I quadrati magici tra matematica, arte e leggenda

"Capire tu mi devi!
Di Un fai Dieci, getta via il Due,
uguaglia il Tre, e sarai ricco.
Che crepi il Quattro!
Di Cinque e Sei, dice la strega, fai Sette e Otto.
È tutto fatto. Se Nove è Uno, Dieci è nessuno.
Questa è la tabellina della strega!" 
(Johann Wolfgang von Goethe)¹ 

Cosa c'è di così magico nel Quadrato Magico?
I quadrati magici sono chiamati "magici" perché ogni riga, colonna e diagonale nel quadrato ha la stessa somma, chiamata la costante magica, dove somma è il termine che usiamo per definire l'operazione di addizione dei numeri nel quadrato.

"Panquadrato" 64x64 di Ugo Adriano Graziotti - 1983

Prima di addentrarmi nella spiegazione da un punto di vista strettamente matematico racconterò un po' di storia e mi soffermerò a parlare di tre curiosi quadrati: il quadrato magico di Lo Shu,  quello non proprio magico della Sagrata Familia, per concludere con il Panquadrato di Adriano Graziotti.

I quadrati magici hanno una storia molto antica e già gli antichi Cinesi, intorno al 650 a.C., conoscevano l’unico quadrato di ordine 3, che chiamarono Lo Shu.

Il quadrato magico "Lo Shu"

Secondo un'antica leggenda cinese, si dice che il primo quadrato magico sia stato trovato sul dorso di una tartaruga e questa storia è la prima documentazione scritta di un quadrato magico.. 
Questa leggenda risale al 650 a.C., ai tempi delle grandi inondazioni in Cina, secondo la quale la disastrosa piena del fiume Lo, causata dall’ira dal dio del fiume contro la popolazione, ebbe fine solo con la comparsa di una tartaruga.
Racconta che un giorno l'imperatore Yu (夏禹), che camminava lungo il fiume Lo (洛河), notò una tartaruga che usciva dall'acqua con strani segni sul dorso e, dopo un attento esame, scoprì che i segni rappresentavano dei numeri, e che il modello formava un quadrato magico.
La tartaruga che emerse dal fiume aveva infatti un insolito motivo 3 x 3 sul suo guscio che in seguito divenne la base del "Lo Shu Square", una griglia matematica in cui la somma dei numeri di ogni riga, colonna o diagonale è la stessa. 
Indipendentemente dalla direzione in cui si considerano i numeri, orizzontale, verticale o diagonale, la loro somma porta sempre a 15.
Lu rimase sbalordito e decise di chiamare la tartaruga "Lo Shu". "Lo" è il nome del fiume e "Shu" significa libro, testo o pergamena, quindi il nome può essere tradotto come "Il libro del fiume Lo". 

Il numero 15 è considerato un numero potente perché corrisponde al numero di giorni in ciascuno dei 24 cicli dell'anno solare cinese. In altre parole, è il numero di giorni nel ciclo della luna nuova fino alla luna piena.
Il "Lo (Luo) Shu Square", a volte chiamato il Magic Square, è anche alla base dell'antica astrologia del Feng Shui , della scuola di Xuan Kong Fei Xing , così come dell'I-Ching.  
Come si vede dall'immagine, nel "Lo Shu Square" il numero 5 è al centro, con numeri dispari e pari che si alternano alla sua periferia.

I quattro numeri pari - 2,4,6,8 - sono ai quattro angoli del quadrato, mentre i cinque dispari - 1,3,5,7,9 - formano una croce al centro, intorno al numero 5 (五wu) che richiama i 5 elementi che, secondo la tradizione, compongono l’universo (acqua, metallo, legno, fuoco e terra). 
I numeri dispari, simboli di luce, trasportano l'energia Yang, e i numeri pari, simboli di ombra, quella Yin, quindi nel "Lo Shu Square" i numeri Yin e Yang si alternano attorno al suo numero centrale 5.
I numeri nel "Lo Shu Square" sono un'espressione di energie specifiche e a loro vengono attribuite proprietà specifiche. 
Ad esempio, il numero 9 (九jiu) suona come la parola eternità. Gli antichi cinesi consideravano il 9 l’ultimo numero degli uomini dal momento che i numeri dal 10 in poi appartenevano al cielo. Per questo il nove fu in età imperiale un numero ad uso esclusivo dell’imperatore: le stanze della città proibita (la residenza dell’Imperatore a Pechino) sono proprio 9.999. mentre il numero 1 (一 yi) rappresenta l’onore, la leadership e lo sviluppo permanente.
La numerologia cinese trova infatti le sue radici nella tradizione taoista ed è chiaramente spiegata nel Classico dei Mutamenti, I Ching o Yi Jing (易經 Yìjīng), un antico testo di divinazione cinese e il più antico del classici cinesi, uno dei 5 classici confuciani su cui si basa la cultura tradizionale cinese. 
Tradizione che considera appunto i numeri dispari simboli di luce e uomo (yang) e i numeri pari di ombra e femmina (yin).²
La configurazione del "Lo Shu Square" era considerata comunque simbolo di armonia ed era un modello importante per il tempo e lo spazio e serviva da base per la pianificazione della città, la progettazione di tombe e di templi. Il quadrato magico è stato usato per designare gli spazi di importanza politica e religiosa. 

Il quadrato magico Lo Shu sul retro di una piccola tartaruga (al centro), circondata dai segni dello zodiaco 

cinese e dagli otto trigrammi, tutti portati da una grande tartaruga (che, presumibilmente, rappresenta

 il cavallo del Drago che in precedenza aveva rivelato i trigrammi di Fu Xi). 

