei quadrati magici numerici). 
Il testo, ancora oggi senza una chiara spiegazione, significa "Il seminatore sul carro conduce con cura le ruote".
Ma il motto racchiude in sé molte particolarità. Innanzi tutto: la terza parola, TENET, è palindroma, ossia può essere letta in entrambi i sensi. Inoltre se prendiamo la frase nella sua interezza anch’essa risulta sorprendentemente palindroma. Partendo dall’ultima parola: ROTAS, letta al contrario risulta SATOR, come la prima. La penultima, OPERA, risulta AREPO, come la seconda, e così via. 
Il quadrato Sator forse più antico è il quadrato scoperto a Pompei nel 1936 dall’archeologo ed epigrafista italiano Matteo Della Corte, 
Il Sator è anche detto Latercolo pompeiano proprio perché i due più antichi esemplari ad oggi noti emersero in Italia, appunto negli scavi di Pompei, città sepolta dall’eruzione del Vesuvio nel 79 d.C., anche se molti altri vennero collocati su chiese ed edifici soprattutto fra il 1000 e il 1800 e sono visibili su un numero sorprendentemente vasto di reperti archeologici.
Altre curiosità esoteriche e religiose qui

⁴ La Sagrada Família, nome completo in lingua catalana Temple Expiatori de la Sagrada Família (Tempio espiatorio della Sacra Famiglia) di Barcellona, Catalogna (Spagna) è il capolavoro di Antoni Gaudí, architetto catalano, definito l'architetto di Dio.
Nel 1866 nacque l'Associació Espiritual de Devots de Sant Josep (Associazione spirituale dei devoti di San Giuseppe), con l'intento di promuovere la fabbricazione di un tempio dedicato alla Sacra Famiglia. Tramite le donazioni che riceveva, l'associazione comprò il terreno su cui ora sorge la chiesa nel 1881 e in seguito si apprestò alla costruzione.
L'incarico fu affidato ad Antoni Gaudí nel 1884. Egli lavorò al progetto e seguì i lavori di costruzione per oltre 40 anni, dedicando completamente a questa impresa gli ultimi 15 della sua vita.
Dal 1940 gli architetti Francesco Quintana, Puig Boada, e Lluis Gari hanno portato avanti i lavori. Le sculture di J. Busquets e del controverso ma possente Josep Subirachs decorano le fantastiche facciate.
La costruzione della chiesa è tutt'oggi finanziata dalle donazioni all'associazione e i lavori procedono lentamente, anche a causa delle difficoltà del progetto. Numerosi edifici circostanti dovrebbero essere abbattuti per far posto alla scalinata principale.
La Sagrada Familia non è stata ancora finita e i responsabili assicurano che sarà terminata nel 2026 e si prevede che al suo completamento possa essere la più grande basilica del mondo.


Fonti
https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
https://www.thespruce.com/feng-shui-magic-of-the-lo-shu-square-1274879
https://it.wikipedia.org/wiki/Sagrada_Fam%C3%ADlia