Dalle scaloppe ai numeri primi

Un delizioso trenino d’altri tempi, partito dalla "stazione piccola" di Modena, mi sta portando a Sassuolo per assistere  alla lectio magistralis, al Festival della Filosofia 2014, di uno dei miei filosofi preferiti Zygmunt Bauman, ma anche per incontrare dopo tanti anni un amico di vecchia data Alberto Broglia.

Di anni ne sono passati davvero tanti…..lo riconoscerò? Mi riconoscerà? Per non sbagliare meglio munirsi di una rosa rossa!!!

Ed eccoci dopo tanto tempo a parlare come se gli anni non fossero mai passati, con la voglia di raccontarci tante cose, stimolando a vicenda la nostra curiosità.

Tra queste curiosità una ci conduce a parlare dei numeri primi, di Euclide, della certezza della matematica, della possibilità o impossibilità che tutto possa essere dimostrato……..e mi ha stimolato a scrivere questo post.

Si tratta di un articolo che Alberto Broglia (alias Ugolino) ha scritto in “ABIMI’S cronaca e riflessioni alla ricerca delle radici” per la Collana Amàrantos, pubblicato il 1° novembre 2005 sul n° 3 del settimanale on line DaBicesidice, che qui riporto integralmente, seguito da alcune mie considerazioni.

Euclide - Elementi

 Nel testo euclideo i numeri sono segmenti e il concetto “a è divisibile per b” è reso come “il segmento CB misura il segmento DA”; “misurare” nel senso di mettere vicine tante copie di CB e coprire esattamente DA 

Scaloppe al marsala

La mattina, talvolta, mi apposto in cucina per preparare il pranzo. Cucinare mi piace e mi diverte, e, mentre cucino, un po’ per abitudine, un po’ per curiosità accendo il televisore. Qualche giorno fa, il 14 agosto se ricordo bene, mentre preparavo alcune scaloppe di pennuto al marsala, è andata in onda su Raitre la trasmissione “Cominciamo bene Estate”, condotta dal bravo prof. Michele Mirabella e dalla piacevole Ambra Angiolini. Gli argomenti erano particolarmente interessanti: nella prima parte il tema del dibattito era intitolato “i miracoli”.

La seconda parte, sempre ispirata ad argomenti di ordine religioso, affrontava invece il tema del “paradiso” e, quindi, indirettamente, dell’anima e dell’Aldilà.. Questa seconda parte, che ha visto tra gli ospiti, un Cardinale cattolico, un Imam musulmano e un Lama buddista, quantunque interessante, è meno degna di commenti, perché le tre posizioni erano troppo distanti per poter consentire un commento che abbia uno straccio di filo conduttore. Le disquisizioni emerse circa l’argomento della prima parte, ed in particolare la posizione assunta da uno dei tre ospiti, merita invece una seppur breve chiosa. (Del termine “chiosa” si vale spesso anche il prof. Mirabella, e ne vorrei approfittare anch’io).

A codesta prima parte partecipano: un luminare della medicina, facente parte della commissione che esamina gli eventi miracolosi, quasi sempre connessi a guarigioni inspiegabili, un professore che si professa ateo ed un cardinale. Siccome non ricordo i nomi dei primi due esponenti, per rispettare la par condicio, tanto cara all’ineffabile onorevole Oscar Luigi Scalfaro, non dirò nemmeno il nome del Cardinale, che invece ricordo bene.

Con l’abile e dotta conduzione del prof. Mirabella, la questione viene trattata sotto il profilo religioso dal Cardinale, mentre la prospettiva scientifica è illustrata dal professore di medicina: costui ha posto in luce la cautela e la meticolosità con cui vengono analizzati gli eventi considerati miracolosi. Infine si è ascoltata la posizione del professore ateo. Un’esposizione, quest’ultima, obiettiva, illuminata, fedele ai fondamenti della Kültüra con la K maiuscola, quella che si rifà al positivismo, al materialismo, al progressismo e che sfocia, oggidì, nel relativismo più elevato.

L’ateo professore esordisce richiamando l’aspro contenzioso che ha visto, per un lungo periodo, il Sant’Uffizio da un lato e Padre Pio dall’altro, prosegue con l’immancabile rimando alla persecuzione da parte della Chiesa, impersonata dal cardinale Bellarmino nei confronti di Galileo, e conclude sottolineando la fretta con cui la Chiesa abitualmente tratta gli eventi miracolosi. Lo “spessore kültürale” e la capacità del ragionamento epistematico (deduttivo: che dalle leggi universali discende fino alle verità particolari) lasciano ammutoliti: siamo in presenza della punta di diamante della kültüra: quella nichilo-anarco-radical-progressista di sinistra. Il meglio del meglio.

