Matematica, dall'astratto all'applicato il passo è breve?

Il tema del prossimo Carnevale della Matematica di novembre, che MaddMaths ospita, è "Comunicare o non comunicare, questo è il problema", ovvero credo si ponga il problema di capire se davvero sia possibile comunicare e divulgare la matematica con linguaggio comprensibile o in tempi che davvero coincidano con la sua applicazione.
Proprio in questo mese cadono anche i 150 anni dall'uscita del primo numero del Magazine Nature, che sicuramente ha molto contribuito a comunicare e divulgare tutta la Scienza e anche molti studi e curiosità matematiche.

Video 150 Years of Nature

Tra queste curiosità mi piace qui ricordare un tema apparso su Nature nel lontano luglio 2011 sull'impatto non pianificato della matematica, "The unplanned impact of mathematics".
In questo intrigante articolo Peter Rowlett introduceva sette racconti, poco conosciuti, che illustravano come il lavoro teorico del matematico, con le sue scoperte, possa poi portare ad applicazioni pratiche, ma anche come non possa essere forzato e, a volte, richiedere secoli.
Introduce l'articolo un divertente aneddoto:
"Da bambino, ho letto una barzelletta su qualcuno che ha inventato la spina elettrica e ha dovuto aspettare l'invenzione di una presa per metterla dentro." 

Ma chi inventerebbe qualcosa di così utile senza sapere a quale scopo avrebbe potuto servire? 
Nessuno tranne i matematici, perché la matematica mostra spesso questa sorprendente qualità. Cercando di risolvere i problemi del mondo reale, i ricercatori spesso scoprono che gli strumenti di cui hanno bisogno sono stati sviluppati anni, decenni o persino secoli prima da matematici senza alcuna prospettiva o senza curarsi dell'applicabilità. 
E la cassetta degli attrezzi è vasta, perché, una volta che un risultato matematico è dimostrato con soddisfazione della disciplina, non ha bisogno di essere rivalutato alla luce di nuove prove o confutato, a meno che non contenga un errore...se era vero per Archimede, allora è vero oggi!
Il matematico sviluppa argomenti che nessun altro può vedere e spinge le idee lontano nell'astratto, ben oltre dove gli altri si fermerebbero.
Questa estensione e astrazione, senza una direzione o uno scopo apparente, è fondamentale per la disciplina, né l'applicabilità è la ragione per cui lavorano i matematici.
Quindi spesso la comunicazione e la divulgazione di queste idee e scoperte appare anni o addirittura secoli dopo.
Non c'è modo di garantire in anticipo quale matematica pura troverà l'applicazione in seguito. Possiamo solo lasciare che il processo di curiosità e astrazione abbia luogo, lasciare che i matematici prendano in considerazione i risultati solo dal punto di vista logico, lasciando da parte la pertinenza applicativa e aspettando di vedere quali argomenti risulteranno in futuro estremamente utili. 
Si potrebbe dire che, così procedendo, quando arriveranno le sfide del futuro, avremo a portata di mano il pezzo giusto di matematica apparentemente inutile.

Per illustrare questa partiolarità della scoperta e della conseguente applicazione e comunicazione matematica a posteriori, Peter Rowlett chiese ai membri della British Society for the History of Mathematics alcune storie, non raccontate, dell'impatto non pianificato della matematica, tralasciando ovvietà come l'uso della teoria dei numeri nella crittografia moderna, o che la matematica esistesse già prima del computer o che i numeri immaginari sono diventati essenziali, per esempio, per i calcoli complessi che pilotano gli aeroplani... 
Peter Rowlett, nell'articolo, ne riportava sette:

- Dai quaternioni a Lara Croft di Mark McCartney e Tony Mann (Università di Ulster, Newtownabbey, Regno Unito; Università di Greenwich, Londra)
- Dalla geometria al Big Bang di Graham Hoare (Redattore di Mathematics Today)
- Dalle arance ai modem di Edmund Harriss (Università dell'Arkansas, Fayetteville)
- Dal paradosso alle pandemie di Juan Parrondo e Noel-Ann Bradshaw (Università di Madrid; Università di Greenwich, Londra)
- Dai giocatori d'azzardo agli studi attuariali di Peter Rowlett (Università di Birmingham, Regno Unito)
- Dai ponti al DNA di Julia Collins (Università di Edimburgo, Regno Unito)
- Dalle corde al nucleare di Chris Linton (Università di Loughborough, Regno Unito)

Io mi soffermerò solo su due, da me rielaborate con dati più recenti, legate ai grandi Keplero ed Eulero, che ho trovato interessanti e intriganti, per gli altri lascio alla curiosità del lettore l'articolo originale.

Dalle arance ai modem 

Nel 1998 la matematica salì alla ribalta con la notizie che Thomas Hales dell'Università di Pittsburgh, in Pennsylvania, aveva dimostrato che la congettura di Keplero era "molto probabilmente vera", dimostrando che il modo in cui i fruttivendoli impilano le arance è il modo più efficiente per imballare le sfere. 
Un problema che era stato aperto dal 1611 era finalmente risolto! 
Il problema è molto semplice da formulare: se si hanno un numero di sfere uguali, come si devono posizionare per occupare il minor spazio possibile? Ad esempio, se devo imballare le arance, come le organizzo in modo da ottenerne il massimo in una cassetta?
La sua dimostrazione comportò un gigantesco calcolo computazionale e alcuni anni dopo, Hales stesso avviò un programma per completare una vera prova formale della congettura, finché il 10 agosto 2014 il progetto, chiamato Project FlysPecK (dove le lettere F, P e K sono le iniziali delle parole che compongono la frase Formal Proof of Kepler), ha annunciato il completamento con successo del programma con un calcolo al computer che richiese 6 giorni e mezzo. 
Anche se al tempo in televisione un fruttivendolo dichiarò "Penso che sia una perdita di tempo e denaro dei contribuenti", da allora, continuando metaforicamente e mentalmente a discutere con quel fruttivendolo, oggi la matematica del confezionamento delle sfere consente la comunicazione moderna, essendo al centro dello studio di codifica di canali e codici di correzione degli errori.
Nel 1611, Johannes Kepler suggerì che l'accatastamento del fruttivendolo fosse il più efficiente, ma non fu in grado di fornire una prova. 
Si è rivelato essere un problema molto difficile e anche la più semplice domanda del modo migliore per accostare i cerchi è stata dimostrata solo nel 1940 da László Fejes Tóth. 
Già nel diciassettesimo secolo, Isaac Newton e David Gregory discutevano del "kissing problem" "quante sfere possono 'baciare' una determinata sfera senza sovrapposizioni?"
In due dimensioni è facile dimostrare che la risposta è 6 e Newton pensava che 12 fosse il massimo in 3 dimensioni. 
Lo è, ma solo nel 1953 Kurt Schütte e Bartel van der Waerden ne hanno dato una dimostrazione.
Il numero di accostamenti in 4 dimensioni è stato dimostrato essere 24 da Oleg Musin nel 2003. 
In 5 dimensioni possiamo solo dire che si trova tra 40 e 44 e tuttavia sappiamo che la risposta in 8 dimensioni è 240, dimostrata nel 1979 da Andrew Odlyzko dell'Università del Minnesota, Minneapolis e Neil Sloane. 
Lo stesso problema ha avuto un risultato ancora più strano e la risposta in 24 dimensioni è stata 196.560. 
Queste dimostrazioni, sorprendentemente, sono più semplici del risultato per tre dimensioni e si riferiscono a due accostamenti di sfere incredibilmente densi, chiamati reticolo E8 in 8 dimensioni e reticolo Leech in 24 dimensioni.

