La matematica e la libertà di negare

"La matematica è l'espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi..." Queste parole di Imre Toth riportano alla mente un'altra significativa frase di Georg Cantor che affermò che "L'essenza della matematica risiede nella sua libertà" (frase che a sua vola trasformava una celebre frase di Hegel “l'essenza dello spirito è la libertà”).

Irme Toth (1921 - 2010), filosofo e storico della matematica, e Georg Cantor (1845-1918), illustre matematico noto per la teoria degli insiemi e per il concetto d'infinito assoluto che identificò con Dio, credo si possano citare e accumunare come esempi di ricerca volta a dimostrare lo stretto legame tra la creazione matematica e la libertà della speculazione filosofica.
In particolare per Irme Toth la libertà è l’essenza della matematica, definita come un "un événement de l’esprit, immerso nel quadro etico-politico della presa di coscienza della libertà". 
"La matematica appartiene a questo spirito e lo sviluppo della matematica non è che un movimento proprio dello spirito". 
"La matematica è l’espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi, che è una prerogativa divina, e questa creazione è veicolata da un atto di cui solo l’essere umano è capace: la negazione"
Toth afferma che la matematica attinge alla dimensione della libertà umana per creare mondi diversi ed opposti (quali, per esempio, il mondo euclideo e quello non-euclideo), negando un codice già affermato, per strutturarne liberamente un altro.
La speculazione di Toth si basa quindi sulla concezione di un sapere matematico problematizzato ed esteso a dimensione dello Spirito, caratterizzato, nella sua essenza, dalla libera creatività che si concretizza nell'atto della negazione.

Ma vediamo di conoscere meglio questo moderno pensatore.
Ci aiuta in questo la sua autobiografia "Matematica ed emozioni", che partendo dagli avvenimenti e dalle vicissitudini che hanno caratterizzato la sua giovinezza (studi, circostanze di vita drammatica, fughe, condanne, prigionie, evasioni.....), arriva a introdurre la sua visione della matematica, definendola come espressione non solo di un'indagine razionale ma soprattutto filosofica, nonché come presa di coscienza e riflessione etica.
Studiò in un liceo cattolico, dove non trovò risposta ai suoi dubbi sui problemi matematici a causa di insegnanti impreparati o poco disponibili al dialogo. Aveva infatti avuto l’impertinenza di chiedere ragione ai suoi insegnanti del perché moltiplicando due numeri, chiamati "negativi", si ottenesse un numero positivo, come se un debito per un debito desse un credito o una temperatura bassa moltiplicata con un'altra bassa ne desse una alta. Gli insegnanti non davano risposte e Toth preferì interessarsi a speculazioni di tipo filosofico. Per questo in seguito con l'aiuto del padre, Abraham Roth, (Imre falsificò poi i propri documenti in Toth per sfuggire alle persecuzioni contro gli ebrei) fu mandato al seminario teologico rabbinico di Francoforte, per poter avere accesso alla ricca biblioteca filosofica dell'istituto. Ritornato all'Università di Cluj, grazie ad un corpo docente preparato si appassionò allo studio della matematica. 
Cercò le risposte nei libri dei matematici, prima di quelli moderni (Cardano, Cavalieri, Leibniz), poi sistematicamente nei pensatori greci, muovendo da una convinzione che si fece metodo storiografico: la necessità di partire dal sapere del proprio tempo per studiare quello del passato. 
Anzi, secondo Imre Toth, alla luce delle acquisizioni della matematica sul calcolo infinitesimale ed in particolare a quelle relative alle geometrie non euclidee, si possono, scoprire nella matematica greca, profondità dimenticate e rimosse proprio a causa di una visione puramente razionalistica della matematica.
Imre Toth ha saputo ricostruire questa storia, identificando ed analizzando i passi non-euclidei presenti già in Platone (427 - 347 a.c.) e in Aristotele (384 - 322 a.c.), nonché in altri matematici del Settecento e dell’Ottocento, che hanno proposto testi molto vicini alla geometria non-euclidea di Lobatschewskij e Bolyai, nonché sottolineando come le geometrie non euclidee si siano affermate diversi decenni dopo la loro scoperta e per di più in Italia, in pieno Risorgimento.

