Un cilindro è posto al centro di una stanza illuminato da due fasci di luce.
Una delle due luci proietta un'ombra circolare, l'altra luce proietta un'ombra quadrata.
Entrambe le proiezioni, costituite dall'ombra, sono vere, non c'è trucco e sono reali, ma sorprendentemente contraddittorie.
L'una ci dice che l'oggetto ha qualcosa a che vedere con la figura del cerchio, e se vedessimo soltanto questa potremmo concludere che ci troviamo veramente di fronte ad una sfera su cui è proiettata una fonte di luce. Ugualmente, se vedessimo soltanto la figura del quadrato proiettata dall'altro raggio di luce, non c'è dubbio, che diremmo che un cubo è sospeso al centro della stanza.
La cosa veramente interessante è che solo un punto di vista altro, esterno, diagonale, non diretto, ci obbliga a scoprire la verità, e cioè che l'oggetto sospeso non è né un cubo, né una sfera, ma un cilindro, cioè un solido geometrico più complesso.
Questo per introdurre il tema, "Proiezioni", del Carnevale della Matematica di febbraio, il numero 157, lanciato dai Rudi Matematici, con una riflessione su un concetto che va oltre la geometria e che coinvolge la nostra percezione della realtà e delle sue illusioni.
Già Platone sosteneva che viviamo in un mondo di ombre, che nulla di ciò che percepiamo è "vero" e che colui che vedesse la "verità" verrebbe preso per pazzo dalla maggioranza degli altri uomini incatenati alla visione delle ombre.
Per Kant gli oggetti delle nostre percezioni sono addirittura inarrivabili perché l'essere umano ha a che fare con i fenomeni prodotti dall’interazione tra tali oggetti e le proprie categorie mentali.
Non percepiamo le ombre e basta, ma ognuno di noi ci mette qualcosa di suo, le reinterpretiamo, associandole alle nostre esperienze.
Quindi percependo solo una proiezione, che dipende anche dalle nostre conoscenze ed esperienze, non potremmo mai stabilire la verità.
A parte questa divagazione "filosofica", il tema proposto mi ha portato a considerare il termine "proiezione" da tanti punti di vista di cui accenno brevemente, ma in particolare mi soffermerò su due: uno strettamente matematico/geometrico e l'altro statistico.
Il termine "proiezione" spazia infatti ben oltre questi due concetti, in ambiti in cui il termine proiezione è forse meno conosciuto:
- in Chimica la proiezione (o formula proiettiva) è un modo di rappresentazione bidimensionale della struttura tridimensionale di una molecola e riveste una notevole importanza per quanto riguarda la rappresentazione degli isomeri
- nelle Scienze politiche e in quelle militari proiezione è un termine usato per riferirsi alla capacità di uno stato di applicare tutti o alcuni dei suoi elementi di potenza nazionale, come dispiegare all'estero proprie forze militari, per reagire a crisi o contribuire alla deterrenza, o ancora per aumentare la stabilità di un'area del mondo. (US Department of Defense (2013). The Dictionary of Military Terms. New York: Skyhorse Publishing.)
- nella balistica, proiezione è il lancio di un corpo pesante, come si fa per un proiettile con una carica di lancio in un'arma da fuoco o, come nei razzi, con altri sistemi di propulsione
- nella lotta e nelle arti marziali proiezione si riferisce al sollevamento o spostamento dell'avversario
- in psicologia la proiezione è un meccanismo di difesa arcaico e primitivo che consiste nello spostare sentimenti o caratteristiche propri, o parti del Sé, su altri oggetti o persone.
O di uso frequente come:
- in fotografia dove la proiezione è l'ingrandimento su di uno schermo di diapositive attraverso l'uso di un proiettore
- nel cinema dove la proiezione è lo scorrimento della sequenza di fotogrammi stampati sulla pellicola.
- ologrammi o proiezioni olografiche 3D sono proiezioni in alta definizione che simulano il 3D rendendo indistinguibile un oggetto reale da uno in video riproduzione
Proiezioni olografiche 3D al posto di elefanti, cavalli, tigri e leoni del
Circo itinerante Roncalli che incanta gli spettatori rispettando gli animali
Tornando al primo punto di vista "matematico", di cui vorrei parlare più dettagliatamente, si potrebbe ben vedere come in fondo la proiezione geometrica non sia altro che un'ombra che si proietta su un piano.