Disegnato da un anonimo artista tibetano.

Se vogliamo definire  più rigorosamente un quadrato magico allora possiamo considerarlo come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia, che si calcola con la formula:

M(n) = ½ n (n² + 1)

Allora il nostro quadrato magico "Lo Shu" può definirsi come una matrice quadrata di numeri interi positivi di ordine n = 3, la cui costante di magia vale:

M(3) = ½ ∙ 3 (3² + 1) = 3/2 ∙ 10 = 15

Script originale di Shams al-Ma'arif

Breve storia

Noti anche in India e in Persia, i quadrati magici giunsero in Europa relativamente tardi, attraverso la traduzione di fonti arabe, prima dalle opere del filosofo ed astrologo ebreo Abraham ben Meir ibn Ezra (ca. 1090–1167), che potrebbe essere stato uno dei primi pionieri dell’introduzione dei quadrati magici in Europa e poi, come elementi occulti, nel Rinascimento.
Abraham ben Meir tradusse infatti molte opere dall’arabo in ebraico e dalla Spagna, dove visse a Granada, giunse in Italia con molti viaggi diffondendo così le sue opere anche relative ai quadrati magici. 
La vera riscoperta dei quadrati magici in Europa avvenne però nel Quattrocento, con lo sviluppo in Italia del neoplatonismo rinascimentale, periodo in cui la teoria generale dovette essere riscoperta indipendentemente dai precedenti sviluppi in Cina, India e Medio Oriente.
Le correnti numerologiche sfociarono in una rinascita degli studi matematici, persino in persone lontane da tentazioni occultistiche, come Luca Pacioli (1445 - 1517), che tuttavia chiamò “divina” la famosa proporzione. 

Sator³ esempio di quadrato magico letterale

Paracelso lo considerava un talismano erotico e  Girolamo Cardano , 

nel suo "De rerum variegate", un rimedio contro la rabbia

Il Sator di Capestrano che risale al VIII sec. d.C. è una incisione (misteriosamente) rovesciata 

su una lastra infissa a circa due metri da terra nella facciata della chiesa romanica

 di San Pietro ad Oratorium di Capestrano

Pacioli si occupò di quadrati magici, nel manoscritto "De viribus quantitatis", redatto  presumibilmente tra il 1496 e il 1508, dove associò i diversi quadrati magici ai pianeti allora conosciuti, secondo una tradizione già iniziata prima del loro arrivo in Europa. 
Un vero e proprio "mago" rinascimentale fu il medico, algebrista, inventore e astrologo pavese Girolamo Cardano (1501 - 1576), e il "mago" d'oltralpe Cornelio Agrippa di Nettesheim (1486–1535) che nell’edizione del 1533 della sua opera "De Occulta Philosophia" descrive i quadrati magici nel secondo libro, dedicato alla magia celeste, cioè al potere delle stelle e dei pianeti. 

Di ogni quadrato magico, Agrippa fornisce la descrizione in chiave planetaria, secondo il seguente schema:
Ordine 3: quadrato di Saturno
Ordine 4: quadrato di Giove
Ordine 5: quadrato di Marte
Ordine 6: quadrato del Sole
Ordine 7: quadrato di Venere
Ordine 8: quadrato di Mercurio
Ordine 9: quadrato della Luna.

Sempre di questo periodo rinascimentale è il famoso quadrato magico 4x4 che Albrecht Dürer  (1471 - 1528) immortalò nel 1514 nella sua incisione Melencolia I, che si crede essere il primo visto nell'arte europea. 
Su questo però non mi soffermerò, avendone già parlato in un precedente articolo completamente dedicato al grande artista "Albrecht Dürer, dalla magia alla matematica" (di cui lascio qui il link per la curiosità del lettore). preferendo invece parlare di uno più discusso recentemente, sempre 4x4, quello posto sulla facciata della Passione della Sagrada Família a Barcellona. 

Il quadrato di Subirachs 

sulla facciata della Passione della Sagrada Família³ a Barcellona

Il quadrato "non magico" di Subirachs 

La facciata della Passione della Sagrada Família⁴ a Barcellona, ideata da Antoni Gaudí (1852 - 1926) e progettata dallo scultore Josep Subirachs (1927 - 2014), presenta un quadrato 4 × 4 la cui costante è 33, l'età di Gesù al tempo della Passione. 
Strutturalmente, è molto simile al quadrato magico in Melancholia 1 di Albrecht Dürer, ma riporta i numeri in quattro delle celle ridotti di 1

Parallelo tra il quadrato di  Josep Subirachs e quello del Albrecht Dürer

E' facile anche notare che pur avendo lo stesso schema di sommatoria, questo non è un vero quadrato magico (non è un quadrato magico normale) perché non rispetta la regola che un quadrato magico n x n debba contenere ciascuno degli interi positivi da 1 a n². dato che due numeri (10 e 14) sono duplicati e due (12 e 16) sono assenti. 
Subirachs prese il quadrato magico dall'incisione del pittore tedesco Albrecht Dürer, Melencolia I , e lo adattò, ripetendo i numeri 14 e 10 invece di 12 e 16, per arrivare fino a 33, l'età in cui si ritiene tradizionalmente che Gesù sia stato giustiziato. 
Tradizionalmente creduto perché, storicamente, questo non è mai stato confermato, tuttavia è vero che 33 è anche un numero simbolico, e non del tutto casuale, basato sull'importanza del numero 3 nel mondo cristiano, come simbolo della trinità.
Inoltre, nel quadrato della Sagrada Familia, c'è anche una sorta di firma subliminale nascosta. Sommando i numeri che si ripetono e guardando la loro corrispondenza nell'alfabeto romano, otteniamo le iniziali INRI, l'acronimo che significa Iesus Nazarenus Rex Iudaeorum (Gesù di Nazareth, re degli ebrei) ed è il segno che Ponzio Pilato scrisse sulla croce di Gesù e qui, la sua firma.
I numeri che compaiono due volte sono infatti 10 e 14 e la loro somma è 10+10+14+14 = 48.
Ma 48 è anche la somma delle lettere della parola INRI (nell'alfabeto latino).
INRI = 9+13+17+9 = 48.