Ammaliato, annaffio il pennuto con mezzo bicchiere di marsala.

La conoscenza storica degli eventi riguardanti Padre Pio e l’analisi obiettiva del loro svolgersi dovrebbe indurre il dotto professore ad una maggior cautela: se è vero che per un certo periodo la Chiesa ha guardato con sospetto agli eventi che accadevano a San Giovanni Rotondo, assumendo anche posizioni severe nei confronti del Frate di Pietrelcina, è altrettanto vero che poi, dopo le approfondite indagini, si è corretta, arrivando a canonizzare San Pio. Fra l’altro, questo esempio sarebbe sufficiente a palesare l’evidente contraddizione insita nell’accusa di eccessiva celerità della Chiesa nel valutare i fatti: sono trascorsi decenni prima che avvenisse il mutamento di indirizzo e la susseguente canonizzazione.

Ma il nostro luminescente professore non si cura di simili dettagli, non si cura di frati, di santi, né tanto meno di Dio. Egli detiene l’episteme (il sapere certo, la conoscenza esatta). La luce della ragione gli è sufficiente. Alla luce della scienza può tutto spiegare. E l’accusa di eccessiva fretta è un pilastro del ragionamento che svolgerà più avanti. Come dire: se la Chiesa non avesse tutta quella fretta, molti “miracoli” troverebbero, col tempo, la loro spiegazione razionale e scientifica.

Quanto alla questione fra la Chiesa e Galileo, forse non è del tutto vero che la Chiesa lo ha perseguitato; forse occorrerebbe valutare quegli eventi calandosi in quella realtà ed in quel contesto storico e filosofico. Ma queste sono questioni kültüralmente irrilevanti, non sono allineate alla kültüra con la K maiuscola. E poi Brecht è Brecht. E non si tocca.

Infine si giunge al nodo centrale della questione “miracoli”, e qualcuno chiede:

- Scusi, professore, ma in presenza di guarigioni analizzate e, come ci conferma l’illustre uomo di scienza qui presente, non scientificamente spiegabili, lei che spiegazione si dà e ci dà?

La risposta, lapidaria, è un vivido guizzo di intelligenza, abbagliante come una saetta:

- Ciò che la Scienza oggi non riesce a spiegare, verrà spiegato in futuro.

Questo, in estrema sintesi, il ragionamento epagogico (induttivo) del Nostro. Poi, accortosi forse dell’asserto un po’ ardito, lo sorregge con alcune prove: i fulmini ad esempio, che l’umanità un bel giorno, grazie alla Scienza appunto, ha capito non esser scagliati da Giove, ma essere frutto di un fenomeno fisico, ed altre dotte citazioni consimili.

Noi, gente retriva, ottusi credenti in Qualcuno che solo è frutto della nostra fantasia malata, siamo abbacinati e ammutoliti da cotanta dottrina.

Tuttavia, mentre rigiravo le scaloppe di pennuto, mi son venute alla mente alcune domande che avrei voluto porre all’esimio professore:

- Scusi Professore, ma Lei ci gratifica, pur non affermandolo apertis verbis (a chiare lettere), di essere creduloni e sempliciotti, perché, con un atto di Fede, crediamo nell’esistenza di un’Entità superiore. Entità di cui non sappiamo fornir prova dell’esistenza, e quindi frutto, a parer Suo, solo della nostra fantasia. Inoltre, come se non bastasse, su questa superstizione noi costruiamo quel castello di fandonie che chiamiamo Religione. Potrei rispettosamente farLe notare che, e mi perdoni l’ardire, se è pur vero che non si può dimostrare a fil di logica che Dio esiste, non si può dimostrare neppure che Egli non esiste. E molti eventi storici farebbero propendere per la prima ipotesi.

- Ma Lei, scusi, quando asserisce che la Scienza spiegherà domani ciò che oggi non può spiegare, non compie un atto di fede? Non attribuisce alla Scienza (ossia alla Ragione) un valore che trascende la sua essenza, per elevarla a qualcosa di assoluto? Non sta, in altre parole, da buon sacerdote dello scientismo, divinizzando la Scienza e quindi, indirettamente, il lume della Ragione? E chi Le ha rivelato che la Scienza potrà tutto spiegare? Le risulta che in passato sia stato sempre così? Capisco che l’esempio dei fulmini è stato da Lei proposto per permettere alle nostre semplici menti di capire il concetto, ma le risulta che la Scienza, la Ragione, abbian spiegato sempre tutto? Veda, professore, provo a venire sul suo terreno, nel campo della regina delle Scienze, la Matematica e, nell’ambito della Matematica, proprio all’apice della più astratta razionalità: la Numerologia.