In uno spazio euclideo, come ad esempio il piano cartesiano o lo spazio tridimensionale, una proiezione ortogonale su un determinato sottospazio m (ad esempio, una retta o un piano) è una funzione P che sposta ogni punto dello spazio su un punto di m lungo una direzione perpendicolare ad m.
Vale a dire che una proiezione è la trasformazione di punti e linee in un piano in un altro piano collegando punti corrispondenti sui due piani con linee parallele, e il ramo della geometria che si occupa delle proprietà e degli invarianti delle figure geometriche sotto proiezione è chiamato geometria proiettiva.
Proiezione è infatti l'operazione fondamentale della geometria descrittiva e della geometria proiettiva, che trova ampia applicazione per esempio in cartografia, in meccanica e in architettura.
Si potrebbe parlare quindi del concetto di proiezione in geometria elementare, ma anche in geometria descrittiva e proiettiva.
La geometria descrittiva è infatti la scienza che permette, attraverso costruzioni geometriche, di rappresentare in modo inequivocabile su un piano oggetti a 2 o 3 dimensioni.
I metodi di rappresentazione della geometria descrittiva si basano principalmente su due operazioni fondamentali: la proiezione e la sezione.
Il disegno tecnico si basa su tre metodi di proiezione, classificati secondo la Tabella UNI 3969 in:
1. proiezioni ortogonali
2. proiezioni assonometriche
3. proiezioni prospettiche
E questi tre metodi prevedono la definizione di tre elementi fondamentali:
1. il centro di proiezione
2. le linee di proiezione, che partendo dal centro di proiezione passano per i punti significativi della figura da proiettare
3. il piano di proiezione, dove si trova l’immagine della figura proiettata.
In pratica, per proiettare un oggetto su un piano, tracciamo delle linee (linee di proiezione) a partire dal centro di proiezione, passando per i punti significativi di una figura e, nei tre tipi di proiezioni, i tre elementi fondamentali sono diversi.
1. Nelle proiezioni ortogonali, il cui inventore è considerato Gaspard Monge, matematico francese vissuto nel 1700, il centro di proiezione è a distanza infinita, perciò le linee di proiezione sono parallele tra loro, e sono perpendicolari al piano di proiezione.
2. Nelle proiezioni assonometriche, formalizzate dall'inglese William Farish nella prima metà dell'Ottocento, il centro di proiezione è a distanza infinita, perciò le linee di proiezione sono parallele tra loro, ma sono inclinate rispetto al piano di proiezione.
3. Nelle proiezioni prospettiche il centro di proiezione può essere un punto posto a distanza finita (come in figura), perciò le linee di proiezione sono inclinate rispetto al piano di proiezione.
Le prospettive possono però essere, in ordine di complessità, a un punto, a due punti e a tre punti, in relazione al fatto che una sola delle tre dimensioni sia
proiettata da un centro di proiezione, oppure due o, infine, tre.
Il metodo prospettico matematicamente esatto si fa risalire a Filippo Brunelleschi, attorno al 1420.
In Matematica il termine Proiezione si può identificare, sintetizzando:
- in geometria algebrica, con la proiezione di un punto su un iperpiano che è un oggetto basilare per la teoria dell'eliminazione e la decomposizione algebrica cilindrica
- in algebra lineare e analisi funzionale, con un endomorfismo tra spazi vettoriali legato al concetto di perpendicolarità tra vettori
- in geometria descrittiva e disegno come metodo di rappresentazione grafica utile per rappresentare un oggetto tridimensionale da diversi punti di vista
- in cartografia, con il risultato di trasformazioni geometriche, matematiche o empiriche di punti geografici espressi in coordinate geografiche in punti espressi in coordinate cartesiane
- in Informatica come operazione unaria su relazioni nell'algebra relazionale.
Sfondamenti prospettici, bellissimi effetti 3D, illusioni ottiche
dello street artist 1010 che colorano un muro di Amburgo
Non voglio però dilungarmi ulteriormente sugli aspetti puramente geometrici o matematici, perché ce ne sarebbe da parlare ancora moltissimo, soprattutto pensando a quei grandissimi personaggi, come Filippo Brunelleschi, Masaccio, Leon Battista Alberti, Piero Della Francesca, Leonardo Da Vinci, Raffaello Sanzio, Albrecht Dürer...che hanno contribuito allo sviluppo della geometria proiettiva nella pittura e nell'architettura.