Dopo i brevi cenni storici e dopo aver parlato di questi due quadrati, magici e non, per soddisfare la curiosità lascio alcune considerazioni matematiche legate a questi quadrati (altre e più dettagliate potreste trovarle qui).

Alcune considerazioni matematiche sul Quadrato Magico

Un quadrato magico è una disposizione di numeri interi in forma di tabella quadrata in cui siano rispettate due condizioni:
- i valori siano tutti distinti tra loro 
- la somma dei numeri presenti in ogni riga, in ogni colonna, e in entrambe le diagonali, dia sempre lo stesso risultato, denominato "costante di magia" del quadrato (o "costante magica", o "somma magica"). 
In matematica, una tabella di questo tipo è detta matrice quadrata. In modo analogo a quanto avviene con queste ultime, il numero di righe (o di colonne) è detto "ordine" del quadrato magico.
Quindi possiamo definire più rigorosamente un quadrato magico come una matrice quadrata di numeri interi positivi da 1 a n² tale che la somma degli n numeri in ciascuna riga, colonna e diagonale principale sia sempre lo stesso numero, chiamato costante di magia.

Costante di magia 

La costante che è la somma di qualsiasi riga, colonna o diagonale è chiamata "costante magica" o "somma magica", M. 
Ogni quadrato magico normale ha una costante dipendente dall'ordine n, calcolato dalla formula:

Questa può essere dimostrata notando che la somma di 1+2+...+n² è n²(n² +1)/2
Poiché la somma di ogni riga è M, la somma delle somme di riga è nM = n²(n² +1)/2, che diviso per l'ordine n produce la costante magica. 
Per i normali quadrati magici di ordine n = 3, 4, 5, 6, 7 e 8, le costanti magici sono, rispettivamente: M = 15, 34, 65, 111, 175, e 260 (sequenza A006003 in OEIS ). 

Proprietà

- Il quadrato magico di ordine 1 è banale 

Il quadrato magico 1 × 1, con una sola cella contenente il numero 1, è chiamato banale , perché tipicamente non viene preso in considerazione quando si discutono i quadrati magici; ma è effettivamente un quadrato magico per definizione, se consideriamo una singola cella come un quadrato di ordine uno.

- Il quadrato magico di ordine 2 non può essere costruito 

I normali quadrati magici di tutte le dimensioni possono essere costruiti ad eccezione di 2 × 2 (cioè, dove l'ordine n = 2).

Numero di quadrati magici di un dato ordine 
Escludendo rotazioni e riflessioni, quante configurazioni hanno i quadrati magici?

- 1 sola configurazione del quadrato magico 3 × 3
Del quadrato magico di ordine 3 [M(3)=15] è possibile una sola configurazione. Eccone un esempio (ruotato rispetto al "Lo Shu"):

- 880 configurazioni del quadrato magico 4 x 4 
Del quadrato magico di ordine 4 [M(4)=34] sono possibili 880 configurazioni diverse senza rotazione o riflessione, come stabilì per primo Frénicle de Bessy nel 1693. Ecco un esempio  molto simile al famoso quadrato magico del Durer (le due colonne centrali sono state invertite)

- 275.305.224 configurazioni dei quadrato magico 5 x 5
Del quadrato magico di ordine 5 [M(5)=65] sono possibili 275.305.224 configurazioni diverse, come stabilito da R. Schroeppel nel 1973 con l’ausilio del computer. Eccone un esempio:

- Per il caso 6 × 6, si stima che siano circa 1,8 × 10^19 configurazioni, come stabilito statisticamente da Pinn e Wieczerkowski nel 1998. Eccone un esempio: 

- Per il caso n?
Non è stata determinata la regola che consenta di stabilire il numero di quadrati magici di un qualsiasi ordine n.


Alcune trasformazioni che preservano la proprietà magica
(altre trasformazioni più dettagliate qui) 

- Ciascun quadrato magico rimane magico se ruotato di 90°, 180° o 270° gradi, oppure se viene riflesso rispetto all’asse orizzontale, verticale e a ciascuna delle sue diagonali.

- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri sono moltiplicati per qualsiasi numero fisso k e avrà come costante magica kM(n)
Nell'esempio seguente gli elementi del quadrato di sinistra (M(4)=34) sono stati raddoppiati nel quadrato di destra (M(4)=68):

- Se aggiungiamo o sottraiamo la stessa quantità q a ciascun numero di un quadrato magico, otteniamo di nuovo un quadrato magico. Un quadrato magico normale a cui abbiamo aggiunto o sottratto q ha costante magica M(n) + nq o M(n) - nq.
Nell'esempio seguente a ogni elemento del quadrato magico normale di sinistra è stato aggiunto q=3 e quindi la costante magica del quadrato di sinistra risulta M(4)=34+4x3=46

- Un quadrato magico rimane magico quando i suoi numeri vengono aggiunti o sottratti da qualsiasi numero fisso. In particolare, se ogni elemento in un quadrato magico normale viene sottratto da n² + 1, otteniamo il complemento del quadrato originale. Nell'esempio seguente, gli elementi del quadrato 4 × 4 a sinistra (M(4)=34) vengono sottratti da 17 (4²+1) per ottenere il complemento del quadrato a destra (M(4)=34) 

Il Panquadrato di Adriano Graziotti

Concludo questo breve excursus sui quadrati magici, che per secoli hanno affascinato matematici e artisti, parlando dell'opera che ho usato per aprire questo post.
Si tratta del "Panquadrato" un'opera molto intrigante del matematico, pittore e scultore italiano Ugo Adriano Graziotti (1912 - 2000), che è considerato il più grande quadrato magico ed è entrato, a buon diritto nei Guinnes dei primati.

