venerdì 1 febbraio 2019

Alicia Boole...dai politopi ai numeri politopici

"...voi che potete "vederlo" per davvero, un angolo, e contemplare l'intiera circonferenza di un Circolo nella beata regione delle Tre Dimensioni... come potrò mai render chiara a voi l'estrema difficoltà che incontriamo noi, in Flatlandia, per riconoscere le nostre rispettive configurazioni?" 
(Edwin Abbott Abbott, Flatlandia, Adelphi, 1998)

Premettendo che politopo non ha nulla a che vedere con i topi, questo simpatico termine, derivato dall’aggettivo greco πολύς cioè "molto" e τόπος cioè "luogo", mi dà anche l'occasione per parlare dei numeri politopici e di una matematica, Alicia Boole. 


"Alcuni cerchi" di Vassily Kandinsky, 1926
Nella terna di forme primarie (triangolo, quadrato, cerchio), il cerchio è l'indicazione più chiara 
per la quarta dimensione.

In matematica, un numero figurato è un numero intero che può essere rappresentato mediante uno schema geometrico e regolare.
Orbene intendendo per politopo d-dimensionale o d-politopo l'analogo di un poligono nel piano (d=2) e di un poliedro nello spazio usuale (d=3) generalizzato ad uno spazio euclideo reale, se lo schema è un politopo si ha un numero politopico. 
Più semplicemente dato che i poligoni si possono quindi anche chiamare 2-politopi e i poliedri 3-politopi, quindi un numero 2-politopico o poligonale è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poligono regolare e un numero 3-politopico o poliedrico è un numero figurato che può essere disposto a raffigurare un poliedro regolare.


Numeri 2-politopici esagonali ©Mauro Fiorentini
Numeri 3-politopici dodecaedrici ©Mauro Fiorentini

Prendendo come primo esempio quello dei numeri triangolari possiamo quindi definire:
"un numero triangolare Tn è un numero figurato che può essere rappresentato sotto forma di una griglia triangolare equilatera di elementi tale che ogni riga successiva contiene un elemento in più del precedente."
Più semplicemente, i numeri triangolari sono i numeri di palline che si possono disporre a triangolo e i numeri triangolari centrati sono i numeri di palline che si possono disporre a costituire triangoli uno intorno all’altro intorno a una pallina centrale.



Immagini ©Mauro Fiorentini

Elenco di numeri triangolari :
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120,136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431....

Non esiste limite alle categorie che possono essere definite mediante figure, esattamente come non esiste limite al modo di disporre palline sul piano o nello spazio: si può partire dai poligoni regolari, per arrivare a rettangoli sormontati da un triangolo o da un ettagono. 

Numeri 2-politopici stellari ©Mauro Fiorentini

Considerando i numeri politopici che corrispondono a forme con un alto grado di simmetria si ha:
in due dimensioni, ovvero 2-politopici, esistono tre categorie:
- i numeri poligonali, corrispondenti ai poligoni regolari
- i numeri poligonali centrati, corrispondenti ai poligoni regolari
- i numeri stellari.


in tre dimensioni, ovvero 3-politopici, abbiamo:
- i numeri platonici, corrispondenti ai cinque solidi platonici (tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro e icosaedro)
- i numeri platonici centrati, corrispondenti ai cinque solidi platonici
- i numeri tetraedrici troncati
- i numeri ottaedrici troncati
- i numeri dodecaedro-rombici
- i numeri dodecaedro-rombici di Haüy
- i numeri piramidali (II)
- i numeri piramidali centrati
- i numeri stella octangula

Numeri 3-politopici a stella octangula ©Mauro Fiorentini

Il concetto di numeri n-politopici può essere esteso a più dimensioni, anche se è alquanto difficile figurarseli!
In 4 dimensioni vi sono 6 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante categorie di 4-politopici:
- ipertetraedrici a 4 dimensioni
- ipercubici a 4 dimensioni
- iperottaedrici a 4 dimensioni
- 24-cella 
- 120-cella 
- 600-cella 

In 5 o più dimensioni vi sono solo 3 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante sequenze di numeri 5-politopici:
- ipertetraedrici a 5 dimensioni
- ipercubici a 5 dimensioni
- iperottaedrici a 5 dimensioni

Vorrei ricordare a questo punto che il termine politopo o meglio n-politopo, per definire uno spazio matematico a n dimensioni,  è stato coniato da Alicia Boole, la figlia di George Boole, il fondatore della logica matematica.