A questo punto faccio un notevole salto e dalle regole certe della proiezione geometrica vorrei passare, come anticipato, alle "regole" meno certe, vale a dire le cosiddette proiezioni statistiche, così legate a questo periodo storico, di cui sentiamo ormai continuamente parlare, a volte sparlare e con dubbi argomenti.
Per proiezione statistica si intende la determinazione di valori futuri sulla base di ipotesi sul peso di alcuni parametri in un modello matematico.
Nel caso però si ritenga (soggettivamente) che tali ipotesi si avvereranno realmente nel futuro, allora si parla di previsione.
Spesso purtroppo si confonde il significato di questi due termini, parlando, per esempio, di previsioni piuttosto che proiezioni demografiche o nel caso delle cosiddette proiezioni elettorali, che spesso sono risultate molto poco attendibili.
"Non c’è dubbio che un problema biologico deve essere risolto per mezzo di sperimentazioni e non al tavolo di un matematico.
Tuttavia, per penetrare più a fondo la natura di questi fenomeni, è indispensabile combinare il metodo sperimentale con la teoria matematica"
Si parla spesso delle cosiddette proiezioni statistiche dedotte da un modello matematico per gestire, ad esempio, un'epidemia.
Un modello matematico nello studio di una epidemia serve principalmente a chiarificare le ipotesi, le variabili e i parametri che sono in gioco e per proporre di conseguenza parametri significativi per l’analisi e la classificazione delle epidemie stesse.
Proiezioni e previsioni statistiche
Utile se non determinante è la comprensione delle caratteristiche di trasmissione (Rzero, velocità di propagazione) della malattia infettiva per determinare le strategie migliori per ridurne la trasmissione, per prevederne il corso e paragonare l’efficacia di diverse misure di profilassi, quali quarantena, isolamento e trattamento.
In questo senso, i modelli matematici possono essere usati per pianificare, implementare e ottimizzare i programmi di individuazione, prevenzione, terapia e controllo dell'epidemia.
Ho preso in considerazione il modello matematico di Simone Cialdi e vorrei soffermarmi sull'introduzione fatta dallo stesso autore, che così commenta:
"Il fine è quello di sviluppare ed applicare un modello matematico appositamente realizzato per lo studio della diffusione dell'epidemia Covid-19 in Italia, tenendo conto anche delle caratteristiche specifiche dell'epidemia e del contesto italiano. Lo studio ha rivelato la centralità del problema relativo all'affidabilità dei dati disponibili, che costituiscono l'"input" del modello matematico."
Questa premessa cosa vorrebbe significare?
Purtroppo tutti i tipi di rilevazioni statistiche dipendono dalla scelta del campione e dalla attendibilità dei dati e le incertezze e le problematicità sono proprio quelle insite nei dati resi disponibili, in questo caso ogni giorno dalla Protezione Civile.
Un esempio è quello del dato relativo ai casi totali registrati per mezzo dei tamponi, molto diversi se correlati alla decisione di eseguire i tamponi solo ai sintomatici o a tutti, o sulla metodologia ad essi legata diversa a seconda dei cicli di amplificazione (Ct) della reazione PCR usata.
In concreto il dato non è omogeneo in quanto con questa diversa amplificazione (Ct) un tampone viene classificato come negativo, positivo o debolmente positivo con metodologia diversa, quindi determina dati non accettabili.
In questo caso la curva non fornisce una vera immagine della diffusione della malattia ma dipende dall'efficacia del metodo usato per monitorarla.
Un modello matematico per essere efficace e predittivo, quindi per una attendibile proiezione futura, anche se forse sarebbe meglio dire previsione, ha bisogno di dati per quanto possibile omogenei e riferiti a campioni attendibili.
Senza questa omogeneità e attendibilità è più che evidente come sia praticamente impossibile utilizzare questi dati in un modello matematico per fare previsioni a lungo termine (1 mese) sulla malattia.
Eppure si sente troppo spesso parlare di proiezioni o previsioni, più o meno catastrofiche o ottimistiche, valide a lungo termine, cosa che, come ammette lo stesso autore, non potrebbe essere accettabile.