Dettaglio del Panquadrato di Graziotti

E' un quadrato magico di ordine 64 che comprende tutti i numeri naturali da 1 a 4096 e la cui costante magica è: 

M(64) = ½ ∙ 64(64² + 1) = 32 ∙ 4097 = 131.104

Oltre a risultare dalla somma dei numeri delle righe, colonne e diagonali, la costante magica 131 104, è data anche dalla somma dei numeri che compongono le raffigurazioni simmetricamente distribuite nel quadrato: 4 labirinti, 4 semidiagonali, 4 greche, 4 vampiri e i 2 bracci della croce centrale. 
Si ottengono cosi 18 "sottoquadrati" aventi la stessa costante del quadrato principale. 
Il numero 87, nell'ultima casella in basso a destra, è la criptica firma dell'artista: infatti le iniziali "H" e "G" di Hadrianus Graziotti corrispondono rispettivamente all'ottava e settima lettera dell'alfabeto. Il numero accanto, 2736, è l'anno di esecuzione del quadrato secondo il calendario dell'antica Roma: esso è dato dalla somma di 1983, anno di composizione del lavoro, e 753 a.C., anno della fondazione dell'Urbe. 
Complesso da descrivere, davvero geniale da concepire rientra tra le opere che l'artista dedicò alla sua passione matematica, e quello dei quadrati magici fu uno dei temi di ricerca sulla arcaica scienza che più appassionò Graziotti. 



Note

¹Filastrocca dell'Antro della Strega che possiamo leggere nel Faust, il celeberrimo poema dello scrittore tedesco Johann Wolfgang von Goethe. 
Questa filastrocca si presta ad una interpretazione matematica e può essere letta infatti come un algoritmo per costruire un quadrato magico a partire dai numeri naturali da 1 a 9.
La filastrocca in tedesco recita: 
"Du mußt verstehn!
Aus Eins mach’ Zehn, Und Zwei laß gehn,
Und Drei mach’ gleich, So bist Du reich.
Verlier’ die Vier!
Aus Fünf und Sechs, So sagt die Hex’, Mach’ Sieben und Acht,
So ist’s vollbracht. Und Neun ist Eins, Und Zehn ist keins.
Das ist das Hexen-Einmal-Eins!"

² Istituto Confucio dell'Università di Torino 

³ Il Sator è un’iscrizione in latino, che appaia come lapide o come graffito, apparentemente semplice ed elegante, fatta di lettere anziché di numeri, una lastra di pietra su cui sono incise cinque parole latine di cinque lettere ciascuna che formano una frase palindroma "Sator Arepo Tenet Opera Rotas", leggibili in direzioni orizzontali e verticali (manca la direzione obliqua presente dei quadrati magici numerici). 
Il testo, ancora oggi senza una chiara spiegazione, significa "Il seminatore sul carro conduce con cura le ruote".
Ma il motto racchiude in sé molte particolarità. Innanzi tutto: la terza parola, TENET, è palindroma, ossia può essere letta in entrambi i sensi. Inoltre se prendiamo la frase nella sua interezza anch’essa risulta sorprendentemente palindroma. Partendo dall’ultima parola: ROTAS, letta al contrario risulta SATOR, come la prima. La penultima, OPERA, risulta AREPO, come la seconda, e così via. 
Il quadrato Sator forse più antico è il quadrato scoperto a Pompei nel 1936 dall’archeologo ed epigrafista italiano Matteo Della Corte, 
Il Sator è anche detto Latercolo pompeiano proprio perché i due più antichi esemplari ad oggi noti emersero in Italia, appunto negli scavi di Pompei, città sepolta dall’eruzione del Vesuvio nel 79 d.C., anche se molti altri vennero collocati su chiese ed edifici soprattutto fra il 1000 e il 1800 e sono visibili su un numero sorprendentemente vasto di reperti archeologici.
Altre curiosità esoteriche e religiose qui

⁴ La Sagrada Família, nome completo in lingua catalana Temple Expiatori de la Sagrada Família (Tempio espiatorio della Sacra Famiglia) di Barcellona, Catalogna (Spagna) è il capolavoro di Antoni Gaudí, architetto catalano, definito l'architetto di Dio.
Nel 1866 nacque l'Associació Espiritual de Devots de Sant Josep (Associazione spirituale dei devoti di San Giuseppe), con l'intento di promuovere la fabbricazione di un tempio dedicato alla Sacra Famiglia. Tramite le donazioni che riceveva, l'associazione comprò il terreno su cui ora sorge la chiesa nel 1881 e in seguito si apprestò alla costruzione.
L'incarico fu affidato ad Antoni Gaudí nel 1884. Egli lavorò al progetto e seguì i lavori di costruzione per oltre 40 anni, dedicando completamente a questa impresa gli ultimi 15 della sua vita.
Dal 1940 gli architetti Francesco Quintana, Puig Boada, e Lluis Gari hanno portato avanti i lavori. Le sculture di J. Busquets e del controverso ma possente Josep Subirachs decorano le fantastiche facciate.
La costruzione della chiesa è tutt'oggi finanziata dalle donazioni all'associazione e i lavori procedono lentamente, anche a causa delle difficoltà del progetto. Numerosi edifici circostanti dovrebbero essere abbattuti per far posto alla scalinata principale.
La Sagrada Familia non è stata ancora finita e i responsabili assicurano che sarà terminata nel 2026 e si prevede che al suo completamento possa essere la più grande basilica del mondo.