Alicia Boole Stott e i suoi politopi conservati all'Università di Groningen in Olanda

Alicia Boole, nata a Cork in Irlanda l'8 giugno 1860, era infatti la terza figlia di George Boole e di Mary Everest.
La mamma Mary, nata a Gloucester, in Inghilterra, colta e appassionata di matematica anche lei come il marito George, era nipote di quel Sir George Everest (1790-1866), matematico, geometra e cartografo, che eseguì un importante studio trigonometrico in India, Great Trigonometrical Survey, per cui in suo onore la Royal Geographical Society nel 1865 diede il suo nome al "Cima XV", la cima più alta del mondo (29.029 piedi, cioè 8.848 metri), nota appunto con questo nome. 
Mary, vissuta prima in Francia, rientrò in Inghilterra e alla morte del padre sposò il suo istitutore George Boole nel 1855. Andarono a vivere a Castle Road, vicino a Cork, in Irlanda ed ebbero cinque figlie destinate a essere ricordate nel mondo della cultura e soprattutto in ambito matematico.
La prima Mary Ellen Boole (1856-1900) sposò il matematico e scrittore Charles Howard Hinton (1853-1907), la seconda Margaret Boole (1858-1935) sposò Edward Taylor, uno dei padri fondatori dell'antropologia moderna, e fu la madre del fisico/matematico Geoffrey Ingram Taylor, Alicia Boole, la terza appunto conosciuta dai suoi amici come Alice è la matematica di cui parlerò, la quarta Lucy Everest Boole (1862-1905) divenne farmacista e la prima donna ad essere eletta membro dell'Institute of Chemistry, e l'ultima Ethel Lilian Boole (1864-1960) sposò Wilfrid Michael Voynich e divenne una nota scrittrice.
Curioso notare che Wilfrid Michael Voynich fu un rivoluzionario polacco, antiquario e bibliofilo, l'eponimo del manoscritto Voynich, di cui ho parlato nell'articolo sul numero primo di Belphagor, il numero 100000000000000666000000000000001. 
Questo intrigante primo palindromo, che ha un 1 per ogni estremità, 666, il numero della bestia nel mezzo e tredici zeri su ciascun lato che separa il 666 dalle unità, ha come simbolo una sorta di π invertito, che viene proprio dal famoso e contestato manoscritto Voynich.  


Foto di famiglia con Alicia in alto al centro ©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
Da sinistra a destra, dall'alto verso il basso: 
Margaret Taylor, Ethel L. Voynich, Alicia Boole Stott, Lucy E. Boole, Mary E. Hinton, Julian Taylor, 
Mary Stott, Mary Everest Boole, George Hinton, Geoffrey Ingram Taylor, Leonard Stott.

George Boole morì quando Alicia aveva solo quattro anni e, incapace di mantenersi senza un marito, la sua vedova Mary lasciò l'Irlanda con quattro delle sue cinque figlie per vivere a Londra. 
Lì divenne bibliotecaria al Queen's College, il primo college femminile in Inghilterra, e usò la sua conoscenza della matematica e dei metodi di insegnamento per agire come tutor non ufficiale per le studentesse. 
Tuttavia l'unica figlia che lasciò a Cork fu proprio Alicia, che fu allevata in parte da sua nonna, in parte dal suo prozio, e furono anni in cui si sentiva repressa e infelice, finché, a undici anni, andò a Londra, dove si unì a sua madre e alle sue sorelle. 
Anche se Alicia non ebbe un'istruzione formale, la matematica le fu insegnata da sua madre Mary. 
Questo non fu certo un insegnamento convenzionale in quanto Mary aveva le sue idee sull'insegnamento in generale e sull'insegnamento della matematica in particolare. 
Inoltre fu assistita in questa sua formazione matematica  anche dal cognato Charles Howard Hinton, che svolse un ruolo importante.
Hinton studioso dei metodi di visualizzazione geometrica delle dimensioni superiori, nonché di teosofia, e scrittore di romanzi scientifici, contribuì certo fortemente alle sue successive ideazioni degli n-politopi. 
Come nota di gossip ricordo che il "poliedrico" pensatore Charles Howard Hinton fu condannato per bigamia dopo aver sposato, oltre alla sorella Mary Ellen nel 1880, anche Maud Florence nel 1883.
Howard Hinton pubblicò il libro "Una nuova era di pensiero"  di cui Alicia Boole scrisse parte della prefazione e anche alcuni dei capitoli sulle sezioni dei solidi tridimensionali e la sua distribuzione fu promossa dalla stessa Alicia in quanto Hinton era andato con Mary Ellen in Giappone, dopo la sua condanna per bigamia. 
Alicia riuscì a dimostrare che esistono solo sei politopi regolari nella quarta dimensione e questi politopi erano stati elencati per la prima volta da Schläfli nel 1850 nel trattato che fu pubblicato nel 1901 dopo la sua morte.
I sei politopi regolari sono: l’ipercubo (o iperesaedro), l’ipertetraedro, l’iperottaedro, il 24-celle, il 120-celle ed il 600-celle.


