Il tema del Carnevale di aprile 2024 tenuto da MaddMaths!, "Matematica inesauribile", mi ha fatto immediatamente pensare ai Teoremi di Incompletezza di Gödel che penso forniscano una nozione precisa di inesauribilità, proprio perché in definitiva affermano che le teorie possono essere estese all'infinito con asserzioni di coerenza e che qualsiasi teoria può essere estesa al punto da produrre una teoria decisamente più forte.
In proposito Torkel Franzén ha scritto un libro interessante, "Inexhaustibility - A Non-Exhaustive Treatment - Lecture Notes in Logic" dove dimostra proprio che la nostra conoscenza matematica è inesauribile e dove l'inesauribilità della conoscenza matematica viene trattata sulla base del concetto di progressioni transfinite delle teorie concepito da Turing e Feferman.
Non voglio addentrarmi nel concetto di progressioni transfinite, che lascio alla trattazione di un interessante .pdf, ma solo ricordare che i Teoremi di Incompletezza di Gödel oltre a essere tra i risultati più significativi nella fondazione della matematica, hanno altresì aperto a nuove trattative filosofico/matematiche sull'inesauribilità.
Com'è noto i Teoremi di Incompletezza di Gödel sono due teoremi della logica matematica che riguardano i limiti della dimostrabilità nelle teorie assiomatiche formali.
Questi risultati, pubblicati da Kurt Gödel nel 1931, sono importanti sia nella logica matematica che nella filosofia della matematica.
I teoremi principalmente dimostrano che il programma di David Hilbert, per trovare un insieme completo e coerente di assiomi per tutta la matematica, è impossibile.
David Hilbert (1862 - 1943)
La teoria della dimostrazione non è una materia inventata per sostenere una dottrina formalista nella filosofia della matematica, ma piuttosto, è stata sviluppata come un tentativo di analizzare aspetti dell'esperienza matematica per isolare e possibilmente superare, problemi metodologici nei fondamenti della matematica.
Le origini di questi problemi, formulati con forza e talvolta in modo controverso negli anni '20, sono rintracciabili già nella trasformazione della matematica nel diciannovesimo secolo, con l’emergere della matematica astratta, il suo affidamento su nozioni di teoria degli insiemi e la sua attenzione alla logica in un contesto ampio e fondamentale.
Questioni sostanziali emersero già nei lavori matematici e nei saggi fondamentali di Richard Dedekind e Leopold Kronecker e riguardavano la legittimità di concetti indecidibili, l'esistenza di infiniti oggetti matematici e il senso delle prove non costruttive di asserzioni esistenziali.
Nel tentativo di mediare tra posizioni fondative contrastanti, Hilbert spostò le questioni, già intorno al 1900, da un livello matematico a un livello metamatematico vagamente concepito.
Questo approccio venne rigorosamente realizzato appunto negli anni ’20, quando egli approfittò della possibilità di formalizzare la matematica in sistemi deduttivi e indagò i quadri formali sottostanti da un punto di vista strettamente costruttivo, "finitista".
L'approccio di Hilbert sollevò affascinanti questioni metamatematiche: dalla completezza semantica alla decidibilità meccanica fino all'incompletezza sintattica.
Tuttavia, la soluzione matematica sperata dei problemi fondamentali non fu raggiunta e il fallimento del suo programma di coerenza finitista sollevò e approfondì questioni metodologiche altrettanto affascinanti.
Una gamma più ampia di problemi con soluzioni solo parziali ha creato un argomento vivace che abbraccia questioni computazionali, matematiche e filosofiche, con una ricca storia.
In un sistema matematico, pensatori come Hilbert credevano infatti che fosse solo questione di tempo trovare una tale assiomatizzazione che permettesse di provare o confutare (dimostrandone la negazione) ogni formula matematica.
Il problema era se esistessero teorie incomplete (e necessariamente coerenti) ovvero basate su affermazioni che non potessero essere dimostrate né vere né false. Tra queste c’è l’aritmetica, per cui tutta la matematica che usa l’aritmetica rientra tra le teorie incomplete.
Kurt Gödel (1906 - 1978)
Nel 1931 il matematico e logico austriaco Kurt Gödel pubblicò un articolo che mostrava che esistono affermazioni aritmetiche vere che non possono essere dimostrate nel sistema formale dei Principia Mathematica, assumendo che Principia Mathematica fosse coerente, e i suoi metodi non si applicavano solo ai Principia ma a qualsiasi sistema formale che contenesse un minimo di aritmetica.
Un paio di mesi dopo che Gödel aveva annunciato questo risultato in una conferenza a Königsberg nel settembre 1930, dove John von Neumann aveva altresì parlato del formalismo descrivendo il programma di Hilbert come la ricerca di una dimostrazione di conservatività dei concetti transfiniti rispetto a quelli finiti¹, John von Neumann e lo stesso Gödel si resero conto, indipendentemente, che dal teorema di incompletezza si poteva trarre un sorprendente corollario.
"Ogni teoria coerente ed effettivamente assiomatizzata che consenta lo sviluppo di parti fondamentali dell’aritmetica non può dimostrare la propria coerenza."
Questo divenne noto come il secondo teorema di incompletezza.
Il secondo teorema di incompletezza confutava le ambizioni generali del programma di Hilbert.
In risposta al risultato di Gödel, Hilbert tentò, nel suo ultimo articolo pubblicato, di formulare una strategia per prove di coerenza che ricordava le sue considerazioni dei primi anni '20 (quando pensava alle teorie degli oggetti come costruttive) ed estendeva chiaramente il punto di vista finitista.
Riassumendo il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che nessun sistema coerente di assiomi i cui teoremi possano essere elencati mediante una procedura efficace (come un algoritmo) è in grado di dimostrare tutte le verità sull'aritmetica dei numeri naturali.