Fonti
https://en.wikipedia.org/wiki/Magic_square
https://www.thespruce.com/feng-shui-magic-of-the-lo-shu-square-1274879
https://it.wikipedia.org/wiki/Sagrada_Fam%C3%ADlia

Albrecht Dürer, dalla magia alla matematica

"Qual è 'l geometra che tutto s'affige per misurar lo cerchio, e non ritrova, pensando, quel principio ond'elli indige,..."
(Dante Alighieri citazione dal XXXIII canto del Paradiso - Divina Commedia)

Questa citazione di Dante ben rende il problema della rettificazione o quadratura del cerchio, cioè la costruzione di un segmento con la stessa lunghezza di una data circonferenza o di un quadrato con la stessa area di un dato cerchio, che è stato uno dei problemi centrali della matematica per millenni e che ha dato origine ad una vera e propria malattia, il "morbus cyclometricus", che in certe epoche ha assunto dimensioni di epidemia. 

π = circonferenza/diametro = area del cerchio/quadrato del raggio

Questa spasmodica ricerca di π "peripheria circuli", cioè il rapporto tra la lunghezza della circonferenza ed il diametro di un cerchio, o che è lo stesso, il rapporto tra l'area del cerchio e il quadrato del raggio, nel XV secolo coinvolse anche grandi artisti tra cui uno dei maggiori rappresentanti del Rinascimento tedesco, Albrecht Dürer (1471-1528).

A. Dürer, Autoritratto con pelliccia, 1500 - Alte Pinakothek, Monaco di Baviera

Dürer subì certamente il potere e il fascino del π (pi greco), che troneggiava nella sua mente, nelle sue mani, nelle sue opere. 
L’autoritratto, in cui Albrecht si raffigura in posa come un Cristo, certamente scena voluta e scelta pensata, anche se usuale al tempo, è molto significativa a dimostrazione del fascino suscitato in lui dal π . 
Mentre a destra troneggia l'iscrizione latina 

“Così io, Albrecht Dürer da Norimberga, sono riuscito a ritrarmi con colori caratteristici nei miei 28 anni”, 

in alto a sinistra troviamo la sua firma, cosa strana in quanto generalmente un artista si firma in basso e di solito a destra, ma qui no! 
Prendendo una lente e ingrandendo l'immagine si nota che l’iniziale del suo nome, la lettera A, la rappresenta a forma di π (Pi Greco) con la D, iniziale del suo cognome, al suo interno.
Anche se il suo vero cognome, in origine, era Ajtos che in ungherese significa "porta" (in tedesco porta di dice "Tür", da Tür a Türer e poi a Dürer il passo è breve), che poi era anche lo stemma della sua famiglia.
La porta verso dove? Verso la “Conoscenza” si potrebbe dire, ma di quale conoscenza? 
Una conoscenza del mondo, delle sue leggi matematiche ma anche dell'esoterismo che nasconde.
Nella concezione esoterica il π simboleggiava il passaggio dall'armonia del cerchio, i cui punti sono tutti equidistanti dal centro, al quaternario simbolo delle 4 dimensioni spazio-temporali. 
Splendida è in tal senso la firma di Dürer così riconoscibile e sintetica da diventare un “brand” ante litteram, un logo che non sfigurerebbe tra quelli di oggi.

Esempi del "logo" ideato da Albrecht Dürer

I matematici probabilmente conoscono il Dürer soprattutto per il suo lavoro Melencolia I  che contiene, strani oggetti, simboli appartenenti al mondo dell'alchimia e della matematica. 
Una figura alata, assorta nei suoi pensieri, si trova circondata da oggetti propri del mondo alchemico, una bilancia, un cane scheletrico, attrezzi da falegname, una clessidra, un putto, una campana, un coltello, una scala a 7 pioli (7 sono le operazioni per giungere alla pietra filosofale), il famoso quadrato magico.... e dove un compasso (preso stranamente per una punta), il tetraedro troncato e la sfera rappresentano la base matematica dell’arte del costruire. 
Un'opera che è anche di una simmetria tale da non lasciare dubbi su dove si possano trovare i 3 elementi più importanti per arrivare alla conoscenza: le chiavi, la via da percorrere e la porta. 

Melencolia I o Melancholia I è un'incisione a bulino (23,9x28,9 cm) 

di Albrecht Dürer, 

siglata e datata al 1514 e conservata, tra le migliori copie esistenti, 

nella Staatliche Kunsthalle di Karlsruhe. 

Immagine tratta da Melencolia3 - Gaetano Barbella

Un'opera, densa di riferimenti esoterici, tra cui appunto il quadrato magico, che è una delle incisioni più famose in assoluto, oggetto anche di omaggi come quello di Thomas Mann  nella sua opera letteraria "Dottor Faustus" o di Dan Brown nel romanzo "Il simbolo perduto".
Questo quadrato magico è molto complesso e matematicamente interessante. 
Infatti non è solo la somma dei numeri delle linee orizzontali, verticali e oblique a dare 34 ma anche la somma dei numeri dei quattro settori quadrati in cui si può dividere il quadrato e anche i quattro numeri al centro, se sommati danno 34, così come i quattro numeri agli angoli.
Inoltre se si prende un numero agli angoli e lo si somma con il numero a lui opposto si ottiene 17 e se si prendono i numeri centrali dell'ultima riga si trova il numero 1514, anno in cui è stata creata l'opera. 