Platone e Aristotele di Luca Della Robbia, formella del campanile di Giotto

Museo dell'Opera del Duomo, Firenze

Aristotele nel "De Caelo" (Περὶ οὐρανοῦ), ammette come ipotesi che sia impossibile che un triangolo abbia i 3 angoli pari a 2 angoli retti, che è come dire che sono possibili triangoli non euclidei.
Inoltre nell’"Etica Eudemia" (Ηθικά Ευδήμεια) Aristotele indica la decisione sulla scelta tra assiomi euclidei (il triangolo euclideo) e non euclidei (il triangolo non-euclideo) come esempio di un libero atto di scelta tra due poli, laddove il ragionamento logico non può dare indicazioni orientative: l’Ethos è sopra il Logos, la libertà del soggetto, secondo Toth è il fondamento dell’essere matematico e così sarà anche per Cartesio che sosterrà che il teorema euclideo, il quale afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo equivale a due angoli retti, è così solo perchè la libertà di Dio l’ha voluto così, non perchè sia più vero dell’ipotesi contraria (Mèditations mètaphysiques). 
Ed ancora Aristotele dice che "proveremmo lo stesso piacere se la somma degli angoli interni di un triangolo fosse uguale a due angoli retti, ma anche se non lo fosse". La scelta infatti non dipende da motivazioni logiche ma dall’ esercizio della libertà del soggetto.

“La coscienza dispone della libertà di negare tutto un mondo, quello stabilito da Euclide, e di creare – grazie al solo mezzo della negazione – un nuovo mondo. (…) Ma a questo punto le due creazioni, le due geometrie dispongono di uguali diritti di esistenza e di verità. Invece di essere distruttiva, la negazione si rivela creativa! Di conseguenza la verità non è un limite alla libertà, bensì è la libertà ad essere fonte della verità” 

Ma vediamo di "far luce" sulle conseguenze di questa libertà di negazione, libertà di negare il V postulato di Euclide, che ha portato alle geometrie non Euclidee.

Fig. 1: Triangolo Ellittico Iperbolico Euclideo

Il V postulato di Euclide, più noto come il Postulato (o l’assioma) delle parallele, ha rappresentato il punto cruciale per lo sviluppo della Geometria e della stessa Matematica.
Esso possiede varie formulazioni equivalenti, la più nota delle quali recita:

1)   Data una retta r ed un punto P che non le appartenga, esiste un’unica retta s  passante per P e ad essa parallela.
(in questo caso, poiché rs, si ha: r  s  r s =).

Questa formulazione è nota dal 1818 ad opera di Gergonne, ma molto probabilmente risale a tempi precedenti, ed apparirà nella sistemazione della geometria Euclidea dovuta a David Hilbert.

La formulazione originaria di Euclide fu la seguente:
2) Se due linee sono tagliate da una trasversale in modo tale che la somma degli angoli interni da una parte della trasversale è minore di 180°, allora le due linee s’intersecano dalla stessa parte della trasversale.
Un’altra interessante formulazione dello stesso postulato è:
3) La somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

Il problema fondamentale su questo postulato (o assioma) fu, quasi dall'inizio, il tentativo di capirne la necessità e la dipendenza o meno dagli altri assiomi. 
Sembra, infatti, abbastanza curioso e sintomatico che lo stesso Euclide lo abbia adoperato il meno possibile.
Per diverse ragioni quest’assioma non sembrò autoevidente, come gli altri, probabilmente perché i Greci avevano familiarità con linee, dette asintotiche, che pur non incontrandosi in alcuna regione limitata del piano, tendevano ad incontrarsi all’infinito. Non era dunque evidente che per un punto esterno ad una retta si potesse tracciare soltanto una parallela.
Occorsero molto tempo e l’ingegno di molti Matematici per dirimere la questione,  provando l’indipendenza con la costruzione di modelli di due nuove geometrie, dette Geometrie Non Euclidee, che, dal punto di vista della logica matematica, sono equivalenti alla Geometria Euclidea nel senso che ciascuna di esse è consistente se e solo se lo è la geometria Euclidea. (In realtà per geometria non Euclidea si deve intendere una qualsiasi geometria differente da quella di Euclide.)

Volendo schematizzare il problema, si può procedere secondo due direttive:

1) Cancellare il V postulato e studiare tutto quello che si può dedurre dai rimanenti postulati. Si ottiene una geometria nota come Geometria assoluta o neutrale.
2) Cercare di dimostrare la dipendenza del V postulato assumendo come ipotesi la sua negazione. Se si giunge ad una contraddizione questo significherà che il V postulato è in realtà deducibile dagli altri. Poichè il postulato in questione contiene due affermazioni, una di esistenza e l’altra di unicità, è possibile procedere in due modi negando solo l’unicità oppure negando l’esistenza.