Il tutto sembrerebbe abbastanza magico, ma è utile? 
Negli anni '60 un ingegnere di nome Gordon Lang lo credeva. 
Lang stava progettando i sistemi per modem ed era impegnato a raccogliere tutta la matematica che riusciva a trovare perché aveva bisogno di inviare un segnale su un canale rumoroso, come una linea telefonica. 
Il modo naturale è scegliere una raccolta di toni per i segnali, ma il suono ricevuto potrebbe non essere lo stesso di quello inviato. 
Per risolvere questo, ha ricavato i suoni da un elenco di numeri ed è stato quindi semplice scoprire quale dei segnali che avrebbero potuto essere inviati fosse il più vicino al segnale ricevuto. 
I segnali possono quindi essere considerati come sfere, con spazio di manovra per il rumore,  e, per massimizzare le informazioni che possono essere inviate, queste "sfere" devono essere accostate il più strettamente possibile.
Negli anni '70, Lang sviluppò un modem con segnali a 8 dimensioni, usando l'imballaggio E8. 
Ciò ha contribuito ad aprire Internet, poiché i dati potevano essere inviati al telefono, invece di affidarsi a cavi appositamente progettati.
Tutto questo senza dimenticare i contributi dati in precedenza dal Secret Communication System (brevettato l'11 agosto 1942), il sistema ideato da Hedy Kiesler (Hedy Lamarr) e George Antheil per il quale ottennero il Pioneer Award dalla EFF, premio atteso da tempo per gli sforzi scientifici che arrivò a Hedy solo tre anni prima della sua morte nel 2000, mentre all'epoca Antheil era già scomparso da oltre 40 anni.
La loro invenzione è infatti alla basa di molti sistemi per le trasmissioni radio ancora oggi, non solo nella crittografia o in scopi militari, ma anche in ambito informatico e nella telefonia mobile, e sempre per questa invenzione, Lamarr e Antheil sono stati anche inseriti nella National Inventors Hall of Fame degli Stati Uniti nel 2014.

Dai ponti al DNA

Quando Leonhard Euler dimostrò alla gente di Königsberg nel 1735 che non potevano attraversare tutti i loro sette ponti in un solo viaggio, inventò un nuovo tipo di matematica, in cui le distanze non contavano. 
Eulero schematizzò il problema con un grafo, indicando con quattro vertici le zone della città (le due isole e le due rive del fiume) e con sette spigoli (i ponti che le congiungevano) e dimostrò che purtroppo non esiste alcun percorso che permetta di realizzare questa passeggiata che i cittadini di Königsberg desideravano tanto.
La sua soluzione si basava solo sulla conoscenza della disposizione relativa dei ponti, non su quanto fossero lunghi o quanto fossero grandi, ma solo nel 1847, Johann Benedict Listing finalmente coniò il termine "topologia" per descrivere questo nuovo campo e per i successivi 150 anni circa i matematici lavorarono per comprendere le implicazioni dei suoi assiomi.

Immagine da Dropsea

La cittadina prussiana di Königsberg è tagliata dal fiume Pregel al cui centro si trovano due isole raggiungibili attraverso sette ponti. E' dunque possibile trovare un percorso chiuso (punto di inizio e punto di fine coincidono) in grado di attraversare tutti i sette ponti una e una sola volta?