Non mi soffermo su questo studio (che lascio alla curiosità del lettore qui), preso solo ad esempio per far capire come complessa sia l'analisi dei dati e la loro rilevazione in base al campione, tutte variabili che non permettono di potersi basare solo su modelli matematici per gestire o prevedere l'andamento di una epidemia che, oltre alla difficoltà nel reperire dati omogenei comporta forme di variazione dovute anche, e forse soprattutto, alle mutazioni che si riscontrano, periodo dopo periodo, nel virus.
Vuole essere solo un esempio volto a cercare di dare una più corretta valutazione della statistica e delle sue proiezioni.
Statistica di cui si parla forse troppo spesso, soprattutto in questi due terribili anni, dai media senza che se ne conosca la vera essenza e i limiti.
E ammettendo anche una più evoluta cultura della statistica, siamo sicuri che non si possa cadere in errore?
La cosa non è così semplice o ovvia e i dati e le rilevazioni possono essere sia generati che interpretati in modi diversi, spesso portando a risultati intenzionalmente ingannevoli o sbadatamente deformanti.
E sempre più spesso accade che un dato statistico (come anche una notizia o un’opinione), arbitrariamente o incautamente pubblicata, sia ripresa acriticamente e abbia un’enorme diffusione senza che venga fatta alcuna verifica sull’attendibilità della sua origine.
Anche se parrebbe esagerato affermare che la diffusione di una notizia possa essere inversamente proporzionale alla sua credibilità, sta di fatto, soprattutto ultimamente con la diffusione delle informazioni su internet, che molte cose considerate "vere" non hanno alcun fondamento se non il fatto che sono così diffuse da sembrarlo.
E accade inevitabilmente con dati e statistiche come con ogni altro genere di informazioni.
Il problema non sta tanto nell’esistenza degli errori, che sono sempre possibili, quanto nella diffusa abitudine di accettare dati sballati e incoerenti come se fossero "certezze" indiscutibili e di ripeterli ad infinitum senza mai verificarne la credibilità.
E ciò purtroppo accade non solo per statistiche riguardanti sondaggi o previsioni meteo, ma anche per temi molto più delicati legati appunto all'informazione medica, alla prevenzione e alla cura di malattie, o all'andamento di questa epidemia.
Deformazioni consapevoli e stupidaggini involontarie le cui conseguenze sarebbero comiche se non fossero invece drammatiche e pericolose.
La statistica è uno strumento di notevole utilità solo se usata bene!
Certo bisogna fare una netta distinzione fra la matematica, che in questo caso coinvolge essenzialmente il calcolo delle probabilità, e il modo in cui si raccolgono, s'interpretano e si elaborano i dati.
Anche se esistono metodi precisi per determinare il "margine di errore", questo, gioco forza, non può mai essere zero, ed è proprio per questo che si potrebbe definire la statistica la "scienza dell’inesattezza", in grado di dirci con precisione qual è il margine di errore in ogni dato.
"Sappiamo bene che queste argomentazioni basate sulle probabilità sono imposture, e se non abbiamo molta cautela nel loro uso possono essere ingannevoli"
Perciò, ricorrendo ancora a Platone, nessuna statistica può essere "esatta", anche se questa esigenza filosofica non deve togliere il merito alle statistiche di essere utili e, sempre nei limiti dell’inevitabile incertezza, credibili.
Come è auspicabile e nella sua stessa natura, ogni scienza ha il dovere di dubitare di se stessa e ogni teoria deve essere considerata valida fino al momento in cui nuovi sviluppi sperimentali o metodologici la possano mettere in discussione.
Comunque sta di fatto che le statistiche sono manipolabili e sempre in tutto il loro sviluppo, dall’impostazione iniziale (scelta del campione) fino alle interpretazioni conclusive (proiezioni, inferenze e generalizzazioni), anche se le deformazioni a volte non sono necessariamente intenzionali ma dovute a superficialità di valutazione o a errori di impostazione.
Errori non "voluti", ma che ugualmente risultano devianti, e che, diffusi come presunte certezze, hanno la pretesa di "dimostrare" tutto e il contrario di tutto.
Una frase famosa attribuita da Mark Twain a Benjamin Disraeli, I conte di Beaconsfield, politico e scrittore britannico nel periodo Vittoriano, anche se mai riscontrata nei suoi lavori, riassume molto bene la valenza che possono avere alcune statistiche:
"There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics"
("Ci sono tre specie di bugie: le bugie, le sfacciate bugie, e le statistiche")
Non sempre si tratta di "bugie" e una statistica può essere "falsa" non per distorsione intenzionale, ma per un errore di metodo o di interpretazione.
