La Tour Eiffel e il suo segreto matematico

"Mentre gli eventi della Rivoluzione francese sono catturati da Charles Dickens nel suo commovente romanzo 'Un racconto di due città', il centenario della Rivoluzione Francese viene commemorato dall'imponente Tour Eiffel, il cui profilo all'orizzonte appare come una coda di due esponenziali" 
(Weidman e Pinelis nell'introduzione al loro articolo del 2004)

Nel 2004 i ricercatori statunitensi Patrick Weidman e Iosif Pinelis, hanno svelato il segreto dell'incredibile opera architettonica dell'ingegnere francese Gustave Eiffel (1832-1923), trovando un'equazione dalla quale si evidenzia la sagoma della Tour Eiffel.

Fino al 1930 la Tour Eiffel fu il monumento più alto del mondo, 

superato poi dal Chrysler Building di New York. 

Nel 1957 i francesi operano però una beffa e, grazie all'aggiunta delle antenne di

 trasmissione sulla sua sommità, la torre tornò a svettare di poco più di cinque

 metri sopra l'iconico grattacielo newyorkese.  foto © Annalisa Santi 1989

Partendo dagli studi dell'ingegnere Gustave Eiffel sul profilo della torre, soprattutto legati al fattore vento, cioè al caricamento del vento sulla torre, i due ricercatori hanno determinato una nuova equazione che corrisponde strettamente alla forma della metà superiore della torre.
Consultando il documento di 26 pagine stilato da Eiffel, i cui dati ne garantivano la stabilità evitandone il crollo nonostante la sua altezza rilevante, e che analizzava soprattutto l'effetto del caricamento del vento sulla torre, l'ingegner Patrick Weidman  ha trovato un'equazione (di cui parlerò), sotto forma di una funzione esponenziale, rielaborata poi insieme a Iosif Pinelis, un esperto in analisi matematica, che ha offerto il suo aiuto per comprendere le caratteristiche sottostanti, arrivando così a determinare la definitiva equazione integrale.
Lo studio dei due ricercatori statunitensi, dal titolo "Model Equations for the Eiffel Tower: Historical Perspective and a New Equation", pubblicato nel numero di luglio 2004 della rivista dell' Accademia francese delle Scienze, "Comptes Rendus Mecanique", ha spiegato quindi dettagliatamente la relazione tra il fattore del vento (che la fa oscillare fino a 12 cm.) e la larghezza della sezione di base.
Una relazione molto estesa dovuta soprattutto al fatto di dover mettere a confronto il loro studio con quello di Eiffel che, non essendo completamente sicuro dei suoi calcoli, a quei tempi esclusivamente cartacei, preferì costruire la torre esagerando le misure della base in modo da avere la certezza che il vento non avrebbe destato problemi di oscillazioni preoccupanti o di crolli della struttura.
La forma della Torre Eiffel è infatti aerodinamica, pensata espressamente per resistere al vento, come ribadì lo stesso Gustave Eiffel rispondendo alle critiche mosse contro il suo progetto costituito si da 7.300 tonnellate di ferro, ma assemblate in una costruzione reticolare, ossia circa diciottomila pezzi metallici costituiti non da travi massicce ma da barre scanalate, quindi più leggere e aerodinamiche.

La Tour Eiffel poggia su quattro piloni, bloccati nelle fondazioni di calcestruzzo, 

che si collegano in alto formando un’unica struttura 

Espisizione Universale di Parigi 1889  foto  © Fondazione Grossman

Siamo a Parigi nel 1889 dove si svolse la più importante esposizione universale ottocentesca in occasione del centenario della Rivoluzione francesce.
La zona indicata ad ospitare la manifestazione fu scelta presso il Campo di Marte, una vasta area militare vicino alla Senna.
Qui, tra le tante costruzioni destinate a contenere i prodotti più moderni dell'industria, una in particolare stupì profondamente gli spettatori: la Torre Eiffel, all'epoca il più alto edificio del mondo.
Fu edificata dall'ingegnere francese Gustave Eiffel (1832-1923) per dimostrare a tutti quali straordinarie possibilità costruttive offrisse la tecnologia moderna.
Alta 300 metri e costruita unicamente con elementi metallici prefabbricati (perché in ferro e non in acciaio?) fu pensata per resistere alla forte pressione del vento.
Alla sua base quattro enormi pilastri raccolgono e distribuiscono il suo peso colossale per poi assottigliarsi progressivamente fino a formare un altissimo traliccio di ferro.