Per la maggior parte del tempo, la topologia è stata perseguita come una sfida intellettuale, senza aspettarsi che fosse utile. 
Dopotutto, nella vita reale, la forma e la misurazione sono importanti e una ciambella non è la stessa di una tazza di caffè, ma chi mai si preoccuperebbe dei buchi 5-dimensionali negli spazi astratti 11-dimensionali? 
Persino parti della topologia dal suono pratico come la teoria dei nodi, che aveva le sue origini nei tentativi di comprendere la struttura degli atomi, furono ritenute inutili per la maggior parte del diciannovesimo e del ventesimo secolo.
Improvvisamente, negli anni '90, iniziarono ad apparire le applicazioni della topologia. All'inizio lentamente, ma, guadagnando sempre più slancio, oggi sembra che ci siano poche aree in cui la topologia non venga utilizzata. 
I biologi imparano la teoria dei nodi per comprendere il DNA, gli informatici usano trecce (fili intrecciati di materiale che corrono nella stessa direzione) per costruire computer quantistici, mentre altri scienziati usano la stessa teoria per far muovere i robot. 
Il calcolo quantistico non funzionerà se non saremo in grado di costruire un sistema robusto resistente al rumore, quindi le trecce (operatori treccia) sono perfette per la memorizzazione delle informazioni perché non cambiano se le muovi.
Gli ingegneri utilizzano strisce Möbius unilaterali per rendere più efficienti i nastri trasportatori e i medici ricorrono alla teoria dell'omologia per eseguire scansioni del cervello.
È proprio perché la topologia è priva di misurazioni della distanza che è così potente. 
Gli stessi teoremi si applicano a qualsiasi DNA annodato, indipendentemente da quanto tempo passi o da quale animale provenga. Non abbiamo bisogno di scanner cerebrali diversi per le persone con cervelli di dimensioni diverse.  
I cosmologi la usano per capire come si formano le galassie e le società di telefonia mobile utilizzano la topologia per identificare i buchi nella copertura della rete e i telefoni stessi utilizzano la topologia per analizzare le foto scattate.
Quando i dati del sistema di posizionamento globale sui telefoni cellulari non sono affidabili, la topologia può comunque garantire che tali telefoni ricevano un segnale. 

Rielabolarazione di Yin Yang 
 Colorful Painting 5 di Dirk Czarnota

Queste due storie, come tante altre che se ne posssono trovare, dimostrano come la Matematica oscilli fondamentalmente tra due aspetti. 
Fin dall'antichità mentre alcuni la studiavano per risolvere problemi tecnici, altri cominciarono a chiamarla "arte" e la affiancarono alla filosofia. 
Quindi, senza alcuna ambiguità, chiamiamo queste due facce della matematica Matematica Applicata e Matematica Pura, che ben definì Bertrand Russell (1910) nei Principia Mathematica. 
Tuttavia, spesso può essere molto difficile tracciare una linea di separazione tra Matematica Pura e Matematica Applicata con la conseguente capacità di comunicarla e divulgarla. 
Come tanti esempi dimostrano, è capitato numerose volte, nel corso della storia, che problemi legati alla Matematica Pura e senza alcuna apparente applicazione, dessero poi a distanza di anni un contributo fondamentale al progresso. 
Bisogna quindi immaginarsi la matematica come un grosso Yin-Yang, ma invece che "luce" contro "ombra" o "fuoco" contro "acqua" mettiamoci "pura" contro "applicata".
I matematici applicati si concentrano sull’uso e la comunicazione nel mondo reale della matematica: ingegneria, economia, fisica, biologia, astronomia, tutti questi campi hanno bisogno di tecniche quantitative per rispondere a domande e risolvere problemi. La matematica pura, d’altra parte, è matematica fine a se stessa.
Ma se "applicata" significa utile non ne segue che "pura" debba voler dire inutile.
Come abbiamo visto è tutt'altro!
La matematica pura non si preoccupa delle sue applicazioni, non si occupa del mondo reale, ma ciò che potrebbe sembrare inutile, un giorno potrebbe diventare fondamentale.

Numeri immaginari...Matematica reale o immaginaria?

Eccomi alla seconda puntata (la prima la trovate qui) del viaggio tra matematica reale e immaginaria vista anche attraverso i fumetti.

Avevo detto che avrei parlato dei numeri immaginari!!??

Non posso fare a meno però di ritornare ai fumetti, anzi alla strisca di "Calvin & Hobbes" dove Calvin si terrorizza al solo sentirne il nome, mentre per Hobbes sono innati. Infatti, come si sa, le tigri di pezza hanno sviluppato la capacità di comprendere e lavorare con i numeri immaginari!!!