- Mi sa dire come possa accadere che fino ad oggi nessuno abbia saputo spiegare perché esistono i numeri primi¹, gioielli incastonati nell’immensa distesa dei numeri, e qual è l’equazione che regola la loro oscura cadenza? Veda, illustre e dotto professore, ci si sono cimentate le menti più alte, a cominciare da Euclide, Eratostene (quello del crivello, Lei lo conoscerà certamente), e poi Gauss, Eulero, Riemann, il grande matematico che ha formulato intorno al 1860 a Gottinga l’elegante ipotesi che ancor oggi porta il suo nome, giù giù fino ai tempi nostri Bombieri, Connes … Ma nessuno ha saputo e sa rispondere.

Immaginando di essere in studio con il valente professor Mirabella, mi sono figurato il volto leggermente smarrito e meno fluorescente del brav’uomo, che s’andava aggrappando a citazioni di Hegel, Lamarck, Comte, Rousseau …. Ed anche il libretto rosso di Mao.

Stavo per continuare con altre domande, ma, nel frattempo, il marsala si è prosciugato e le scaloppe, dannazione, si sono semi carbonizzate.

Autore: Ugolino - 1/11/2005

(Alberto Broglia)

1 Veri e propri atomi dell’aritmetica, si definiscono primi i numeri interi indivisibili, cioè quelli che non possono essere scritti come prodotto di due numeri interi più piccoli. I numeri 13 e 17 sono primi, mentre 15 non lo è, dato che può essere scritto come prodotto di 3 e 5. La loro importanza per la matematica deriva dal fatto che hanno il potere di costruire tutti gli altri numeri. L’aspetto affascinante ed enigmatico dei numeri primi consiste nel fatto che, a dispetto della loro apparente semplicità, dato un elenco di numeri primi lungo a piacimento, è impossibile prevedere quando apparirà il successivo. Marcus du Sautoy “L’enigma dei numeri primi” pag. 15 - Ed. Rizzoli 

E’ indubbio che Alberto Broglia, con la sottile e piacevole ironia che contraddistingue il suo modo di scrivere, cerchi sostanzialmente di mettere in luce quante poche certezze ci riservi la Scienza e anche la stessa matematica, “la regina delle Scienze”.

Senza dimenticare che il dubbio è alla base di ogni scienza, figuriamoci della matematica, e senza addentrarmi nel difficile terreno della "fede", sia essa scientifica o religiosa, vorrei qui solo ritornare sull'argomento dei numeri primi e sull’impossibilità o possibilità di riuscire a dimostrare una loro distribuzione secondo uno schema regolare e non casuale.

Ricordo che il grande matematico tedesco David Hilbert esattamente un secolo fa, nel 1900, presentò a Parigi quelli che erano secondo lui, in quel momento, i 23 problemi più importanti ancora da dimostrare, problemi che hanno attirato, nel Novecento, le migliori menti matematiche, impegnate nella loro soluzione.

Sono ora ancora tre i problemi di Hilbert che non hanno avuto soluzione e uno di questi è riproposto dal "Millenium Prize".

Si tratta proprio dell'Ipotesi di Riemann che riguarda la distribuzione dei numeri primi all'interno dei numeri naturali. Una distribuzione che sembra casuale ma che potrebbe venire chiarita proprio dalla dimostrazione di questa ipotesi.

Funzione Zeta di Riemann

Alcuni numeri hanno la proprietà speciale di non poter essere espressi come il prodotto di due numeri interi più piccoli, per esempio, 2, 3, 5, 7, ecc Questi numeri sono chiamati numeri  primi , e svolgono un ruolo importante, sia in matematica pura che nelle sue applicazioni.

La distribuzione dei numeri primi, fra tutti i numeri naturali, infatti non segue ancora nessuno schema regolare. Tuttavia, il matematico tedesco Georg Friedrich Bernhard Riemann  (1826 - 1866) ha osservato che la frequenza dei numeri primi è strettamente legata al comportamento di una funzione complessa

    ζ (s) = 1 + 1/2 s  + 1/3 s  + 1/4 s  + ...

chiamata la  funzione Zeta di Riemann.
L'ipotesi di Riemann afferma che tutte le  soluzioni interessanti dell'equazione

    ζ (s) = 0

si trovano su una certa linea retta verticale.