Venne inaugurata il 31 marzo 1889 con 21 colpi di cannone (l'ingegnere Eiffel salì a piedi tutti i 1.710 gradini per issare sulla punta della torre il tricolore francese) e, nonostante un numero ben maggiore di petizioni per demolirla a fine esposizione, non venne smontata, come previsto dopo 20 anni nel 1909 (fu salvata perché venne considerata  un'ottima antenna per la radio), ed è così che la "dama di ferro" è rimasta come simbolo stesso di Parigi. 

Ma fu tutta farina del suo sacco?
O forse la "Tour en fer de trois cent mètres" invece di chiamarsi "Tour Eiffel" avrebbe potuto prendere il nome di "Tour Koechlin Nouguier"?

Il progetto iniziale di Koechlin e Nouguier, con le dimensioni 

della colossale torre rapportate ad altri monumenti celebri, 

come la cattedrale di Notre Dame, la statua della 

Libertà e la colonna Vendôme  foto  © Wikipedia

Quando, sul finire del 1884, il governo francese annunciò di voler inaugurare l'Esposizione Universale del 1889 di Parigi con un'opera di dimensioni colossali, Maurice Koechlin e Émile Nouguier, due ingegneri alle dipendenze della "Compagnie des Établissements Eiffel", una fiorente ditta gestita da uno dei più accreditati "architetti del ferro" del periodo, Gustave Eiffel , aderirono entusiasticamente all'impresa. 

Progettarono così un "imponente pilastro metallico, formato da quattro travi reticolari svasate in basso che si congiungono in cima, legate tra loro mediante traverse disposte a intervalli regolari" (David I. Harvie, Eiffel: The Genius Who Reinvented Himself, Stroud, Gloucestershire, Sutton, 2006) 
Eiffel inizialmente riservò al progetto solo un'attenzione distratta ma, in un secondo momento, ne intuì la genialità e, avvalendosi della collaborazione di Stephen Sauvestre, ingegnere capo del dipartimento di architettura della sua società, contribuì al progetto con vari ritocchi e perfezionamenti.  
Va rilevato che l'apporto tecnico di Sauvestre fu fondamentale non solo sotto il profilo tecnico, con la correzione di vari errori di fondo del progetto di Koechlin e Nouguier, ma anche sotto quello estetico, in quanto modificò la forma della torre per renderla più accattivante agli occhi dell'opinione pubblica, con l'aggiunta di linee meno spigolose e più aggraziate, ingentilite anche con svariati ornamenti.

15 marzo 1889 costruzione della cupola su progetto finale di 

Stephen Sauvestre del 1887  foto  © Wikipedia

Ma l'opera fu molto osteggiata all'epoca, definita "mostruosa opera" dai detrattori e "un originale capolavoro di metallo" dai sostenitori e, anche allora come oggi, circolarono molte "bufale" per impedirne la costruzione, tra cui l'accusa, tracimante di disprezzo e razzismo, a Eiffel di essere "null'altro se non un ebreo tedesco" e per questo bisognava assolutamente impedire che venisse vergognosamente costruita "une tour juive" o, che mettevano in dubbio le sue competenze, "di non essere in grado di progettare una torre capace di contrastare adeguatamente l'azione del vento", alcuni asserivano che avrebbe potuto crollare sulle case vicine, o che avrebbe attirato fulmini o persino l'assurda ipotesi che la torre Eiffel potesse magnetizzarsi e attrarre tutti gli oggetti ferrosi della capitale.
Arrivarono a definirla addirittura un' "odiosa colonna di metallo e bulloni" o "l'asparago di ferro", nomignolo tuttora in voga tra molti parigini.
Come oggi sui Social nascono petizioni di protesta, anche allora un appello di quarantasette artisti e intellettuali più influenti dell'epoca, tra cui Guy de Maupassant, Alexandre Dumas figlio ed Emile Zola, tentò di bloccarne la costruzione con queste parole:

"E per i prossimi vent'anni vedremo stagliarsi sulla città, ancora vibrante dell'ingegno dei secoli passati, vedremo stagliarsi come una macchia d'inchiostro l'odiosa ombra dell'odiosa colonna di metallo e bulloni." 