I modelli di Alicia Boole Stott all'Università di Groningen in Olanda ©Museo universitario di Groningen 

Curiosa la descrizione di Geoffrey Taylor su come Alicia abbia scoperto i sei politopi regolari su quattro dimensioni:

"Il metodo di scoperta di Alice era tipicamente quello di una dilettante. Ha iniziato notando che un angolo in una normale figura quadridimensionale delimitata da tetraedri, per esempio, può avere solo 4 , 8 o 20 di essi che si incontrano in un punto perché una sezione di spazio tridimensionale vicino all'angolo in una posizione simmetrica poteva essere solo un tetraedro, un ottaedro o un icosaedro. Poi ha tracciato, usando solo la costruzione di Euclide, il progresso della sezione mentre la figura quadridimensionale passava attraverso il nostro spazio tridimensionale. In questo modo Alice, utilizzando solo le costruzioni di Euclide, ha prodotto sezioni di tutti e sei i politopi regolari."


Alicia Boole insieme a Pieter Hendrik Schoute  ©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
Da sinistra a destra, dall'alto verso il basso: 
Mary Stott, GI Taylor, Margaret Taylor, PH Schoute, A. Boole Stott 

Dopo il matrimonio con Walter Stott nel 1890 e la nascita di due figli, Mary e Leonard, condusse una vita di sacrifici e privazioni, ma non abbandonò mai i suoi studi e le sue ricerche sui politopi, tanto da interessare e stupire il matematico olandese Pieter Hendrik Schoute con il quale venne in contatto e a cui inviò le fotografie dei suoi modelli di cartone e legno per rappresentare le sezioni tridimensionali di solidi regolari convessi quadridimensionali, che lei appunto aveva chiamato politopi.
Fu così che Schoute studiò la geometria euclidea a più di 3 dimensioni, scrivendo 28 tavole, in collaborazione con Alicia Boole Stott che, proprio con le sue ricerche sui politopi regolari, generalizzò il concetto di poliedri regolari.
Schoute lavorò con Alicia per quasi 20 anni, persuadendola a pubblicare i suoi risultati che poi fece con due articoli pubblicati ad Amsterdam, "On certain series of sections of the regular four-dimensional hypersolids" (1900) e "Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings" (1910), da cui si comprende che è stata la prima matematica a enumerare e descrivere tutti i 45 politipi semiregolari.
Scrisse anche tre documenti insieme a Schoute , ovvero "On Models of 3-dimensional sections of regular hypersolids in space of 4 dimensions" (1907), "On the sections of a block of eight-cells by a space rotating about a plane" (1908), e "Over wederkeerigheid in verband met halfregelmatige polytopen en netten" (1910). 
Anche se dopo la morte di Schoute, nell'aprile del 1913,  il lavoro di Alicia sui politopi sembrò fermarsi, tuttavia, l'Università di Groningen la onorò invitandola a partecipare alle celebrazioni per il trecentenario dell'università e assegnandole una laurea honoris causa il 1 ° luglio 1914. 
Fu proposta infatti per il riconoscimento da Johan Antony Barrau (1873-1953) che dopo aver letto i suoi documenti scrisse: 

"Da questi documenti, si deduce un dono molto speciale di riuscire a vedere la posizione e le forme in uno spazio a quattro dimensioni. Tre di questi articoli sono stati scritti congiuntamente con il dottor Pieter Hendrik Schoute, che ha collaborato per molti anni  con l'Università di Groningen, ed è questa proficua collaborazione con il professore la ragione per cui  la Facoltà di Matematica e Fisica ha proposto la signora Alicia Boole Stott per la laurea honoris causa in Matematica e Fisica, da conferire in occasione della prossima commemorazione dei 300 anni dell'Università."