Tanto per ricordare chi sono Calvin e Hobbes.....Calvin è un bimbo, Hobbes la tigre di pezza che con lui diventa animata.

Calvin: Ecco un altro problema di matematica che non riesco a risolvere, quanto fa 9+4?

Hobbes: Oh, questo è difficile, devi usare l'analisi matematica e i numeri immaginari per questo

Calvin: Numeri immaginari ?? 

Hobbes: si, sai come undiciette, trentaventi, roba del genere, è un po' "complesso" al primo approccio

Calvin: E tu dove hai imparato tutte queste cose che non sei mai stato a scuola?

Hobbes: Istinto, le tigri ci nascono con l'istinto

Calvin & Hobbes è una striscia a fumetti realizzata da Bill Watterson, uscita sui quotidiani statunitensi dal 18 novembre 1985 al 31 dicembre 1995, data in cui l’autore smise di disegnare. Ambientata negli Stati Uniti contemporanei, la striscia è incentrata sulle avventure di Calvin, un bambino di sei anni pestifero e fantasioso, e di Hobbes, la sua tigre di pezza che per tutti è un semplice pupazzo, ma che per Calvin si anima e diventa un fedele compagno di avventure e peripezie quotidiane.

Il nome Calvin si ispira a Giovanni Calvino, il teologo del XVI secolo che credeva nella predestinazione, mentre Hobbes è quello del filosofo e matematico britannico del XVII secolo, Thomas Hobbes, autore nel 1651 dell'opera di filosofia politica Leviatano, in cui rivela la sua bassa considerazione per la natura umana.

Dopo questa introduzione fumettistica entro nel vivo dell'argomento dei numeri immaginari che in verità non so se considerarli appartenenti al mondo della Matematica reale o di quella immaginaria!

Comunque Hobbes ha dimostrato di conoscerli davvero e aggiungendo "it's a little confusing" ha  implicitamente ammesso che c'è un po' di confusione, insomma che la questione è complessa.

Si perché immaginario e complesso, come ben sanno i matematici, sono due concetti che vanno davvero a braccetto. E accompagnata dai due simpatici fumetti cercherò di introdurli, soprattutto storicamente. 

Fu Girolamo Cardano (Ars Magna, 1545), poliedrica figura del Rinascimento italiano, riconosciuto anche come il fondatore principale della teoria della probabilità, il primo a trattare esplicitamente questi numeri (senza ancora usare il simbolo i), tentando di risolvere il seguente problema:

“dividere un segmento di lunghezza 10 in due parti tali che il rettangolo da esse formato abbia area 40”

In realtà l’area di un tale rettangolo è al massimo 25 (quando x=y cioè quando le due parti sono uguali e diventa un quadrato), ma l’algebra ci dice qualcosa in più, se consideriamo l’equazione corrispondente al problema:

x² −10x + 40 = 0 .

Essa conduce alle due soluzioni “sofistiche” 5 + √−15 e 5 − √−15 , che usano il numero “impossibile” √−15 e il cui prodotto è:

(5 + √−15)(5 − √−15) = 25 − (−15) = 40

e la cui somma è:

(5 + √−15)+ (5 − √−15) =10 

Nei secoli successivi, numerose altre equazioni algebriche portarono a soluzioni  “immaginarie”, come le definì Cartesio nel 1637. Ma fu grazie ad Eulero che lo studio di tale materia trovò pieno compimento con l'introduzione dell’unità immaginaria i, tale che i² = −1, che permise di scrivere i numeri precedenti come 5 ± i√15 e qualsiasi altro numero complesso nella forma a noi nota: z = a + i b

L’interpretazione geometrica fu dovuta alle tesi di Gauss (1799) e Argand (1806) e alla introduzione del piano complesso, che oggi porta il loro nome.