Tutto ciò non fece però vacillare il parere di Édouard Lockroy, ministro per il Commercio e presidente della commissione della fiera che scelse proprio il progetto "Tour en fer de trois cent mètres" della "Compagnie des Établissements Eiffel", considerandolo "un monumento destinato a diventare unico al mondo e una delle curiosità più interessanti della capitale". 

Due turbine eoliche sono state montate dall’americana UGE al secondo

 piano della torre (il punto con le migliori caratteristiche di vento) 

per produrre 10.000 kWh di elettricità l’anno, ovvero quanto basta 

ad alimentare i negozi e le caffetterie del primo piano.

Dopo queste brevi note storiche (i più curiosi possono trovarne di più dettagliate qui) torno a parlare di matematica e dell'equazione di Patrick Weidman e Iosif Pinelis.
La forma caratteristica della torre, come rivelano i due ricercatori statunitensi, fu dettata quindi principalmente da ragioni fisiche e matematiche.
Le 26 pagine consultate da Weidman con l'aiuto della traduttrice professionista Claudette Roland, cioè i modelli di calcolo dell'ingegnere Gustave Eiffel, si sono rivelati esatti e hanno dimostrato in che modo la struttura, nonostante sia alta 300 metri, sia in grado di sopportare un vento che soffi oltre 200 Km/h (238 Km/h una velocità mai raggiunta nella città di Parigi).
Struttura che, da una base quadrata di 125 metri di lato da cui, vede innalzarsi quattro pilastri che confluiscono in un'unica colonna, via via più sottile e concava al crescere dell'altezza.
L'ingegnere ne studiò la sagoma, sezione dopo sezione, calcolando per ciascuna il peso che la struttura doveva reggere.

Se si schematizza l’edificio come un corpo rigido omogeneo di densità ρ avente sezioni orizzontali quadrate e trascurando la presenza dell’aria, si verifica che la forza esercitata su una porzione dell’edificio dalla parte sovrastante coincide con il peso di tale parte.

Immagine (1)

Data la densità del materiale ρ considerando A(h) l’area della sezione quadrata alla quota generica h, si può affermare che il volume infinitesimo di uno strato di altezza dh è A(h)dh, trattandosi infatti di un prodotto tra una sezione e un'altezza.

Sia A(x) l’area della sezione dell’edificio alla quota x, misurata dal terreno verso l’alto ed essendo g l’accelerazione di gravità, il peso della parte compresa tra x e l’altezza H della torre è:

e, considerato il peso massimo P che la struttura sottostante può reggere, vale la seguente equazione integrale:

dove : 

P = pressione massima che può essere sopportata

ρ = densità del materiale (7800 Kg/m³)

g = accelerazione di gravità (9,81 m/s²)

A(x) = area della sezione quadrata alla quota generica x

H = altezza massima della torre

x = generica altezza considerata 

Per determinare la funzione incognita A(x) conviene trasformarla in un’equazione differenziale.

Derivando entrambi i membri dell’equazione precedente rispetto ad x si ottiene:

che può essere scritta nella seguente forma:

Si tratta di un’equazione differenziale a variabili separabili e si può quindi scrivere come:

Integrando entrambi i membri si ottiene:

dove C è una costante arbitraria, determinabile perché è nota l’area A(0) all’ altezza H.

Ricordando la definizione di logaritmo si ottiene:

Ottenuto il valore di A(x), si noti che l'equazione è un'equazione esponenziale.

A(x) indica come varia la sezione orizzontale al variare dell'altezza e permette di ricavare il profilo della struttura, che può essere descritto dalla funzione del semilato y della sezione al variare della quota, ovvero la funzione:

Come si vede anche dall'immagine (1) la pressione esercitata dal vento sulla struttura è un fattore fondamentale per l'equilibrio del sistema.

Lo studio dei due ricercatori statunitensi ha spiegato anche la relazione tra il fattore del vento e la larghezza della sezione di base che, come già ricordato, Eiffel surdimensionò per avere la certezza che il vento non avrebbe destato problemi di oscillazioni preoccupanti o di crolli della struttura.

Eppure la sagoma della torre Eiffel non è esattamente esponenziale anche se il suo profilo assomiglia a una curva esponenziale decrescente.

Questo proprio perché Eiffel non trascurò la presenza del vento.