Questo è stato controllato per i primi 10 miliardi di soluzioni. Una prova che sia vero per ogni soluzione interessante potrebbe far luce su molti dei misteri che circondano la distribuzione dei numeri primi.

Ma perché questa sfida sui numeri primi? Perché sono essenziali nella crittografia, la scienza dei codici segreti. Oggi qualsiasi tipo di comunicazione, non solo militare, per garantire sicurezza e riservatezza deve essere confezionata con dei codici in grado di renderla inattaccabile. Dalle transazioni con carte di credito alla navigazione in Internet, tutto si basa sui sistemi crittografici. Il più diffuso è noto con la sigla Rsa e fa ricorso ad un numero primo con un centinaio di cifre. Aumentare le cifre significa rendere il codice sempre più impenetrabile.  “Cercarli - diceva il grande Carl Gauss nel 1801 - è una delle sfide più importanti della matematica”.

Un gigante dell’eterna caccia era stato il monaco francese Marin Mersenne che agli inizi del ’600 trovò una classe di questi numeri che portano il suo nome.

Forse l’ultimo, più grande numero primo di Mersenne è stato scoperto nel gennaio 2013 da un gruppo di ricercatori capitanati da Curtis Cooper, George Woltman e Scott Kurowski e per scriverlo sono occorse oltre diciassette milioni di cifre, esattamente 17.425.170  (con n = 57.885.161)

Il "Millenium Prize" sarebbe quindi un’ occasione per dimostrare ciò che parrebbe indimostrabile e anche per diventare milionari. Oltre all’ipotesi di Riemann ci sono infatti altri importanti problemi ancora irrisolti. I premi sono offerti da un ricco uomo d'affari di Boston, Landon Clay, innamorato della matematica, il quale ha fondato il Clay Mathematics Institute, un ente che promuove e diffonde la cultura matematica. "Dove c'è matematica - dice Clay - c'è bellezza. Il fascino della matematica è universale e nessun paese ne può avere il monopolio". I problemi sono stati scelti da una commissione di matematici di cui faceva parte anche Andrew Wiles, il matematico di Princeton che è riuscito a dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat.

Gli organizzatori del "Millenium Prize", così è stato appunto battezzato il nuovo premio matematico, vorrebbero ripetere il successo dell'iniziativa di David Hilbert. Oltre all’ipotesi di Riemann, un altro problema storico entrato nel Millenium Prize è la congettura di Poincaré, un problema topologico, di superfici, risolto da  Grigori Perelman, che però ha rifiutato il premio. Un milione di dollari anche a chi riuscirà a risolvere la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, collegata all'ipotesi di Riemann e riguardante equazioni a numeri interi, oppure il Problema P uguale a NP, un problema di informatica che la maggior parte degli esperti ritiene senza soluzione. Soluzione che avrebbe però importanti implicazioni anche per Internet.

Legate al Millenium Prize anche le equazioni di Navier-Stokes che nessuno finora è riuscito a risolvere, se non in forma approssimata al computer e che hanno grosse implicazioni pratiche essendo lo strumento matematico necessario per descrivere e prevedere onde come quelle che seguono un'imbarcazione in movimento o la turbolenza in coda a un jet. Ultimo problema del Premio è la Teoria di Yang-Mills che i matematici non sono ancora riusciti a chiarire, utile per descrivere il rapporto fra geometria e particelle elementari della meccanica quantistica.

Certo sono tutti problemi di difficile comprensione ma che potrebbero venire risolti anche se sembrano ora non avere soluzione.

Non riusciranno forse mai a dare certezze e a spiegare tutto, ma faranno fare un passo in più nella conoscenza e, come afferma Wiles, “la soluzione di questi problemi aprirebbe nuovi affascinanti spazi di indagine, mondi che oggi riusciamo appena ad immaginare".

Nota

Per approfondire l’argomento, oltre ai collegamenti diretti con Wikipedia, l'archivio storico del St. Andrews College, riporta le biografie di tutti i matematici citati in questo articolo 

Carnevale della Matematica #76

Buon ferragosto 2014!!!!!
Ieri i collegamenti internet erano "ballerini" e non sono riuscita a condividere in tempo reale questo 76° Carnevale della Matematica, uscito come di consueto il 14 del mese,  ospitato sul blog di Mau e che, ovviamente, consiglio a tutti.......matematici e non......anche tangueri!!!!!!