Quadrato magico di Melencolia I - datato 1514

Melencolia I è certamente una delle opere di Dürer che più è in relazione con i suoi studi matematici ma anche ermetici ed occultistici e che dimostra quanto l’artista abbia  fatto dell’occultismo un’opera d’arte, in cui l’allegoria fa parte di quel trittico dedicato alle tre vie che portano alla conoscenza.

Infatti, insieme a il “Cavaliere, la Morte e il Diavolo” e a “San Girolamo nella cella”, Melencolia I fa parte di un trittico, detto Meisterstiche (Incisioni Maestre), che potrebbe rappresentare, nell’ordine, la fede, la meditazione e l’immaginazione: il Cavaliere si farebbe interprete delle virtù morali, il San Girolamo di quelle teologiche e la Melencolia delle virtù intellettuali.

Foto dalla mostra a Milano del 26 febbraio 2018  - testi divulgativi del Dürer 

Ora lascio il Dürer fanatico di pi greco e incisore esoterico per svelare il suo apporto didattico/matematico, soprattutto riguardo alle sue originali costruzioni geometriche.

In seguito all'invenzione della stampa a caratteri mobili, nella metà del XV secolo, si sviluppò anche l'editoria scientifica, ma pur essendo tedesco l'ideatore, Johannes Gutenberg, è interessante notare che il primo libro di matematica vera e propria, se si escludono libri di conto o libri di testo per l'aritmetica commerciale, stampato e pubblicato in tedesco, "Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt" (Istruzione nella misurazione con riga e compasso), è stato scritto proprio da Albrecht Dürer.
Albrecht, nato a Norimberga 547 anni fa, il 21 maggio 1471, figlio di un orafo ungherese (terzogenito di diciotto figli), iniziò originariamente a imparare questo mestiere con il padre, da cui apprese le tecniche di incisione sui metalli, che più avanti metterà a frutto nei suoi celebri lavori a bulino e acquaforte, e poi divenne apprendista presso l'artista più importante di Norimberga, Michael Wolgemut. 
Come pittore, fece il suo primo viaggio in Italia dal 1494 al 1495, dove imparò molto sul nuovo stile rinascimentale dell'arte italiana e in particolare sull'allora metodo relativamente nuovo di prospettiva lineare.

"Ritratto di giovane veneziana" dipinto dal Dürer  in Italia e simbolo della mostra 

“Dürer e il Rinascimento tra Germania e Italia” 

a Milano dal 21 febbraio al 24 giugno 2018  

Dürer si convinse che questo stile di composizione basato sulla matematica era il vero nucleo dell'arte e tornò in Italia dal 1505 al 1507 specificamente per saperne di più su questa tecnica, ma dove frequentò, soprattutto a Venezia, anche ambienti Neoplatonici che lo portarono ad esplorare vie esoteriche, e dove conobbe Raffaello Sanzio. 
Molto più giovane di lui, Raffaello avrà una sincera e profonda ammirazione per la sua arte dell'incisione, tanto da tener esposte nella sua bottega alcune sue opere.
Una conoscenza e un'amicizia reciproca che terminerà nel 1520 anno in cui Raffaello muore a Roma, a soli 37 anni.
I due artisti si erano scambiati delle opere solo pochi mesi prima. Dürer aveva inviato un autoritratto, Raffaello il bozzetto della Trasfigurazione e sul retro del foglio, un disegno e delle annotazioni apparentemente insignificanti (misure e codici enigmatici che Durer cercherà poi di decifrare), ma che erano invece i primi pensieri annotati su carta di quello che sarebbe diventato uno dei più celebri affreschi del grande urbinate, la "Scuola di Atene".
L'affresco, che rappresenta i più celebri filosofi e matematici dell'antichità intenti nel dialogare tra loro, all'interno di un immaginario edificio classico, è uno dei più alti esempi di perfetta prospettiva centrale nella cultura prospettica del Rinascimento italiano.

“Dürer e il Rinascimento tra Germania e Italia” mostra a Milano 

foto del 26 febbraio 2018

Sullo sfondo la gigantesca xilografia, vera antesignana dei poster, 

composta da 192 blocchi 

stampati separatamente e riuniti insieme a formare un grande "Arco di Trionfo",  

su cui erano illustrate 

storie della vita di Massimiliano I d'Asburgo e dei suoi antenati oltre a complesse figurazioni allegoriche.

1515-1517, sotto la regia di Albrecht Dürer, conservata, tra le migliori copie esistenti, 

nel Germanisches Nationalmuseum di Norimberga.