Ma andiamo per ordine e consideriamo il fatto che mentre i numeri naturali e le frazioni sono nati da esigenze di carattere pratico, di tipo amministrativo e commerciale, i numeri negativi, reali, immaginari e complessi sono, invece, frutto di speculazioni interne allo sviluppo della matematica, in particolare di quella parte che è denominata algebra e che fino alla metà dell’Ottocento si identificava con la teoria delle equazioni algebriche. 

E proprio la risoluzione e lo studio delle proprietà delle equazioni polinomiali porterà inevitabilmente allo studio della natura e delle proprietà dei vari insiemi numerici.

Per circa sei secoli dalla sua fondazione, comunque l’algebra non ebbe una significativa evoluzione e il primo avanzamento notevole, si ebbe infatti solo nella prima metà del Cinquecento con la risoluzione delle equazioni di terzo e quarto grado ad opera di Scipione dal Ferro, Niccolò Tartaglia, Girolamo Cardano e Lodovico Ferrari. Ed è proprio in questo contesto che si iniziano a considerare anche soluzioni negative ed emerge per la prima volta una problematica che porterà all'introduzione dei numeri immaginari e complessi.

Pochi anni dopo il problema "impossibile" di Cardano, Raffaele Bombelli, nella sua "Algebra, parte maggiore dell'Artmetica" pubblicata a Bologna nel 1572, introduce regole di calcolo per operare con le radici di numeri negativi e accetta queste nuove quantità numeriche anche come soluzioni per le equazioni di secondo grado con discriminante negativo.

Questo tipo di soluzioni vengono denominate da Bombelli “sofistiche” (forse riprendendo il nome già precedentemente usato da Cardano), ma la loro compiuta accettazione non avvenne né facilmente né in tempi brevi.

La resistenza a considerare soluzioni negative o complesse di equazioni algebriche derivava, in gran parte, dal fatto che l’algebra era considerata uno strumento per risolvere problemi “concreti” e le soluzioni di quel genere non avevano alcun significato reale.

Autori come Albert Girard e René Descartes, furono tra i primi ad accettare questo nuovo tipo di soluzioni, ma lo fecero solo per motivi squisitamente matematici.

Albert Girard (1595-1632), nel suo trattato "L’invention en algebre" (1629), usa disinvoltamente coefficienti negativi e calcola non solo le soluzioni negative, ma anche quelle complesse.

Ricordando anche che fu il primo ad utilizzare le abbreviazioni sin, cos e tan in un trattato, notiamo che la parte più interessante di questa pubblicazione è quella dove Girard fornisce uno dei primi enunciati di quello che sarà poi denominato Teorema fondamentale dell’algebra (TFA):

Toutes les equations reçoiventautant de solutions, que la denomination de la plus haute quantité le demonstre, excepté les incompletes. 

Tutte le equazioni, tranne quelle incomplete, hanno tante soluzioni quante ne indica la denominazione della quantità più alta (cioé il grado)

Anche René Descartes (Cartesio 1596-1650), filosofo e matematico francese ritenuto fondatore della matematica e della filosofia moderna, nel terzo capitolo della sua "Géometrie" del 1637 tutto dedicato allo studio delle equazioni algebriche, fornisce un enunciato simile a quello di Girard:

Sachez donc qu’en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c’est-à-dire de valeurs de cette quantité

Sappiate che ogni equazione può avere tante radici, vale a dire valori di questa quantità, quante sono le dimensioni (il grado) della quantità incognita

Egli conclude la sua trattazione dell'algebra con l’affermazione:

Le radici non sono sempre reali, talvolta esse sono immaginarie, cioè mentre noi possiamo sempre concepire tante radici per ogni equazione come ho già detto, tuttavia qualche volta non c’è alcuna quantità che corrisponde a quello che si immagina. Così sebbene si possa immaginare che l’equazione x3-6x2+13x-10=0 abbia tre radici, tuttavia ve ne è solo una reale, mentre le altre due sono immaginarie.