Anche quando la significatività, da un punto di vista matematico, è seria (anche se spesso non lo è) ci possono essere molti fattori che rendono discutibile il risultato. Basta una piccola differenza nel modo in cui si pone una domanda o come si raccolgono e si interpretano i dati, per poter appunto "dimostrare" una tesi piuttosto che un'altra.
Da un'illustrazione della Bibbia di Gustave Doré
Eppure inizialmente la statistica aveva scopi assolutamente nobili, in quanto la parola statistica deriva dalla parola "Stato" ed è una scienza nata proprio per poter governare bene uno stato.
Infatti, la necessità di effettuare rilevazioni statistiche fu avvertita quando gli antichi popoli cominciarono a darsi una organizzazione sociale, una struttura economica, un ordinamento militare.
Uno tra i più antichi rilevamenti di dati di cui si abbia notizia, è quello svolto da Mosè nel deserto del Sinai, durante il ritorno in Israele del popolo ebraico. (Origini della Statistica "Storia della Statistica - I momenti decisivi" di Maria Pia Perelli D’Argenzio)
Fu Dio a chiedere a Mosè di contare tutti i maschi delle 12 tribù di Israele che avevano un'età superiore ai 20 anni, per sapere quanti erano gli uomini sui quali si potesse contare per costruire l'esercito d'Israele e questo censimento è documentato nella Bibbia, proprio nel Libro dei Numeri.
E i numeri costituiscono le basi della statistica, anche se capire se abbiano un significato e cosa se ne possa dedurre è tutt’altro che facile.
Insomma ci possiamo "fidare" delle statistiche solo se sappiamo che cosa sono e come funzionano e il problema non è tanto lo strumento matematico, ma l’uso che se ne fa.
Come affermava Giancarlo Livraghi, uno dei due traduttori del libro scritto da Darrell Huff dal titolo originale "How to lie with statistics" (testo completo in inglese qui), il libro di statistiche più venduto della seconda metà del secolo scorso, uscito in USA nel lontanissimo 1954, ma pubblicato in Italia solo nel 2007 "Mentire con le Statistiche":
"L’inondazione di numeri con cui ci affliggono continuamente i mezzi di cosiddetta informazione, basata su statistiche mal capite o su dati del tutto immaginari, rischia di far annegare nel marasma anche quelle valutazioni che meriterebbero di essere seriamente approfondite...per quanto riguarda le statistiche, sarebbe importante diffondere come cultura di base la capacità di capirne il significato. Potrebbe bastare una estesa adozione del libro di Darrell Huff nelle scuole medio-superiori, e renderlo testo obbligatorio per la qualificazione al mestiere di giornalista".
Il pregiudizio, che sembra difficilmente superabile, è che la statistica sia un argomento comunque ostico, difficile, poco interessante per chi non è direttamente coinvolto.
Superare questa barriera dovrebbe essere invece un impegno, consapevole e ostinato, da parte di tutto il sistema didattico e culturale, e uno strumento adatto allo scopo, sarebbe proprio il libro di Darrell Huff".
Un libro che rappresenta un antidoto sicuro nei confronti dell’uso spesso impreciso, talora sconsiderato, quasi sempre pericoloso, che della statistica fanno pubblicitari, giornalisti e politici a volte con il solo scopo di fare del sensazionalismo, a volte per promuovere interessi economici, politici o personali.
Gli stessi divulgatori spesso non hanno una percezione corretta dei numeri che stanno usando, ma non possono resistere, come l’autore ci mostra, dall’impiegarli per gonfiare, sensazionalizzare e sovrasemplificare.
Darrel Huff non rivolge una critica alla scienza statistica in sé, la cui utilità e importanza non è messa in questione, ma alle sue distorsioni, talvolta inconsce, che ci conducono per dare un significato diverso da quello contenuto (oppure assente) nei dati presentati.
E' quindi soprattutto un libro che educa alla comprensione della statistica ma che insegna anche ad essere scettici non solo sull'accettazione dei dati ma anche sull'interpretazione che noi stessi potremmo darne.
In statistica bisogna essere scettici su tutto, anche sulla propria analisi perché:
"Non ci sono fatti, solo interpretazioni" (Friedrich Nietzsche)
Note
Alcuni paragrafi sono stati ripresi da due miei precedenti articoli da cui si possono trarre altre curiosità:
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