Sempre nel suo viaggio in Italia e a Venezia, aveva incontrato Jacopo de’ Barbari, e questi era riuscito a mostrargli cosa fosse in grado di fare la matematica applicata all’arte.
Seppur autodidatta Dürer dedicò la sua vita artistica proprio allo studio della prospettiva e della proporzione lineare, e allo sviluppo delle conoscenze matematiche necessarie per realizzare questo tipo di disegno.
Fu senz'altro una delle personalità più competenti per introdurre questa tecnica nel Nord Europa e diventerà il più grande esponente della pittura tedesca rinascimentale.
Convinto che il segreto della vera bellezza risiedesse nella teoria delle proporzioni matematiche, dedicò vent'anni a scrivere la sua tesi più importante sull'argomento il suo "Hierinn sind begriffen vier bücher von menschlicher Proportion" (Quattro libri sulla teoria della proporzione)  stampato e pubblicato postumo a Norimberga nel 1528.
Quando questo libro fu quasi completato, Dürer si rese però conto che era troppo matematicamente avanzato per gli apprendisti, i suoi più probabili lettori, e così compilò un libro di testo di geometria elementare, il suo "Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt" (Istruzione nella misurazione con riga e compasso), che fu stampato e pubblicato a Norimberga, nel 1525, prima della sua opera magna per la quale avrebbe dovuto esserne un'introduzione.
Fu quindi ristampato postumo nel 1538 con materiale aggiuntivo e nella biblioteca del Dipartimento di Matematica e Informatica Dickinson College (Carlisle PA 17013 USA), c'è una bella traduzione in inglese, della prima edizione, di Walter L. Strauss (1977) in cui è riportato a sinistra il testo originale in tedesco e la traduzione in inglese a destra, nonché una scansione del testo originale. (Qui le scansioni del libro originale stampato nel 1538 - vedi pp. 110-119 per questo argomento)

Foto dalla mostra a Milano del 26 febbraio 2018  - testo del Dürer 

Come accennavo, questo è stato il primo libro di matematica a essere stampato e pubblicato in tedesco, in quanto tutte le precedenti opere matematiche erano state stampate in latino. 

Sebbene mirasse agli apprendisti dell'arte, il libro trovò un pubblico molto più ampio e divenne un bestseller scientifico non solo in Germania. 

Fu tradotto in latino e in molte delle principali lingue europee e diventò un libro di testo standard in tutta Europa per la maggior parte del secolo successivo. 

Ancora attuale all'inizio del XVII secolo, quando Keplero, che  stava scrivendo le sue opere geometriche, criticò la costruzione dell'ettagono di Dürer come solo un'approssimazione e non matematicamente precisa. 

Pare comunque che una delle illustrazioni di Dürer del libro su come costruire una prospettiva lineare abbia ispirato Keplero alla sua soluzione sperimentale del problema del foro stenopeico nell'ottica.

Illustrazione "Lo sportello" metodo “meccanico” per rappresentare oggetti in prospettiva 
(dall’Underweysung der Messung del 1525)

Leggendo questo testo "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt ( Un manuale di misurazione di linee, aree e solidi per mezzo di riga e compasso) si vede chiaramente come Dürer abbia scritto il libro come un manuale tecnico per artisti, artigiani, ecc., dando istruzioni elementari su come disegnare poligoni regolari con riga e compasso. 

All'epoca di Dürer le vecchie opere dei greci si stavano nuovamente diffondendo e senz'altro Dürer ne venne a conoscenza tanto che il libro inizia: 

"Il più sagace degli uomini, Euclide, ha messo insieme le fondamenta della geometria. Coloro che lo comprendono bene possono fare a meno di ciò che segue qui"

Questa sembrerebbe anche un po' strana come introduzione perché, sebbene egli dia alcune costruzioni euclidee, molte sono nuove e, inoltre, doveva certo sapere che la stragrande maggioranza dei suoi lettori non conosceva Euclide.

Pagine che mostrano il carattere del testo e le costruzioni all'interno di un cerchio. 

Dal libro "Underweysung der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt "

Poiché si tratta di un manuale tecnico, l'accento di Dürer è sulle costruzioni facili da disegnare che sembrano buone e, in particolare alcune come sosteneva Keplero, sono solo approssimazioni di bell'aspetto. 

Molte di queste erano note agli artigiani del tempo, perché tecniche tramandate di generazione in generazione o perché apparse in stampe precedenti, ma alcune potrebbero essere state davvero scoperte dallo stesso Dürer.

Un'interessante costruzione è quella del pentagono regolare, di cui in effetti ne dà due: una costruzione greca classica e una sua originalissima che vorrei qui descrivere.

Illustrazione 1 Pentagono

Questa costruzione ha due caratteristiche notevoli. 

Una è che viene disegnata, forse usando un compasso arrugginito, la cui apertura resta fissata per l'intera costruzione e questo, probabilmente rappresentava un grande vantaggio per l'artigiano.

Il fatto che non dovesse regolare continuamente il compasso avrebbe infatti reso la costruzione più semplice, veloce e precisa. 

Il secondo fatto interessante è che è solo approssimativamente un pentagono regolare, ma è un'approssimazione molto buona, anche se Dürer non dice mai che questa è un'approssimazione.

Secondo i calcoli fatti da David Richeson,  professore di matematica al Dickinson College, l'errore nell'altezza del pentagono è inferiore all'1%. 

La costruzione, come si vede nell'illustrazione¹ inizia con il segmento di linea etichettato {ab} e con questo raggio viene impostato il compasso e con successive manovre, che lascio come divertente esercizio di decodifica al lettore, si arriva alla costruzione del pentagono.

(qui un'immagine animata della costruzione del pentagono di Durer)

Andando avanti nella lettura di trova anche molto di più! 

Dürer continua a dare originalissime costruzioni con riga e compasso di poligoni regolari con 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11 e 13 lati. 

Come forse saprete, alcune di queste sono costruzioni impossibili (7, 9, 11 e 13), quindi le costruzioni di Dürer possono essere solo approssimazioni, anche se molto geniali.

L'ettagono (7-gon) e l'ennagono (9-gon) sono infatti approssimazioni eccellenti e quindi credo siano proprio da condividere e spiegare.

