Chika's Test, un criterio per dividere per 7

Qualcosa di molto eccitante è successo venerdì 13 settembre 2019 quando Chika Ofili, un ragazzo nigeriano allievo di Miss Mary Ellis, che insegna matematica alla Westminster Under School di Londra, è entrato in classe e ha chiesto se poteva dirle qualcosa a cui aveva pensato durante le vacanze estive. 
L'insegnante si è incuriosita.

Chika Ofili, il ragazzo nigeriano di 12 anni residente nel Regno Unito, 

ha ricevuto i "TruLittle Hero Awards" per aver scoperto il nuovo

 criterio di divisibilità per 7 

Gli aveva dato un libro chiamato First Steps for Problem Solvers (pubblicato da UKMT) da consultare durante le vacanze e all'interno del libro c'era un elenco dei criteri di divisibilità, che vengono utilizzati per capire rapidamente se un numero è esattamente divisibile per 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9 prima di iniziare effettivamente la divisione. 
Solo che non era stato elencato alcun criterio per verificare la divisibilità per 7, forse perché non facilmente memorizzabile.
Chika però si era reso conto che se si prende l' ultima cifra di un numero intero, la si moltiplica per 5 e poi la si aggiunge alla parte rimanente del numero, si ottiene un nuovo numero, scoprendo così che se questo nuovo numero è divisibile per 7, allora il numero originale è divisibile per 7.
Dopo che Chika l'ebbe spiegato alla maestra, lei, sabato mattina si svegliò pensando ancora al criterio di Chika e telefonò al fratello minore, Simon Ellis, che insegna anche lui matematica, per  chiedergli se avesse mai incontrato un tale criterio. 
Simon le confermò di non aver mai incontrato simile criterio e di aver verificato che il criterio funziona anche se si inizia moltiplicando l'ultima cifra per 12, 19, 26, 33 ... (appartegono alla stessa classe resto di 5 modulo 7), e quindi aggiungendola alla parte rimanente del numero.
Il tutto, come vedremo, è facilmente dimostrabile attraverso l'aritmetica modulare, vale a dire quella parte dell'aritmetica che si basa sul concetto di congruenza modulo n. 

"Dati tre numeri interi a, b, n, con n ≠ 0, diciamo che a e b sono congruenti modulo n, oppure che a è congruo a b modulo n, se la differenza (a − b) è un multiplo di n." 

In questo caso scriviamo
a ≡ b (mod n)
Per esempio, possiamo scrivere
38 ≡ 14 (mod 12)
poiché 38 − 14 = 24, che è un multiplo di 12

L'aritmetica modulare insieme alla notazione usuale della congruenza (tre trattini) vennero formalmente introdotte da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, pubblicato nel 1801.

Ma andiamo a spiegare e dimostrare questo criterio di divisibilità per 7. 

Immagine di Chika Ofili da Westminster Under School

Criterio di Chika Ofili di divisibilità per 7

Si basa sulla separazione dell'ultima cifra, quella delle unità e dice:

"Un numero è divisibile per 7 se la somma tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità (prenumero) e il quintuplo della cifra delle unità (coda numerica) è 7 o un multiplo di 7."

Esempio: 68089 
eliminiamo l'ultima cifra 9 -> otteniamo 6808
calcoliamo 6808 + 5x9 = 6853 
non sapendo se 6853 sia divisibile per 7 basta ripetere la procedura 
quindi eliminando il 3 si ripete 
685 + 3×5 = 700
che è evidentemente un multiplo di sette. 
Pertanto 68089 è multiplo di 7.

Dimostrazione

Considerato un numero N, le sue cifre decimali sono i coefficienti a(i) che compaiono nella somma
N = a₀ + a₁10 + a₂10² + a₃10³ .... + a(n)10ⁿ
che possiamo scrivere più sintenticamente
N = a₀ + 10b
nel linguaggio dell'aritmetica modulare sappiamo che N è divisibile per 7 se e solo se:
N  ≡ 0 (modulo 7)
ovvero
a₀ + 10b ≡ 0 (modulo 7)
e se moltiplichiamo tutto per 5 (che è l'inverso aritmetico di 10 modulo 7) abbiamo
5a₀ + 50b = 0 (modulo 7)
ovvero
5a₀ + b + 49b ≡ 0 (modulo 7)
(49b si può elidere essendo multiplo di 7)
da cui
b + 5a₀ ≡ 0 (modulo 7)

Criterio di divisibilità per 7

Da questa dimostrazione può essere dedotto anche il criterio più noto che dice:

"Un numero è divisibile per 7 se la differenza tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità (prenumero) e il doppio della cifra delle unità (coda numerica) è 0, 7 o un multiplo di 7."

Usando lo stesso numero del primo esempio: 68089 
eliminiamo l'ultima cifra 9 -> otteniamo 6808
calcoliamo 6808 - 2x9 = 6790 
non sapendo se 6790 sia divisibile per 7 basta ripetere la procedura 
quindi eliminando prima lo 0 e quindi il 9 si ripete 
67 - 18 = 49
che è evidentemente un multiplo di sette. 
Pertanto 68089 è multiplo di 7.

Dimostrazione

Dato che -2 appartiene alla stessa classe resto di 5 modulo 7, il criterio sopra definito può essere modificato come segue:
a₀ + 10b ≡ 0 (modulo 7)
se si moltiplica per -2 si ottiene
-2a₀ - 20b ≡ 0 (modulo 7)
ovvero
-2a₀ + b - 21b ≡ 0 (modulo 7)
(21b si può elidere essendo multiplo di 7)
da cui
b - 2a₀ ≡ 0 (modulo 7)