La pressione che il vento esercita sulla torre è un fattore molto importante per

l’equilibrio del sistema. Infatti affinché la struttura sia in equilibrio è necessario che la pressione del vento sia controbilanciata dalla tensione tra gli elementi della costruzione.

Questo si traduce in una equazione integrale non lineare le cui soluzioni forniscono precisamente la sagoma della struttura.

Che rappresentata su un diagramma cartesiano appare così:

dove y(0) è il lato di base, pari alla radice quadrata di A(0). Come si vede, somiglia moltissimo al profilo della Torre Eiffel vista di lato! 

Concludo questo "segreto" matematico con una curiosità legata a un altro segreto, questa volta letterario, un racconto tra il fantastico e il reale di Dino Buzzati, "La Tour Eiffel",  contenuto nella raccolta "La boutique del mistero".

Nella trama lo scrittore immagina che la costruzione della Torre Eiffel nasconda un segreto: gli operai non si erano fermati ai 300 metri di altezza circa che si possono ammirare ancora oggi ma erano andati ben più avanti.

Ben più avanti verso il cielo, ma erano stati fermati e obbligati a distruggere gran parte del loro lavoro, da una sorta di opportunità pubblica. 

Il racconto termina con l'esclamazione 'Ah giovinezza' che fa capire che questo racconto non è una semplice rivisitazione moderna del racconto biblico della Torre di Babele, ma è una riflessione sul tempo inutilmente speso nelle vane costruzioni. 

Spesso l'uomo, da giovane, incomincia a costruire la sua vita su pretese inutili senza rendersi conto che spreca solamente tempo.

Doodle del gigante di Mountain View in onore del monumento più famoso di Parigi, in occasione
 del 126° anniversario, il 31 marzo 2015, dalla sua inaugurazione del 31 marzo 1889.
Come nel racconto di Buzzati, il disegno ritrae un gruppo di operai dell’epoca impegnati 
sulla Torre mentre uno dei cavi che assicura i lavoratori forma la scritta Google. 

"Quando lavoravo nella costruzione della Torre Eiffel, quelli sì erano tempi. E non sapevo di essere felice. La costruzione della Torre Eiffel fu una cosa bellissima e molto importante. Oggi voi non potete rendervene conto. Ciò che è oggi la Torre Eiffel ha ben poco a che fare con la realtà di allora. Intanto, le dimensioni. Si è come rattrappita. Io le passo sotto, alzo gli occhi e guardo. Ma stento a riconoscere il mondo dove vissi i più bei giorni della mia vita. 

I turisti entrano nell'ascensore, salgono alla prima terrazza, salgono alla seconda terrazza, esclamano, ridono, prendono fotografie, girano pellicole a colori. Poveracci, non sanno, non potranno mai sapere. Si legge nelle guide che la Torre Eiffel è alta trecento metri, più venti metri dell'antenna radio. Anche i giornali dell'epoca, prima ancora che cominciassero i lavori, dicevano così. E trecento metri al pubblico sembravano già una pazzia. Altro che trecento. Io lavoravo alle officine Runtiron, presso Neuilly. Ero un bravo operaio meccanico. Una sera che mi avviavo per rincasare, mi ferma per strada un signore sui quarant'anni con cilindro. 

«Parlo col signor André Lejeune» mi chiede. «Precisamente» rispondo. «E lei chi è?» «Io sono l'ingegnere Gustavo Eiffel e vorrei farle una proposta. Ma prima dovrei farle vedere una cosa. Questa è la mia carrozza.» Salgo sulla carrozza dell'ingegnere, mi porta a un capannone costruito in un prato della periferia....."

E qui continua la storia!

E per chi volesse trascorrere piacevolmente un'ora e mezza circa, ecco il video dell'interessante documentario francese (doppiato in italiano e  andato in onda su RaiStoria l'8 gennaio 2018) "La leggenda della Tour Eiffel" su come fu ideata, progettata e costruita la celebre Torre Eiffel, e che parla anche della travagliata vita del suo progettista e delle vicissitudini e opposizioni subite dalla "dama di ferro" stessa.

Documentario "La leggenda della Tour Eiffel" tempo 1:34:03  
Una docu-fiction di Pascal Laine, per la regia di Simon Brook e la produzione
 di Jeann Pierre Dusseaux - Produzione VAB, Francia, 2005