Illustrazione 2 Ettagono

L'ettagono di Dürer, come si vede nell'illustrazione², è straordinariamente facile da costruire. 

Inizia con un triangolo equilatero inscritto in un cerchio e considera la metà del lato del triangolo quasi con la stessa lunghezza del lato dell'ettagono inscritto. 

Quindi tutto ciò che si deve fare è semplicemente dividere in due un lato del triangolo e riportarne la misura, con il compasso, sulla circonferenza per ottenere così il primo lato 

dell'ettagono e usare poi questo lato per disegnare il resto e chiudere quasi perfettamente l'ettagono.

(qui un'immagine animata della costruzione dell'ettagono di Durer)

Illustrazione 3 Ennagono

La costruzione dell'ennagono è un po' più contorta, come nell'illustrazione³, ma altrettanto semplice. 

Si disegna un cerchio, un triangolo equilatero inscritto e, con la stessa apertura del compasso, si disegnano tre "Fischblasen" ("vesciche di pesce" come le chiama) facendo centro sui vertici del triangolo. 

Disegnato quindi un segmento radiale all'interno di una "vescica di pesce" lo si divide in tre parti e con l'apertura del compasso pari a questo 1/3 si traccia un cerchio concentrico che intersecherà in due punti {e} ed {f} la "vescica". 

Quindi {ef} sarà il lato di un ennagono (ovviamente approssimativo) inscritto nel cerchio più piccolo.

(qui un'immagine animata della costruzione del nonagono di Durer)

Come per il pentagono, Dürer non esplicita che l'ettagono e l'ennagono sono approssimazioni, tuttavia, ammette che le costruzioni dell'11-gono e del 13-gono, che tralascio in questo post, sono "meccaniche (approssimative quindi) e non dimostrative".

Come se non bastasse Dürer affronta anche due problemi indimostrati: quello di trisezione dell'angolo e della quadratura del cerchio.

Ricordando che la trisezione dell'angolo, come ha dimostrato algebricamente Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, nel libro Dürer lascia questa costruzione, curiosa ma sempre approssimativa, che vado a spiegare con una figura più esplicativa.

Trisezione dell'angolo secondo Dürer 

Sia AOB l’angolo da trisecare. Si tracci l’arco di circonferenza di centro O di estremi A e B, e si tracci anche il segmento AB.  Sia C  il punto  di AB tale che BC = 1/3 AB. Da C si conduca la perpendicolare ad AB, e sia D  il suo punto d’intersezione con l’arco di circonferenza. Si tracci quindi la circonferenza di centro B e raggio BD, che interseca il segmento AB  nel punto E.  Sia inoltre F  il punto di EC tale che si abbia EF = 1/3 EC. Si tracci poi la circonferenza di centro B e raggio BF, sia G  il  suo punto d’intersezione con l’arco di circonferenza. Allora l’angolo GOB è circa un terzo dell’angolo AOB.

Come già detto nel XV secolo molti artisti, tra cui Leonardo da Vinci (1452-1519), si dedicarono alla "quadratura del cerchio", e lo stesso Dürer cercò un' approssimazione di pi greco e ne diede una definizione molto rozza ma curiosa.

E così scrive:

"La quadratura circui, che significa quadrare il cerchio in modo che sia il quadrato che il cerchio abbiano la stessa superficie, non è stato dimostrato dagli studiosi. Ma può essere fatto approssimativamente per applicazioni minori o piccole aree nel modo seguente"

E' da notare che nella prima edizione del libro usa un'approssimazione di  π ~ 3{1/7} = 3,142857142.... (numero periodico), e nella seconda usa  π ~ 3{1/8} = 3,125 (numero decimale finito).
Le due approssimazioni, molto antiche, risalgono rispettivamente al 250 a.C. determinata da Archimede 3 + 10/71 <  π  < 3 + 1/7 = 3,142857142.... e addirittura al 2000 a.C. dai Babilonesi 3 + 1/8 = 3,125.

Scrive poi molto semplicemente: 

"Disegna un quadrato e dividi la sua diagonale in dieci parti e poi disegna un cerchio con un diametro di otto di queste parti"

Semplice quadratura del cerchio secondo Dürer 

Il libro di testo di Dürer gioca anche un ruolo importante nella storia della tipografia. 

È stampato infatti in un carattere tipografico creato appositamente per il libro dal maestro di scrittura Nürnberger Johannes Neudörfer (1497-1563) cognato dell'editore di stampanti Johannes Petreius .

Il carattere tipografico è uno script fraktur ("Fraktur" o "Gothic" è un particolare tipo di caratteri, appartenente alla famiglia dei caratteri gotici) e sebbene questo non sia stato il primo carattere fraktur, tutti i tipi di carattere fraktur sviluppati e utilizzati da allora derivano dalla creazione di Neudörfer.

Lettere del carattere "Fractur" dei testi del Dürer 
Il termine fractur deriva da frāctus ("rotto"), participio perfetto del verbo latino frangere ("rompere")

Questo libro del Dürer rappresenta certo una curiosa scoperta sotto vari profili ed è sicuramente una lettura piacevole che stimola a provare ad eseguire queste costruzioni. 

Io l'ho fatto a mano, ma si potrebbe anche facilmente fare usando Geogebra e si rimarrebbe sorpresi dalle figure geometriche risultanti.

Fonti
Illustrazioni tratte da Albrecht Dürer,  Underweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt:  Faksimile-Neudruck der Ausgabe Nürnberg 1525 mit einer Einführung von Matthias Mende, 3. Aufl., Verlag Dr. Alfons Uhl, Nördlingen, 2000