Carnevale Matematica #76

 Il numero è denso di articoli interessanti ed originali via via presentati e, come dice Mau, "Il tema di questo mese è “matematica estiva”, ma come sapete io non mi sono mai troppo preoccupato di seguire o no il tema, quindi presento la rassegna dei contributi di questo mese in ordine sparso......."

"Matematica mostruosa, spaventosa, vertiginosa" sarà il tema della settantasettesima edizione del Carnevale (nome in codice “all’alba melodioso”) che uscirà il 14 settembre, tenuta da Mr. Palomar .

Calendario di tutte le edizioni del "Carnevale della Matematica"

Meteo, matematica e...farfalle!

"Matematica estiva" è il tema della 76-esima edizione del Carnevale della Matematica ferragostiana, che uscirà, come di consueto il 14 del mese, ospitato sul blog di Mau.
Matematica estiva in questi giorni sembrerebbe quasi un paradosso (forse un nuovo paradosso matematico?), infatti il tema presumerebbe che ci fosse la matematica e l'estate .....ma l'estate quest'anno parrebbe proprio non arrivare mai.

Dobbiamo farci una ragione del fatto che il 2014 sarà l’anno senza estate? 

A sostenerlo sono quasi la totalità dei meteorologi e dei siti meteo, i “guru” delle previsioni, che annunciano che proseguirà “l’instabilità ad oltranza con il rischio temporali”, tranne brevissime parentesi miti e soleggiate (senza picchi di caldo esagerato), che il clima si manterrà tipicamente autunnale con temperature di gran lunga inferiori rispetto alle medie del periodo e che continueranno precipitazioni abbondanti tipiche dei periodi più piovosi dell’anno.
Ma tornando al suddetto tema, vorrei qui introdurre brevi considerazioni sulla correlazione tra i modelli meteorologici, la matematica e le previsioni meteo, così difficili in questa "estate che non c'é".

La farfalla e la teoria del caos

La teoria del caos dimostra che i cambiamenti infinitesimali che avvengono in un sistema possono portare a cambiamenti sorprendentemente drammatici. L'esempio classico è la farfalla che batte le ali in Brasile provocando un tornado nel Texas. 

La rete Internet mette attualmente a disposizione i risultati dei modelli di previsione ad un pubblico sempre più vasto che varia dagli scienziati ricercatori agli amatori. Informazione, che se non opportunamente filtrata attraverso un minimo di preparazione teorica, può indurre molti all'errore di interpretazione e alla confusione. Inoltre, specialmente per i non addetti ai lavori, l'affidabilità delle previsioni e la competenza dei responsabili dei siti internet non sono deducibili dall'apparenza del sito stesso; infatti la veste grafica molto curata talvolta può nascondere enormi carenze di rigore scientifico al suo interno.

Cos'è la previsione meteorologica numerica?

La previsione meteorologica numerica (NWP Numerical Weather Prediction) costituisce forse uno degli aspetti più affascinanti e complessi della meteorologia.
Oggi si può affermare che l'obiettivo di conoscere in anticipo l'evoluzione del tempo con un ragionevole grado di affidabilità è stato forse raggiunto, grazie soprattutto allo sviluppo dei sempre più potenti elaboratori elettronici, i supercomputers, e della così detta "previsione d'ensemble" (EPS - Ensemble Prediction System), che consiste essenzialmente nel mettere a confronto simultaneamente dati ottenuti dai modelli, variando le condizioni iniziali e creando una sorta di "nuvola statistica" di soluzioni.
Alla linea dell'ensemble  si aggiunge la cosiddetta ipotesi del «multi-model ensemble», che significa il confronto dei risultati multipli non più ricavati da uno stesso modello, ma da più modelli diversi tra loro.

Metodo Sinottico - Analisi sinottica 11 agosto 2014

Oggi i più grandi centri meteorologici fanno girare contemporaneamente più modelli all'interno dei calcolatori, e un criterio di analisi è quello di rielaborare i diversi output mediante sofisticati criteri statistico-dinamici. 
Supponendo che tutti i modelli siano stati sviluppati in modo più o meno indipendente, eventuali errori possono essere compensati dal confronto. Emerge quindi una previsione "ottimale", intesa come risultato di rielaborazione di tutte le previsioni effettuate.
Questo sviluppo indipendente dei modelli consente quindi il cosiddetto "multimodel forecast", una linea promettente di previsione basata appunto sul confronto dei risultati di più modelli, che utilizzano equazioni fondamentali, note da un paio di secoli, e che ovviamente sono le stesse per tutti.

Ma cos'è un modello meteorologico?