Tutti i tentativi non portarono ad alcuna contraddizione; nacquero così due nuove geometrie,  dette appunto non Euclidee: 
1) la geometria iperbolica (Bolyai, Gauss, Lobachevsky) 
2) la geometria ellittica (Gauss, Riemann)
e l’indipendenza del V postulato fu definitivamente stabilita quando si costruirono modelli di tali geometrie (Beltrami, 1868).

1) Il caso iperbolico: data una retta ed un punto P non appartenente ad essa esistono diverse rette per P ad essa parallele.
Equivalentemente: la somma degli angoli interni di un triangolo è minore di 180°.
È necessaria una precisazione. La negazione del V postulato deve essere formulata 
nel seguente modo: esiste una retta r ed esiste un punto P fuori di essa tale che 
almeno due diverse parallele a r passano per P.
Oppure: esiste un triangolo tale che la somma dei suoi angoli interni è minore di 180°.
Tuttavia, partendo da queste ipotesi è possibile dimostrare che la proprietà ipotizzata vale per tutte le scelte di una retta e di un punto fuori di essa, e per tutti i triangoli.  

2) Il caso ellittico: data una retta ed un punto P non appartenente ad essa, non esiste alcuna retta per P ad essa parallela. 
Equivalentemente: la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di 180°.

Lo stesso Euclide, mentre riteneva evidenti i primi quattro postulati della sua 
geometria, non considerava altrettanto evidente il quinto detto “delle rette 
parallele”, infatti questo postulato non rimanda ad alcuna costruzione 
geometrica che possa limitarsi sempre ad una porzione finita di piano. Vani 
sono stati i tentativi, fatti sino ad oggi dai matematici, di dimostrare, riformulare o sostituire il quinto postulato. 
Alcuni studiosi come Gauss, Bolyai, Lobabacevskij, Riemann nei primi del XIX secolo, hanno costruito delle geometrie che, negando il quinto postulato, hanno dato vita alle geometrie dette appunto non euclidee.

Fig. 2: Due rette aventi una perpendicolare in comune nelle tre geometrie 

Nella geometria iperbolica le rette divergono, ed è quindi possibile trovare molte rette parallele 

(cioè che non si intersecano). 

Nella geometria ellittica le rette convergono e quindi non esistono rette parallele.

Come disse Toth “L’emergere delle geometrie non-euclidee è stato il momento decisivo nel quale il soggetto delle matematiche ha preso coscienza della sua immanente libertà, della sua libertà di assegnare la verità, nello stesso tempo, a due proposizioni assiomatiche contraddittorie. L’assioma logico della contraddizione conserva invariabilmente la sua rigorosa validità all’interno di ciascuno dei due opposti universi”. (…) “Grazie alla Geometria non euclidea, il soggetto della Matematica è divenuto consapevole della sua stessa libertà, allo stesso modo ha preso coscienza che ciò che costituisce la sua essenza: è la libertà di scegliere ciò che è necessario e che, all’interno della scienza Matematica, accettare la pluralità dei mondi e delle verità costituisce una necessità”.
Toth affermò che, in Matematica, la vera grande rivoluzione era stata la scoperta  delle geometrie non euclidee, ignorata per decenni dai matematici e diventata di dominio pubblico solo all’inizio del secolo scorso. Alla base di questa riottosità si trova una notevole contraddizione: una creazione che deriva da una negazione (e questo era inconcepibile nel mondo ancora rigoroso e fondato sul "principio di non contraddittorietà" come quello matematico). Ma Toth si spinge oltre affermando che accettare le geometrie non euclidee significa accettare una concezione diversa dello spazio. Il mondo non è più unico. Esiste una pluralità di mondi generata dalla libertà delle idee e qui il momento decisivo: “si afferma una libertà di scelta tra cose ugualmente possibili”.
Scegliere è difficile perché la libertà di scelta è prerogativa di un uomo totalmente libero!

Per molto tempo però i matematici furono angustiati da due domande: 
qual è la geometria dello spazio in cui viviamo?
qual è la geometria vera?