Quest’ultima affermazione sembra indicare che Descartes ammetta che un’equazione di grado n abbia esattamente n radici purché si considerino anche quelle complesse, che lui chiama immaginarie, anche perché se l’equazione ha tutte radici di questo tipo non può essere costruita geometricamente e quindi può essere solo immaginata.

Girard e Descartes anche se in modo un po’ confuso propongono quelle che sono considerate le prime enunciazioni del TFA. Essi non solo non forniscono alcuna giustificazione del loro enunciato, ma si limitano a verificarlo su esempi che riguardano equazioni fino al quarto grado, le uniche per cui all’epoca si conoscevano formule risolutive.

Proseguendo la nostra storia arriviamo a Isaac Newton (1642-1727) che, nella sua "Arithmetica Universalis" del 1707, considera le soluzioni complesse come una indicazione della impossibilità di risolvere un problema, di qui l’appellativo di "impossibili" da lui usato per questo tipo di numeri:

Così l’equazione deve esprimere tutti i casi del problema così bene sia quelli che sono impossibili sia quelli che sono possibili, secondo che le sue radici possono essere possibili o impossibili.

Giungiamo quindi al Settecento, il secolo dell’analisi infinitesimale, ma in cui tuttavia quasi tutti i più importanti matematici si occupano anche della risoluzione delle equazioni polinomiali, cercando metodi per risolvere equazioni di ogni grado. 

Gottfried W. Leibeniz (1646-1716) e Giovanni Bernulli (1667-1748) agli inizi del 1700 si occupano di fattorizzazione per la risoluzione di integrali razionali. In particolare Leibniz sulla base di un esempio, mal calcolato, affermò che purtroppo la decomposizione non è sempre possibile.

Il grande matematico svizzero Leonardo Eulero (1707-1783), invece, in una lettera del 1 ottobre 1742 a Nicola Bernoulli afferma, senza dimostrazione, che ogni polinomio a coefficienti reali può essere decomposto in fattori lineari e/o quadratici a coefficienti reali. Bernoulli non giudica corretta l’affermazione e si innesta così una lunga diatriba che sfocerà in una dimostrazione di Eulero in un articolo “Recherches sur les racines imaginaires des equations”, pubblicato, nel 1751, nelle "Mémoires de l’Académie de Berlin".

Il grande matematico svizzero, negli ultimi anni vissuti a San Pietroburgo compose anche un manuale divulgativo di algebra che apparve in edizioni tedesca e russa a San Pietroburgo nel 1770-72 e in edizione francese nel 1774 (sotto gli auspici di d’Alembert, autore forse del primo tentativo serio di dimostrazione del TFA nel 1746).  
In esso, aldilà dei pregi didattici, si riscontrano imprecisioni che possono però essere spiegati dal fatto che l'autore, ormai cieco, non era più in grado di scrivere e lo dettò, sfruttando solo la sua memoria, al segretario, Nicolaus Fuss che era anche il marito di sua nipote.

E proprio il capitolo XIII di questo testo è dedicato a quei numeri che egli chiama “quantità impossibili o immaginarie”. 
Dobbiamo a lui l’uso della lettera i per indicare  √-1 che però fu adottata appunto verso la fine della sua vita in una memoria del 1777, pubblicata sugli Atti della Accademia di San Pietroburgo,.

A Eulero siamo anche debitori di molti dei simboli ancora oggi usati in matematica. Fu lui infatti a introdurre la lettera e per indicare la base dei logaritmi naturali, ad usare sistematicamente π per indicare il valore irrazionale 3,1415926535.......,  Σ come simbolo per la sommatoria e f(x) per indicare una funzione.

Ma tornando alla dimostrazione del TFA, altri tentativi furono portati avanti, oltre a quello di Eulero, dal torinese Giuseppe Lodovico Lagrangia (più noto come Lagrange) nel 1772 e da Pierre Simon Laplace nel 1795, e finalmente nel 1799 Gauss, il principe dei matematici, riuscì nell'intento. 

Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) provò a dimostrare questo teorema per la prima volta appunto nel 1799, nella sua tesi di dottorato, presentata in quell’anno presso l’Università di Helmstedt in Germania. Successivamente egli trovò altre tre diverse dimostrazioni dello stesso risultato, ma modestamente affermò che era pervenuto alla prima dimostrazione sfruttando i tentativi dei suoi predecessori. 
Infine, nel 1814 Jean-Robert Argand, un libraio appassionato di matematica, pubblicò un'altra dimostrazione molto più semplice rispetto a quella di Gauss.

Ma fra i motivi che hanno a lungo ostacolato la comprensione dei numeri complessi c’è sicuramente la mancanza di una loro rappresentazione geometrica.

Questa fu infine proposta quasi contemporaneamente e indipendentemente, tra la fine del Settecento e i primi anni dell’Ottocento da Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-1822) e da Carl Friedrich Gauss (1777-1855). Ma anche se le tesi di Gauss e Argand apparvero già nel 1799 e nel 1806 rispettivamente, fu solo comunque dopo il 1831, anno in cui fu pubblicato il lavoro di Gauss "Teoria residuarum biquadraticorum. Commentatio seconda", che l’idea del piano geometrico complesso cominciò ad affermarsi. 

Gauss pose in corrispondenza i numeri complessi con i punti di un piano cartesiano fornendo così una interpretazione geometrica all’addizione e alla moltiplicazione di due numeri complessi, facendo così apparire più naturali, da un punto di vista intuitivo, queste operazioni e trasformando un numero complesso in un vettore.

Prende così una forma definitiva e coerente la teoria dei numeri complessi (chiamati con questo nome proprio da Gauss), la loro rappresentazione e la loro visualizzazione sul piano complesso che oggi porta il loro nome, detto appunto piano di Argand-Gauss.

Ma non finisce qui.
Un giorno un matematico irlandese, tale William Rowan Hamilton (1805-1865) non soddisfatto dei soli numeri complessi, decise di inventare i "quaternioni". Non bastandogli la sola i, aggiunse altre due unità immaginarie, j e k e così un quaternione assunse dunque la forma: q = a + ib + jc + kd
Se prima i numeri complessi avevano due parametri, la parte reale e la parte immaginaria, ora i quaternioni ne hanno quindi ben quattro. E se i numeri complessi potevano essere disegnati su di un piano, un ente bidimensionale, per i quaternioni non basta: ci vorrebbe un'entità a quattro dimensioni.
Ma non esiste, su questa terra!!!!!
Questo viaggio potrebbe proseguire ancora perché attraverso i numeri complessi si sono ottenuti i frattali e dai quaternioni i superfrattali con tutte le loro implicazioni e applicazioni probabilistiche alla fisica moderna, all'astronomia, alla meteorologia, alla neurologia, alla finanza o ancora alla  teoria della relatività e nella meccanica quantistica e in settori più applicati, come la computer grafica 3D, l'ottica e la robotica.

Ma questa è un'altra storia di cui potrei parlare in una terza puntata. Calvin e Hobbes sono esausti e non mi accompagnerebbero più!

Fonti:

From the book:
M.SPOGLIANTI "Appunti di Storia delle Matematiche" Litografia Cislaghi, Milano, 1974 
R.COURANT e H.ROBBINS "Che cos’è la matematica?" Boringhieri, Torino, 2010
C.B.BOYER "Storia della matematica" Oscar Mondadori, 2011
From website:
Per i metodi di calcolo e le proprietà dei numeri complessi consiglio questo link:
http://www.ing.unitn.it/~bertolaz/files/complessi.pdf 
From the pictures
Le immagini, rielaborate da me (Annalisa Santi), sono state reperite dal sito Calvin&Hobbes
http://calvinhobbesdaily.tumblr.com/