Un modello è una riproduzione semplificata della realtà, ossia un'astrazione che considera solamente le principali caratteristiche di quello che è il reale oggetto di studio. Tuttavia, un modello, sebbene possa sembrare limitato, in quanto non riproduce completamente la realtà, permette di esaminare gli aspetti piú importanti di un problema.
E non è poco! 
Se considerassimo tutti i dettagli di un problema, ottenendo quello che si definisce una simulazione come quella meteorologica, ci troveremmo ad affrontare un insieme di dati difficilmente correlabili tra loro e quindi la loro analisi ci sarebbe impossibile o di utilità limitata all'analisi di brevi periodi, come appunto per le simulazioni climatiche.
Certo un modello non può offrire garanzie di sicurezza assoluta ma è comunque un indispensabile strumento per il progresso della scienza e della tecnologia.
D'altra parte l'uso di un modello è del tutto naturale. 
Ad esempio, quando usciamo da casa per recarci al lavoro o per una gita, ci formiamo mentalmente l'idea del percorso che seguiremo, con le eventuali soste per il caffè o per il giornale, ma certo non prenderemo in considerazione la possibilità che un gabbiano atterri sul tetto della nostra auto o altri eventi improbabili. 
Automaticamente il pensiero opera una semplificazione della realtà per poter elaborare delle conclusioni su di essa.

Tabella riassuntiva delle caratteristiche dei principali modelli meteorologici globali.

Due esempi di modelli globali

(a sinistra) 
Rappresentazione schematica di un modello numerico globale a punti di griglia, che mostra la suddivisione in volumi elementari per i quali sono eseguiti i calcoli, generalmente ai nodi della griglia.
I colori riguardano una scala di temperatura (rosso = caldo; blu = freddo); sono anche riportati i vettori del vento (da Lab. Météorologie Dinamique, CNRS). 
(a destra) 
Una caratteristica peculiare del modello Arpège di Météo France è quella di utilizzare una maglia variabile, più fitta sulla zona di interesse (in questo caso la Francia e l’Europa), e progressivamente meno dettagliata nelle aree più lontane.
La metà dei punti di griglia totali è concentrata nel cerchio passante per la Groenlandia e il Sahara, mentre il quadrato verde rappresenta l’area dove viene fatto girare il modello ad area limitata «Aladin» con risoluzione 10 km. Il modello Arpége suddivide l’atmosfera in 4 milioni di «blocchetti» elementari.

Tornando quindi specificatamente ai modelli numerici di previsione meteorologica, questi sono modelli matematici dell'atmosfera che utilizzano le condizioni meteorologiche attuali (stato atmosferico) come input o inizializzazione delle equazioni fondamentali del modello stesso per la previsione meteorologica in momenti o istanti successivi (prognosi). Sono detti numerici perché la loro risoluzione, non possibile per via analitica data la complessità e non linearità delle equazioni coinvolte, passa attraverso opportune tecniche di analisi numerica e all'uso congiunto di supercalcolatori, vuoi anche per l'ingente mole di dati da elaborare in tempi brevi.

Ma quali sono le equazioni principali che sono utilizzate dai modelli?

Ovviamente non si possono scrivere qui tutte per esteso, tuttavia si possono citare le più importanti, dette primitive:
- Equazioni di Navier-Stokes (NS) per la definizione delle componenti del campo di vento (anche dette equazioni di bilancio della quantità di moto in un fluido).
- Equazione della termodinamica (è il fondamentale primo principio della termodinamica, detto anche di conservazione dell'energia, spesso banalizzato nell'espressione nulla si crea, nulla si distrugge).
- Equazione di evoluzione del vapore acqueo (tiene conto di tutti i processi che compongono il ciclo dell'acqua e dei suoi passaggi di stato, cioè evaporazione, condensazione, fusione, solidificazione e sublimazione).
- Equazione di continuità (che deriva dalla legge di conservazione della massa). 
Assicura che in un dato volume la quantità d’aria che entra sia pari a quella che esce.
A queste equazioni conservative prognostiche si aggiungono:
- Equazione di stato dei gas, che lega pressione, densità, temperatura e volume di una massa d’aria.
- Equazione idrostatica, che riguarda la relazione approssimata tra la variazione di pressione con la quota e la densità dell’aria.

E qual'è l'affidabilità di queste equazioni per una corretta previsione?