Vale a dire che per qualsiasi sistema formale coerente di questo tipo, ci saranno sempre affermazioni sui numeri naturali che sono vere, ma che non sono dimostrabili all'interno del sistema.
Il secondo teorema di incompletezza, estensione del primo, mostra che il sistema non può dimostrare la propria coerenza.
In sintesi Gödel dice che possono esserci delle proposizioni matematiche vere ma non dimostrabili e l'incompletezza riguarda la dimostrabilità.
Ad esempio la congettura di Riemann non ha ancora dimostrazione. Ma esiste?
La congettura di Goldbach da secoli attende una dimostrazione. Ma esiste?
L'ultimo teorema di Fermat fino a una trentina di anni fa era senza dimostrazione (cioè era una congettura) ma poi è stata trovata da Andrew Wiles!
Fin qui è tutto chiaro?
Forse non del tutto perché principalmente bisognerebbe spiegare cosa sia la logica.
La logica è un modo ordinato per dimostrare una cosa partendo da un'altra e questo si chiama presupposto di base, o assioma.
Gli assiomi non li dimostriamo ma li accettiamo perché sembrano ragionevoli o utili per un determinato scopo. Dopo aver deciso gli assiomi, dobbiamo anche accordarci sulle regole di inferenza logica, e poi possiamo trarre conclusioni in modo semplice: ogni conclusione o è essa stessa un assioma, oppure segue direttamente dalle conclusioni precedenti tramite una delle regole di inferenza.
Questo metodo di indagine, il "metodo assiomatico", è antico e sebbene non ci permetta di conoscere le cose "con assoluta certezza", ci rende almeno più facile scoprire esattamente su cosa ci basiamo quando affermiamo qualcosa: quali sono gli assiomi alla base dell'asserzione e quali sono le regole di inferenza logica che abbiamo utilizzato per passare da un'asserzione all'altra.
Un noto dialogo di Lewis Carroll, "What the Tortoise Said to Achilles" ("Ciò che la tartaruga disse ad Achille") dimostra però che anche la seconda componente del metodo, le regole di inferenza, non è immune da dubbi.
Scritto da Lewis Carroll (pseudonimo di Charles Lutwidge Dodgson, che oltre a scrivere le celebri quanto un po' ambigue e inquietanti favole di Alice, era, oltre che un illustre fotografo britannico, un matematico e un logico) nel 1895 per la rivista filosofica Mind, è un breve dialogo allegorico sui fondamenti della logica.
Il titolo allude a uno dei paradossi del movimento di Zenone, in cui Achille non avrebbe mai potuto superare la tartaruga in una corsa.
Nel dialogo di Carroll, la tartaruga sfida Achille a usare la forza della logica per fargli accettare la conclusione di un semplice argomento deduttivo. Alla fine Achille fallisce, perché l'astuta tartaruga lo conduce in una regressione infinita.
Il dialogo di Carroll è apparentemente la prima descrizione di un ostacolo al "convenzionalismo" sulla verità logica e dimostra che esiste un problema regressivo che nasce dalle deduzioni del modus ponens².
In generale, il metodo genera solo un elenco sempre crescente di affermazioni vere, ma mai la conclusione. Quindi possiamo andare avanti all’infinito senza arrivare alla conclusione. In questo senso, si tratta di un "regresso infinito", anche se il termine "regresso" potrebbe non sembrare del tutto appropriato e non credo che Lewis l'abbia usato.
Più semplicemente Carroll ha dimostrato che il fatto di avere assiomi, anche i migliori e più perfetti, non è sufficiente per determinare la verità in un sistema logico, poiché bisogna anche stare molto attenti alla scelta delle regole di inferenza.
Concludendo i teoremi di incompletezza di Gödel hanno dimostrato che la matematica è inesauribile?
A questa domanda faccio rispondere da Tullio Eugenio Regge matematico e fisico italiano :
Tullio Eugenio Regge (1931 - 2014)
"Neppure la matematica può considerarsi come un sistema chiuso e completo di assiomi e teoremi. Il mondo matematico è inesauribile, nessun insieme finito di postulati e di deduzioni potrà mai darci la risposta a tutte le domande. Il teorema di Gödel pose brutalmente fine a tutti i tentativi di condensare la matematica in una lista di assiomi da cui dovrebbe seguire la verità o la falsità di ogni sua asserzione. Se lo stesso linguaggio matematico che la fisica usa per descrivere il mondo rimane intrinsecamente incompleto, non è ragionevole attendersi che l'universo sia descrivibile a partire da un insieme finito di leggi naturali. A molti ripugna l'incompletezza della matematica e di riflesso quella della fisica, ma va detto che per le scienze esatte il teorema di Gödel non è affatto una sconfitta: al contrario, esso ci fornisce una spinta intellettuale verso sviluppi sempre più ampi e fecondi."
Note
¹ Ce ne parla Gabriele Lolli, uno dei maggiori esperti di logica e di filosofia della matematica, in un'interessante intervista del 2011
² Carroll affronta la regola più importante della logica del primo ordine, il modus ponens, che dice che se si assume un enunciato P, e se si assume anche l'enunciato condizionale "P implica Q" (o precedentemente dimostrato), allora l’enunciato Q stesso è una conseguenza logica e può quindi considerarsi dimostrato. Ciò che Achille impara è che il modus ponens deve essere prima concesso come regola di inferenza, altrimenti non si potrà mai raggiungere alcuna conclusione.
Se p implica q è una proposizione vera, e anche la premessa p è vera, allora la conseguenza q è vera o in notazione con operatori logici:
[(p->q)∧p]⊢q
dove ⊢ rappresenta l'asserzione logica, nota anche come sequente