Tuttavia, per qualche motivo non chiaro, Alicia non andò alla commemorazione a Groningen e la laurea fu assegnata "in absentia", ma furono esibiti i suoi modelli geometrici che possono essere visti tuttora come parte della mostra online di Groningen dei modelli matematici di superfici


Disegni dei piani delle sezioni perpendicolari della cella  600  conservati presso 
l'Università di Groningen in Olanda ©Museo universitario di Groningen  

Nel 1930 fu presentata ad Harold Coxeter, col quale lavorò a diversi problemi e che la descrisse dicendo: 

"La forza e la semplicità del suo carattere combinata con la diversità dei suoi interessi ne fa un'amica ispiratrice."

Durante la collaborazione con Coxeter, che avveniva per lettera o durante i famosi "tè e politopi", Alicia ottenne altri importanti risultati, relativi alla costruzione di poliedri mediante l'utilizzo della sezione aurea.
Collaborazione che si concluse quattro anni prima della sua morte (17 dicembre 1940), quando Coxeter lasciò l'Inghilterra per prendere un posto a Toronto nel 1936, destinato a diventare “il re dello spazio infinito”.
In quell'occasione così gli scrisse la quasi ottantenne Alicia:

"Mio caro! Non so come scriverti, le parole sembrano così futili accanto a una separazione così grande! Ma in realtà non posso che rallegrarmi per il tuo bene, che è appena capitato... Mentre sto scrivendo la mia mente è tornata al mondo adorabile che abbiamo visitato insieme e che tu hai reso tanto tuo. Mi chiedo dove tu arriverai! Come vorrei poterti seguire."


Flatlandia è un racconto fantastico, scritto dal reverendo e pedagogo Edwin Abbott Abbott, che basandosi 
sul meccanismo di mondi concentrici, incompatibili e incomunicanti, mette in dubbio
 i nostri stessi punti di riferimento, e si chiude con l'inquietante ipotesi di una quarta dimensione.

Così come Alicia e Hinton parlavano di quarta dimensione assimilabile alla grandezza temporale, un po’ com'è esposto nella teoria della relatività ristretta di Einstein, anche in seguito Henri Poincaré e altri si porranno il problema di ciò che è la realtà e di ciò che l’essere umano percepisce. 
Mentre la ricerca matematica sulla geometria a più di tre ordinarie dimensioni ha portato frutti tangibili nel mondo della scienza fisica, basti pensare alla formulazione appunto della teoria della relatività del 1904, il romanzo di Edwin Abbott Abbott (Flatlandia di cui ho citato una frase in apertura) e le altre forme di diffusione del pensiero geometrico hanno ispirato tantissimo l’immaginario collettivo e quello di scrittori, artisti e registi cinematografici del XX secolo.
Negli ultimi anni i fisici hanno cominciato a parlare di configurazioni che coinvolgono 10, 11 o 26 dimensioni, mentre i matematici ormai parlano con disinvoltura di strutture in spazi n-dimensionali. 
Uno dei modi più comuni di pensare alle dimensioni è di considerarle come ciò che i matematici, i fisici o gli ingegneri chiamano "gradi di libertà".

Molti considerano i politopi convessi tra i più importanti oggetti geometrici e ritengono che gran parte della geometria euclidea si riduca essenzialmente alla teoria dei politopi convessi. 
Attualmente i politopi trovano importanti applicazioni nella ottimizzazione, nella programmazione lineare, nella computer grafica e in molti altri campi. 
La loro importanza ha portato a studiarli anche con strumenti software specifici e a definire precise regole per la codifica dei singoli oggetti politopo.


Vista della cella a 10 celle nella 3- sfera, con assi di simmetria periferica 18 "x 31" 
Stampa a colori di un'immagine al computer del 2013 ©photo gallery Banchoff 

"Grazie agli straordinari progressi della computer graphics, oggi possiamo avere una diretta esperienza visiva di oggetti che esistono solo in dimensioni superiori. 
Quando osserviamo queste immagini muoversi sullo schermo di un computer grafico, la sfida che ci viene lanciata è simile a quella che dovettero sostenere i primi scienziati che lavorarono con un telescopio, con un microscopio o con i raggi X.  Stiamo vedendo cose che non erano mai state viste prima d’ora, e stiamo appena cominciando a imparare come devono essere interpretate queste immagini. Siamo davvero solo nella primissima fase di una nuova era, l’era della visualizzazione delle dimensioni."