Nel 1963 Edward Lorenz, professore al dipartimento di Meteorologia del MIT di Boston, dimostrò che un sistema complesso come quello atmosferico presenta un' altissima sensibilità ai valori iniziali.
Troncando il numero di cifre decimali, ad esempio dopo solo la settima, Lorenz fece notare che le soluzioni dei modelli erano afflitte da notevoli dispersioni nei risultati, e che sarebbe stato impossibile spingersi in previsioni oltre i 10-15 giorni.
Detto in altri termini, la struttura della dinamica dell'atmosfera descritta dall'insieme di equazioni non lineari dei modelli è molto sensibile a piccolissime variazioni dei dati di partenza, quelli ottenuti dai dati delle stazioni ed elaborati dai modelli . 
E’ pertanto un sistema parzialmente caotico.
In modo poetico Lorenz sintetizzò la situazione con la famosa battuta che «un battito d'ali di una farfalla in Brasile potrebbe provocare un tornado in Texas». 
Problemi noti come quello dei «tre corpi» in astronomia o del «doppio pendolo » misero in crisi la visione deterministica del mondo che all'incirca un secolo fa lasciava presupporre che si potesse prevedere lo stato dell'universo in ogni istante futuro conoscendone le condizioni iniziali.

Lo "strange attractor" di Lorenz

In matematica, un attrattore è un insieme verso il quale evolve un sistema dinamico dopo un tempo sufficientemente lungo. Perché tale insieme possa essere definito attrattore, le traiettorie che arrivano ad essere sufficientemente vicine ad esso devono rimanere vicine anche se leggermente perturbate. Dal punto di vista geometrico un attrattore può essere un punto, una curva, una varietà, o anche un insieme più complicato dotato di struttura frattale e noto con il nome di attrattore strano

Edward Lorenz  ha dimostrato che un modello meteo ha un comportamento caotico, considerando una serie di 12 equazioni differenziali non lineari. Lorenz ha deciso di cercare un comportamento complesso in un insieme ancora più semplice di equazioni, e fu condotto al fenomeno della laminazione di convezione del fluido. Il modello fisico è semplice: basta posizionare un gas in una scatola rettangolare con una fonte di calore sul fondo. Lorenz ha semplificato alcune equazioni della dinamica dei fluidi (chiamate equazioni di Navier-Stokes) che si è conclusa con una serie di tre equazioni non lineari:

dove P è il numero di Prandtl rappresenta il rapporto tra la viscosità del fluido alla sua conducibilità termica, R rappresenta la differenza di temperatura tra la parte superiore e inferiore del sistema, e B è il rapporto tra la larghezza e l'altezza della scatola utilizzata per contenere il sistema. I valori Lorenz utilizzati sono P  = 10, R  = 28, B  = 8/3. Queste tre equazioni sembrano semplici da risolvere, tuttavia esse rappresentano un  sistema dinamico estremamente complicato. Se si rappresentano i risultati in tre dimensioni si ottiene la figura seguente, chiamato attrattore di Lorenz.

Le proiezioni di questo attrattore nei piani bidimensionali yz e xz sono le seguenti:

Proiezione sul piano yz

Proiezione sul piano xz

L'attrattore di Lorenz è un esempio di un attrattore "strano" (strange attractor). Gli attrattori strani sono "unici" attrattori fase-spazio in cui non si sa esattamente dove il sistema si troverà su l' attrattore . Due punti su l' attrattore che sono vicini a vicenda in una sola volta, saranno arbitrariamente lontani in tempi successivi. L'unica restrizione è che lo stato del sistema rimanga sopra l'attrattore. Gli attrattori strani sono unici in quanto non chiudono mai su se stessi - il moto del sistema non si ripete mai (non periodico). Il movimento che stiamo descrivendo su questi strani attrattori è ciò che intendiamo per comportamento caotico.  L'attrattore di Lorenz è stato il primo attrattore strano, ma ci sono molti sistemi di equazioni che danno luogo a dinamiche caotiche. Esempi di altri attrattori strani sono gli attrattori Rössler e Hénon. L'attrattore Rössler è nato dallo studio delle oscillazioni nelle reazioni chimiche. E' formato da un altro insieme di equazioni di Navier-Stokes, vale a dire:

dove A  = 0.2, B  = 0.2, e C  = 5.7. Una proiezione nel piano xy di questo attrattore è:

Un altro attrattore strano, creato in modo ricorsivo, è l'attrattore Hénon:

Si è dovuto quindi ricorrere a un nuovo metodo di interpretazione dei risultati dei modelli che si avvale di tecniche dinamico/statistiche.
Detto in parole semplici, considerata l'instabilità intrinseca delle equazioni dai risultati di Lorenz, si fa girare il modello più volte di seguito variando ogni volta un determinato set di condizioni iniziali inserendo volutamente degli errori casuali nell'intorno dei punti assegnati.
Il risultato di questa operazione si riassume in una «nuvola» statistica di soluzioni.