Alla seconda domanda fornì una famosa risposta Henri Poincaré 
"Se la geometria fosse una scienza sperimentale, non sarebbe una scienza esatta, ma sarebbe soggetta a continue revisioni.Gli assiomi geometrici non sono né intuizioni sintetiche a priori, né fatti sperimentali. Essi sono convenzioni.
La nostra scelta tra le possibili convenzioni è guidata dai fatti sperimentali; ma rimane libera, ed è solo limitata dalla necessità di evitare ogni contraddizione.
Che cosa pensiamo della domanda: la geometria euclidea è vera?
Non ha senso. Potremmo egualmente chiederci se il sistema metrico è vero e se i vecchi pesi e misure sono falsi; se le coordinate cartesiane sono vere e le coordinate polari sono false.Una geometria non può essere più vera di un’altra, può solo essere più conveniente".
E la geometria Euclidea può essere pensata come la più conveniente?
Se lo è per l’ordinaria ingegneria, non lo è per la teoria della relatività.
Inoltre, Luneburg  ha sostenuto che il nostro modo di percepire lo spazio, cioè la trasmissione visiva dello spazio al nostro cervello attraverso i nostri occhi, è più convenientemente descritto dalla geometria iperbolica.

Esperimento e misurazioni di Gauss del 1820

Quale risposta dare alla prima domanda? Qual è la geometria dello spazio in cui viviamo?
Poiché il postulato delle parallele e le sue due varianti, iperbolica ed ellittica, sono esprimibili in termini di somma degli angoli interni di un triangolo, si potrebbe pensare di misurare sperimentalmente tale somma.  
Gauss, che dubitava del carattere euclideo dello spazio, ideò un famoso esperimento usando tre vette di montagne (visibili nonostante la curvatura della terra) come vertici del triangolo (il più grande di questi triangoli aveva come vertici le cime dei monti Hohenhagen, Brocken e Inselberg, e il lato maggiore misurava 107 km.), ma il risultato fu inconcludente forse proprio perché gli strumenti e le rilevazioni si basavano su concetti euclidei (progettò egli stesso un raffinato strumento ottico in grado di riflettere un raggio luminoso in una sola direzione).
Quindi la discussione può e deve essere più sottile:
- gli strumenti non sono forse pensati e costruiti sulla base di assunzioni euclidee?
- i raggi luminosi non potrebbero viaggiare su linee curve?
- lo spazio di dimensioni cosmiche non potrebbe essere governato da geometrie diverse da queste?
Quest’ultima è in realtà la convinzione scientifica attuale.
Secondo Einstein spazio e tempo sono inseparabili e lo spazio-tempo è affetto dalla materia di modo che i raggi di luce possono essere incurvati per effetto dell’attrazione gravitazionale delle masse.
Il problema è dunque più complicato di quanto Euclide e Lobachevsky immaginassero e nessuna delle loro geometrie è adeguata per la nostra presente concezione dello spazio.
Naturalmente, ciò non diminuisce l’importanza storica delle geometrie non-euclidee.
Einstein disse:"A quest’interpretazione della geometria io attribuisco grande importanza, perchè se non avessi avuto familiarità con essa, mai sarei stato in grado di sviluppare la teoria della relatività."
Einstein sviluppò una geometria appropriata per la relatività generale  partendo dalle idee di Riemann e dalla geometria che da lui prese il nome di Geometria Riemanniana.

Gli effetti sulla matematica della scoperta di geometrie non euclidee furono di notevole portata: entrò in crisi il concetto di assioma, si sviluppò lo studio dei problemi fondazionali, si giunse, sia pure a distanza di tempo, al processo di formalizzazione (dai sistemi formali ai teoremi di Gödel), nacquero nuove discipline tra cui la geometria frattale che, partendo dalle intuizioni di Gaston Julia (1893-1978), e studiata in modo teorico ed astratto, dai matematici George Cantor (1895-1919), Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943) e Helge von Kock (1870-1924), fu finalmente visualizzata, come oggetti frattali, da Benoit Mandelbrot (1924 - 2010) mediante il calcolatore, diventando un mezzo di interpretazione della realtà e della natura. 

Video - L’insieme frattale di Mandelbrot

La Matematica quindi ha dimostrato di poter disporre della libertà di negare tutto un mondo, come quello stabilito da Euclide, e di poter creare, grazie al solo mezzo della negazione, nuovi mondi, dando a tutti uguali diritti di esistenza e di verità. 
La negazione, invece di essere distruttiva, si rivela creativa e di conseguenza la libertà di negare riesce a essere fonte di nuove verità. 
Proprio come sosteneva Imre Toth "La matematica è l’espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi, che è una prerogativa divina, e questa creazione è veicolata da un atto di cui solo l’essere umano è capace: la negazione"


Fonti:
From the book:  
Geometrie non Euclidee di Silvia Benvenuti
Matematica ed Emozioni di Imre Toth
No! Libertà e verità, creazione e negazione di Imre Toth
From website: 
http://it.wikipedia.org
http://www.filosofico.net/filos1.html