Queste parole di Thomas Francis Banchoff  dimostrano che tutto ciò che Alicia Boole Stott ed i suoi successori si erano sforzati di fare usando una matita ed un foglio di carta, o con fogli di cartoncino, adesso lo si può fare unendo le conoscenze algebriche con le costruzioni geometriche, calcolando miliardi di coordinate in tempuscoli minimi con l’ausilio dei processori elettronici.
Proprio come afferma uno dei più grandi esperti mondiali di computer graphics, il professor Thomas Francis Banchoff, che su uno schermo di un elaboratore elettronico si possono osservare le vere immagini che rappresentano ciò che potremmo percepire se potessimo entrare negli spazi a dimensioni superiori.


"L'ipercubo" di Attilio Pierelli al Dipartimento di Matematica Università di Tor Vergata - Roma

Ho iniziato questo articolo con l'arte pittorica di Kandinsky e quindi chiudo con l'immagine di un'altra opera d'arte, scultorea di Attilio Pierelli, sempre legata al concetto di politopo.
Se per Kandinsky il cerchio è l'indicazione più chiara per la quarta dimensione (4-politopo):

"Perché il cerchio mi affascina? 
Perché: 1) è la forma più modesta, ma si afferma senza riguardo; 2) è precisa, ma inesauribilmente variabile; 3) è stabile e instabile allo stesso tempo; 4) sommessa e forte nello stesso tempo; 5) una tensione che porta in sé infinite tensioni. Il cerchio è una sintesi dei maggiori contrasti e unisce il concentrico con l'eccentrico in una forma e in un equilibrio. Nella terna di forme primarie (triangolo, quadrato, cerchio), il cerchio è l'indicazione più chiara per la quarta dimensione […] Il cerchio è la sintesi delle più grandi opposizioni. Combina il concentrico e l’eccentrico in un’unica forma e in equilibrio." (Kandinsky)

per Pierelli l'indicatore più significativo è l'ipercubo:

"Tutti i giorni, per 10 anni, per almeno tre ore, studiai per comprendere a fondo il legame tra la realtà e la sua immagine […] Ordine ed equilibrio sono i dati che si incontrano nella geometria iperspaziale e posso dire che nel creare le sculture ispirate agli iperspazi, mi trovo di fronte alla necessità di lavorare in modo esasperatamente ordinato per ottenere il miglior risultato estetico." (Attilio Pierelli)


In geometria, un tesseratto è un 4-politopo, cioè un ipercubo quadridimensionale.
Curioso ricordare che il nome "tesseract" fu coniato proprio dal matematico e scrittore Charles Howard Hinton, cognato di Alicia Boole nel 1880 quando scrisse l’articolo "What Is the Fourth Dimension?" in cui immagina che i punti dello spazio tridimensionale possano rappresentare intersezioni tra oggetti quadridimensionali e lo spazio tridimensionale.
Una proiezione del tesseratto nel piano può essere realizzata disegnando due cubi paralleli, e collegando i corrispettivi vertici con dei segmenti.
Il tesseratto ha 16 vertici, 32 spigoli, 24 facce quadrate e 8 facce tridimensionali cubiche. 
Su ogni vertice incidono 4 spigoli, 6 facce quadrate e 4 facce cubiche. 
"L'ipercubo", realizzazione di Attilio Pierelli è un'opera che dà un esempio di percezione fisica di idee astratte, in quanto l'artista è stato capace di rappresentare la quarta dimensione nella tridimensionalità.
Una sequenza aritmetica regola la struttura iperspaziale dell’Ipercubo, composto da otto cubi tridimensionali, a loro volta formati da sei superfici quadrate bidimensionali. 
Ciò che si trova al di là della nostra esperienza può essere percepito soltanto attraverso espedienti di natura illusionistica, ma l’opera d’arte ci porta a riconoscere come tali illusioni ottiche possano comunque creare un mondo davanti a noi. 

"Il punto di partenza per una nuova concezione è dovuto probabilmente a Kandinsky, che nel suo libro 'Ueber das Geistige in der Kunst' ('Informazioni sull'arte spirituale') pone nel 1912 le premesse di un'arte nella quale l'immaginazione dell'artista sarebbe stata sostituita dalla concezione matematica […] Così, se nell’incertezza delle percezioni sensibili noi andremo a considerare il pensiero matematico, come l’astrazione che rende pensabile la natura, l’opera di un artista sarà allora la sua materializzazione."



Fonti

Image
©Pat'sBlog
https://pballew.blogspot.com/2014/10/those-amazing-boole-girls.html
©Mauro Fiorentini
http://www.bitman.name/math/indiceanalitico/6
©Raccolte speciali dell'Università di Bristol
http://www.bristol.ac.uk/homepage/
©Museo universitario di Groningen  
https://www.master-abroad.it/universities/Olanda/University-of-Groningen/