Nel campo dei modelli atmosferici e più in generale nello sviluppo del software, vi è una continua evoluzione. Anche i limiti tecnologici relativi allo sviluppo di nuovi tipi di microprocessori si sono spostati sempre più avanti, nella direzione di una maggior potenza di calcolo e riduzione del tempo macchina necessario. Naturalmente lo sviluppo di processori sempre più veloci ha consentito di realizzare modelli meteorologici sempre più sofisticati.
Resta una difficoltà intrinseca e non di poco conto, cioè quella di creare una previsione su una singola località a partire dagli output dei modelli.
Infatti ognuno di noi è interessato alla temperatura vicino al suolo, alla nuvolosità, alla stima delle precipitazioni, alla nebbia, ma queste variabili non sempre sono disponibili all'uscita dei modelli, più spesso esse devono essere interpretate o derivate mediante schemi appositi. Da qui si inserisce il fondamentale apporto del "previsore locale", che sa interpretare i dati e li traduce nel giusto contesto territoriale.

Tecniche e analisi basate sulla matematica frattale

Dalla scoperta di Lorenz molto cammino è stato compiuto in tutte le branche del sapere. Tra tutte le definizioni create sul 1900, una sembra la più significativa: il 1900 è il secolo delle Rivoluzioni. Dopo la Relatività e la Meccanica Quantistica, la rivoluzione più importante è la scoperta della teoria del Caos.

CAOS - Attrattore di Lorenz - Simulazione 

Nello sviluppo della scienza del caos e doveroso dare un posto di rilievo a Benoit B. Mandelbrot, un matematico polacco formatosi in Francia e negli Stati Uniti, a cui si deve la "matematica dei frattali", come tentativo di capire scientificamente la realtà laddove la matematica tradizionale fallisce per intrinseci limiti interpretativi.
I frattali sembrano infatti rispecchiare nello spazio la complessità del comportamento dei sistemi caotici nel tempo. Benché non esistano in natura insiemi frattali in senso stretto, come non esistono rette o piani geometrici, alcuni oggetti naturali posseggono una struttura che approssima quella di tali insiemi.

Gli eventi caotici, come la turbolenza atmosferica, manifestano andamenti simili su scale temporali diverse, più o meno come gli oggetti dotati di autosomiglianza che, a scale spaziali diverse, presentano sempre gli stessi elementi fondamentali. Questa  configurazione ripetitiva definisce la dimensione frazionaria, o frattale. 

La costruzione dei frattali si basa, più che su un’equazione, su un algoritmo,  intendendo per algoritmo quel procedimento meccanico che permette la risoluzione di problemi mediante un numero finito di passi.
L’algoritmo non è mai applicato una volta sola, la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito e, ad ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e dopo un certo numero di iterazioni l’occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche.
Quindi grazie soprattutto allo sviluppo della geometria frattale, in grado di descrivere in termini grafici forme e processi naturali, quantificando il loro grado di «erraticità» attraverso rigorosi metodi matematici, si è acquisito un nuovo codice interpretativo.
Queste strutture matematiche, capaci di esprimere comportamenti variabili in spazi anche molto piccoli, di cui si possono avvalere i meteorologi per affinare le tecniche di analisi dei dati, si sono rivelate estremamente proficue nello studio della turbolenza e dei fenomeni meteorologici in generale.

"Il nostro universo fisico non ha più come simbolo il moto regolare e periodico dei pianeti, moto che è alla base della meccanica classica. E' invece un universo di instabilità e fluttuazioni, che sono all'origine dell'incredibile ricchezza di forme e strutture che vediamo nel mondo intorno a noi. Abbiamo quindi bisogno di nuovi concetti e nuovi strumenti per descrivere una natura in cui evoluzione e pluralismo sono divenute le parole fondamentali"

(come diceva il russo Ilya Prigogine, nobel per la chimica nel 1977)

Fonti:

From the exert

http://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/attractors.html

From website

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/PrintHT/Weather_forecasts.html

http://areeweb.polito.it/didattica/polymath/

http://www.meteorete.it/carte.php

http://c21l.org/multiverse-learning/
http://classes.yale.edu/fractals/index.html

Links to information

https://it.wikipedia.org/

From video

https://www.youtube.com/watch?v=A9RKfmVJQBk